phan loai va phuong phap giai cac dang bai tap toan 11 tap 2 nxb dai hoc quoc gia 2016

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập Toán 11 (Tập 1), phần 2 cuốn sách trình bày các nội dung chương 3 Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian. Cuối sách là phần hướng dẫn giải và đáp số để người đọc tiện tra cứu.

Chương HH; VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

| Veeto trong khong gian: Vectơ, các phép toán vectơ được định nghĩa hoàn

toàn giỗng như trong mặt phăng

2 Su dong phang cua cde vecto:

a) Định nghĩa: Ba vecto dược gọi là đồng phăng néu các giá cua chúng

| củng song song với một mặt phăng

| bì: Điều kiện đồng phẳng của 3 vect2:

|_ 7 Địnhlíl: Cho 3 vecto a, ð và c, trong đó ¿, 5 không cùng phương khi

do ba vecto a, b,c dong phăng khi và chì khi có duy nhất các số zr, n sao cho c=matnh

* Dinh li 2: Neu a,b ¢ 43 vecto khong dong phang thi voi moi vecto bat ki ta deu tim durge duy nhat cic som n p sao cho: d= mat nh + pe

Cúc tính chát, các qui tắc vẻ các phep toán vectơ

Qui tắc 3 điểm: 48 + BC AC ~ AB = BC voi moi A, B,C

Qui tac hinh binh hanh: AB + AD = AC voi ABCD Ia hình bình hành

Qui tắc trung điểm: 14+ 1B =0 villa trung diém cua AB

MA + MB = 2MI với mọi điểm M

Qui tắc trọng tâm: GA +GB+GC =0véi Gla trong tam AABC

2) Thực hiện các phép bien đổi theo một trong các hướng

- Bién đổi về này thành về kia cua dang thức

-_ Biến đổi đẳng thức cân chứng mình vẻ tương đương với một đăng thức

Chú ý: * Đối với việc chứng mình các đăng thức về độ dài cân lưu ý vận

dung AB* ¬ AB” và khai thác các tỉnh chất của vectơ để Suy ra

* Ngoài ra đề chứng mình một so đăng thức A = B, ta có thê chứng mình:

A=C

=>A=B

iba

Bài 1: - Trong kì không 1g gian ch cho các điểm A: B; C; D; E và F C hứng minh rang:

1) AB+ DC = AC + DB 2) AB+CD+EF =AF + ED+CB

Suy ra: AB+ DC =-CA- BD = AC + DB (đpcm)

2)Ta có: V7 = 48+CD+ EF =(AF + FB)+(CB+BD)+(ED+ DF)

2) Goi O la tam cua hình hộp, chứng mình răng:

a) OA+0B+0C +OD+ 0d’ + OB' + OC’ +OD' = 0

= AC + AA’ (vi ABCD la hình bình hanh)

= AC' (vi ACCA’ la hinh binh hanh)

96

Nhdn xét: Nhu vay, neu ABCD A'B'C'D' la hivh hop thi AB+ AD+ Ad’ = AC’

Qui tắc này được gọi là qui tắc hình hộp

b) Ta có

2A'C (theo qui tắc hình hộp ở trên)

2.a) OA +OB+OC +OD +OA'+OB'+OC'+OD'

Bai 3: Cho tie dién ABCD

1) Goi Ila trong tam ABCD Ching minh rang: AB+AC+ AD =3Al

2 4) t C hứng minh rang C Gla 1 trong tâm của tứ diện khi và chỉ khi

Tương tự như trên, ta có: PQ= 2(28 + CD)

Từ đó suy ra đẳng thức phải chữ minh

Khi đó: AC? +BD?+4P0? =AC +BD +4PO°

=AC +(AD - AB) +(AB+ AD- ACY

= AC? + AD? + AB? -2AD.AB + AB’ + AD? + AC? +2AB AD

-24B.AC -24D AC

=2(4B? + AC” + AD?)—2 AC(48+ 4D) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: 4B? + 8C? +CD? + D4? = AC? + BD? +4PQ°

Nhận xét: Đề chứng minh dang thức trên ta cần chú ý:

~ Qui biêu thức độ dài về biểu thức vectơ -

— Biêu diễn các vectơ trong biêu thức theo hệ các vectơ chọn trước để tiện

trong quá trình tính toán và so sánh

Bài 5: Cho nt dién ABCD Goi G Ia trọng tâm tam giác BCD, I là trung đim của đoạn AC Chứng mình răng:

