Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng Luận văn Thạc Sĩ Xuất Sắc

Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng vi phân ngẫu nhiên trong thực tế Luận văn thạc sĩ toán học xuất sắc đề tài nghiên cứu về phép tính vi phân, phương trình vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của các phép tính vi phân trong thực tế. Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng vi phân ngẫu nhiên trong thực tế Luận văn thạc sĩ toán học xuất sắc đề tài nghiên cứu về phép tính vi phân, phương trình vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của các phép tính vi phân trong thực tế.

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Trần Thị Ánh Tuyết

M Ở ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2.Mục tiêu nghiên cứu 1

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5.Phương pháp nghiên cứu 2

6.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7.Cấu trúc luận văn 2

C HƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1.ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 3

1.1.1.Độ đo (measure) 3

1.1.2.Độ đo xác suất (Probability measure) 7

1.2.KHÔNG GIAN XÁC SUẤT (PROBABILITY SPACE) 7

1.2.1.Định nghĩa 7

1.2.2.Các tính chất 8

1.2.3.Ghi chú 8

1.3.BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 10

1.3.1.Biến ngẫu nhiên 10

1.3.2.Quá trình ngẫu nhiên (stochastic processes) 12

1.4.QUÁ TRÌNH MARKOV 16

1.4.1.Định nghĩa 16

1.4.2.Ví dụ 16

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 18

2.1.KHÔNG GIAN L2(Ω, ℱ, P) 18

2.1.1.Định nghĩa 18

2.2.PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 22

2.2.1.Khái niệm 22

2.2.2.Các mệnh đề 22

2.2.3.Hệ quả 25

2.3.TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 27

2.3.1.Các mệnh đề 28

2.3.2.Bài toán 32

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 33

3.1.QUÁ TRÌNH DỪNG BẬC HAI 33

3.1.1.Các vấn đề 34

3.1.2.Thiết lập không gian Hilbert 37

3.2.BIỂU DIỄN PHỔ CỦA QUÁ TRÌNH DỪNG BẬC HAI 41

3.2.1.Định lý Herglotz 41

3.2.2.Định lý Bochner-khintchine 41

3.3.MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ ỨNG DỤNG 46

3.3.1.Ví dụ 1 46

3.3.2.Ví dụ 2 46

3.3.3.Ví dụ 3 46

3.3.4.Ví dụ 4 47

K ẾT LUẬN 48

DANH M ỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 QUY ẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao)

M Ở ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Phép tính vi tích phân là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng

của toán học, là thành tựu nổi bật nhất của giai đoạn cuối thế kỷ XVII của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz Do nhu cầu phát triển của kỹ thuật và các ngành khoa học khác mà phép tính vi phân ngẫu nhiên được ra đời

Phép tính vi phân ngẫu nhiên đã giải quyết nhiều vấn đề lớn trong các ứng

dụng khoa học, trong nông nghiệp, công nghệ, kỹ thuật…với thực tế những đại lượng biến đổi ngẫu nhiên, những hàm với biến ngẫu nhiên không thể áp

dụng được các kỹ thuật tính toán của phép tính vi phân thông thường mà phải

sử dụng một công cụ hoàn toàn mới đó là phép tính vi phân ngẫu nhiên Đó là

lý do mà tôi chọn đề tài “ Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng” làm đề tài tốt nhiệp bậc cao học của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là nghiên cứu phép tính vi phân

ngẫu nhiên, xây dựng cách tính vi phân của các hàm ngẫu nhiên, sau đó ứng

dụng lý thuyết này vào việc khảo sát các quá trình ngẫu nhiên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa các cơ sở lý thuyếtliên quan đến phép tính vi phân ngẫu nhiên, sau đó minh họa một số bài toán giải được bằng cách tính vi phân và cuối cùng là ứng dụng lý thuyết này trong

