Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)

Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)Về chứng minh giả thuyết Erdos-Szekers cho trường hợp n=6 (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG MINH HIẾU

VỀ CHỨNG MINH GIẢ THUYẾT ERD ö S-SZEKERES

CHO TRƯỜNG HỢP n  6

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

T N n - 2016

VỀ CHỨNG MINH GIẢ THUYẾT ERDöS-SZEKERES

i

Mục lục

Mục lục i

Danh mục hình ii

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Tổng quan về giả thuyết Erdös-Szekeres 3

1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres 3

Chương 2: Chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho trường hợp n  6 29 2.1 Chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho n  6 trong một trường hợp riêng 30

2.2 Chứng minh bằng máy tính giả thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp n  6 51 2.2.1 Tổ hợp lồi 51

2.2.2 Chứng minh bằng máy tính giả thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp 5 n  55

2.2.3.Chứng minh bằng máy tính giả thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp 6 n  60

Kết luận 65

Tài liệu tham khảo 66

Hình 1.3c: Các ngũ giác ADCNQ, ADCNP, ACDNM không lồi 7

Hình 1.3d: Các ngũ giác BCDMN, BCDMP, BCDMQ không lồi 7

Hình 1.4a: Các ngũ giác ABCPM, ABCPN không lồi 8

Hình 1.4b: Các ngũ giác DABQM, DABQN không lồi 8

Hình 1.4c: Các ngũ giác ADCMP, ADCMQ không lồi 9

Hình 1.4d: Các ngũ giác BCDNP, BCDNQ không lồi 9

Hình 1.5: Các ngũ giác ABCMN, ABDMN, BCDPQ không lồi 10

Hình 1.6a: Các ngũ giác ABPQM, ABPQN không lồi 10

Hình 1.6b: Các ngũ giác BCQMN BCQMP không lồi 10

Hình 1.6c: Các ngũ giác CDMNP, CDMNQ không lồi 11

Hình 1.6d: Các ngũ giác CDMNP, CDMNQ không lồi 11

Hình 1.7a: Các ngũ giác ANCQM, ANCQP không là các ngũ giác lồi 11

Hình 1.7b: Các ngũ giác ANCQM, ANCQP không là các ngũ giác lồi 12

Hình 1.8a: Các ngũ giác ANQDM, AMPDQ không lồi 12

Hình 1.8b: Các ngũ giác ANQDM, AMPDQ không lồi 13

Hình 1.9a: Các ngũ giác ANQDM, AMPDQ không lồi 13

Hình 1.9b: Các ngũ giác BQDMN, BPDNQ không lồi 14

iii

Hình 1.10a: Các ngũ giác ANPQM, BPQMN không lồi 14

Hình 1.10b: Các ngũ giác CQMNP, DMNPQ không lồi 15

Hình 1.11a: Các ngũ giác ABCMN, ABDMN không lồi 15

Hình 1.11b: Các ngũ giác BCDPQ, ACDPQ không lồi 16

Hình 1.12a: Các ngũ giác ABQMN, ABPMN không lồi 16

Hình 1.12b: Các ngũ giác CDNPQ, CDMPQ không lồi 17

Hình 1.13a: Cấu hình (9;0) 18

Hình 1.13b: Cấu hình (8;1) 18

Hình 1.13c: Cấu hình (7;2) 18

Hình 1.14a: Cấu hình (6;3) 18

Hình 1.14b: Cấu hình (5;4) 18

Hình 1.14c: Cấu hình (4;5) 18

Hình 1.15a: Cấu hình (4;4;1) 18

Hình 1.15b: Cấu hình (4;3;2) 18

Hình 1.16a: Cấu hình (3;6) 19

Hình 1.16b: Cấu hình (3;5;1) 19

Hình 1.17a: Cấu hình (3;4;2) 19

Hình 1.17b: Cấu hình (3;3;3) 19

Hình 1.18 20

Hình 1.19 21

Hình 1.20 22

Hình 1.21 24

Hình 1.22 25

Hình 2.6 41

Hình 2.7 43

Hình 2.8 44

Hình 2.9 45

Hình 2.10 46

Hình 2.11 47

Hình 2.12 48

Hình 2.13 50

1

LỜI MỞ ĐẦU

Năm 1932, Esther Klein đã có nhận xét sau đây:

Từ năm điểm bất kì cho trước trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không

có ba điểm nào thẳng hàng), bao giờ cũng tìm được bốn điểm tạo thành tứ giác lồi

Esther Klein cũng đặt bài toán:

trên mặt phẳng là bao nhiêu để có thể từ đó lấy ra n điểm là đỉnh của đa giác lồi

n cạnh?

