b Tìm các giá trị của m để đường thẳng d :y=2x m− cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A, B nằm về hai nhánh khác nhau của C.. Cho hai đường thẳng d d song song với nhau.. Cứ 3 điểm khôn
Trang 1SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 LỚP 12
MÔN: Toán – Khối A, A1
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( ID: 81273) (2,5 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( )d :y=2x m− cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B nằm về hai nhánh khác nhau của (C)
Câu 2 ( ID: 81274) (1,5 điểm) Giải phương trình: sin 1 8cos( ) cos 3 3
2
x + x = x− π
Câu 3 ( ID: 81275 )(1,0 điểm) Cho hai đường thẳng d d song song với nhau Trên đường1, 2 thẳng d có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng 1 d có n điểm phân biệt2 (n N n∈ , ≥2) Cứ 3 điểm không thẳng hàng trong số các điểm nói trên lập thành một tam giác Biết rằng có 2800 tam giác được lập theo cách như vậy Tìm n?
Câu 4 ( ID: 81276 ) (1,0 điểm).Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy là tam giác đều ' ' ' cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60 Gọi M là trung điểm cạnh BC và I là trung điểm0 của AM Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy ' ' 'A B C là trọng tâm G của ∆A B C' ' ' Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
Câu 5 ( ID: 81277 ) (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x∈0;1+ 3
Câu 6 ( ID: 81281 ) (1,0 điểm)Cho ABC∆ có trung điểm cạnh BC là M(3; 1− ), đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B đi qua điểm E(− −1; 3) và đường thẳng chứa AC đi qua điểm F( )1;3 .
Điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ là điểm D(4; 2− ) Tìm tọa độ
các đỉnh của ABC∆
Câu 7 ( ID: 81283 ) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
Câu 8 ( ID: 81284 ) (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 4 23 2
f x
=
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… ; Số báo danh: ………
Trang 2Đáp án và thang điểm Câu 1: (2,5 điểm)
a)
+) Tập xác định: D=R/ 1{ }
Ta có: ( )2
3
1
x
−
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)
Hàm số không có cực trị (0.25 đ)
+) Tính limx→−∞y=xlim→+∞y=2 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 là đường tiệm cận ngang.
Tính limx→1− y= −∞; limx→1+ y= +∞ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là đường tiệm cận đứng.
(0.25 đ)
+) Bảng biến thiên: (0.25 đ)
b) +) Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )d :y=2x m− và (C):
( )
1
x
x m
−
Trang 3Với mọi x≠1, phương trình ( )1 ⇔2x2−(m+4)x m+ − =1 0 2( ) (0.25 đ)
+) Để ( )d :y=2x m− cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm về hai nhánh khác nhau của (C) thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1, 2 x1< <1 x2 (0.25đ) +) Đặt f x( ) =2x2−(m+4)x m+ −1
Yêu cầu bài toán ⇔2f ( )1 <0 (0.25 đ)
+) Biến đổi 2.f x1( ) < ⇔0 f ( )1 < ⇔0 2.1−(m+ + − <4) m 1 0
Kết luận: Với mọi giá trị thực của m đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán (0.25 đ)
Câu 2 (1,5 điểm)
Ta có: sin 1 8cos( ) cos 3 3 sin 8sin cos sin 3( 2 )
2
x + x = x− π ⇔ x+ x x= − x− π
sinx 4sin 2x sin 3x sinx sin 3x 4sin 2x 0
2sin 2 cosx x 4sin 2x 0 2sin 2 cosx x 2 0
( )
( )
sin 2 0 1
cos 2 0 2
x
x
=
+ =
Giải (1) cho ;
2
k
x= π k∈Z ; còn (2) vô nghiệm
Kết luận phương trình có nghiệm: ;
2
k
x= π k∈Z
(0.25đ)
Câu 3 (1 điểm)
Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d , 2 đỉnh thuộc1 d là: 2 1 2
10 n
Số tam giác có 2 đỉnh thuộc d , 1 đỉnh thuộc 1 d là: 2 2 1
10 n
Theo giả thiết: C C101 n2+C C102 1n =2800 (0.25đ)
2 !2! 2!8! 1 !
