Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)

Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ AN PHƯỢNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH PELL CỦA CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VỀ PHƯƠNG TRÌNH PELL CỦA CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

Chương 1 Phương trình Pell cơ bản và một số ứng dụng 4

1.1 Phương trình Pell loại 1 4

1.2 Phương trình Pell loại 2 8

1.3 Phương trình Pell tổng quát 12

1.4 Một số ứng dụng của phương trình Pell 14

Chương 2 Phương trình Pell mở rộng 20 2.1 Một số kiến thức mở đầu 20

2.2 Liên phân số 22

2.3 Hình học 23

2.4 Kết nối 26

Chương 3 Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ 29 3.1 Các khái niệm 29

3.2 Dạng chuẩn tắc 31 3.3 Phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ bậc bốn 34

3.3.1 Tham số hóa đường bậc bốn 343.3.2 Tính liên phân số của pd(x) 37

K(x, y) Trường các hàm số của đường cong C định nghĩa

bởi y2 = d(x)

˜

γ Kiểu hình học của ˜C

Pic0( ˜C) Jacobi của ˜C

gcd(p(x), q(x)) Ước chung lớn nhất của p(x) và q(x)

deg(d(x)) Bậc của đa thức d(x)

φ : ˜C ,→ J Phép nhúng định nghĩa bởi R 7→ [R − Q]

φ(P ) Điểm xoắn trên Pic0( ˜C)

d = n2 + 1 với n nguyên thì (2n2 + 1)2 − (n2 + 1)(2n)2 = 1 Đẳng thứcnhư trên có nhiều tiềm năng ứng dụng cho bài toán tìm các lớp số củatrường số thực bậc hai Ví dụ, nếu ta biết rằng (2n2 + 1) + (2n)√

n2 + 1

là phần tử đơn vị cơ bản trong Q(√

n2 + 1) thì ta có thể sử dụng côngthức lớp số Dirichlet để tính các lớp số của trường số thực bậc hai có dạng

Q(√

n2 + 1)

Được hỗ trợ bởi đẳng thức Euler, Zachary L Scherr nghiên cứu mởrộng sau của phương trình Pell năm 2013, với câu hỏi:

Cho R là một miền nguyên có đặc số khác 2 Với giá trị d(x) ∈ R[x]khác hằng, không chính phương như thế nào thì phương trình Pell

có nghiệm f (x), g(x) ∈ R[x] hay không, trong đó g(x) khác không?

Chúng ta sẽ gọi nghiệm của (1) với g(x) khác không là nghiệm khôngtầm thường Cách giải quyết câu hỏi trên là trước tiên hiểu rõ khi nào tồntại một nghiệm không tầm thường trong K[x] trong đó K là trường cácthương của R Khi ta biết cách tìm mọi nghiệm trong K[x], ta hy vọnglấy ra các nghiệm mà có hệ số trong R

Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận thì nội dung còncác chương sau:

Chương 1: Phương trình Pell cơ bản và một số ứng dụng Trong chươngnày chúng tôi trình bày định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm, phương phápgiải của các phương trình Pell loại 1, loại 2 và phương trình Pell dạng tổngquát Đồng thời các ứng dụng của phương trình Pell cũng được trình bày

ở phần cuối chương này

Chương 2: Phương trình Pell mở rộng Chương này chúng tôi nghiên cứumột số tính chất cơ bản của phương trình Pell mở rộng Kiến thức củachương này làm cơ sở cho việc chứng minh các kết quả ở chương 3

Chương 3: Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ

Trình bày mở rộng của phương trình Pell dạng f (x)2 − d(x)g(x)2 = 1

và các vấn đề liên quan

Luận văn đến nay đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy tôi,

TS Nguyễn Đình Bình, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi

có thể hoàn thành tốt nhất luận văn này Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Thầy.

Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thànhkhóa học Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảngviên trong suốt thời gian tôi học tập

Tôi cũng xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Phổ thông Liên cấp II III, Trấn Yên 2, tỉnh Yên Bái đã luôn tạo điều kiện về thời gian và tinhthần để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình

-Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình,bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích

lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Học viên

Vũ An Phượng

Chương 1

Phương trình Pell cơ bản và một số ứng dụng

Phương trình Pell có dạng tổng quát là x2− dy2 = n, trong đó d và n

là các số nguyên cho trước, x và y là các nghiệm nguyên cần tìm Trongphạm vi chương này, chúng tôi sẽ nêu một số kết quả (không chứngminh) về phương trình Pell loại 1 (với n = 1), phương trình Pell loại 2(với n = −1) phương trình Pell tổng quát (với n là một số nguyên dươngbất kì, n 6= 0, ±1) Nội dung trình bày được trích dẫn trong các tài liệu[1, 2, 6]

Phương trình Pell loại 1 có dạng

? Nếu d < −1 thì phương trình (1.1) chỉ có nghiệm tầm thường

? Nếu d = −1 thì phương trình (1.1) có 4 nghiệm là x = ±1, y = 0

và x = 0, y = ±1

? Nếu d = 0 thì phương trình có vô số nghiệm là x = ±1 và y nhậngiá trị nguyên tuỳ ý.

? Nếu d là một số chính phương, d = n2, n ∈ N∗ thì phương trình(1.1) có dạng:

(x − ny)(x + ny) = 1

Khi đó phương trình chỉ có nghiệm tầm thường

Do đó ta chỉ xét phương trình (1.1) với giả thiết d là một số tự nhiênkhông phải là số chính phương Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày lại một

số kết quả của phương trình Pell loại 1

Mệnh đề 1.1.1 Nếu phương trình Pell có nghiệm không tầm thườngthì nó có vô số nghiệm

Định lý 1.1.2 Nếu (x1, y1) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell(1.1), thì tất cả các nghiệm nguyên dương (xn, yn) của phương trình nàyđược xác định bởi công thức:

Bổ đề 1.1.5 Nếu α là một số vô tỉ, a

b là một phân số tối giản với b > 0,sao cho:

α − ab

< 12b2,thì a

b là một giản phân của liên phân số biểu diễn α.

Định lý 1.1.6 Nếu (a, b) là một nghiệm nguyên dương của phương trìnhPell (1.1) thì a

b là một giản phân của liên phân số biểu diễn số vô tỉ

√d

? Thuật toán giải phương trình Pell bằng liên phân số

Theo định lí (1.1.6) ta có thuật toán giải phương trình Pell theo cácbước sau:

1 Khai triển √

d thành liên phân số

2 Tính các giản phân Pn

Qn, n = 0, 1, của liên phân số đó

Với y = 2 : x2 = 1 + 7.4 = 29 (loại)

Với y = 3 : x2 = 1 + 7.9 = 64 (thỏa mãn), nên x = 8

Vậy (8, 3) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Các nghiệm (xn, yn)của phương trình xác định theo hệ thức truy hồi

(

x1 = 8, y1 = 3,

xn = 8xn−1 + 21yn−1, yn = 3xn−1 + 8yn−1, n ≥ 2



Trong nhiều trường hợp, việc thử trực tiếp để tìm nghiệm nhỏ nhấtcủa phương trình Pell đòi hỏi một khối lượng tính toán khá lớn Chẳnghạn, để tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 − 13y2 = 1, ta phảitính giá trị của biểu thức 1 + 13y2 lần lượt với y = 1, 2, , 180 mới đượckết quả 1 + 13.1802 = 6492 Sau đây ta sẽ trình bày lại lời giải ví dụ trênbằng liên phân số.

Ví dụ 1.1.8 Giải phương trình: x2 − 7y2 = 1 bằng liên phân số.Giải Để khai triển α0 = √

7 thành liên phân số ta áp dụng thuật toánsau:

q5 = q1, q6 = q2, q7 = q3, q8 = q4, Vậy √

7 = [2; (1, 1, 1, 4)] Ở đây các số hạng (1, 1, 1, 4) được lặp đi lặplại vô hạn lần Để tính các giản phân của liên phân số này và đồng thờitính các giá trị của các biểu thức Pn2 − 7Q2

n ta lập Bảng 1.1 sau:

Phương trình Pell loại 2 có dạng:

trong đó d là một số nguyên Ta dễ thấy rằng:

