a Chứng minh tam giác ABC đều.. tính diện tích tam giác ABC b Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng sao cho thể tích tứ diện D.ABC bằng 3... Lấy ngẫu nhiên hai số trong các số vừa lập.
Trang 1TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 1
2
x m y
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp điểm có tung độ y = 3
c) Tìm các giá trị m # 3 để hàm số (1) đồng biến trên các khoảng xác định của nó
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho sin 1
3
với
2
Tính tan 7
2
b) Giải bất phương trình 8.3 x x 9 x x 1 1x R
Câu 3(1,0 điểm) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x , trục hoành và1 hai đường thẳng: xln 3,xln 8
Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thoi cạnh a,
600
BAD và AC' 2 a Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm cả A C' và OC' Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng EBD
Câu 5 (1,0 điểm) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC, gọi E, F lần lượt là hình
chiều của các đỉnh B, C lên các cạnh AC, AB Các đưởng thẳng BC và EF lần lượt có phương trình BC x: 4y12 0, EF:8x49y 6 0 , trung điểm I của EF nằm trên đường thẳng
:x 12y 0
tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết BC 2 17 và đỉnh B có hoành độ âm
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;0 , B5; 3;1 , C2; 3; 4
và đường thẳng : 1 2
a) Chứng minh tam giác ABC đều tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng sao cho thể tích tứ diện D.ABC bằng 3
Câu 7 (1,0 điểm)
Trang 2a) Giải phương trình : 3x 2 2x 1 x 1x R
b) Từ tập E 1; 2;3;4;5 , lập các số tự nhiên có ba chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số trong các số vừa lập Tính xác suất để trong hai số lấy ra có ít nhất một số có đúng hai chữ số phân biệt
Câu 8 (1,0 điểm) tìm số phức z biết: z 3 i2 6z 3 i13 0
Câu 9 (1,0 điểm) cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 1 a b c 6 Tìm giá trị lớn nhất của: Pa22 b22 c22
Trang 3ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu 1 (2 điểm)
a.(1,0 điểm)
+ Tập xác định: D R \ 2
+ Sự biến thiên:
Đạo hàm
2
2
x
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2 ; 2; (0,25 đ)
Giới hạn:
lim lim 2
x y x y
, nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thi C 1
lim ; lim
, nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị C 1 (0,25 đ)
Bảng biến thiên:
(0,25 đ)
Đồ thị: đồ thị hàm số giao nhận điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
Điểm đặc biệt:
Trang 4(0,25 đ)
b.(0,5 điểm)
Ta có: 3 4; ' 4 1
2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4;3);
c.(0,25 đ)
Ta có:
3 '
2
m y
x
; tập xác định D R \ 2 (0,25 đ)
Với m 3, hàm số đồng biến trên các khoản ; 2 và 2; khi và chỉ khi
' 0, # 2 3
Câu 2(1,0 điểm)
a.(0,5 điểm)
Ta có: sin 1 sin 1
Do
2
nên cos 0 cos 1 1 2 2
b.(0,25 điểm)
Điều kiện: x 0
Trang 5Bất phương trình tương đương với 8.3 x x 9 3 x x 2 1 0
Đặt t 3 x x ,t 0
, ta có: 9t28 1 0t
