Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học

Vì vậy, việc khai thác các ứng dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài toán còn rất hạn chế.. Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức, tìm hiểu sâu hơn cá

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13

tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật Số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình Toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Tuy nhiên, đối với HS bậc PTTH thì số phức là một nội dung còn mới mẻ Với thời lượng không nhiều, HS mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số phức Vì vậy, việc khai thác các ứng dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài toán còn rất hạn chế

Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức, tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong chương trình toán bậc PTTH nhằm đưa số phức trở thành công cụ giải toán và được sự định hướng của PGS TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn

đề tài “Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học” làm

đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức

- Ứng dụng vào việc giải một số bài toán của chương trình PTTH, từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán nói riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số phức như một công cụ để giải toán, phân loại các dạng bài toán có thể

sử dụng số phức để giải được và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức, các dạng biểu diễn của số phức, một số bài toán của chương trình PTTH có thể sử dụng

số phức để giải được

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là ứng dụng của số phức trong việc giải một số bài toán của chương trình phổ thông trung học

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến số phức và các ứng dụng của nó

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Nâng cao kiến thức, kĩ năng sử dụng công cụ số phức nhằm đưa ra cách giải hiệu quả cho một số dạng toán thường gặp ở trường PTTH Góp phần phát huy tính tư duy và tự học của học sinh

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày khái niệm, các phép toán trên tập số phức, các dạng biểu diễn của số phức

Chương 2 trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán trong hình học, lượng giác, đại số ở chương trình phổ thông trung học

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan về số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, các phép toán trên tập hợp số phức, các dạng biểu diễn của số phức… Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu [1], [4], [6], [9]

a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez

b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz

· Số phức liên hợp

Cho z a ib a b = + , " , Î ¡, khi đó z a ib = - Î £ được gọi

là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z

Giả sử z2 ¹ 0 Khi đó ta có thể tìm được một số phức

z = a + ib sao cho z z2 = z1 Theo định nghĩa của phép nhân ta

=

1.3.5 Lũy thừa bậc n của số phức

Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức

z Kí hiệu zn

1.3.6 Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai

a Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w, số phức z = a + bi thoả z2 = w được gọi là căn bậc hai của w

MN = - n m = d m;n Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng

AB Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k Î ¡ \ { } 1 khi và

chỉ khi MA k MBuuur= uuur

, a m k b m - = ( - ) trong đó a, b và m là tọa vị

các điểm A, B và M theo thứ tự đó

Từ đó, nếu kí hiệu [ ] AB là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu

(AB) là chỉ đường thẳng AB, kí hiệu [ AB ) là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau

Cho trước hai điểm A a ,B b ( ) ( ) phân biệt và điểm

a Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

1 1 2 2

M z ,M z và a =k arg z ,kk = 1 2 , Khi đó:

(OM ,OMuuuur uuuur 1 2) (º Ox,OMuur uuuur 2) (- Ox,OMuur uuuur 1) (mod2p)

hay góc định hướng tạo bởi tia OM1 với tia OM2 bằng 2

1

z arg

z

b Tích vô hướng của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M z ,M z1( )1 2( )2 Khi đó

·

OM OMuuuur uuuur=OM OM cosM OM

d Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M z ( )0 đến đường thẳng

-Phép đối xứng trục -Phép đối xứng qua đường thẳng llà

phép biến hình biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho l là trung trực của MM' Từ đó

h Tích ngoài của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M z ,M z1( )1 2( )2

Mỗi số phức a + bi hoàn toàn được xác định "a; bÎ £gọi là các thành phần của chúng

Định nghĩa 1.1 Một cặp số thực có thứ tự (a; b), aÎ ¡,

bÎ ¡ được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:

iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b) (c; d) := (ac -bd; ad +bc)

và cặp (ac - bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d) iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số thực a, nghĩa là: (a; 0) : = a hay là (a; 0) º a

Tập hợp các số phức được kí hiệu là £

1.4.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số

Mọi số phức (a; b) Î £ đều được biểu diễn dưới dạng: (a; b)

= (a; 0)+ (b; 0) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi , trong đó cặp (0; 1) được

ký hiệu bởi chữ i

Từ tiên đề iii) ta có: i2 = (0;1)(0;1) = (0.0 -1.1; 0.1+1.0) = (-1; 0) = -1

Biểu thức (a; b) = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức

1.4.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a; b) Mỗi số phức z = a + bi có thể đặt tương ứng với điểm M(a; b) và ngược lại, mỗi điểm M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức z = a + bi

Nhờ phép tương ứng: M(a; b) aa + bi, ta có thể xem các số phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu tại gốc tọa độ O(0; 0) và điểm mút tại M(a; b)

1.4.4 Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận

Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường số thực

1.4.5 Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ

a Dạng lượng giác của số phức

Vì mỗi điểm có tọa độ (a, b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ có bán kính véc tơ r= a2+ và góc cực tương ứng b2 j

Do đó mỗi số phức z có thể biểu diễn dưới dạng z r c= ( osj+isin )j Đây là dạng lượng giác của số phức, trong đó r, j lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z Bán kính r gọi là modun của số

phức z, kí hiệu r= z Góc cực j gọi là argument của số phức z, kí hiệu là j=Argz

z r c = j + j , theo công thức ở trên ta có

z = r c j + j = r c j + n j " Î n N

Công thức trên được gọi là công thức Moivre

Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

TRUNG HỌC

Trong chương này, chúng tôi trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số dạng bài toán trong hình học, lượng giác và đại số Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu [2], [3], [5], [6], [7, [8], [9], [10]

2.1 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

2.1.1 Các bài toán về chứng minh tính chất hình học

và tính toán

Bài toán 1 Trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy cho tam

giác ABC, với các đỉnh A(1; 0), B(0; 3) và C(-3; -5)

1) Xác định điểm I thỏa mãn điều kiện:

C

2IA - 3IB + 2I = 0 uur ur uur r

2) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC và điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Nhận xét: Vì có thể đồng nhất mỗi số phức với một điểm

trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên từ giả thiết của bài toán ta có thể xác định được tọa độ của các điểm I hay G thông qua thông qua việc biểu diễn điểm và vectơ theo tọa độ phức Vì vậy bài toán có thể giải được bằng số phức

Học sinh vẫn thường làm bằng phương pháp tọa độ, xuất phát

từ việc gọi tọa độ của điểm và áp dụng biểu thức vectơ đã cho Từ đó tính được tọa độ của I nhờ tính chất của hai vectơ bằng nhau Như vậy, nếu sử dụng số phức để giải bài toán này thì có một thuận lợi nổi bật đó là mỗi điểm chỉ có một tọa độ phức, còn theo cách cũ ta phải xác định được hai tọa độ

Bài toán 2 Cho tam giác ABC Trên BC lấy các điểm E và F

sao cho EB k EC, FB 1FC k( 1).

k

uur uuur uur uuur

1) Tính uuur uuur uuur AE,AF , EF theo AB,AC. uur uuur

2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm 3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho

DA k DB, IC k IA. = =

uuur uuur uur uur

Chứng minh uuur uur uuur r AE BI CD + + = 0

Bài toán 3 (Bất đẳng thức Ptolemy) Cho tứ giác ABCD

Chứng minh rằng ta luôn có AB.CD AD.BC + ³ AC.BD. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ tự là đỉnh của một

tứ một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn

Bài toán 4 (Bài toán Napoleon) Lấy các cạnh của BC, CA,

AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với tâm tương ứng A ,B ,C0 0 0 Chứng minh rằng : A ,B ,C0 0 0 là đỉnh của một tam giác đều

Bài toán 5 (IMO 1977) Cho hình vuông ABCD Dựng về

phía trong hình vuông các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN

Chứng minh rằng các trung điểm các đoạn thẳng KL, LM, MN,

NK, BK, BL, CL, DM, DN, NA là đỉnh của một thập nhị giác đều

Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giải được bằng phương

pháp tọa độ, hay phương pháp tổng hợp, tuy nhiên lời giải khá dài Bằng công cụ số phức để giải bài toán này đã làm giảm đi đáng kể các động tác biến đổi phức tạp trên các vec tơ

2.1.2 Các bài toán về tính chất thẳng hàng, đồng quy

Số phức cũng tỏ ra hiệu quả trong các bài toán về thẳng hàng,

đồng quy

Bài toán 6 Cho ABCD và BNMK là hai hình vuông không

giao nhau, E là trung điểm của AN Gọi F là chân đường vuông góc hạ

từ B xuống đường thẳng CK Chứng minh rằng các điểm E, F, B thẳng hàng

Bài toán 7 ( Định lí con nhím) Trong mặt phẳng cho đa giác

Bài toán 8 Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta

lần lượt dựng các tam giác đồng dạng có cùng hướng là ADB, BEC, CFA Chứng minh rằng các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

Bài toán 9 (Đường tròn Euler và đường thẳng Euler)