28
n
n
=
Kết luận: n=20
Câu 4 (1 điểm)
+)Hình vẽ:
Trang 4Gọi M’ là trung điểm của ' ';B C K∈A M' ' sao cho 'A K =KG GM= '
Kẻ AH ⊥A M H' '; ∈A M' ' (0.25đ)
+) Ta có AHGI là hình bình hành nên IG=AH
Hơn nữa AM = A M' ' , I là trung điểm của AM, G là trọng tâm của ∆A B C' ' '
Nên H là trung điểm của ' ' 1 ' '
6
+) Ta có:
2 ' ' '
; ' ' A'H
A B C
' tan 60 3
+) Từ đó:
' ' ' ' ' '
ABC A B C A B C
Câu 5 (1 điểm)
Đặt t= x2−2x+2 do x∈0;1+ 3 nên t∈[ ]1; 2 (0.25đ)
Bất phương trình tương đương với:
1
t m t
−
≤
Khảo sát hàm số g t( ) t2 12
t
−
= + với t∈[ ]1; 2
Ta có: ( ) 2( )2
1
g t
t
+ +
+ Vậy g t( ) t2 12
t
−
= + đồng biến trên [ ]1; 2 (0.25)
Và do đó: max ( ) ( )2 2
3
g x =g =
Trang 5Từ đó:
1
t
m
t
−
≤
+ có nghiệm [ ]1; 2 max[ ]1;2 ( ) ( )2 2
3
t
∈
Kết luận: 2
3
m≤
Câu 6 (1 điểm)
Hình vẽ:
+ Gọi H là trực tâm ABC∆ thì có: BHCD là hình bình hành, nên M là trung điểm HD
( )2;0
H
⇒
BH chứa E(− −1; 3) nên ( ): 2 0 ( ): 2 0
+ Do DC/ /BH và D(4; 2− ) thuộc DC nên (DC x y): − − =6 0 (0.25đ)
Do BH ⊥ AC và F( )1;3 thuộc AC nên ( )AC x y: + − =4 0
+ Do C =AC∩DC nên tọa độ C là nghiệm của hệ 6 0
4 0
x y
x y
− − =
+ − =
Tìm được C(5; 1− ) (0.25đ)
(3; 1)
M − là trung điểm của BC nên B(1; 1− ⇒) uuurBC=( )4;0
+ Do H là trực tâm ABC∆ nên AH ⊥BC⇒(AH):x− =2 0
Do A AH= ∩AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ 2 0 ( )2; 2
4 0
x
A
x y
− =
+ − =
Kết luận: A( ) (2; 2 ;B 1; 1 ,− ) (C 5; 1− )
Câu 7 (1 điểm)
Trang 6+ Điều kiện:
2
2
0
2 0
x
y x
≥
− ≥
(0.25đ)
+ Khi đó:
⇔ − = + với hàm số f t( ) = −t3 3t
+ Xét hàm số f t( ) = −t3 3t với t∈ +∞[1; ) có f t'( ) =3t2− =3 3(t2− ≥1) 0
Hàm số f t( ) = −t3 3t đồng biến trên [1;+∞) (0.25đ) Nên từ f x( − =1) f ( y+ ⇒ − =3) x 1 y+ ⇔ − =3 x 2 y+ −3 1
+ Từ 3 x− =2 y2+8y⇒9(x− =2) y2+8y⇔9( y+ − =3 1) y2+8y
2
9 y 3 y 8y 9
Với điều kiện y≥0, bình phương 2 vế của phương trình trên và biến đổi thành:
Suy ra y=1 và x=3
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất 3
1
x y
=
=
Câu 8 (1 điểm)
Tập xác định: D=R (0.25đ)
Ta có: ( ) 2
2
1
− + ; Chỉ ra 2 ( )2
Theo BĐT Cauchy: ( ) 2
2
1
Đẳng thức xảy ra 2
Vậy min f x( ) =2 đạt được khi x=1