Năm 1935, Paul Erdös và György Szekeres [7] đã phát biểu:

Giả thuyết Erdös–Szekeres (1935, [7]) Với mỗi số tự nhiên n3, mọi

(không có ba điểm nào thẳng hàng), đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác

lồi n cạnh

Giả thuyết Erdös–Szekeres cũng được gọi là Bài toán Erdös–Szekeres

Mặc dù giả thuyết Erdös–Szekeres đã được phát biểu cách đây 80 năm, nhưng mới chỉ có câu trả lời khẳng định cho ba trường hợp: n4 (E Klein,

1932, [6]); n5(Đoàn Hữu Dũng, 1967, [1]; Kalbfleisch J D., Kalbfleisch

J G., and Stanton R G , 1970, [9] ; Bonice, 1974, [2], ) và n6 (G Szekeres and L Peters, 2006, [14], chứng minh bằng máy tính; K Dehnhardt, H Harborth, and Z Lángi, 2009, [5] cho một trường hợp riêng)

Luận văn Về chứng minh giả thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp

6

n có mục đích chính là trình bày chứng minh giả thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp n6,dựa trên hai bài báo [5] và [14]

giả thuyết Erdös-Szekeres (theo bài báo [14]) cho trường hợp n5 và n6.Luận văn của tác giả được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS Tạ Duy Phượng, người đã tận tình giúp

đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tâm giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Phổ thông Dân tộc bán trú Trung học Cơ sở Trung Hà, nơi tác giả đang công tác, các đồng nghiệp, gia đình, bạn bè đã động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện trong quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này

Tuyên Quang, ngày 25.5.2016

Tác giả

Hoàng Minh Hiếu

3

Chương 1

Tổng quan về giả thuyết Erdös-Szekeres

Cho X là tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng Ta nói các điểm của X

thẳng hàng Tập các điểm Y X được gọi là ở vị trí lồi (in convex position)

nếu Y là các đỉnh của đa giác lồi Bao lồi của tập X (convX ) là tập lồi nhỏ nhất chứa X (là giao của tất cả các tập lồi chứa X )

Chương này trình bày tổng quan về giả thuyết Erdös-Szekeres và chứng minh công thức 2

ES( )n 2n 1 với n4,5 với tập điểm bất kỳ ở vị trí tổng quát trong mặt phẳng

1.1 Giả thuyết Erdös-Szekeres

Năm 1932, bằng cách lấy bao lồi của năm điểm, Esther Klein đã chứng minh một nhận xét đơn giản sau đây

Định lí 1.1 (E Klein, 1932) Với năm điểm bất kì cho trước trên mặt phẳng ở

vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng), bao giờ ta cũng tìm được bốn điểm tạo thành tứ giác lồi

1a) 1b) 1c)

Hình 1.1: Mọi tập năm điểm ở vị trí tổng quát luôn tồn tại bốn điểm

là đỉnh của một tứ giác lồi

nằm bên ngoài tứ giác) Ta gọi các tứ giác lồi này là tứ giác lồi rỗng

Ngoài ra, ta có tất cả 3

5 10

C  tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B,

C, D, E (ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE) Và tất

cả các tam giác này đều là các tam giác rỗng

Trường hợp thứ hai (Hình 1b) Bao lồi là một tứ giác chứa một điểm còn lại

ở bên trong Trong trường hợp này ta có một tứ giác lồi (kí hiệu là ABCD) chứa một điểm E ở bên trong Tứ giác ABCD (chỉ chứa đúng một điểm E ở

bên trong) được gọi là tứ giác gần rỗng Vì không có ba điểm nào thẳng hàng

nên E phải nằm về cùng phía với B (hoặc với D) của đường thẳng AC Do đó

ta có tứ giác AECD (hoặc ABCE) là tứ giác lồi rỗng, còn tứ giác ABCE (hoặc tương ứng AECD) là tứ giác lõm Tương tự, điểm E phải nằm cùng phía với A (hoặc với C) của đường chéo BD Khi ấy tứ giác BEDC (hoặc tứ giác ABED)

là tứ giác lồi rỗng và tứ giác ABED (hoặc tứ giác BCDE) là tứ giác lõm Như

vậy, trong Trường hợp 2 ta có hai tứ giác lồi rỗng, một tứ giác lồi gần rỗng và hai tứ giác lõm

Ngoài ra, trong trường hợp này, ta có tất cả 10 tam giác được tạo thành

từ năm điểm A, B, C, D, E Đó là các tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Trong đó tất cả 6 tam giác có đỉnh E đều là

tam giác rỗng (không chứa hai điểm còn lại bên trong) Vì khi kẻ đường

chéo AC (hoặc BD) của tứ giác lồi ABCD thì do các điểm không thẳng hàng

5

nên E phải nằm trong một trong hai tam giác ABC hoặc ACD (ABD hoặc BCD) Như vậy ta có hai tam giác gần rỗng (chứa điểm E) và thêm hai tam

giác rỗng nữa

Trường hợp thứ ba (Hình 1c) Bao lồi chứa ba điểm tạo thành tam giác, thí

dụ, ABC Hai điểm còn lại E và D nằm bên trong tam giác Do không có ba điểm nào thẳng hàng (các điểm ở vị trí tổng quát) nên hai điểm E và D xác

định một đường thẳng chia mặt phẳng tam giác thành hai phần sao cho có hai

đỉnh của tam giác ABC, thí dụ, A và B, nằm trên cùng một nửa mặt phẳng mở Hai điểm E và D cùng với A và B tạo thành một tứ giác lồi rỗng ABDE Tứ giác này là tứ giác lồi duy nhất Bốn tứ giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE

còn lại là các tứ giác lõm

Ngoài ra, ta có tất cả 10 tam giác được tạo thành từ năm điểm A, B, C, D,

E Đó là các tam giác: ABC (chứa hai điểm bên trong), ACD và BEC chứa một điểm bên trong (tam giác gần rỗng) Bảy tam giác còn lại ABD, ABE, ACE, ADE, BCD, BDE, CDE là các tam giác rỗng

Việc tính số tam giác, số tứ giác lồi rỗng trong các trường hợp cụ thể trên gợi ý tìm ra hoặc kiểm tra các hệ thức quan hệ giữa số các đa giác lồi

rỗng k đỉnh T k n ,  , k3, 4, ,n trong một tập hợp n điểm

Với n5, trước tiên ta có nhận xét sau

Nhận xét 1.1 (E Makai, xem [6]) Tồn tại tám điểm trên mặt phẳng ở vị trí

tổng quát mà không có năm điểm nào trong số đó tạo thành ngũ giác lồi

Dưới đây chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa rõ nhận xét này

Thí dụ 1.1 Xét tám điểm trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1.2) với

(0,8); (8,8); (8,0); (0,0)

A B C D và M(3,6);N(5,6); (5,1); (3,1).P D

Tám điểm này ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng)

Vì các điểm M, N, P, Q nằm trong hình vuông ABCD nên các ngũ giác ABCDM, ABCDN, ABCDP, ABCDQ không là các ngũ giác lồi (Hình 1.2a)

Hình 1.2: Các ngũ giác ABCDM, ABCDN, ABCDP, ABCDQ không lồi

Vì các điểm M, N, P nằm trong tứ giác ABCQ nên các ngũ giác ABCQM, ABCQN, ABCQP không là các ngũ giác lồi (Hình 1.3a)

Hình 1.3a: Các ngũ giác ABCQM, ABCQN, ABCQP không là các ngũ giác lồi

7

Hoàn toàn tương tự, do tính đối xứng, các ngũ giác ABDPM, ABDPN, ABDPQ không là các ngũ giác lồi (Hình 1.3b)

Hình 1.3b: Các ngũ giác ABDPM, ABDPN, ABDPQ không lồi

Hoàn toàn tương tự, do tính đối xứng, các ngũ giác ADCNQ, ADCNP, ACDNM không là các ngũ giác lồi (Hình 1.3c)

Hình 1.3c: Các ngũ giác ADCNQ, ADCNP, ACDNM không lồi

Hoàn toàn tương tự, do tính đối xứng, các ngũ giác BCDMN, BCDMP, BCDMQ không là các ngũ giác lồi (Hình 1.3d)

Hình 1.3d: Các ngũ giác BCDMN, BCDMP, BCDMQ không lồi

Hình 1.4a: Các ngũ giác ABCPM, ABCPN không lồi

Hoàn toàn tương tự, các ngũ giác DABQM, DABQN không lồi (Hình 1.4b)

Hình 1.4b: Các ngũ giác DABQM, DABQN không lồi

9

Hoàn toàn tương tự, các ngũ giác ADCMP, ADCMQ không lồi (Hình 1.4c)

Hình 1.4c: Các ngũ giác ADCMP, ADCMQ không lồi

Hoàn toàn tương tự, các ngũ giác BCDNP, BCDNQ không lồi (Hình 1.4d)

Hình 1.4d: Các ngũ giác BCDNP, BCDNQ không lồi

Vì các điểm M, N nằm trong các tam giác ABC và ABD, các điểm P, Q nằm trong tam giác BCD nên các ngũ giác ABCMN, ABDMN, BCDPQ không là

các ngũ giác lồi (Hình 1.5)