9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T 0; 4
Câu 3 (1,0 điểm)
Diện tích hình phẳng cần tìm là : ln8 ln8
ln 3 ln3 x 1
1
t
Đổi cận: xln 3 t2,xln 8 t3
Khi đó:
2
2
2
t
t
t
t
Câu 4 (1,0 điểm)
ABD
có :ABAD a BAD , 600 nên ABD đều,
Trang 6Suy ra 3 3; '
2
a
2
ABCD
a
2
ABCD A B C D ABCD
a
Vẽ CH OC H OC' ' 1
'
BD OC
BD CC
Từ (1) và (2) ta có: CH EBD nên d C EBD , CH
AC cắt (EBD) tại O và O là trung điểm của AC
2
3
7
4
a a
a
0,25 đ
Câu 5 (1,0 điểm)
Vì I thuộc nên I12 ;m m , mà I thuộc EF nên ta có 6
145
m suy ra 72 ; 6
145 145
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với EF, ta có : 49d x 8y 24 0
Đường thẳng d cắt BC tại trung điểm M của BC, do vậy M0; 3
Ta có BM 17,B b4 12; ,b BM 4b122b32 nên ta có phương trình:
Trang 7
4 4; 4
0.25 đ
Chọn B4; 4 C4; 2
Lấy ;6 8
49
e
E e
, ta có: BE EC , Do vậy . 0 16; 2
5 5
E
và 64 14;
29 29
hoặc 16; 2
5 5
F
;
64 14
;
29 29
Với 16; 2
5 5
E
và 64 14;
29 29
Ta có BE x: 2y 4 0, CF: 2x5y 1 0 Suy ra 16; 10
(loại vì AB AC 0 cosAB AC 0 A900 0,25 đ
Với 64 14;
29 29
và 16; 2
5 5
F
Ta có BE: 5x 2y12 0; CF: 2x y 6 0 Suy ra A(0;6) (thỏa mãn)
Vậy A0;6 , B4; 4 , C4; 2 0,25 đ Câu 6 (1,0 điểm)
a.(0,5 điểm)
ta có: AB BC AC3 2 nên tam giác ABC đểu 0,25 đ
diện tích tam giác ABC là : 3 2 32 9 3
b.(0,5 điểm)
v
S
4; 1;1 ; 1; 1;4 ; 3;15;3
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:x 5y z 9 0
Vì D nên D 1 ; ; 2t t t
6
t t
Trang 8Vậy có hai điểm D thỏa mãn điều kiện bài toán D 3;2;4 hoặc D 6; 7;8
Câu 7(1,0 điểm)
a.(0,5 điểm)
Điều kiện: 1
2
x
Với điều kiện đó, ta có 3x 2 2x 1 x 1
3x 2 2x 1 3x 2 2x 1 3x 2 2x 1
3x 2 2x 1 1 do 3x 2 2x 1 0
3x 2 2x 1 1
3x 2 2x 1 1 2 2x 1
2
0
8 4 0
x
4 2 5
x
Vậy phương trình có nghiệm là
b.(0,5 điểm)2i
Từ tập hợp E 1; 2;3;4;5 ta có thể lập được 3
5 125 số có 3 chữ số chọn 2 số từ 125 số ở trên có 2
125
C cách.
Gọi A là biến cố “hai số được chọn có ít nhất một số có đúng hai chữ số phân biệt”
Trong 125 số trên có 2
5.6 60
C số có ba chữ số trong đó có đúng hai chứ sô phân biệt do vật
60 60.65
A
Vậy xác suất cần tìm là:
2 60 2 125
60.65 567
0,73 775
C P
C
Câu 8(1,0 điểm)
Đặt t z 3 i , phương trình trở thành :t2 6 13 0t 0,25 đ
Ta có ' 4 4 , ' i2 có hai căn bậc hai là 2i 0,25 đ
Phương trình trên có hai nghiệm phức là t 3 2i hoặc t 3 2i 0,25 đ
Do vậy z 3 i 3 2ihoặc z 3 i 3 2i 0,25 đ
Trang 9Vật zi hoặc z3i
Câu 9 (1,0 điểm)
Không mất tổng quát có thể giả sử a b c
Suy ra 6 a b c c c c
Suy ra c2;a b 4
Ta chứng minh bất đẳng thức
2 2
2
a b
0,25 đ
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
4
16
a b
16 a b a b a b 4ab
Bất đẳng thức cuối cùng đúng bởi vì a b 2 42 16
Đặt
2
a b
x ta có:
Vì c 1 nên ta có 2 6 5
2
x c x
Hơn nữa 2x a b 4 nên ta có 2;5
2
x
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của:
2
2
f x x
Nhưng f 2 216 nên f x đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=2
Vậy ta có a22 b22 c22 216 , hay P đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ
