Áp dụng phương pháp phân hoạch để giải toán trung học phổ thông

Đó là các bài toán dạng “ẩn”, mà ta phải áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp một cách khéo léo mới giải được.. Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến lý thuyết và một số áp dụng của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



BÙI NGUYÊN SƠN

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN HOẠCH

ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh

Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016

Tìm hiểu luận văn tại:

Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết mở đầu về Phân hoạch tập hợp tỏ ra khá đơn giản, nhưng những áp dụng của nó rất phong phú Nhiều bài toán khó trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế đôi khi được giải quyết khá nhanh gọn và độc đáo nhờ vào việc áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp Mà phương pháp ấy đôi khi cũng “bất quy tắc”

Các tập hợp khác rỗng A A1, 2, , A k được gọi là một phân

hoạch của tập hợp A nếu:

Mỗi tập con A i được gọi là một thành phần của phân hoạch

Trong lý thuyết về phân hoạch tập hợp, việc phân hoạch trên những tập rời rạc, đặc biệt trên tập số nguyên đóng một vai trò quan trọng Nhiều kết quả cổ điển xuất sắc đã ra đời từ lý thuyết này Những kết quả ấy còn độc đáo ở chỗ việc chứng minh chúng nhiều khi chủ yếu chỉ sử dụng một số tính chất cơ bản của Số học cùng với những suy luận logic, mà không phải áp dụng những công cụ mạnh chẳng hạn của Giải tích và Đại số

Có thể xem các bài toán về phân hoạch tập hợp như là một bộ phận của Toán Rời rạc, chủ yếu được nghiên cứu ở bậc Đại học và

Sau đại học, chưa được giới thiệu một cách bài bản trong chương trình Toán phổ thông, đặc biệt ở hệ Chuyên Toán

Một cách hình thức, có thể chia những bài toán này theo 2 dạng:

- Dạng toán yêu cầu nêu phân hoạch của tập hợp Đó là các bài toán dạng “hiện”, mà phân hoạch tập hợp là yêu cầu trong đề bài Chẳng hạn bài toán sau đây:

“Giả sử c là số hữu tỉ dương và khác 1 Chứng minh rằng có thể

phân hoạch tập các số nguyên dương thành hai tập khác nhau A và

B sao cho x c

y  , với mọi x, y cùng thuộc A hoặc cùng thuộc B ”

- Dạng toán giải bằng phương pháp phân hoạch tập hợp Đó là các bài toán dạng “ẩn”, mà ta phải áp dụng phương pháp phân hoạch tập hợp một cách khéo léo mới giải được Chẳng hạn bài toán sau đây:

“ Cho p và q là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau Chứng minh:

Luận văn góp phần giới thiệu một cách cơ bản về phương pháp phân hoạch tập hợp, với mục đích sẽ là một tài liệu tham khảo hữu

ích cho học sinh, sinh viên, giáo viên phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn đề cập đến lý thuyết và một số áp dụng của phương pháp phân hoạch tập hợp trong việc giải một số bài toán khó ở phổ thông, đặc biệt đối với bài toán Số học

Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên, giáo viên phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán

Do đó, việc nghiên cứu của luận văn là cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp phân hoạch trên tập hợp nào đó nói chung và trên tập số nguyên dương nói riêng

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Luận văn không quá đi sâu vào lý thuyết phân hoạch mà sơ cấp hóa nó, áp dụng phương pháp phân hoạch để giải một số bài toán khó của toán phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Từ các tài liệu sưu tầm được, luận văn sẽ đề cập ngắn gọn về phân hoạch tập hợp và áp dụng phương pháp phân hoạch để tìm tòi lời giải, cùng với việc đề xuất một số bài toán tương tự, phù hợp với toán phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Với mục đích nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn là có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho giáo

viên, học sinh và bạn đọc quan tâm đến vấn đề này

6 Cấu trúc luận văn

Với mục đích nêu trên, nội dung của luận văn gồm các phần sau đây:

Lời mở đầu

Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mục đích của đề tài, nội dung của đề tài và một số vấn đề khác theo quy định

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về phân hoạch tập hợp và một số lý thuyết quan trọng liên quan đến phân hoạch và được dùng nhiều trong chứng minh ở các chương sau như số Stirling

loại I, số Stirling loại II, Bài toán chia kẹo Euler, thuật toán “ba lô”, thuật toán “tham ăn”…