Vì các điểm M, N nằm trong tứ giác ABPQ ; các điểm N, P nằm trong tứ giác BCQM ; các điểm P, Q nằm trong tứ giác CDMN; các điểm M, Q nằm trong

tứ giác ADPN nên các ngũ giác ABPQM, ABPQN, BCQMP, BCQMD, CDMNP, CDMNQ, ADPNM, ADPNQ không là các ngũ giác lồi (Hình 1.6)

Hình 1.6a: Các ngũ giác ABPQM, ABPQN không lồi

Hình 1.6b: Các ngũ giác BCQMN BCQMP không lồi

11

Hình 1.6c: Các ngũ giác CDMNP, CDMNQ không lồi

Hình 1.6d: Các ngũ giác CDMNP, CDMNQ không lồi

Vì các điểm M, P nằm trong tứ giác ANCQ; các điểm N, Q nằm trong tứ giác BMDP nên các ngũ giác ANCQM, ANCQP, BMDPN, BMDPQ, không là các

ngũ giác lồi (Hình 1.7)

Hình 1.7a: Các ngũ giác ANCQM, ANCQP không là các ngũ giác lồi

Hình 1.7b: Các ngũ giác ANCQM, ANCQP không là các ngũ giác lồi

Vì điểm M nằm trong tứ giác ANQD; điểm Q nằm trong tứ giác AMPD, điểm N nằm trong tứ giác BCPM; điểm P nằm trong tứ giác BCQN, nên các ngũ giác ANQDM, AMPDQ, BCPMN, BCQNP, không lồi (Hình 1.8)

Hình 1.8a: Các ngũ giác ANQDM, AMPDQ không lồi

13

Hình 1.8b: Các ngũ giác ANQDM, AMPDQ không lồi

Vì điểm M nằm trong tứ giác ANCP; điểm P nằm trong tứ giác AMCQ, điểm N nằm trong tứ giác BQDM; điểm Q nằm trong tứ giác BPDN, nên các ngũ giác ANCQM, AMCQP, BQDMN, BPDNQ, không phải là các ngũ giác

lồi (Hình 1.9)

Hình 1.9a: Các ngũ giác ANQDM, AMPDQ không lồi

Hình 1.9b: Các ngũ giác BQDMN, BPDNQ không lồi

Vì điểm M nằm trong tứ giác ANPQ; điểm N nằm trong tứ giác BPQM, điểm P nằm trong tứ giác CNMQ; điểm Q nằm trong tứ giác DPNM, nên các ngũ giác ANPQM, BPQMN, CQMNP, DMNPQ, không phải là các ngũ giác

lồi (Hình 1.10)

Hình 1.10a: Các ngũ giác ANPQM, BPQMN không lồi

15

Hình 1.10b: Các ngũ giác CQMNP, DMNPQ không lồi

Vì các điểm M, N nằm trong các tam giác ABC và ABD, các điểm P, Q nằm trong các tam giác BCD và ACD, nên các ngũ giác ABCMN, ABDMN, BCDPQ, ACDNPQ, không phải là các ngũ giác lồi (Hình 1.11)

Hình 1.11a: Các ngũ giác ABCMN, ABDMN không lồi

Hình 1.11b: Các ngũ giác BCDPQ, ACDPQ không lồi

Vì các điểm M, N nằm trong các tam giác ABQ và ABP, các điểm P, Q nằm trong các tam giác CDM và CDN, nên các ngũ giác ABQMN, ABPMN, CDMPQ, CDNPQ, không phải là các ngũ giác lồi (Hình 1.12)

Hình 1.12a: Các ngũ giác ABQMN, ABPMN không lồi

17

Hình 1.12b: Các ngũ giác CDNPQ, CDMPQ không lồi

Như vậy, từ 8 điểm đã cho không thể lấy ra 5 điểm tạo thành ngũ giác lồi

Định lí 1.2 (Giả thuyết Erdös–Szekeres cho n5) Với chín điểm bất kì ở vị trí

tổng quát trên mặt phẳng (không có ba điểm nào thẳng hàng), bao giờ ta cũng tìm được năm điểm tạo thành ngũ giác lồi

Giả thuyết Erdös–Szekeres đã được Hoàng Chúng giới thiệu trong Toán

được Đoàn Hữu Dũng (khi đó là học sinh lớp 8 toán đặc biệt trường cấp ba

Hùng Vương, Phú Thọ) chứng minh và đăng trong Toán học và Tuổi trẻ số 6

tháng 6, 1967 (xem [1]) Hoàn toàn độc lập với Đoàn Hữu Dũng (nhưng cùng

ý tưởng và phương pháp, chỉ sai khác một chút trong trình bày), công thức này cũng được chứng minh bởi Bonnice năm 1974 (xem [2])