98

Bai 2: Cho hinh chóp § SABCD, D, đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hay phan tích các vectơ SA, SB,SC,.SD theo các vectơ AB, AC và SỐ

Bài 3: Cho hình hộp ABCD ABCD' Đặt AC =c, AB =b, AD =d Hãy

phán tích các vectơ AB, AD, AA’ theo b, cuvàđ

+ 2Al=b+d-c

(Lay (1) + (3) - (2))

Vậy: AZ=2(B+ d-e)

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' Trên cạnh AB, DD, C'B' lan lượi lấy các điệm MỊ, N, P sao cho

AEE OP BP wo (O<k<))

AB DD BC' -

Da AA=a, A'B = AD! =c Phan tich cdc vecto MN, MP theo a be

từ* ã2 suy' ra việc biêu diện các vectơ đó theo các vectơ 4B' và AD"

~ Lưu ý: Để chứng mình các diém A, B, C, D đồng phẳng ta cân chứng

miine cde vecto AB, AC, AD dong phẳng

Bài 1: Cho Hình lập phương ABCD 41'BCTD' có tâm là O, I là tâm =ủa hình

bìml hành CDD'C" Chứng mình rằng AC, OI và B'D đông phẳng

101

Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC A'BC"' Gọi I, K lần lượt là trung điểm của

BB' va A'C’ Gọi M là điểm chia đoạn BC' theo tỉ số -> Chứng mình

Bài 3: Cho tứ diện ABCD P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Hai

— điểm M,N lần lượt chia hai đoạn thắng BC và AD theo cùng tỉ số k C' trứng minh rang P Q M, N nằm trên cùng một mặt phẳng

chu (AN +BM)= TW 7 AB PN + BB + Pit) =H Pat +P

Suy ra PO, PM, PN dong phing hay M, N, P, Q thudc cling mét mat phang

Dang 4 : Áp dụng phương pháp vectơ để giải một số dang bài toán

: Phương pháp:

1 Đề giải bài toán hình học bằng phương pháp veetơ ta tiền hành:

Bước 1: — Lựa chọn vectơ "gốc"

- huyền giả thiết kết luận bài toán vẻ ngôn xế vente

Bước 2: ~_ Biểu diễn các veetơ liên quan theo hệ vectơ "gốc"

~ Thực hiện các phép biển đổi các biếu thức vectơ theo từng yêu cầu bài toán

Bước 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học thông thường

2 Một số dạng bài toán sử dụng thuận lợi phương pháp vecto

— € “hứng mình ba điểm A, B, C thang hang ta can chứng minh

- AB/I AC(hodc ABII BC hode AC II BC) tie la ching minh AB = kAC voi k € R

Ngoài ra, để chứng mình A, B, C thang hàng ta có thể chứng

103

MB = kMC +(1—k)MA voi M bat ki, ke R

Đặc biệt nếu 0 < k < | thì B nằm trên đoạn AC _

._— Chứng minh ba đường thăng a, b, c đồng qui ta đưa về bài toán trên bang cách:

+ Goi {A}=anb

+ Chứng minh 4e c tức là chứng minh A, B, C thang hàng với

B, C là hai điêm trên c

~ Chứng mình AB / CD ta chứng minh AB = kCD, A, B CD không thẳng hàng

— Chứng minh AB ⁄ (P) ta chứng mỉnh “AB, a, b déng phẳng với

a, bla hai vecto khác không không cùng phương trên (P) Tức là chứng

- Chimg minh (Q) // (P) ta-qui về chứng mình hai đường thằng cắt

nhau trong (Q) song song với mặt phẳng (P)

— Các bài toán liên quan đến tỉnh độ dài, góc cẩn chú ý:

Bail: Cho hinh hép chữ nhật ABCD ABC "D' Goi G la trong tam tam giác

‘ABD Chitng minh rang A,-G, C’ thang hàng

Suy ra AG = 5a Vay A, G, C’ thang hang

Bài 2: Cho lăng tru ABCA'B'C' Goi G, G' lan lượt là trọng tám của (am giác:

ABC va A'B'C' Goi 1 là giao điểm của AP' và A'B Chứng mình rằng

Vi M chia 4D theo tỉ số ˆs nên 4M =— 4D 145 5

N chia B'C theo tỉ số -š nên AN =24C

= Fass base 5 5 4( Mer re |B te

Chon 4'A= a, AB’=b,AD'=c A, —M B

Không mắt tính tống quát, ta giả sử: 1 ms

106

Bài I: Cho tứ diện 4BCD Gọi M, N P, Ø lần lượt là trung điểm của 8C, CA

AB va CD 1 là trung điểm của PO Chứng minh rang:

1) BC.AM+CA.BN +4B.CP = 0

2) 14+18+1C+1D= 0 (*)

3) MA+MB+MC+ MD = 4MI voi moi M

4) Ila diém duy nhât thỏa mãn hệ thức (*)

Bài 2: Cho hình hộp xiên A8CDA'B'C'D' Gọi G la trong tâm tam giác 4B

I) Chứng minh rằng BD! =3BG

2) Gọi P, OQ, R lan luot la diém déi ximg D qua 4, B, C Chứng minh rằng 8

là trọng tâm của tứ diện PORD”

Bài 3: Cho tứ diện ABCD I là điểm tuỳ ý thoả mãn hệ thức

21A + IB — IC = 0 Chứng minh rang:

2DA? + DB? — DC? = 2D +214? + 1B — IC°

Bai 4: Cho tit dién ABCD M va N là trung điểm của DJ và DC Hãy phân tích

cdc vecto AM, BN, MN theo DA, DB, DC

Bài §: Cho tứ diện ABCD M và N 1a các điểm chia DB va AC theo ti sé:

mp =m, == NA =n Hay phan tich vecto MN theo cdc vectơ 24, 4B, BC

Bài 7: Cho tir dign ABCD Goi B,, C), Dị lần lượt là trong tam cua tam giác

ACD, ABD va ABC Gi, G2 lan uot là trong tam tam giac B,C\D, va BCD Chứng minh rằng A,Ơi,Œ; thẳng hàng

107

Bai 8: Cho hinh hop chir nhat ABCDA'B'C'D" P la diém trén dudng thang CC’

sao cho CD = KP M là điểm trên đường thẳng 4Ð; N là điểm trên đường

<

thang BD’ sao cho M, N, P thang hang Tinh a

Bai 9: Cho hinh hép chit nhat ABCDA'B'C'D’ Goi E Ia tâm của 48B44 N, ï

lần lượt là trung diém của CC" và CD Chứng minh răng EN // Al

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật 48CDA'B'CD' `

Bài J2: Cho hình hộp chữ nhật 4#CDA'8'C'D' Gọi AM, N lần lượt là trung

diém cia AA’ va B'C’ Ching minh rang MN //(DA'C’)

Bài 13: Cho hình hộp chữ nhật 48CDA'B'C'“D' Các điểm M, N lần lượt chia

AD' va DB theo ti so k (k 40; k # 1) Chứng minh rang MN // (A'D'BC)

Bai 14: Cho lang tru tam giac ABCA'B'C' Goi M, N lan luot là trung điểm của 4A' và

CC' G là trọng tâm tam của giác 4'8'C“ Chứng minh rang mp (MGC’) // mp(AB'N) Bài I5: Cho tứ diện 4BCD Ly cac diém M, N, P, Ó lần lượt thuộc 4, BC

CD va DA sao cho AM = 345, BN = 5 BC, AQ = 240 DP =kDC Hãy xác định k dé P, Q, Ä⁄, N đồng phẳng

Bài I6: Cho hình hộp chữ nhật 4ðCDA'B'C'D' Trên 44', BB', CC' lần lượt lấy

các điểm M, N, P sao cho AM 28 o SF 8 Trén doan CM, A'N lay

AA BB’ CC 4 các điểm E, F sao cho EF // B'P Tính tỉ số ae

Bãi !7: Cho hình hộp chữ nhật 4BCDA'B'C°D' P là điểm trên đường chéo A'C’

sao cho aed M thuộc 4B, N thuộc 8C sao cho M, N, P thang hàng

nh #4, AC MB NB

108

§2: HAI DUONG THANG VUONG GOC

A KIEN THỨC CƠ BẢN:

I Góc giữa hai đường thăng: Góc giữa hai đường thăng a, là góc giữa | hai đường thăng a' và b“cùng đ đi qua một điểm và lần lượt song song với a, ð |