Chương 2 Phân hoạch nguyên

Là phân hoạch trên tập số nguyên, với một tập hợp xác định gồm các số nguyên nào đó, các bài toán cần phân hoạch tập hợp này thành một số tập hợp con rời nhau sao cho chúng thỏa mãn một tính chất nào đó là những dạng toán quen thuộc và quan trọng Chẳng hạn, cần phân hoạch một tập hợp các số nguyên xác định thành hai tập hợp con rời nhau sao cho tổng các số trong hai tập hợp con đó bằng nhau Đây là những dạng toán thường là rất khó

Chương này đề cập đến việc phân hoạch trên tập số nguyên, giải quyết một số bài toán khó ở cả dạng “ẩn” và “hiện”

Chương 3 Phân hoạch tập hợp

Chương này đề cập đến phương pháp phân hoạch và số cách phân hoạch trên tập hợp nào đó nói chung thỏa mãn một vài tính chất

cụ thể Đó có thể là bài toán nêu rõ yêu cầu phân hoạch ( dạng “ hiện”) chẳng hạn bài toán:

“Tìm số các phân hoạch tập hợp 1, 2, , n thành 3 tập con

2) Nếu cả ba tập A A1, 2, A3 đều không rỗng, thì có đúng một tập

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về phân hoạch tập hợp và một số lý thuyết quan trọng liên quan đến phân hoạch và được dùng nhiều trong chứng minh ở các chương sau

1.1 SỐ STIRLING LOẠI I VÀ LOẠI II

1.1.1 Chu trình của hoán vị

Trong các bài toán về phân hoạch tập hợp, ta không thể nào không nhắc đến số Stirling Đây là cơ sở để xây dựng các bài toán đếm một cách khá vững chắc, đồng thời kết hợp với các công cụ đại

số và giải tích khác sẽ giúp xây dựng được nhiều lý thuyết khác Chu trình trong một hoán vị a1, a2, , , a3 a n của các số

1, 2, 3, , n , là một tập con của các số này mà chúng đổi vị trí cho

nhau tạo thành một vòng Ta xét hoán vị sau

123456789f142357698,

trong hoán vị này,

 2 4,  4 3,  3 2

f  f  f nên có thể nói 2; 3; 4 tạo thành một chu trình Các số không đổi qua phép hoán vị được coi là một chu trình riêng biệt và do đó, trong hoán vị trên có tất cả 5 chu trình:

1.2 BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER

Bên cạnh các bài toán về số Stirling thì bài toán chia kẹo Euler liên quan đến số tổ hợp lặp là dạng khá phổ biến và quen thuộc

Dạng 1: Số cách chia n viên kẹo cho k em bé mà em nào cũng có

Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai

phần tử 0 và 1 Các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi

phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó

Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là:

CHƯƠNG 2 PHÂN HOẠCH NGUYÊN

Chương này đề cập đến việc phân hoạch trên tập số nguyên đồng thời giải quyết một số bài toán khó ở cả dạng “ẩn” và “hiện”

2.1 PHÂN HOẠCH NGUYÊN DẠNG “ HIỆN”

2.1.1 Phân hoạch tập các số tự nhiên thành 2 tập hợp có tổng các phần tử bằng nhau

Bổ đề 2.1 Từ n số nguyên cho trước, luôn chọn được một vài

số để tổng của chúng chia hết cho n

Định lí 2.1 (P Erdos, A Ginzburg, A Ziv) Từ 2 n1 số nguyên dương cho trước, luôn chọn được n số sao cho tổng của chúng chia hết cho n

Bổ đề 2.2 Nếu trong n1 số nguyên dương cho trước không tồn tại một nhóm số có tổng chia hết cho n thì n1 số đó có cùng số

dư khi chia cho n

Bài toán 2.1 Tồn tại hay không giá trị K nhỏ nhất để với mọi

số nguyên dương k K , tập hợp A luôn có thể phân hoạch thành 2 tập con có tổng các phần tử mỗi tập bằng N?