Dưới đây, nhằm mục đích làm sáng tỏ các lập luận và chứng minh trong Chương 2 cho bài toán Erdös–Szekeres với n6, chúng tôi trình bày chứng minh công thức N 5 9, kết hợp cả phương pháp hình học của Đoàn Hữu

Dũng (sử dụng các đa giác lồi bao nhau) và ngôn ngữ cấu hình của Bonnice

Chứng minh Định lí 1.2 (Đoàn Hữu Dũng [1], 1967; Bonnice [2], 1974) Lấy

bao lồi của 9 điểm bất kỳ Gọi mỗi trường hợp (khả năng) có thể xảy ra là một

Hình 1.13a: Cấu hình (9;0) Hình 1.13b: Cấu hình (8;1) Hình 1.13c: Cấu hình (7;2)

Hình 1.14a: Cấu hình (6;3) Hình 1.14b: Cấu hình (5;4) Hình 1.14c: Cấu hình (4;5)

Hình 1.15a: Cấu hình (4;4;1) Hình 1.15b: Cấu hình (4;3;2)

đỉnh đều tạo thành ngũ giác lồi

Trường hợp 2 Cấu hình (8;1): Bao lồi là đa giác lồi 8 đỉnh, một điểm còn lại

nằm trong đa giác Do không có ba điểm nào thẳng hàng nên năm đỉnh bất kì của bao lồi tạo thành ngũ giác lồi (có thể rỗng hoặc chứa một điểm trong)

Trường hợp 3 Cấu hình (7;2): Bao lồi là đa giác lồi 7 đỉnh, hai điểm còn lại

nằm trong đa giác Do không có ba điểm nào thẳng hàng nên năm đỉnh bất kì của bao lồi tạo thành ngũ giác lồi (có thể rỗng, chứa một hoặc hai điểm trong)

Trường hợp 4 Cấu hình (6;3): Bao lồi là đa giác lồi 6 đỉnh, ba điểm còn lại

tạo thành tam giác nằm trong bao lồi Năm đỉnh bất kì của bao lồi tạo thành ngũ giác lồi (có thể rỗng, chứa một, hai điểm hoặc ba điểm trong)

Trường hợp 5 Cấu hình (5;4) hoặc (5;3;1): Bao lồi là ngũ giác lồi, bốn

điểm còn lại nằm trong đa giác Ta có sẵn ngũ giác lồi chứa 4 điểm trong hoặc chứa một tam giác và tam giác ấy chứa một điểm bên trong

(3,3,3) chưa xét Cấu hình (3,3,3) trở về cấu hình (3,3,2) nếu bỏ đi một đỉnh của tam giác trong cùng; Cấu hình (4,3,2) trở về cấu hình (4,3,1), nếu bỏ đi một trong hai điểm trong Cấu hình (4,4,1) trở về cấu hình (4,3,1), nếu bỏ đi một đỉnh của tứ giác trong sao cho ba đỉnh còn lại vẫn chứa một điểm trong Vậy ta chỉ còn phải chứng minh, các cấu hình (3,3,2, (3,4,2) và (4,3,1) chứa ngũ giác lồi

Bổ đề 1.1 Mọi tập  gồm tám điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát có cấu hình (4,3,1) chứa ngũ giác lồi

Chứng minh Bao lồi của  chứa tam

giác ABC Tam giác ABC lại chứa

điểm P bên trong Kẻ các nửa đường

thẳng PA PB PC, , Các nửa đường

thẳng này chia mặt phẳng thành ba

miền lồi đóng: miền (I) giới hạn bởi

hai tia PA và PB; miền (II) giới hạn

bởi hai tia PB và PC ; miền (III) giới

hạn bởi hai tia PC và PA (Hình 1.18)

Hình 1.18

Vì đa giác ngoài là tứ giác gồm bốn đỉnh nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại

ít nhất một miền chứa hai đỉnh, thí dụ miền (I) giới hạn bởi hai tia PA và PB

chứa hai điểm R và Q Khi ấy A,B,P cùng với R và Q tạo thành ngũ giác lồi

Nếu conv có một đỉnh M nằm trong

miền (III) thì nó tạo với các điểm B,F,E,C

một ngũ giác lồi Nếu cả ba đỉnh của tam

giác MNP không nằm trong miền (III) thì

MNP phải có ít nhất hai đỉnh nằm trong miền

(I) hoặc miền (II) (Hình 1.19)