Cho tam giác A A A1 2 3 có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, trực

tâm H, trọng tâm G Gọi B ,B ,B1 2 3 lần lượt là trung điểm các cạnh

2 3 3 1 1 2

A A , A A , A A ; P ,P ,P1 2 3 là chân đường cao hạ từ hạ từ

1 2 3

A , A , A xuống các đỉnh tương ứng; C ,C ,C1 2 3 là trung điểm của

đoạn thẳng nối từ đỉnh A , A , A1 2 3 với trực tâm của tam giác Chứng

minh rằng

a) H, O, G thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này gọi

là đường thẳng Euler

b) Chín điểm B ,B ,B1 2 3, P ,P ,P1 2 3,C ,C ,C1 2 3 thuộc một

đường tròn, gọi là đường tròn Euler

2.1.3 Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc

Bài toán 10 (Đề vô địch Anh 1983) Cho tam giác ABC cân

đỉnh A, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D là trung

điểm của AB và J là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh rằng

IJ ^ CD

Bài toán 11 ( IMO 17, 1975)

Về phía ngoài của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam giác

ABR, BCP, CAQ sao cho:

Chứng minh rằng: = 90, RQ = RP

Bài toán 12 Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ

BC chứa điểm C, dựng hình vuông ABDE Trong nửa mặt phẳng bờ

BC chứa điểm A, dựng hình vuông BCFG Chứng minh rằng

GA ^ CD

Nhận xét: Để ý đến biểu thức tọa độ của các phép biến hình,

ta thấy phép tịnh tiến tương ứng phép cộng số phức, phép quay tương ứng với phép nhân số phức có mođun bằng 1, phép vị tự là phép nhân

với số thực, phép vị tự quay là phép nhân với số phức bất kì

2.1.4 Các bài toán về đại lượng hình học

Bài toán 13 Cho ba hình vuông được biểu diễn như hình vẽ

2.1.5 Các bài toán về xác định tập hợp điểm

Bài toán 15 Cho hình bình hành ABCD

1) Chứng minh rằng: ( MA2+ MC ) ( MB2 - 2 + MD )2 là hằng số, không bị phụ thuộc vị trí điểm M

MA + MB + MC + MD = k (k là số thực)

Nhận xét: Nhận thấy rằng trong các biểu thức trên có chứa bình

phương độ dài của các đoạn thẳng Các đại lượng đó cũng chính là bình phương môđun của các số phức tương ứng Từ đó áp dụng các kiến thức về số phức ta dễ dàng suy ra yêu cầu của bài toán

Bài toán 16 Cho tam giác ABC, trong đó các đỉnh B, C cố

định, đỉnh A thay đổi Tìm quỹ tích các trung điểm M, N của các cạnh tương ứng AB, AC và trọng tâm G của tam giác ABC trong các trường hợp:

a) Độ dài đường cao AA' không đổi

b) Chân A' của đường cao AA' cố định

c) Độ dài đường cao AA' không đổi

Bài toán 17 Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm

M chuyển động trên (C), A' là điểm đối xứng của A qua M Tìm tập hợp điểm A' và trọng tâm G của tam giác A'AB

Bài toán 18 Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố

định Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A Tìm tập hợp điểm D

Bài toán 19 Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là

dây cung cố định không phải là đường kính của đường tròn (C), điểm

A chuyển động trên cung lớn BC Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC

2.2 ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC

2.2.1 Các bài toán về tính toán

Bài toán 20 Hạ bậc f x ( ) cos = 4 x

Yêu cầu của bài toán là biến đổi các lũy thừa bậc cao của cosx hay sinx như: cosn x, sinn x và cosp x sinp x thành tổng chứa

các số hạng bậc nhất đối với cos x a hay sin x b Như vậy bài toán

có thể sử dụng công thức Euler để giải quyết, tức là có thể giải được bằng số phức

Nhận xét: Cần chú ý rằng nếu hạ bậc thành thạo và biết kết

hợp với công thức Moivre chúng ta có phương pháp giải quyết các phương trình lượng giác bậc cao hoặc phương trình lượng giác có chứa biểu thức của sin và cosin của cung bội rất hiệu quả

với ( ) 1n22C cosx.sin1 n

n n

sin 5 16 sin 20 sin 5 sin

os5 16 cos 20 cos 5 cos

Bài toán 26 Cho a, b, c là các số thực sao cho:

cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0

Chứng minh rằng:

cos2 a + cos2 b + cos2 c = sin2 a + sin2 b + sin2 c = 0

2.2.3 Các bài toán về phương trình lượng giác

Bài toán 27 Giải phương trình lượng giác

b) tan2x + cot2x = 6.

Nhận xét chung: Thông qua những kiến thức cơ bản về số

phức, giáo viên lấy những ví dụ đơn giản và phức tạp dần trong lượng

giác mà giải bằng ngôn ngữ số phức, qua đó phân tích, so sánh, đánh

giá để gây hứng thú cho học sinh trong việc dùng số phức để giải toán

lượng giác

2.3 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP

2.3.1 Các bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng

4 os cosc x y +sin x y- + 4sin xsin y+sin x y- ³2 "x y R, Î

(Đại học Công đoàn – 1995)