Ki hiéu: @ =(a, a, b) Chi y: 0<@<90° 7 |

~ Hai dudng thang a, 4 duge gọi là vuông góc với nhau nêu góc giữa chúng

bang 90° Ki hiéu: a Lob

- Chiy: a Lb = u.v =0 trong dé w/a; v//b

- Nhận xét: Một đường thăng vuông góc với một trong hai đường thắng song song thì vuông góc với đường thăng kia

B CÁC DẠNG TOÁN:

Dang 1: Tính góc giữa hai đường thăng

*_ Phương pháp: Để xác định góc giữa hai đường thang a, b kí hiệu (a,b),

la thực hiện: | „

~ Lây một diém Ò bát kì, xác định a' qua Ó và a'/a; b' qua O va b'//b

~ Khi đó (a,b) = (a1, 8)

_ —_ Chú ý: Điểm O có thể lay ngay trên một trong hai đường thang

Vì AOMN can nén tacé MON = 2MOI = 120°

là các điểm thuộc các cạnh AB, BC và C'P' sao cho BM =2

CN = C8; CP= 2CP Xác định cosin của góc giữa các cặp đường

thang MN va AP; PN va MD'; A'P và DN BRM A

Giải:

* Góc giữa MN và AP

Dung PQ // MN (QO € A'D’)

Khi đó, (aN, AP) = APO

2PA' PS 493

111

Nhim xét: Ngoài phương pháp xác định góc giữa hai đường thằng theo cách trêm (ấp dụng định nghĩa), ta có thé xác định góc giữa 2 đường thẳng bằng cach quy về góc giữa hai veclơ

Dawg 2: Ching minh hai đường thẳng vuông góc

* Phương pháp: Đề chứng mình hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau:

— Cach 1: Néu hai đường thẳng a, b cắt nhau thì có thê áp dụng các phương pháp chứng minh vudng Sóc trong hình học phẳng

— Cách 2- Chứng minh w.v =0 trong đó w//a; v//b

- Cách 3: Chứng minh b / c và

112

Bài I: Cho tứ diện ABCD, trong đó AB = AC = AD = a BAC =60°;

BAD =60°: €4D=90° đọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Chứng mình rằng LJ L AB: lJ LCD A

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC,

tam giác 487 đều cạnh bằng a

Do do: IC = ID

Hay tam gidc JCD can tai Vay J LCD

Từ giả thiết suy ra tam giác 4CD vuông

cân tại 4, tam giác BCD vuông cân tại B D Suy ra 4J = BJ

Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA'BC'D' Goi M, N lần lượt là các điểm thuộc các đường chéo BA' và CB' của các mặt của hình lập phương sao cho

BM => MA, CN = 5 NB Chimg minh rang MN 1 BA’, MN LCB'

Suy ra MN.// KI Do vay MN 1: A'B

Nhân xét: T: ac có thể giải bài toán 0 này bằng phương pháp vectơ

Bai 3: Cho hinh chép SABCD co ABCD Ia hinh bình hanh voi AB = 2a; AD =

a SAB Ia tam gidc vuéng can tai A Goi M la mét diém trén cạnh 4D với

AM = x (0< x < a); ala mặt phẳng qua M và song song voi (SAB)

114

a) Ching minh rang œ cất hình chóp SABCD theo thiêt diện là hình thang

b) Tĩnh diện tích thiết diện đó theo ava x

Giải:

a) Vi M là điểm chung của ø và mặt phẳng (4BCD); a // (SAB) va

(SAB) > (ABCD) = AB

Từ đó suy ra un là hình thang vuông

b) Taco: § wry = 5 (MN + PQ) MO p lộ

Bài 1: Cho hình hop ABCDA'B'C'D' co canh bang a,

BAD = 60°, BAA’ = DAA' =120°

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng 4B và A'D; AC’ va B'D

b) Tính diện tích của hình A'BICD va ACC'A’ -

c) Tính góc giữa các đường thăng 4C” và các đường thang AB, AD và AA’

Bai 2: Cho tứ diện đều 4BCD có cạnh bằng a Goi M, N, P, Q, R lần lượt là

trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC

a) Chứng minh rằng MN 1 RP va MN L RQ

b) Ching minh rang AB 1 CD

115

Bai 3: Trong mat phẳng cho tam giác đều 4C cạnh bằng z, gọi Ó là trung điểm AC Lấy điểm $ ở ngoài (4BC) sao cho Š4 = a và S4 L BO ø là mặt phẳng chứa BO va song song voi SA

a) Chứng minh rằng ø cắt tứ diện theo thiết diện là một tam giác vuông b) Tính diện tích thiết diện đó