Hình 1.19

Vậy tồn tại ít nhất một miền (I) hoặc (II) chứa hai đỉnh của tam giác bao ngoài

MNP Hai đỉnh này tạo với ba điểm A, F, B (hoặc A, E, C) một ngũ giác lồi

Bổ đề 1.3 Mọi tập  gồm chín điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát có cấu hình (3,4,2) đều chứa ngũ giác lồi

Chứng minh Bao lồi conv của  là tam giác MNP bao tứ giác ABDC chứa hai điểm E, F bên trong Các nửa đường thẳng FA, FB, EC, ED chia mặt phẳng thành bốn miền lồi đóng Nếu có một đỉnh (thí dụ, N) của MNP nằm trong miền (I) giới hạn bởi đoạn thẳng FE và hai tia FA, EC (hoặc nằm trong miền (II) giới hạn bởi đoạn thẳng FE và hai tia FB, ED) thì N cùng với A, F,

E, C (hoặc B, F, E, D) tạo thành một ngũ giác lồi (Hình 1.20)

nằm trong miền (III)

Hình 1.20

Khi ấy A, F, B và T, R tạo thành một ngũ giác lồi (Hình 1.10)

Vì các cấu hình (4,4,1), (4,3,2), (3,4,2) và (3,3,3) qui được về các trường hợp cấu hình (4,3,1), (3,4,2) và (3,3,2) nên ta đã xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra với chín điểm Do đó ta có

Kết luận Từ chín điểm bất kì trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát luôn có thể

chọn ra năm điểm tạo thành ngũ giác lồi

Nhận xét 1.2 Có trường hợp từ tứ giác ABCD chứa hai điểm E,F bên trong

không có tam giác nào chứa cả hai điểm E và F bên trong (khi đoạn EF cắt

cả hai đường chéo sao cho hai điểm E và F nằm ở hai phía của mỗi đường

chéo) nên cấu hình (3,4,2) nói chung không đưa được về cấu hình (3,3,2)

Nhận xét 1.3 Khái niệm đa giác lồi bao nhau lần đầu tiên được Đoàn Hữu Dũng đưa ra trong [1] và khái niệm cấu hình do Bonnice sử dụng trong [2] là hai khái niệm cơ bản nhưng thực chất là một (chỉ khác nhau về ngôn ngữ) và

được rất nhiều tác giả sau này (T Gerken, V Koselev, ) sử dụng (như là một phương pháp) trong chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho trường hợp n6 và cho các bài toán khác, thí dụ, bài toán về đa giác lồi rỗng Tiếc

rằng bài báo của Đoàn Hữu Dũng trong Toán học và Tuổi trẻ không được các

tác giả nước ngoài biết đến

23

Esther Klein cũng phát biểu bài toán tổng quát sau (xem [6])

Bài toán 1.1 Cho n là một số tự nhiên n3. Tìm số điểm tối thiểu ES n ở  

vị trí tổng quát trên mặt phẳng để từ đó có thể lấy ra nđiểm là đỉnh của đa giác lồi

Bài toán 1.1 lần đầu tiên được phát biểu trong [6] và sau này được gọi là Bài toán Erdös-Szekeres Bài toán này cũng được Erdös gọi là bài toán có kết

hạnh phúc (happy end Problem), vì không lâu sau khi bài báo [6] ra đời, Klein

và Szekeres đã tổ chức đám cưới và sống hạnh phúc bên nhau 70 năm

Trong [6], Bài toán 1.1 đã được tách thành hai bài toán

Bài toán 1.1a: Tồn tại hay không tồn tại số ES n

Bài toán 1.1b: Nếu số ES n tồn tại thì hãy xác định   ES n như một hàm  

của n, tức là tìm số điểm ES n nhỏ nhất mà từ đó có thể chọn ra được   n điểm tạo thành đa giác lồi n đỉnh

Để chứng minh sự tồn tại số ES n trước tiên ta phát biểu Định lí Ramsey  

Định lí 1.3 (Ramsey, 1930, [13]) Với mỗi bộ số nguyên dương k l l tồn tại , ,1 2

 1, 2 ,

k

1,2, , 

Tập T được gọi là tập con đơn sắc (monochromatic subset)

