a Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.. b Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d là lớn nhất... Tương tự DH, RH
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN
TRƯỜNG THCS NGA THIỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1
Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu)
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A =
2 3
1 12
10 2
3 )
2 )(
3 4
(
2
3 ) 6 (
6
x x x
x x
x x
x x
x
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9; x ≠ 1
2) Rút gọn biểu thức: B =
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d)
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Với 5 2 17 5 383
.
5 14 6 5
Tính giá trị của biểu thức: B = 3 2 2015
3x 8x 2
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1)y đồng thời (3y + 1)x
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BR, CR c t nhau tại H Chứng minh rằng:
a) SABC= 1
2AB.BC.sinB và AR.BR.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
b) tanB.tanC = AD
HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DRR
Trang 2d) HB.HC HC.HA HA.HB 1
AB.AC BC.BA CA.CB .
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2y2 y2z2 z2x2 2015
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T x2 y2 z2
y z z x x y
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Các tia AI, BI, CI c t BC,
CA, AB lần lượt tai M, N, K Chứng minh rằng:
3 2
IM IN IK
Trang 3ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
1
1
A 2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2
A 2(2 x)( x 3)( x 1) 2( x 3)(2 x) (2 x)( x 1)
Do x 0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 9
A =
) 2 )(
3 )(
1 ( 2
) 3 ( 2 ) 1 ( 3 3 ) 6 (
6
x x
x
x x
x x
x
A =
) 2 )(
3 )(
1 ( 2
6 2 3 3 3 6
6
x x
x
x x
x x x
x
A =
) 2 )(
3 )(
1 ( 2
) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 6 2
(
x x
x
x x x
x x
x
x
A =
) 2 )(
3 )(
1 ( 2
) 2 )(
3 )(
1
(
x x
x
x x
x
= 2
1 => ĐPCM
0,75
0,75
0,5
2
2 2 4 2 3 2 4 2 3 3 3 3 3
B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) 3 3 3 3
6
B 1 B 2 2
1,0
0,75
0,25
2 a Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d)
đi qua điểm cố định N(xo, yo) là:
(m – 2)xo + (m – 1)yo= 1, với mọi m
<=> mxo– 2xo + myo– yo– 1 = 0, với mọi m
<=> (xo + yo)m – (2xo+ yo + 1) = 0 với mọi m
0,5
0,5
Trang 4<=>
1
1
0 1 2
0
o
o o
o
o o
y
x y
x
y x
Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1)
0,5
b + Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1
Do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)
+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1
Do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)
+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung
Ta có: x = 0 y = 1
1
m , do đó OA = 1
1
m
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành
Ta có: y = 0 x = 1
2
m , do đó OB = 1
2
m
Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d) Ta có:
2
1 2
1 ) 2
3 ( 2 5 6 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 1
2 2
OB OA h
Suy ra h2≤ 2, max h = 2khi và chỉ khi m = 3
2 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = 2 khi và chỉ khi m = 3
2
0,5
0,5
0,5
3
3
2
1.
3
Từ tính được B = - 1
1,25
0,75
b Dễ thấyx y Không mất tính tổng quát, giả sử x > y
Từ (3y + 1)x 3 1y p x p N *.
Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x
p < 3 Vậy p 1;2
0,25 0,25
Trang 5Với p = 1 x = 3y + 13x + 1 = 9y + 4y 4y
Mà y > 1 nên y 2;4
+ Với y = 2 thì x = 7
+ Với y = 4 thì x = 13
Với p = 2 2x = 3y + 16x = 9y + 32(3x + 1) = 9y + 5
Vì 3x + 1y nên 9y + 5y suy ra 5y, mà y > 1 nên y = 5
suy ra x = 8
Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng
Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7; 2); (2; 7); (8; 5); (5; 8); (4; 13);
(13; 4)
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
4 a) 2,0 đ
* Ta có: SABC= 1
2.BC.AD.
ABD vuông tại D có AD = AB.sinB,
Do đó SABC= 1
2BC.AB.sinA.
ABR vuông ở R có AR = AB.cosA
BRC vuông ở R có BR = BC.cosB
ACD vuông ở D có CD = AC.cosC
A
H D
R R
1,0
1,0
Trang 6Do đó AR.BR.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
b (1,5 đ) Xét ABD có tanB = AD
BD ; ACD có tanC =
AD CD suy ra tanB.tanC = AD2
BD.CD (1)
Do HBD CAD (cùng phụ với ACB ) nên BDH ADC
(g.g) DH BD
DC AD
BD.DC = DH.DA
Kết hợp với (1) được tanB.tanC = AD2 AD
DH.AD DH .
0,5
0,5
0,5
c(1,5đ) Chứng minh được ARR ABC (g.g)
ARR ABC
Tương tự được CRD CBA nên ARR CRD mà BR AC
ARB CRB
= 900 Từ đó suy ra RRB DRB RH là phân
trong của DRR
Tương tự DH, RH cũng là phân giác trong của DRR nên H là
giao ba đường phân giác trong của DRR
0,5
0,5
0,5
d (1,0 đ) Ta có: SBHC+ SCHA+ SAHB= SABC
Dễ thấy CHR CAR(g.g)
CH CR
CA CR
HB.HC HB.CR 2.S S AB.AC AB.CR 2.S S
Tương tự có CHA
CBA
HC.HA S BC.BA S ; HABCAB
HA.HB S CA.CB S
HB.HC HC.HA HA.HB S S S 1 AB.AC BC.BA CA.CB S S S
0,25
0,25
0,25
0,25
5 Đặt a x 2 y ;b 2 y z ;c 2 2 z 2 x 2
Trang 7 a;b;c 0 và a b c 2015
Ta có: a 2 b c 2 2 2(x 2 y z ) 2 2
Do đó:
(y z) 2(y z ) 2b y z 2b x2 a2 b c2 2
Tương tự: y2 a2 b c2 2 , z2 a2 b c2 2
T a2 b c2 2 b a2 b c2 2 c a2 b c2 2 a
a b c
2
1 (a b c) 1 1 1 2015
a b c
1 (a b c)(a b c) 1 1 1 2015
a b c
1 2015.9 2015 2015
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 2015
3
Vậy min T 2015
2 2
3 2
0,25
0,25
0,25
0,25
6 Đặt S BIC x S2 , CIA y S2 , AIB z2 S ABC x2 y2 z2
0,25
A
B
I
Trang 82 2 2 2 2 2 2
1 1
ABC
BIC
S
y z
IA
0,5
Chứng minh tương tự ta có: IB z2 x2 , IC x2 y2
0,25
x x y y z z
Vây IA IB IC 3 2
IM IN IK
1,0