Bài 4: Cho tứ diện 4BCD có 4B = CD =a AC = BD = b;AD = BC =

a) Chứng minh các đoạn thăng nôi trung điểm của các cặp cạnh đối thi vudng góc với hai cạnh đó -

b) Tính của góc hợp bởi hai đường thăng 4C và BD

Bài 5: Trong mặt phẳng ơ, cho A4BC vuông tại 4, ® =60°, 4B = a Goi O la

trung điểm 8C Lấy điểm S ở ngoai a, sao cho SB = a và $B L OA Goi Mla

điểm trên cạnh AB, mat phang qua M song song vdi SB va OA cat BC, SC,

SA lan luot tai N, P, Q Dat x = BM

a) Chứng minh MNPO là hình thang vuông _

b) Tinh theo a va x diện tích MNPOQ va tim x dé dién tích đạt giá trị lớn nhat

Bài 6: Cho tit digén ABCD có ABC và DAB là hai tam giác đều cạnh báng a

DC = a2 Gọi M, N lần lượt là trung điềm của 4B và DC

a) Chứng mịnh răng ÄM⁄N là đường vuông góc chung của 4ð va DC

b) Chứng minh 4X L BN

c) Tính góc giữa DA và 8C

Bai 7: Cho tit dién ABCD

a) Chứng minh rang AB | CD = AC’ - AD’ = BC’ - BD”

b) Từ đó suy ra nêu một tứ diện có hai cặp cạnh đôi vuông góc với nhau thi

cặp cạnh đôi còn lại cũng vuông góc với nhau

Bài 8: Cho hình thoi ABCD canh là z và một điểm Š ở ngoải mặt phẳng chứa

hinh thoi sao cho SA = a va SA 1 BC

1) Chứng minh ASAD vuông cân

2) Tính góc giữa SD và BC

3) Gọi ï, J lần lượt là trung điểm của S4 và $C Tính góc giữa 1/ và B/

Bài 9: Cho tứ diện 4BCD Gọi M, N, P là trung điểm của BC, AD va AC Cho

AB = 2a; CD = 2aV2; MN =aV/5

Tính góc giữa 4B và CD

116

§3: DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG

A KIEN THUC CO BAN:

Kihigu: @ = (a, 4) Chu y: 0< a <90°

2 Điều kiện để đường thắng vuông góc với mặt phẳng:

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

~ Nếu a 1 mp(P) thì ta nói góc giữa đường thing a và mp (P) bang 90°

- Néu a không vuông goc voi mp(P) thi góc giữa đường thắng a và mp (P) chính là góc giữa đường thẳng z và hình chiếu a' của nó trên mp (P)

117

B CAC DANG TOAN:

Pang 1: Chitng minh duéng thẳng vuông góc với mặt phẳng

*_ Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mat phẳng

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 4B L (BCD), tam giác BCD vuông tại C

4a) Chứng minh CD L mp(ABC)

b) Gọi BH là đường cao của tam giác ABC

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tam O Goi I va J lan

lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Biết SA = SC, SB = SD Chimg

Bai 3: Cho tr dién SABC cé SA 1 (ABC) Goi H và K Ian lượt là trực tâm của

tam giac ABC va SBC Ching minh rang:

a) AH, SK va BC dong qui

Bai 4: Cho hình lập phương ABCD AiBịiCIĐ, Gọi P là trung điềm của AB; Q

là giao điểm của BC) và CB Chứng minh rằng D,Q L mp(PB,C)

Giải:

Ta có ADIB\C đều, Ó là trung điểm của BịC nên DịQ L ĐC (1)

That vậy, gọi R, S lan luot 1a trung P x ⁄

điểm cla CD va CC) Khi dé: RC, // PB) ‘i

119

Bài 4: (Giải bằng phu phương g pháp vect0)

Dang 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thăng

*_ Phương pháp: Ngoài các phương pháp chứng minh đã được nêu trong

&2, ta có thể sử dụng các phương pháp chứng minh sau để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b:

a) SA 1 (ABCD) Suy ra SA 1 AB; SA 1 AD

Vay tam giac SAB va SAD vung tai A

Hon nita SAL BC oS => BC 1 (SAB)