Bổ đề 1.4 Giả sử a a1, 2, ,a là n điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng n

n

đỉnh của đa giác lồi n cạnh

Giả sử một đỉnh a nằm ở bên trong conv i  Vì đỉnh b chính là đỉnh j a nào k

đó, và vì không có ba điểm nào trong số n điểm a a1, 2, ,a đã cho thẳng n

hàng, nên a không thể nằm trên các đoạn thẳng i b b , Do các tam giác 1 l

1 q q 1,

b b b q2, ,n1 lấp đầy conv nên a phải nằm bên trong một tam i

giác b b b1 q q1 với q nào đó, q2, ,n1 Nhưng khi ấy bốn điểm a , i

Định lí 1.4 (ErdősSzekeres, 1935, [6]) Giả sử n là một số nguyên, n3 Khi

tổng quát, có thể lấy ra n điểm, là đỉnh của đa giác lồi ncạnh

Số nguyên ES ( )0 n nhỏ nhất thỏa mãn Định lí ErdősSzekeres, được gọi là số

ErdősSzekeres Từ nay về sau, ta cũng kí hiệu ES ( )0 n là ES( ).n

Có một số cách chứng minh Định lí ErdősSzekeres dưới đây

Chứng minh 1 ( xem [6]) Với n3, Định lí là hiển nhiên và ta có ES(3)3

Ta cũng đã chứng minh ES 4 5 (Klein, Định lí 1.1) và ES(5)9 (Đoàn Hữu

25

Dũng, Bonice, Định lí 1.2) Bây giờ ta sẽ sử dụng Định lí Ramsey để chứng minh sự tồn tại của ES n với   n bất kì

Giả sử X là tập có tối thiểu R n4 ,5 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát

Tô tất cả các tập con bốn điểm của X bởi màu đỏ nếu các điểm của chúng ở

vị trí lồi và bởi màu xanh nếu ngược lại Theo nhận xét của Klein (Định lí 1.1), không có tập năm điểm nào ở vị trí tổng quát mà tất cả các tập con bốn điểm của nó đều được tô màu xanh Như vậy, theo Định lí Ramsey (Định lí

1.2), phải tồn tại tập n điểm Z  X mà tất cả các tập con bốn điểm của nó

được tô màu đỏ (tức là tất cả các tập con bốn điểm ở vị trí lồi) Theo Bổ đề 1.4, Z ở vị trí lồi

b

Hình 1.22

(tô màu đỏ) nếu đường đi từ đỉnh x đi qua đỉnh i x để tới đỉnh j x có chiều theo k

chiều kim đồng hồ và tam giác x x x với i j k i j k được gọi là có hướng trái

(tô màu xanh) nếu đường đi là ngược kim đồng hồ Có thể kiểm tra rằng, tứ giác

là lõm khi và chỉ khi nó có thể chia thành các tam giác có các hướng khác nhau, còn tứ giác có tất cả các tam giác cùng hướng là lồi (nếu không thì nó phải chứa một tứ giác lõm) Bây giờ ta chia họ các tập gồm ba điểm của X thành hai họ,

họ A chứa tất cả các tam giác cùng hướng trái, và họ B chứa tất cả các tam giác cùng hướng phải Từ Định lí Ramsey suy ra rằng tồn tại tập T đơn sắc gồm n

điểm sao cho mọi tập con ba điểm của nó đều tạo thành các tam giác cùng hướng (trái hoặc phải) Như vậy, mọi tứ giác (tạo bởi các tam giác cùng hướng) trong P

Hình 1.23

Ta có thể chỉ ra rằng, tập bốn điểm của X tạo thành tứ giác lồi khi và chỉ

khi tất cả các tập ba điểm của nó cùng màu Thật vậy, nếu ABCD là lõm với D

là điểm trong và các tam giác DAB DAC DBC, , cùng màu, thí dụ, các tam giác

cùng có số điểm trong là chẵn thì tam giác ABC có số điểm trong là lẻ (cộng

thêm một điểm D) Chia họ các tập ba điểm của X thành hai họ: họ A chứa tất cả các tam giác màu xanh, và họ B chứa tất cả các tam giác màu đỏ Từ Định lí Ramsey ta suy ra rằng, nếu X R n n3 , thì tồn tại tập T gồm n điểm

sao cho mọi tập con ba điểm của nó đều là các tam giác đơn sắc (đỏ hoặc xanh) Như vậy, mọi tứ giác (tạo bởi các tam giác đơn sắc) trong P phải là các tứ giác lồi Theo Bổ đề 1.4, bản thân T là đa giác lồi Định lí ErdősSzekeres được chứng minh

Nhận xét Qua ba cách chứng minh trên, ta có đánh giá sau:

ES n min R n,5 ,R n(3,3) trong đó R l l k 1, 2 là số Ramsey Tuy nhiên, đánh giá này là quá lớn so với thực tế Thí dụ, với n5 thì   10000