việc khảo sát các quá trình ngẫu nhiên như quá trình dừng bậc hai, biểu diễn

phổ của quá trình dừng bậc hai, …

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu cách xây dựng phép tính

vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của chúng trong việc khảo sát các quá trình

ngẫu nhiên như quá trình dừng bậc hai, quá trình Markov, biểu diễn phổ của quá trình dừng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi đang sử dụng là thu thập tài liệu liên quan đến luận văn từ các sách chuyên khảo, các tài liệu cập nhật trên internet Sau đó, chúng tôi xử lý tài liệu và biên soạn lại theo trình tự dự kiến

của luận văn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn có ý nghĩa khoa học trình bày phép tính vi ngẫu nhiên một cách chuẩn xác theo quan điểm hiện đại của toán học ngày nay Phép tính vi phân

ngẫu nhiên được ứng dụng tốt trong thực tế vì nó sát với thực tế của các vấn

đề đang xảy ra là phần lớn mang yếu tố ngẫu nhiên

7 C ấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương Chương 1 Trình bày các kiến thức cơ sở về không gian xác suất, biến

ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên, quá trình Markov

Chương 2 Trình bày các định nghĩa, tính chất, các bài toán về phép tính vi phân ngẫu nhiên

Chương 3 Trình bày về quá trình dừng bậc hai, biễu diễn phổ của quá trình dừng bậc hai, một số ví dụ và ứng dụng

  và khi đó (Ω, ℱ) được gọi

là không gian đo được A thuộcℱ ta nói A là tập ℱ - đo được

 Độ đo

Một độ đo μtrên một 𝝈𝝈 – đại số H là một tập hợp cho tương ứng mỗi

phần tửS của một σ - đại số H với một giá trị μ(S) là một số thực không âm

hoặc vô hạn và thỏa mãn các tính chất sau đây:

- Tập hợp rỗng có độ đo bằng không: μ(∅) = 0,

- Độ đo là σ-cộng tính: nếu E1, E2, là các tập chứa trong σ-đại

số H,đếm được và không giao nhau từng đôi một,và nếu E là hợp

của chúng, thì độ đo μ(E) bằng tổng

Nếu μ là một độ đo trên σ-đại số H, thì mọi phần tử của σ-đại số được

gọi là μ-đo được, hay đơn giản là đo được Một bộ gồm tập hợp Ω, một σ-đại

số trên Ω và một độ đo μ trên H được gọi là một không gian đo, ký hiệu là (Ω,

H, μ) Cặp (Ω, H) được gọi là một không gian đo được

b Các tính ch ất của độ đo (Properties of measures)

Tính ch ất 1.Cho μ là một độ đo trên σ-đại sốH Khi đó ta có:

∞

=

∑2/ Do μ là độ đo nên cộng tính đếm được và có:

1

( i)

i E

∞

=

 ⊂ E)

Tính ch ất 3.Cho μ là độ đo trên σ-đại số H Nếu dãy các tập {E n }⊂Hlà

Tính ch ất 4.Cho μ là độ đo trên σ-đại số X Nếu dãy các tập {E n }⊂Hlà

Với mọi n ≥ m, ta có En⊂ Em nên μ(En) ≤ μ(Em) < ∞ Do { Em\En} là

một dãy tăng nên theo tính chất 3 ta có

Định nghĩa 2 Cho ε là lớp các tập hợp Vành nhỏ nhất chứa ε được

gọi là vành sinh bởi lớp ε và được ký hiệu là R(ε)

Tính ch ất:Cho μ là hàm tập hữu hạn, cộng tính, không âm trên vành ε

độ đo trên vành ε

Ch ứng minh

Μ cộng tính nên hữu hạn cộng tính Ta xét {En} là dãy các tập rời nhau trong ε, ta đặt:

En = 1

n i i

1.1.2 Độ đo xác suất (Probability measure)