AB LBC

Suy ra BC 1 SB hay ASBC vuông tại Ö

Chứng minh tương tự, ASCD vuông tại D 7/7

c) Ta có tam giác vuông S4 băng tam giác vuông S4D

(Vi AB = AD; SA chung)

Suy ra HK 1 (SAC) Do dé HK 1 Al

Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác

nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc với nhau Gọi CH, FK là hai đường cao của tam gidc BCE va ADF

a) Chứng minh răng ACH và BFK là hai tam giác vuông

Suy ra CH L 4H hay AACH vuông tạ H D

121

Chứng minh tương tự ta có ABKF vuong tai K

b) Ta có CH L (4BEF) (chứng minh trên)

S Mặt khác 4C L BƑ —_ CH 1 BF = BF (ACH)

Vay BF 1 AH

Chứng minh tương tự ta có 8K L 4C

Bài 4: Cho tứ diện OABC có ÓA; OB; ÓC đôi một vuÔng góc với nhau Gọi H

là hình chiêu vuông góc của điêm O lên mặt phắng (ABC) Chứng minh

rằng:

4) H là trực tảm tam giác ABC

OH? OA? OB? OC? :

c) Các góc của tam giác ABC đêu nhọn

của 44 lên mp (48C) nên 4H L BC

Tương tự, ta chứng minh được 8H L 4C

Vay H la truc tam cua tam giac ABC l M

b) Goi M là giao điểm của 4H và 8C

Tacó BC 1 (OAH) suy ra BC | OM B

Mat khac, OA L (OBC) nén OA 1 OM

Dang 3: Tìm thiết diện tạo bởi mat phang qua | điểm và vuông góc với một

* Phuong pháp: Cho khoi da dién (S), tim thiét dién cua (S) tao boi mat

phang a qua diém M cho trước và vuông góc với đường thẳng A cho trước

— Cách ]: Tìm hai đường thăng căt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với A Khi đó mặt phẳng œ qua M ì œ song song hoặc chứa a hay b Từ đó

quy về dạng tìm thiết điện theo quan hệ song song

~ Cách 2: Xác định mặt phẳng ơ bằng cách dựng hai đường thăng cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có ít nhát một đường thăng qua M Mat

phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là œ và quy về dạng tìm thiết

điện theo quan hệ song song

Bài 1: Cho tứ diện S4BC có 4BC là tam giác vuéng can tai B; AB = a SA 1 (ABC)

và $4 = a3 Mlà điểm tr) ý trên cạnh AB sao cho AM = x (0 < x < q) Goi ala mặt phằng qua M và vuông góc với AB

a) Tìm thiết điện của tứ diện tạo bởi ơ

b) Tính diện tích thiết điện theo a va x Tim x dé diện tích thiết diện có giả

Vay S sero = 5x(a~x)<ã(*t4=*

Hay S sao <2

Vậy 6 ,„„ đạ giá tị lớn nhất bằng X2 a? khi x=a— xeoxat

Bai 2: Cho tứ điện ABCD có tam giác ABC đều cạnh a DA L (ABC) và DA = 2a Gọi œ là mặt phẳng qua B và vuông góc với DC Tìm thiết diện của tứ

điện với œ và tìm diện tích thiết diện đó

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có day ABCD là hình thanh vuông tại A và B với

AB = BC = a; AD = 2a; SA | (ABCD) va SA = 2a Gọi M là điểm trên cạnh

AB a la mat phẳng qua M, vuông góc với AB

a) Tìm thiết diện của œơ với hình chóp SABCD Thiết diện là hình gi?

b) Đặt AM = x (0 <x< a) Tính diện tích thiết điện theo a vax

124

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ B

“Ta có MP Z MO (Vì cùng song song với BC)

MN // SA | Mat khac: MQ// BC

b) 4/7 là đường cao của A41D Chứng minh rằng 4 L mp(BCĐ)

Bài 2: Cho hình chóp S48CD có đáy 4BCD là hình vuông cạnh z, mặt bên $4 là tam giác đều và SC = a\2 Gọi 1, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB va AD

¡) Chứng minh rằng %7 L mp(4BCD)

b) Chứng minh rang AC 1 SK va CK 1 SD

125

Bai 3: Cho hinh chóp SABCD cé ABCD la hinh vuéng SA 1 mp(ABCD)

a) Chứng minh rang DB L mp(SAC)

b) Goi M, N lần lượt là trung điểm của SC va SD

Chimg minh rang MN 1 mp(SAD)