ES 5 2 , quá xa so với thực tế ES n 9

27

Chứng minh 4 Do Erdös chứng minh nhờ kết hợp hình học với lí thuyết tổ hợp,

ta được một đánh giá tốt hơn   2 2

2 4

ES n C n 1 (xem chi tiết hơn trong [6] ) Dựa trên các đẳng thức ES 3 3,ES 4 5,ES 5 9, năm 1935, Paul

Erdös và György Szekeres đã đưa ra giả thuyết sau đây

Giả thuyết Erdös–Szekeres (1935, [6]) Với mỗi số tự nhiên n3, mọi tập

ES n 2n 1 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng), đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi n cạnh

Sau 63 năm, F.R.L Chung, R.L Graham (xem [3] ) đã chứng minh được

  2

2 5 2, 3

ES n C n n   n Sau đó bảy năm (2005), Totsh và Valtr (xem [16]) đã chứng minh được

  2

2 5 1, 5

ES n C n n   n Như vậy đánh giá tốt nhất hiện nay là Totsh và Valtr [16] Tuy nhiên, với n6 thì C74  1 36, còn cách khá xa so với chứng minh của Szekeres và Peters năm 2006 là ES 6 17, (xem [14])

Năm 1960-1961, P Erdös và G Szekeres [7] đã xây dựng được tập hợp chứa 2

2n điểm ở vị trí tổng quát (không có ba điểm bất kỳ nào thẳng hàng)

không chứa n giác lồi cho trường hợp tổng quát n bất kì Do đó cận dưới của

 

ES n là không thể giảm được Như vậy ta có:

29

Chương 2

Chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho

Như đã trình bày trong Chương 1, kĩ thuật thường dùng trong chứng

minh các kết quả trong bài toán Erdös–Szekeres là sử dụng kĩ thuật đa giác lồi bao nhau Cũng trong Chương 1, ta đã chứng minh Định lí 1.2 nói rằng:

Từ chín điểm trên mặt phẳng tọa độ ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng), bao giờ cũng chọn được năm điểm tạo thành một ngũ giác lồi

Với n6,là trường hợp riêng của Giả thuyết Erdös–Szekeres, ta cần chứng minh khẳng định sau

Định lí 2.1 (Giả thuyết Erdös–Szekeres cho n6) Từ 17 điểm ở vị trí tổng quát (không có ba điểm nào thẳng hàng) trên mặt phẳng, bao giờ cũng chọn được sáu điểm tạo thành một lục giác lồi

Rõ ràng, nếu bao lồi của 17 điểm là đa giác lồi với số đỉnh không nhỏ hơn 6, thì bài toán đã được giải Thật vậy, vì không có ba điểm nào thẳng hàng, nên lấy 6 đỉnh bất kì của đa giác bao lồi, ta sẽ được lục giác lồi

Như vậy, chỉ còn ba trường hợp:

Trường hợp 1: Bao lồi của 17 điểm là ngũ giác lồi

Trường hợp 2: Bao lồi của 17 điểm là tứ giác lồi

Trường hợp 3: Bao lồi của 17 điểm là tam giác

Nhận xét Trường hợp n6 phức tạp hơn rất nhiều so với trường hợp n5.Bonice [2] đã đưa ra tính toán sau đây: Trong tập hợp gồm chín điểm, ta có

5

9 126

C  khả năng để năm điểm ở vị trí lồi (tạo thành ngũ giác lồi), trong khi

second using a 1.5GHz Workstation‖ cho trường hợp n5 thì số giờ máy giải bài toán cho trường hợp n6 là quá lớn Tổng số giờ máy khoảng 3000 GHz (―The total computing time was approximatly 3000 GHz ‖, [14]) Chứng minh bằng máy tính của Szekeres và Peter không hoàn toàn thỏa mãn các nhà toán học Vì vậy, năm 2009, ba nhà toán học Knut Dehnhardt, Heiko Harborth, and Zsolt Lángi [5] đã chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho trường hợp n6, không dùng máy tính, nhưng chỉ trong một trường hợp riêng, khi bao lồi của 17 điểm là ngũ giác (Trường hợp 1)

Chương này trình bày nội dung hai bài báo [5] và [14]

2.1 Chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho n  6 trong một trường hợp riêng

Mục này trình bày nội dung bài báo [5] chứng minh giả thuyết Erdös–Szekeres cho trong một trường hợp riêng, khi bao lồi của 17 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng là ngũ giác lồi

Trong [7] đã xây dựng ví dụ tập 16 điểm ở vị trí tổng quát mà không chứa 6 điểm nào tạo thành ngũ giác lồi Trong ví dụ này, bao lồi của 16 điểm

là ngũ giác lồi

Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm, kí hiệu và quy ước sau