Cho không gian đo (Ω, H, 𝛍𝛍) Độ đo μ được gọi là một độ đo xác suất

nếu μ(Ω) = 1

Ví dụ: Cho Ω = [0; 1], X = ([0; 1]): σ-đại số Borel của [0; 1], μ(A) là độ

đo Lebesgue của A

Khi đó, μ là một độ đo xác suất

1.2 KHÔNG GIAN XÁC SU ẤT (PROBABILITY SPACE)

1.2.1 Định nghĩa

Cho không gian đo được (Ω, ℱ), và P là độ đo xác suất trên ℱ thì ta gọi

bộ ba (Ω; ℱ; P) là một không gian xác suất

Ví d ụ:Với mỗi x0∈ R cố định và tập B ∈𝔅𝔅(R) đặt

0

0 0

1,0,

Khi đó (R, 𝔅𝔅(R), δx0 ) là một không gian xác suất

1.2.3 Ghi chú

a Không gian xác suất Ωở đây là mã hóa toán học của tập hợp tất

cả các sự kiện mà chúng ta đang quan tâm: mỗi sự kiện được mã hóa bằng một tập hợp con của Ωnằm trong họ P Không nhất thiết tập con nào của Ω cũng là thành viên của họ P Có hai lý do chính:

 Có những sự kiện mà chúng ta chưa quan tâm đến;

 Nếu Ωlà một tập không đếm được, ví dụ như một đoạn thẳng (trong thế giới vật lý của chúng ta số sự kiện chỉ là hữu hạn,

nhưng các mô hình liên tục, với vô hạn phần tử, hay được dùng

vì nó là phương pháp giải tích tiện cho việc tính toán), thì theo lý

thuyết độ đo và tích phân (lý thuyết tích phân Lebesgue) không phải tập con nào của Ω cũng là “tập đo được”, và phải loại các

tập “không đo được” ra khỏi họ P.Điều này không ảnh hưởng gì đến các phương pháp tính toán xác suất trong thực tế

b Trong toán học, một đại số là một tập hợp với các phép tính cộng trừ và phép nhân (không nhất thiết phải có phép chia) Ai đã từng học lý thuyết tập hợp sẽ nhận ra rằng các tính chất của họ Pviết phía trên khiến

nó là một đại số theo đúng nghĩa như vậy: Phần tử 0 trong P là tập rỗng, phần tử đơn vị trong Plà tập Ω, phép nhân trong P là phép giao:A ×B =

A⋂B, và phép cộng trong P là:

A + B = (A ∪ B) \ (A⋂B) = (A\B) ⋃ (B\A) Các phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tính chất đối xứng, giao hoán, phân bố, kết hợp của một đại số giao hoán Chú ý là đại số này có đặc trưng bằng 2, tức là 2A = A + A = 0 với mọi A (và bởi vậy phép cộng và phép trừ chẳng qua

là một) Chúng ta muốn Plà một đại số chính là để cho việc làm các phép tính số học với xác suất được thuận tiện Hơn nữa, chúng ta đòi hỏi P là

của chuỗi, tính tích phân, …phép lấy giới hạn là phép tính cơ bản nhất của giải tích mà không có trong đại số, và nhiều phép tính khác của giải tích đều dựa trên phép lấy giới hạn)

c Nếu A là một phần tử của Ω thì ta cũng có thể viết P(A) và hiểu

là P({A}), trong đó {A}là tập con của Ω chứa duy nhất một phần từ

A.Một không gian xác suất (Ω, ℱ, P) là một không gian được trang bị

một độ đo với độ đo toàn thể bằng 1 (nghĩa là P(Ω)=1)

- Thành phần đầu, Ω là một tập không rỗng, với các phần tử

thường được biết như là các "kết quả" hay "trạng thái tự nhiên" (ví dụ trạng thái sấp hay ngửa của đồng tiền khi gieo đồng xu ) Một trạng thái

tự nhiên luôn tồn tại với một xác suất nào đó Một phần tử của Ω thường được ký hiệu bởiω