Bai 4: Cho hinh chóp S4BCD có S4 L mp(4BCD) và ABCD là hình thang

vuông tại 4 và D với 4D = DC = Ex Gọi 7 là trung điểm của 4B

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp đều là tam giác vuông

b) Chứng minh rằng €7 1 SB va DI 1 SC

Bai 5: Cho hinh lap phuong ABCDA,B,C,D) Goi M, N lần lượt là trung điểm

của 4D và BB\ P là giao điểm của DC; va CD)

a) Chimg minh rang MN i A\C b) Chimg minh rang B,P 1 (PDC)

Bai 6: Cho tứ diện 4BCD có 4D 1 mp(48C), tam giác 4BC vuông tại C

a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện đều là tam giác vuông

b) Kẻ đường cao CH (H e 4B): AK (K e DC) của các tam giác ABC và DAC Chimg minh rằng các tam giác CHD; 4K là các tam giác vuông

c) Goi M, N, O lần lượt là các trung điểm của 4C; 4D và 4B Chứng minh

răng các tam giác O2MAN; KMN; KNO đều là tam giác vuông

Bai 7: Cho hinh chép SABCD, day ABCD là hình chữ nhật có 4ð = a,

BC = aN3, mặt bên S#C vuông tại , mặt bên SCD vuông tại Ð có

=a5

a) Chimg minh SA | mp(ABCD), tinh SA

b) Đường thẳng qua 4 vuông góc với 4C cắt các đường thang CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là hình chiếu của 4 trên SC Hãy xác định các giao điểm M, M cia SB, SD voi mat phang (HL) Chimg minh rang AM 1 (SBC), AN L (SCD)

c) Tinh dién tich AMHN

Bai 8: Cho hình chóp SABCD, day ABCD là nửa lục giác đều có

AB=BC=CD= a; SA 1 (ABCD) va SA =av3 M và ï là các điểm trên cạnh

SB, SD sao cho SM = 5 SB: ST = 3sp Mat phang (AMJ) ct SC tai N

a) Chimg minh rằng SD | (AM)

b) Chứng minh răng AN a trung diém cua SC

c) Chimg minh rang AN | NI va AM MI

đ) Tính diện tích thiệt diện tạo bởi (4A⁄7) và hình chóp

Bài 9: Cho hình chóp S4BCD có 4BCD là hình vuông cạnh bằng a SA 1 (ABCD) va SA = a2 Dung dudng cao AH cua tam giac SAB

126

SH _ 2 a) Chứng minh rằng °ˆ—” =^, : _

b) Gọi ø là mặt phẳng qua 4 và vuông góc với S ø cắt hình chóp S48ŒD theo thiết diện là hình gì? Tính điện tích thiết diện

Bài 10: Cho hình tứ diện S48C có tam giác 48C đều cạnh bằng a SA 1 (ABC)

va S4 = a Goi M la diém tuy y trén canh AC, CM = x (0 < x < a) la mặt

1 Góc giữa hai mặt phăng là góc giữa hai đường thằng lần lượt vuông góc với hai mặt phăng đó

2 Qui tắc xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Khi mặt phẳng (?) và (Ø) cắt nhau theo giao tuyến A, dé tinh góc giữa

chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với A lần lượt cắt (P) và

(Q) theo giao tuyến p, q Khi đó ((P); (Ó)) = (p,4)-

3 Gọi S là diện tích của đa giác H trong (P) và S" là diện tích của hình chiếu

S† trên (P') thì S° = S cosọ, với là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P`)

1 Đình nghĩa: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

907

2 Điều kiện đề hai mặt phang VHÔNg gÓC:

*_ Định lí: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thằng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

127

pane 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng

*_ Phương pháp: Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và

(O) hay góc phẳng nhị điện ta thực hiện:

~ Tìm giao tuyến e của hai mặt phẳng (P) và (Q)

~ Tìm một đường thang Vuông góc với e cắt (P) (Ó)

tại A và B

~ Từ A hoặc B dựng đường thăng vuông góc với c tại H

Khi do ((P), (Q)) = APB: goi là góc phẳng nhị diện cạnh c

Chú ý

+ Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai C

tam giác cân ABC, ABD có chung đáy AB thì

CID la góc phẳng nhị diện với 1 là trung điểm của

+ Néua, b la hai đường thẳng lần lượt vuông

góc với hai mặt phang (P), (Q) thi

+ Nếu góc phẳng nhị diện bằng 90° thì hai mặ: phẳng tạo thành nhị điện đó là vuông góc với nhau