? Nếu d ≤ 0 thì hiển nhiên phương trình vô nghiệm

? Nếu d = 1 thì phương trình (1.4) có nghiệm x = 0, y = ±1

? Nếu d = n2 > 1 thì phương trình (1.4) vô nghiệm Thật vậy, nếu cócác số nguyên x, y sao cho x2 − n2y2 = −1, thì (x − ny) (x + ny) = −1

Từ đó suy ra hoặc x−ny = −1, x+ny = 1 hoặc x−ny = 1, x+ny = −1.Trong mọi trường hợp đều suy ra x = 0 Vậy n2y2 = 1, mâu thuẫn vớigiả thiết n2 > 1

Từ các nhận xét trên nên ta chỉ xét phương trình (1.4) với giả thiết d

là số nguyên lớn hơn 1 và không là một số chính phương Phương trình(1.4) với điều kiện như vậy cũng được gọi là phương trình Pell Mệnh

đề sau đây cho thấy phương trình Pell loại 2 không phải luôn luôn cónghiệm

Mệnh đề 1.2.1 Nếu d chứa một ước nguyên tố dạng 4n + 3 thì phươngtrình (1.4) vô nghiệm.

Định lý 1.2.2 Nếu phương trình Pell loại 2 (1.4) có nghiệm thì nó có

vô số nghiệm Nếu (x1, y1) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình này thìtất cả các nghiệm nguyên dương của nó được xác định bởi công thức:

Khi đó ta có các kết luận sau:

- Nếu (u, v) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1) thì (x, y)

là một nghiệm của phương trình (1.4)

- Nếu (x, y) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell loại 2 (1.4) thì(u, v) cũng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1)

Định lý 1.2.6 Giả sử (u, v) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell(1.1) Điều kiện cần và đủ để phương trình Pell loại hai (1.4) có nghiệm

là hệ phương trình (1.7) với ẩn x, y có nghiệm nguyên dương

? Thuật toán giải phương trình Pell loại 2

Theo Định lí 1.2.6, để giải phương trình (1.4)

x2 − dy2 = −1,với d là một số nguyên dương không phải là một chính phương, ta giảiphương trình Pell (1.1):

Nếu hệ phương trình này không có nghiệm nguyên dương thì phươngtrình đã cho vô nghiệm Nếu hệ phương trình này có nghiệm nguyêndương (x1, y1) thì đó chính là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho

và tập nghiệm của nó được cho bởi hệ thức (1.5) với n lẻ Chú ý rằng

hệ phương trình (1.7) tương đương với hệ:







x = v2y,4dy4 − 4uy2 + v2 = 0

Ở phương trình trùng phương đối với y ta có:

2d là một số chính phương thì ta tìm đượcgiá trị nguyên dương y0 thoả mãn:

4dy04 − 4uy02 + v2 = 0

Nhưng khi đó 4y02 là một ước của v2 và do đó giá trị x0 = v

2y0cũng làmột số nguyên dương

Vì vậy, trong thực hành thay vì giải hệ phương trình (1.7) ta xét ngayhệ:

Nhận xét 1.2.7 Nếu u − 1

2d là chính phương thì x, y cũng không lànghiệm của phương trình (1.4) vì:

Hơn nữa người ta còn chứng minh được rằng nếu r là một số lẻ thìphương trình Pell loại 2 vô nghiệm

Ví dụ 1.2.9 Tìm ba nghiệm đầu tiên của phương trình

Hệ có nghiệm nguyên duy nhất là (2, 1) Vậy (x1, y1) = (2, 1) là nghiệmnhỏ nhất của phương trình

5)n

yn = (2 +

√5)n− (2 −√5)n

trong đó d là một số nguyên dương, n là một số nguyên tuỳ ý khác 0 và

±1 Phương trình (1.8) được gọi là phương trình Pell tổng quát

Mệnh đề 1.3.1 Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên dương của phươngtrình (1.8), (a, b) là một nghiệm của phương trình Pell (1.1) thì cặp sốnguyên (x, y) xác định bởi hệ thức:

(

x = ax0 + dby0,

cũng là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1.8)

Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình (1.8)được gọi là một nghiệm cơ bản của phương trình này nếu:

Giả sử (x1, y1) là nghiệm cơ bản của phương trình (1.8), (a, b) lànghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1) tương ứng Khi đó theoMệnh đề 1.3.1, tập hợp các cặp số nguyên dương (xn, yn) được xác địnhbởi hệ thức:

(

xn = axn−1 + dbyn−1,

yn = bxn−1 + ayn−1, (n ≥ 2) (1.10)đều là nghiệm của phương trình (1.8) Ta gọi các nghiệm này là hệnghiệm sinh ra bởi nghiệm cơ bản (x1, y1) Ta cũng nói nghiệm (xn, yn)xác định bởi (1.10) được sinh ra từ nghiệm cơ bản (x1, y1) Ta có định lísau

Định lý 1.3.3 Mọi nghiệm nguyên dương (nếu có) của phương trình(1.8) đều được sinh ra từ một nghiệm cơ bản của phương trình này Cụthể

Giả sử (1.1) có nghiệm và (α1, β1), (α2, β2), , (αm, βm) là tất cả cácnghiệm của (1.1) thỏa mãn







x0,i = αi, y0,i = βi,

sẽ vét cạn hết nghiệm của phương trình pell tổng quát (1.8)

Phương trình này có nghiệm dương nhỏ nhất là (a, b) = (9,4) Khi đó:

Trong các thành tựu của số học thì phương trình Pell là một phươngtrình nổi tiếng và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán số họchay và khó Phương trình Pell thường được ứng dụng trong việc giải cácbài toán số học khác Chúng tôi xin trích dẫn một số bài toán trong các

đề thi học sinh giỏi và một số bài toán hay khác mà phương trình Pellđược dùng như một công cụ để giải quyết.

Bài toán 1: Cho hai dãy số {xn} và {yn} xác định như sau:

x0 = 0; x1 = 1; xn+1 = 4xn − xn−1,

y0 = 1; y1 = 2; yn+1 = 4yn− yn−1.Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có yn2 = 3x2n+ 1

Giải Xét phương trình Pell loại 1: X2 − 3Y2 = 1 phương trình này

có nghiệm nhỏ nhất là (2; 1) nên tất cả các nghiệm của phương trình là(Xn; Yn) sao cho:

X0 = 1; X1 = 2; Xn+1 = 4Xn− Xn−1,

Y0 = 0; Y1 = 1; Yn+1 = 4Yn− Yn−1

Do đó Xn = yn; Yn = xn hay (xn; yn) là nghiệm của phương trình Pell

Bài toán 2: (VMO 1999) Cho hai dãy số {xn} và {yn} xác định nhưsau:

x0 = 1; x1 = 4; xn+2 = 3xn+1 − xn,

y0 = 1; y1 = 2; yn+2 = 3yn+1− yn.Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 − 5b2 + 4 = 0, chứngminh rằng tồn tại số tự nhiên k để xk = a, yk = b

Giải Xét phương trình Pell

Số nguyên dương β lớn nhất thỏa mãn β2 ≤ 4.81

5 =

324

5 là β = 8 Xétphương trình (1.11)

x2 − 5y2 = −4

Nếu y = 1 ⇒ x = 1; y = 2 ⇒ x = 4; y = 3; 4; 7; 8, thì (1.11) khôngdẫn đến x nguyên; y = 5 ⇒ x = 11

Như thế bằng cách thử trực tiếp nói trên ta thấy có ba nghiệm(1.1); (4, 2); (11, 5) của phương trình (1.11) mà thỏa mãn điều kiện:

Do đó, ba dãy nghiệm vét hết tất cả các nghiệm của phương trình Pell(1.11) ba dãy nghiệm

Phương trình đặc trưng của các dãy số {xn} và {yn} là

X2 − 3X + 1 = 0 có hai nghiệm X = 3 ±

√5

2 .Nên

xn = x3m+r = α 3 −

√52

!3m+r

+ β 3 +

√52

!3m+r

= α 3 −

√52

√52

Đặt um = x3m+r ta có dãy {um} có phương trình đặc trưng có hai nghiệm

là 9 ± 4√

5 nên:

um+1 = 18um − um−1.Suy ra

Thế (a), (b) vào (c) suy ra: xm+1,i = 18xm,i − xm−1,i và ym+1,i = 18ym,i−

Do đó luôn tồn tại k để xk = a; yk = b Bài toán 3 Tìm tất cả các số nguyên dương T sao cho số tam giác

T (T + 1)

2 là một số chính phương.