- Thành phần thứ hai, ℱlà một lớp mà các phần tử của nó được gọi

là các sự kiện (event) Các sự kiện là các tập con của Ω Tập ℱ phải thỏa mãn một vài điều kiện, đặc biệt nó phải là một σ – đại số Cùng với nhau, Ω và ℱ tạo thành một không gian đo được Một sự kiện là một tập hợp các kết quả hay trạng thái tự nhiên mà ta có thể xác định xác suất của nó

- Thành phần thứ ba, P được gọi là "độ đo xác suất", hay "xác

suất" Nó là một tập từ ℱvào tập số thực, cho tương ứng mỗi sự kiện với một xác suất có giá trị nằm giữa 0 và 1 Nó cần thỏa mãn các điều kiện

của một độ đo và P(Ω)=1

1.3 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của thí nghiệm

Phép thử ngẫu nhiên là tung con súc sắc và xem mặt nằm phía trên có

mấy chấm, thì kết quả đầu ra có thể là {1,2,3,4,5,6} (đầu ra là số) Tuy nhiên, trong các ứng dụng của thống kê, người ta muốn mỗi đầu ra đều gắn với một đại lượng đo đạc được, hay còn gọi là thuộc tính có giá trị là số Để thực hiện điều này, người ta định ra biến ngẫu nhiên để ánh xạ mỗi đầu ra của một phép

thử ngẫu nhiên với một giá trị số

Ví d ụ 2

Xét phép thử ngẫu nhiên: Tung một đồng xu, ta định nghĩa một biến

ngẫu nhiên tương ứng:

x nÕu mÆt ngöa x¶y ra X( )

y nÕu mÆt sÊp x¶y ra

ngẫu nhiên)là ngẫu nhiên Nói tóm lại, biến ngẫu nhiên có thể được xem là

kết quả bằng số của việc vận hành một cơ chế không đơn định hoặc thực hiện

một thực nghiệm không đơn định để tạo ra một kết quả ngẫu nhiên Ví dụ,

một biến ngẫu nhiên có thể mô tả các kết quả có thể của việc chọn ngẫu nhiên

một người và đo chiều cao của người đó

Ví d ụ3

Tốc độ 𝓋𝓋 của một xe ô tô đang chạy trên đường có thể coi là một biến

ngẫu nhiên Nếu xe đang chạy mà phải thắng gấp vì phía trước có nguy hiểm,

thì từ thời điểm người lái xe bắt đầu thắng cho đến thời điểm xe dừng lại, xe

phải chạy thêm mất một quãng đường có độ dài D nữa D cũng có thể coi là

một biến ngẫu nhiên Nó không phải là tỷ lệ thuận với 𝓋𝓋, mà là tỷ lệ thuận với bình phương của 𝓋𝓋 Tức là biến ngẫu nhiên D có thể được sinh ra từ biến

ngẫu nhiên 𝓋𝓋 theo công thức:

D = k.𝓋𝓋2

Hệ số k ở đây phụ thuộc vào điều kiện của đường đi và điều

kiện của xe; nó có thể coi là xác định nếu ta biết các điều kiện này, còn nếu không thì có thể coi là một biến ngẫu nhiên khác Ví dụ, trong điều kiện bình thường, thì k = 0,08m-1

.s2: một xe đang chạy với tốc độ 36km/h = 10m/s thì từ lúc thắng đến lúc dừng lại chạy thêm mất 0,08 × 102 = 8 mét, nhưng nếu xe đang chạy với tốc độ108km/h = 3 × 36km/h, thì từ lúc thắng đến lúc dừng lại

sẽ chạy thêm 8 × 32

= 72 mét

Tuy các ví dụ đơn giản như thả súc sắc và đo chiều cao (như miêu tả

ở trên) giúp ta dễ dàng hình dung về ứng dụng thực tế của các biến ngẫu

trường quen thuộc hơn với các hàm số giá trị thực Ngược lại, khái niệm này cũng đặt các thực nghiệm cóliên quan đến các kết quả với giá trị là số thực