Bài I: Cho hình chóp SABC co day ABC là tam giác vuông cân BA = BC = a,

SA L mp(ABC) và SA = a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

Do đó, góc giữa 2 mp (SMN) và (SBC) là góc ơ =arccos sói

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

đường tròn đường kính AB = 2a; SA L mp(ABCD) và SA = axl3

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (S4D) va (SBC)

b) Tính góc giữa hai mặt phăng (SBC) và (SCD)

129

- Giải:

a) Goi 7 là giao điêm của 4D và BC

Khi đó giao tuyến của (4Ð) và (SBC) là S1

Vay ((SAD); (SBC)) = BED 4

Tir gia thiét suy ra AJ = AB = 2a

Tương tu, dung AN 1 SC tai N thi AN 1 (SBC)

Tir do suy ra ((SCD); (SBC)) = MAN

Vi AM L (SCD) nén AM LAN Vay cosMAN = ait = sp

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) là œ = arceos 0

Bài 3: Cho hình vưông ABCD cạnh bằng a trong mặt phang (P) Hai diém M,

N làn lượt di động trên cạnh CB và CD Đặt CM = x, CN = y Trên đường

thang At L mp(P) lay điểm S Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho:

a) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 45”

b) Các mặt phằng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau

Giải:

a) Tacé SA 1 (ABCD) > S4 L AM: S4 L AN 5

Suy ra (4M) : (SBN)) = MAN

‘Theo bai rata cé MAN = =

Dat BAM =a; DAN = B

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có DA L mp(ABC); Ñ

tam giác ABC vuông tai B va N

BSC = 45° Goi ADB =a Xac dinh a dé

góc giữa hai mặt phẳng (ADC) và (BDC) J

Vay ((4D0); (BDC) = BIJ

Ta có ABJJ vuông tai J (vi BJ L (DAC))

Theo bai ra, B/J = 60° nén ABI là nửa tam giác đều

V3.BJ >— = —> 1 4

Mặ khác, ASBC vuông tại B (vì BC L (D4B)) nên BDC = 45° nén DBC là

tam giác vuông cân tại 8, hay DB = BC

AB _ AB

Ta có sinø =——= —— => 4B = BC.sinz

DB BC Hơn nữa, trong A4ðC vuông tại Ö có:

Từ đó suy ra: sa.) xe oy sin? ø 3 BC? sin? a +i=Šøna.E 3 5

Vay @ =arcsin is, 5

Dang 2: Chitng minh hai mat phang vuông góc

*_Phương pháp: Để chứng mình hai mặt phẳng vuông góc ta thực hiện

Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Cách 2: Chứng mình góc giữa 2 mặt phẳng bằng 90°

Bài I: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là ph vuông

tâm O, AB = a SO L mp(ABCD) và SỐ =— 3: Gọi M,

Tương tự, ta chứng minh (SA/M) 1 (SAD)

©) Ta có SỞ = Ý= + _ Vay tam gidc SMN vudng tai S

Hay SM LSN

Mặt khác SM L BC (vi BC 1 (SMN))

Ma SM c (SAD) => (SAD) 1 (SBC)

Bai 2: Cho hinh vuông ABCD, S là điểm trong không gian sao cho SAB la tam

gide déu va mp(S4B) L mp(ABCD)

a) Ching minh rang mp(S4B) L mp(S4D), mp(SAB) L mp(SBC)

a) Tacé SH 1 AB (vi AS4 đều)

Ma (SAB) 1 (ABCD) nén SH 1 (ABCD)

Giải:

Vậy AOHA vuông cân tại H

Do đó on = 94 3 Vay OH v2 = OB= OD _

Tir dé suy ra BHD = 90° hay (SAB) (SAD)

Dang 3: Chứng minh đường thăng vuông góc với mat phang

*_ Phương pháp: Ngoài cách chứng minh đường thang a vuông góc với mặt phẳng (P) đã nêu ở 63, ta có thể áp dụng các cách sau:

Bai 1: Cho hinh chép SABCD co day ABCD là hình chữ nhật Mặt SAB là tam

giác cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I

a) Ching minh rang SI L mp(ABCD)

b) Chimg minh rang AD vuông góc với mp(SAB)