Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Mục tiêu: 1-KT: Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2-KN: Nâng cao trình độ và kỹ năng về Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

Trang 1

Tuần 22 Tiết 1,2 Ngày soạn: 11/1/16

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I Mục tiêu:

1-KT: Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2-KN: Nâng cao trình độ và kỹ năng về Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

3-TĐ: Giáo dục HS ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận, chính xác trong giải toán

- Tìm nghiệm của đa thức

- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ)

III / Phương pháp và Bài tập

Trang 4

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tt)

I Mục tiêu:

1-KT: Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2-KN: Nâng cao trình độ và kỹ năng về Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

- Tìm nghiệm của đa thức

- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ)

III / Phương pháp và Bài tập

Trang 6

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

612143

a c

ac b d

ad bc bd

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)

= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3

⇒

12

410

3

612

Trang 7

5) 64x4 + y4 9) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6

6) x3 + 3xy + y3 – 1 10) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 17) x8 + x + 1 11) x8 + 3x4 + 4

8) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 12) x4 - 8x + 63

Trang 8

CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ

I Mục tiêu:

1-KT: Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp rút gọn biểu thức

2-KN: Rèn kỹ năng về giải một số bài tập về rút gọn biểu thức

II Kiến thức cần nhớ:

Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ

a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0

b) Phân tích tử thành nhân , chia tử và mẫu cho nhân tử chung

III Phương pháp và Bài tập:

Bài 1: Cho biểu thức A =

Trang 9

2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)

= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)

Với x ≠ 3 và x ≠ 1

3Thì B =

(x - 3) (2x + 5) 2x + 5(x - 3) (3x - 1) = 3x - 1

c) B > 0 ⇔ 2x + 5

3x - 1 > 0 ⇔

13

52

x x

x

x x

Trang 10

b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên

c) Tìm giá trị của D khi x = 6

Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2+)

Trang 13

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

I Mục tiêu:

1-KT: Hệ thống lại các công thức và phép biến đổi căn thức

2-KN: Rèn kỹ năng giải một số bài tập về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) ∈ D

2 Định ngha giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D :

M được gọi là GTNN của biểu thức f(x,y, ) trên miền D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoảmãn :

Tổng quát : ( A )2k≥ 0 ∀ A ≥0(A là 1 biểu thức)

2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :

a) |x| ≥ 0 ∀ x∈|R

b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0

c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0 và |x| ≥ |y|

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = a2 = = an

Một số BĐT đơn giản được suy ra từ BĐT (A+B) 2≥ 0.

a. a2 + b2≥ 2ab

Trang 14

+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến

Kí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

2 + (c -

2

b 4a )Đặt c -

2

b

4a = k Do (x +

b 2a )

a

b b

a

b a a

b + ≥ +

411

Trang 15

13x - 1 = - 2 x = -

Ta có từ (1) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1≤ ≤x 4

(2) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2≤ ≤x 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2≤ ≤x 3

Trang 16

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của

a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4

Đặt x + 7 = y ⇒ C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1 = 2y4 + 12y2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 0 ⇔ x = - 7

b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9)

= (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 ≥ 0 ⇒ min D = 0 ⇔ x = 3

4 Dạng phân thức:

a Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

Biểu thức dạng này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLN

3x - 8x + 6

x - 2x + 1+) Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Trang 18

Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x + y + z = 1

Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z ≥3 xyz3 3 1 1

729 khi x = y = z =

13

6 8 3

x x

(x ≠1)

d D = x3 + y3 + xy biÕt x + y = 1

e E =

xy y

x

xy y x

2

)(

4++

++

196747

−

x x

3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A =

3 2

6 4

2

+ +

+

x x

Trang 19

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH DẠY BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 9

NĂM HỌC 2015-2016

22 1,2 Phân tích đa thức thành nhân tử

23 3,4 Phân tích đa thức thành nhân tử(tt)

Ký duyệt của BGH Ký duyệt của tổ trưởng

Trần Thành Được Nguyễn Trí Hiếu

Trang 21

Trang 22

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC

I Mục tiêu:

1-KT: Hệ thống lại các kiến thức về tứ giác (các tứ giác đặc biệt)

2-KN: Rèn kỹ năng về giải một số bài tập chứng minh hình học

II Kiến thức cần nhớ:

Định nghĩa, tính chất về (các tứ giác đặc biệt)

Các dấu hiệu nhận biết

III Phương pháp và Bài tập:

Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD Hai

đường phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K Chứng minh C,D,K thẳng hàng

HD :

Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC Dễ dàng chứng minh được DAK cân tại D

Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA

=> BK là phân giác của góc B

Bài này có thể c/m theo hướng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A và B

C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm

Bài 2 :

Cho tứ giác ABCD Gọi A’B’C’D’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD,ABC Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’,DD’ đồng quy

HD : Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung điểm của A’C

- Tam giác CAA’ có EJ là đường trung bình nên EJ//AA’

- Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và // với EJ nên AA’ qua trung điểm I của FE

- Hoàn toàn tương tự chứng minh được BB’, CC’,DD’ qua I

- Các đường thẳng trên đồng quy tại I

B

E

I

Trang 23

Bài 3 : Cho hình thang ABCD M,N lần lượt là trung điểm của hai đáy AD và BC O là điểm thuộc

MN Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang Đường thẳng này cắt AB,CD lần lượt tạiE,F Chứng minh rằng OE=OF

HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau )

Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để được SEMN =SFMN

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lượt là hai đường cao của hai tam giác

=> OE =OF

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE =

AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF

3 Chứng minh rằng: 1 2 = 1 2 + 12

AD AM AN .

Hướng dẫn của GV

N M

a) Ta có ·DAM = ABF (cùng phụ ·BAH )·

Trang 24

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

ΔCBH ΔEAH

2 ΔCBH

⇒  ÷ nên BC2 = (2AE)2

⇒ BC = 2AE ⇒ E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

2)Gọi P là giao điểm của AC và KE Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân

3)Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ Chứng minh ba điểm

H, I, E thẳng hàng

4)Chứng minh rằng HE // QK

Trang 25

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

I Mục tiờu:

1-KT: Hệ thống lại cỏc kiến thức về biến đổi căn thức

2-KN: Rốn kỹ năng về giải một số bài tập rỳt gọn biểu thức chứa căn

3-TĐ: Giỏo dục HS ý thức học tập nghiờm tỳc, cẩn thận, chớnh xỏc trong giải toỏn

2

x 1 2

) x 1 ( )

x 1 ( x 1 1

x 1 2

x 1 2 x 1 x 1 2

x 1 x 1

1 x 0 khi x 2

2 A ≥

2 1

Khi 0 ≤ x ≤ 1 thỡ

2

1 x

2 2

1 x

2 2

≥ −Khi đó PT ⇔ x2 - x = 2( 1 16x 1) + +

Trang 26

Bài 3 : a) Rút gọn biểu thức 2

)1(

1:)1

1(

x

x x

x x P

a 3) 3(

Hướng dẫn: Điều kiện x ≤ 5 do đó x−5 =5−x

Giải phương trình 2+ 5−x =5−x ta được x = 1

Bài 5: Cho biểu thức 2 9 3 2 1

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,05 MB