Định lý 2.2 Mọi tập gồm N1 số nguyên dương không lớn hơn N và có tổng bằng 2N , luôn phân hoạch được thành 2 tập con, mỗi tập có tổng các phần tử bằng N

Bổ đề 2.3 Với N2n và A là tập hợp 2 n1 số nguyên dương không lớn hơn N và có tổng bằng 2N Khi đó, A có thể phân hoạch được thành 2 tập con, mỗi tập có tổng các phần tử bằng

N

Bổ đề 2.4 Cho A là tập k số nguyên dương không vượt quá

N và A biểu diễn được đến N Khi đó A là tập hoàn chỉnh

Bổ đề 2.5 Nếu A và B là hai tập hoàn chỉnh thì C A B là tập hoàn chỉnh

Bổ đề 2.6 Cho A là tập các số nguyên dương và 1 A Khi

đó, tồn tại duy nhất một tập con hoàn chỉnh của A có số phần tử lớn nhất Gọi tập hoàn chỉnh này là H và h là tổng các phần tử của H Nếu tất cả các phần tử của A không vượt quá h thì H=A Nếu a A

Hệ quả 2.3 Cho tập A2 ,N k với N6 ; m k3m2 Tập

2 , 

A N k có thể phân hoạch được thành 2 tập con có tổng các phần

tử bằng nhau

Định lý 2.7 Cho một tập A có k phần tử là số nguyên dương

không lớn hơn N và tổng của các số này bằng 2N Khi đó, tồn tại giá

trị K nhỏ nhất để với mọi k K , tập A luôn phân hoạch được thành

2 tập con có tổng các phần tử mỗi tập bằng N, trong đó:

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng trong 35 số nguyên dương

không vượt quá 50 và có tổng bằng 100 thì có thể chọn ra một nhóm

số có tổng bằng 50

Hệ quả 2.4 Trong năm số nguyên bất kỳ, luôn tìm được vài số

để tổng của chúng chia hết cho 5

Bài toán 2.2 Gọi f(n), g(n) lần lượt là số phân hoạch của n

Bài toán 2.4 a) Hỏi có tồn tại cách phân hoạch tập hợp các số

nguyên dương thành các tập con có 2 phần tử A A, , A, , A sao

cho với mọi số nguyên dương n tổng các phần tử của A n là

1391 n ?

b) Hỏi có tồn tại cách phân hoạch tập hợp số nguyên dương thành các tập con có 2 phần tử A A1, 2, A3, , A n sao cho với mọi số nguyên dương n tổng các phần tử của A n là 1391 n 2 ?

Bài toán 2.5 Chứng minh rằng có thể phân hoạch tập hợp các

số tự nhiên thành 100 tập khác rỗng sao cho với bất kỳ 3 số tự nhiên

a, b, c thỏa mãn a99bc thì 2 trong số chúng thuộc cùng một tập hợp

Bài toán 2.6 Giả sử c là số hữu tỷ dương và khác 1 Chứng

minh rằng có thể phân hoạch tập các số nguyên dương thành 2 tập

khác nhau A, B sao cho x c

y  với mọi x, y cùng nằm trong A hoặc cùng nằm trong B

Bài toán 2.7 Có bao nhiêu cách chia 15 đồ vật đôi một khác

nhau cho 5 người, sao cho trong số đó có đúng 2 người không nhận được đồ vật nào?

2.2 PHÂN HOẠCH NGUYÊN DẠNG “ ẨN ”

Bài toán 2.8 Cho bảng ô vuông  a ij với i1, , n j1, n và điền các số từ 1 đến n theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống 2

dưới Người ta viết ghép các hàng của bảng này theo thứ tự từ trái

sang phải được một dãy X Tiếp tục ghép các cột của bảng này thành dạng hàng ngang cũng từ trái sang phải được dãy Y Một phép biến đổi cho phép đổi chỗ 2 số cho nhau Hỏi ít nhất cần bao nhiêu phép biến đổi để đưa X về Y?

Bài toán 2.9 Cho A là tập tất cả các hoán vị

Bài toán 2.11 Từ việc so sánh phân hoạch của n thành các số

1, 2 chứng minh rằng

0 , , 2

Bài toán 2.12 Cho số nguyên dương k Dãy số

 x n , n1, 2, 3, được xác định như sau:

(i) x11

(ii) Với mỗi số nguyên dương n1 thì x n1 là số nguyên dương bé nhất không thuộc tập

x x1; ; ; ; ; 2 x3 x n x1k x; 22 ; k x33 ; ; k x nnk Chứng minh rằng tồn tại số thực a sao cho x n   na với mọi