1.3.2 Quá trình ng ẫu nhiên (stochastic processes)

a Định nghĩa

Một quá trình ngẫu nhiên là một tập hợp các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất(Ω,ℱ, P) và xác định bởi các phần tử của một tập hợp tham số T

Tập hợp này thường là một trong những:

Trong việc diễn tả một quá trình ngẫu nhiên như chúng ta đã làm đó là sai

lệch tâm một số: Người ta có khuynh hướng xem các quá trình chủ yếu như là

một hàm số trên T mà giá trị cho mỗi t thuộc T là các biến ngẫu nhiên Tất nhiên chúng ta đang thực sự xử lý với hàm hai biến, cho X = X (t, ω), mà t

∈T, ω∈ Ω và cho mỗi t cố định các hàm số .

( , )

X t là đo được Nếu thay vì t chúng ta cố định mộtω∈Ω, chúng ta nhận được một hàm X(. ,ω ): T → R1

(hoặc vào bất cứ không gian trạng thái S có thể) nó được gọi là một quỹ đạo

hoặc hàm đường dẫn của một quá trình Nó cũng hợp lệ đôi khi phù hợp nhất,

để nghĩ về quá trình X như một biến ngẫu nhiên đơn mà miền của nó là một không gian của các hàm trên T; thuộc ngữ hàm ngẫu nhiên ám chỉ ý này

Cho t1, t2, …tn∈ T và C là một tập đo được bất kỳtrong Sn Khi đó, định nghĩa

Pt1,…,tn(C) = P({ω∈Ω: (X (t1, ω),…, X (tn, ω)) ∈C}) (1)

DoX(t , )i • là ℱ - đo được nên tập các hàm Pt1,…,tn ( )• là một độ đo xác

suất trên các tập đo được của Sn

Các độ đothu được như thế cho tất cả các tập

con hữu hạn của T, được gọi là các phân phối hữu hạn chiều của quá trình.Họ các phân phối này thường (không luôn luôn) là đặc biệt quan trọng của các quá trình, và thường cần thiết để nghiên cứu một quá trình ngẫu nhiên bằng

việc bắt đầu với các phân phối hữu hạn chiều của nó Sự tồn tại của một quá trình như thế, nghĩa là, một tập các phân phối hữu hạn chiều của nó đồng

nhấtvới một họ các độ đo cho trước{ 1, , }

n

t t

P mà nó thường được đảm bảo cung

cấp cácđộ đo thỏa mãn các điều kiện đơn giản nào đó Định lý này được đưa

ra bởi Kolmogorov, và sau đó trở nên khá quen thuộc

b Chú ý v ề các phương pháp

Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, mặc dù luôn được xử lý theo trình tự chung của các đối tượng toán học, nhưng có nhiều khía cạnh và sử dụng các phươngpháprất đa dạng chẳng hạn, giả sử rằng X là số thực hoặc số phức và E(|Xt|2<∞*

) cho tất cả t ∈ T Khi đó hàm K (s,t) = E(XsXt) là xác định cho tất

cả t,s ∈ T; nó được gọi là hàm phương sai của quá trình Có một lý thuyết phong phú của quá trình ngẫu nhiên mà chỉ sử dụng hàm K như là “Nguyên

liệu thô”, bỏ qua mọi khía cạnh khác của quá trình Điều này không chỉ ngạc nhiên khi xem quá trình {Xt} có thể xem như một hàm trên T trong không gian Hilbert L2(Ω,ℱ,P) trong trường hợp này, nếu T=R1

hoặc R+

chúng ta còn

có thể nói đến một đường cong trong không gian Hilbert,đặc biệt khi {Xt} là liên tục như là hàm của t Điểm quan trọng là hàm K đặc trưng đường cong này đến không gian Hilbert đẳng cấu Do đó thật tự nhiên để cho rằng phương pháp không gian Hilbert là đặc biệt, và định lý phổ cho các toán tử chuẩn tắc cũng thu được từ đó Chúng ta sẽ nhìn thấy chi tiết hơn ở phần sau