Giải Ta có:

T (T + 1) = 2y2 ⇒ 4T2 + 4T + 1 = 8y2 + 1 ⇒ (2T + 1)2 − 8y2 = 1.Đặt x = 2T + 1, suy ra (x, y) là nghiệm của phương trình

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.15) là (3;1) Do đó nghiệm củaphương trình (1.15) là dãy (xn) xác định bởi

x0 = 1; x1 = 3, xn+2 = 6xn+1 − xn.Khi đó với xn = 2Tn+ 1 ta có 2Tn+2+ 1 = 6(2Tn+1 + 1) − (2Tn+ 1)

Từ đó dãy (Tn) xác định bởi

T0 = 0, T1 = 1, Tn+2 = 6Tn+1− Tn + 2,

là dãy cần tìm Đó là các số 1, 8, 49, 288, Bài toán 4 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho trung bình cộngcủa n số chính phương đầu tiên lại là một số chính phương

x0 = 1, x1 = 7, xn+2 = 14xn+1− xn.Bằng qui nạp dễ thấy rằng với n chẵn thì xk ≡ 1(mod4), với n lẻ thì

uk+2 = 194uk+1 − uk

Do đó,

4nk+2 + 3 = 194(4nk+1 + 3) − 4nk − 3

Từ đó,

nk+2 = 194nk+1 − nk + 144,với n0 = 1, n1 = 337, n2 = 65521, Như vậy, trong Chương 1 tác giả đã trình bày được định nghĩa, điềukiện tồn tại nghiệm, phương pháp giải của các phương trình Pell loại 1,loại 2 và phương trình Pell dạng tổng quát Đồng thời các ứng dụng củaphương trình Pell cũng được trình bày ở phần cuối chương này

d(x) = xn+ an−1xn−1 + + a1x + a0,

thì phép biến đổi x 7→ x − an−1

n cho phép giả sử không mất tính tổngquát rằng an−1 bằng không Một đa thức bậc n là trung tâm (centered)nếu hệ số của xn−1 là bằng không Chúng ta giả sử rằng d(x) là đa thứctrung tâm

Bổ đề sau đây đảm bảo rằng không mất tính tổng quát khi thay thế

vế phải của (2.1) với 1

Bổ đề 2.1.1 Tồn tại một nghiệm f (x), g(x), c của phương trình (2.1)nếu và chỉ nếu nó có một nghiệm là ˜f (x), ˜g(x), 1

Chứng minh Giả sử rằng tồn tại c ∈ K× và các đa thức f (x) và g(x)trong K[x] sao cho f (x)2−d(x)g(x)2 = c Đặt ˜f (x) = 1

Có hai phương pháp chính để tìm nghiệm không tầm thường của(2.2) Phương pháp tiếp cận đầu tiên liên quan đến việc sử dụng liênphân số Dưới đây chúng tôi trình bày một số định nghĩa liên quan đến

mở mộng của liên phân số

Trước tiên, ta có thể mở rộng các phần tử của K((x−1)) vào các liênphân số, có rất nhiều tính chất đẹp được sở hữu bởi liên phân số trong

bnxn ∈ K[x]

Khi đó chúng ta có dạng liên phân số của f (x) như sau

Từ nhận xét nên ta xét phương trình (1.4) với giả thiết d

là số nguyên lớn khơng số phương Phương trình( 1.4) với điều kiện gọi phương trình Pell. .. thành tựu số học phương trình Pell phươngtrình tiếng có nhiều ứng dụng việc giải tốn số họchay khó Phương trình Pell thường ứng dụng việc giải cácbài toán số học khác Chúng tơi xin trích dẫn số tốn... hệ phương trình có nghiệm ngundương (x1, y1) nghiệm nhỏ phương trình cho

và tập nghiệm cho hệ thức (1.5) với n lẻ Chú ý

hệ phương trình (1.7) tương đương với