*

n

Bài toán 2.13 Xét dãy các số 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, là có

thể biểu diễn thành tổng của ít nhất hai số nguyên dương liên tiếp Gọi f n  là số hạng thứ n của dãy Chứng minh rằng

f n  n  n n 

Bài toán 2.14 Chứng minh rằng tập các số tự nhiên có thể

được tô bởi 2 màu mà 2 điều kiện sau đây được thỏa mãn:

i) Với mỗi số nguyên tố p và mỗi số tự nhiên n thì các số

1

,

p p  và n 2

p  không được tô cùng màu

i)) Không tồn tại một cấp số nhân vô hạn của các số tự nhiên

có cùng màu

CHƯƠNG 3 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP

Chương này đề cập đến phương pháp phân hoạch và số cách phân hoạch trên tập hợp nào đó nói chung thỏa mãn một vài tính chất

cụ thể

3.1 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ HIỆN ”

3.1.1 Các dạng của phân hoạch tập hợp

Trong toán học, người ta tổng hợp các bài toán về phân hoạch tập hợp hay có thể hình dung là phân chia đồ vật và phân thành 12 dạng với tên gọi nổi tiếng “ Twelvefold Way” Dưới đây, ta xét bài

toán chung là: Xác định tất cả số cách cho n quả bóng vào k hộp

Các kiểu phân hoạch được đặc trưng bằng 1 ánh xạ đi từ tập các quả bóng đến các hộp được liệt kê đầy đủ dưới đây, chú ý rằng:

 Ánh xạ bất kỳ: việc phân chia là tùy ý, không có ràng

Trường hợp 1: Các quả bóng đôi một khác nhau và các hộp

đôi một khác nhau

 Ánh xạ bất kỳ: mỗi quả bóng đều có thể xếp vào một hộp tùy ý Kết quả là n

k

 Đơn ánh: Nếu nk thì không có cách xếp thỏa mãn

vì theo Nguyên lý Dirichlet, sẽ có 1 hộp chứa nhiều

hơn 1 quả bóng, kết quả là 0 Nếu n k , ta thấy quả bóng đầu tiên có thể đặt vào k hộp, quả thứ 2 có thể đặt vào k1 hộp còn lại và cứ thế Kết quả là

Trường hợp 2: Các quả bóng giống nhau và các hộp đôi một

khác nhau

 Ánh xạ bất kỳ: Do các quả bóng giống nhau nên ta chỉ xét có bao nhiêu quả được đưa vào mỗi hộp, tương ứng với bài toán chia kẹo Euler trong trường hợp không nhất thiết em nào cũng có kẹo Kết quả là

1 1

k

n k

C 

 Đơn ánh: Tương tự trên, nếu n k thì kết quả là 0

1

k n

C

Trường hợp 3: Các quả bóng đôi một khác nhau và các hộp

đều giống nhau

 Ánh xạ bất kỳ: Do các quả bóng là khác nhau nên ta

dánh số chúng từ 1 dến n , dẫn đến bài toán phân

hoạch tập hợp 1, 2, 3, , n thành không quá k tập

 Ánh xạ bất kỳ: Tương ứng với bài toán phan hoạch số

n thành không quá k thành phần Kết quả là

p n  p n   p n

 Đơn ánh: Tương tự trên, nếu n k thì kết quả là 0

Nếu n k thì rõ ràng chỉ có 1 cách xếp Kết quả là 1

 Toàn ánh: Tương ứng với bài toán phân hoạch số n thành đúng k thành phần Kết quả là p k n

3.1.2 Các bài toán chọn lọc

Bài toán 3.1 Tìm số các phân hoạch tập hợp 1, 2, , n

thành 3 tập con A A1, 2, A3 (các tập này có thể rỗng ) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

1) Sau khi sắp xếp các phần tử của A A1, 2, A3 theo thứ tự tăng dần, thì 2 phần tử liên tiếp luôn có tính chẵn, lẻ khác nhau 2) Nếu cả ba tập A A1, 2, A3 đều không rỗng, thì có đúng một tập có số nhỏ nhất là số chẵn

Bài toán 3.2 Cho tập M gồm n số dương a1, a2, , a n Xét tất

cả các tập hợp con T i khác rỗng của M Gọi s i là tổng các số thuộc tập con T i nói trên Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các

số s i được thành lập như vậy thành n tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỉ số của hai số bất kỳ thuộc cùng một tập hợp con vừa được phân chia không vượt quá 2

3.2 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP DẠNG “ẨN”

Bài toán 3.3 Xác định số nghiệm của các phương trình sau

a) x x x   x 2013 với x i i, 1, n