Bài toán: Đặt {Xt} và {X’t} là các quá trình ngẫu nhiên với cùng tập tham

số T và cùng hàm hiệp phương sai K, nhưng xác định trong các không gian xác suất khác nhau (Ω,ℱ,P) và (Ω’,ℱ’,P’) Chứng tỏ rằng tồn tại các không

gian con đóng M và M’ của L2(Ω,ℱ,P) và L2(Ω’,ℱ’,P’) tương ứng, với đẳng

cấu tuyến tính ∅ ánh xạ M lên M’ sao cho với mọi t ∈ T

Xt∈ M, X’t∈ M’, và ∅ Xt = X’t

Tất nhiên, bất kỳ mô tả của một quá trình {Xt} mà nó dựa hoàn toàn vào hàm số K chỉ phụ thuộc vào hai phân phối hữu hạn chiều{P } t t1 2 của quá trình Khía cạnh này của vấn đề này đôi khi gọi là lý thuyết bậc hai, hoặc lý thuyết tương quan của quá trình

Trên quan điểm khác nhau về quá trình nó là một hàm ngẫu nhiên, một

phần tử ngẫu nhiên của một không gian hàm nào đó Chẳng hạn, người ta có

thể yêu cầu quỹ đạo của quá trình thuộc cùng một tập con nào đó của không gian hàm cho hầu hết các ω Phát biểu rằng “Quá trình chuyển động Brown có đường đi liên tục với xác suất 1” là theo phân loại này Ngược lại với lý thuyết tương quan, thậm chí tập hợp của tất cả các phân phối hữu hạn chiềukhông xác định các quá trình một cách chính xác để các vấn đề nêu ra được giải đáp một cách rõ ràng

Đây là ví dụ đơn giản, để minh họa sáng tỏ: Đặt T=R1

và(Ω,ℱ,P) là không gian xác suất với Ω = [0; 1] và độ đo Lebesgue Xác định hai quá trình như sau:X(t,ω) = 0 với mọi t và ω, trong khi Y(t,ω) = 0 với t ≠ ω nhưng Y(ω, ω) =

1 Rõ ràng P(Xt = 0) = 1 = P(Yt = 0) với mỗi t Nhưng xác suất mà X(.

,ω) là liên tục cho tất cả t ∈T là 1, trong khi xác suất tương ứng cho Y phải là 0 do không liên tục tạit = ω Hai quá trình có cùng phân phối hữu hạn chiều Hơn

nữa, chúng tương ứng theo nghĩa là P(Xt = Yt) = 1, cho mỗi t ∈T Tuy nhiên

một quá trình có bước nhảy liên tục, và quá trình kia thì không

Đôi khi sẽ rất hữu ích nếu xem quá trình X đặc biệt như một hàm hai biến X(t, ω) (hoặc tương đương) như một hàm trên T x Ω Một công cụ thường

hữu hiệu một cách đáng ngạc nhiên trong sự liên kết này là định lý của Fubini Tất nhiên, để áp dụng định lý này thì các ràng buộc cụ thể trên X là

cần thiết Nếu T được trang bị với a σ -đại số A các tập con, chúng ta nói rằng

X là quá trình đo được nếu hàm X( , )• • :T x Ω →S là đo được đối

với σ -đại số tích A x T Thực tế nó nằm trong định nghĩa tổng quan của quá

trình ngẫu nhiên, là X(t, )• là đo được đối với ℱ cho mỗi t không đủ để làm cho

X đo được khi T là không đếm được

1.4 QUÁ TRÌNH MARKOV

Lớp quan trọng thứ hai của quá trình ngẫu nhiên đặc trưng bởi tính

chấtMarkov

1.4.1 Định nghĩa

Giả sử Xt là một quá trình ngẫu nhiên với không gian trạng thái E

Ta nói rằng,Xt là một quá trình Markov nếu với mọi t1< < tk<t và với mọi

Như vậy xác suất có điều kiện của một sự kiện B nào đó trong tương lai

nếu biết hiện tại và quá khứ của hệ cũng giống như xác suất có điều kiện của

B nếu chỉ biết trạng thái hiện tại của hệ.Đó chính là tính Markov của hệ Đôi

khi tính Markov của hệ còn phát biểu dưới dạng: Nếu biết trạng thái hiện tại

Xt của hệ thì quá khứ Xu,u < t và tương lai Xs, s > t là độc lập với nhau

Giải thích về tính chất vật lý chung được đề cập ở trên có thể được diễn

giải như xác nhận rằng xác suất điều kiện của sự kiện tương lai B cho trước

hiện tại là giống như sự kiện của B cho trước hiện tại và quá khứ ; tương tự

với (1) điều này trở thành

P (B|ℱ=t) = P(Bℱ<t) (2)

Với bất kỳ B ∈ℱ>t.

Bài toán Chứng minh (1) và (2) là tương đương

Định nghĩa (1) là đối xứng đối với quá khứ và tương lai Thì khi đó quá trình X’ được xác định bởi ' 0

t t t

X = X − cũng là một quá trình Markov bất cứ X là duy

nhất Từ đó cũng suy ra rằng biểu thức tương đương khác của tính chất Markov có thể được nhận bởi việc hoán đổi các vai trò của quá khứ và tương

lại trong (2)

này có vẻ như không được quan tâm mấy.Tuy nhiên, phần mở rộng của một

= c2 EX2, ∀ c ∈ R, ∀x ∈ξ

Mặt khác: (X + Y)2≤ 2X2

+ 2Y2< ∞ Nên ta cũng có:(EX + Y)2≤ 2E2

Không gian L2(Ω,ℱ,P) là tập các lớp tương đương với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kỳ nào đó của lớp làm đại

diện nên ta vẫn dùng kí hiệu X,Y để chỉ các phần tử của L2(Ω,ℱ,P), ta có thể dùng ngắn gọn L2 và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho tất cả một

lớp các biễn ngẫu nhiên tương đương với X

Để xây dựng tính đầy đủ của L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây

dựng tính đầy đủ của L2 nghĩa là nếu || Xm – Xn||2⟶ 0 khi m, n ⟶ ∞ thì tồn

tại X ∈ L2 sao cho Xn →L2 X

2.1.3 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert)

Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x ∈ H thì:

a Tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ A sao cho ||x – x’|| =inf

||x – y’||2 = ||x – x’||2 = d Khi đó dùng tính chất hình bình hành ta có:

Dấu ‘’=’’ đạt được khi và chỉ khi y = x’

Ngược lại, nếu x’ ∈ A và (x – x’) ∉ A⊥ thì x không là phần tử của A và

có phần tử x’’ :

x’’ = x’ + || ||2

ay y

Với x’’ gần x’ hơn x , với y là phần tử bất kỳ của A sao cho:

| |

|| ||

a

y ≤ ||x – x’||2

2.2 PHÉP TÍNH VI PHÂN NG ẪU NHIÊN

Xn – Y|2 tăng với N, và vì vậy bởi định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue

∑E X n Y < ∞ Do đó lim fN<∞ hầu như chắc

chắn Điều này kéo theo |Xn – Y| → 0do các số hạng của chuỗi hội tụ về 0

= ∑ , ở đâyξn biến ngẫu nhiên không tương quan

với giá trị trung bình 0 và phương sai 1 và do đó tạo thành một chuỗi trực giao trong L2 Hơn nữa là E(|Xn|2) = 1/N, vì vậy Xn→ 0 ; theo trung bình đây

là luật số lớn.Nhưng từ đó ∑1 /N phân kỳ người ta không thể chứng minh

luật mạnh số lớn theo cách này