Luận văn Thạc sỹ Khoa học Bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

19 3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23 3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.. Nhưng trong luận văn nàychỉ tập chung vào việc b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MINH

BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN MINH

BẢO HỘ TRONG THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: TOÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Mã số : 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên 5

1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính 10

1.2.1 Chứng khoán phái sinh 10

1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá 12

2 Định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ 13 2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ 14

2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy đủ 17

2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu Âu trong thị trường đầy đủ 19

3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ 23 3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình 23

3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và không gian các chiến lược đầu tư 25

3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 26

3.2.2 Định nghĩa 3.2.2 26

3.3 Tính đóng của GT(Θ) và phân tích Fo¨llmer-Schweizer 28

3.3.1 Mệnh đề 3.3.1 28

3.3.2 Bổ đề 3.3.2 30

3.3.3 Mệnh đề 3.3.3 31

3.3.4 Hệ quả 3.3.4 32

3.3.5 Hệ quả 3.3.5 33

3.3.6 Bổ đề 3.3.6 34

3.4 Mô tả chiến lược tối ưu 36

3.4.1 Định lí 3.3.7 37

3.4.2 Hệ quả 3.4.9 41

3.5 Xấp xỉ một tài sản phi rủi ro 41

3.6 Bảo hộ trong trường hợp quá trình cân bằng mean-variance tất định 43

3.7 Mô hình khuyếch tán hầu đầy đủ 44

3.8 Mô hình biến động ngẫu nhiên có tính Markovian 47

3.9 Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên 50

Lời nói đầu

Định giá và bảo hộ tài sản phái sinh là một trong những vấn đề quantrọng của tài chính nói chung và toán tài chính nói riêng Trong thị trườngđầy đủ thì có thể bảo hộ một cách chính xác bởi một chiến lược giao dịchduy nhất Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì có nhiều chiến lược

để bảo hộ, vần đề là cần tìm ra chiến lược tối ưu nhất theo nghĩa nào đó.Việc bảo hộ có nhiều cách tiếp cận khác nhau Nhưng trong luận văn nàychỉ tập chung vào việc bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bìnhphương trung bình, luận văn đưa ra một số kết quả và ví dụ về bảo hộbình phương trung bình cho quá trình ngẫu nhiên liên tục Mục tiêu chính

là đưa ra những chứng minh chính xác để xét đến việc có thể sử dụng hoặckhông đến độ đo martingale nhỏ nhất để nghiên cứu vấn đề này

Cho X là nửa martingale có dạng X = X0 + M +R dhM iˆλ Quá trìnhcân bằng bình phương trung bình của X kí hiệu là K =ˆ R λˆtrdhM iˆλ và

Θ là không gian các quá trình khả đoán ϑ sao cho tích phân ngẫu nhiên

G(ϑ) = R ϑdX là nửa martingale bình phương khả tích Cho hằng số

c ∈ R và biến ngẫu nhiên bình phương khả tích H, chiến lược tối ưu bình

phương trung bình ξ(c) làm cực tiểu khoảng cách trong L2 giữa H − c vàkhông gian GT(Θ) Trong tài chính, sử dụng chiến lược ξ(c) để xấp xỉ chotài sản phái sinh H theo nghĩa làm cho rủi ro của người bảo hộ được hạnchế nhất với các chiến lược giao dịch ϑ ∈ Θ không gian các chiến lượcđầu tư Nếu Kˆ là bị chặn, liên tục thì ta đưa ra một chứng minh đơn giản

cho tính đóng của không gian GT(Θ) trong L2(P ) và sự tồn tại phân tích

Fo¨llmer-Schweizer của H Hơn nữa nếu X thỏa mãn thêm một số điều kiện

thì ta có thể mô tả được chiến lược tối ưu bình phương trung bình dướidạng công thức liên hệ ngược và trong luận văn cũng đưa ra một số ví

dụ có thể dễ dàng so sánh các trường hợp với giả thiết khác nhau Khi cóthêm điều kiện thì có khẳng định rằng độ đo martingale tối ưu phương sai

và độ đo martingale nhỏ nhất là trùng nhau Trong số những ví dụ đưa rađiều giả sử này được thỏa mãn, qua đó ta cũng chỉ ra lỗi điển hình nếuKˆT

không tất định và bao gồm biến ngẫu nhiên ngoại sinh không được sinh

ra bởi X

Luận văn có cấu trúc 3 chương :

Chương 1: Bao gồm sơ lược các kiến thức nền tảng của giải tích ngẫunhiên và toán tài chính

Chương 2: Giới thiệu về định giá và bảo hộ trong thị trường đầy đủ ápdụng cho mô hình Black-Scholes đơn giản

Chương 3 : Phần chính của luận văn đưa ra việc định giá và bảo hộtrong thị trường không đầy đủ theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình.Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn rấttận tình của TS Nguyễn Thịnh Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắcthầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giảng dạy các chuyên

đề cao học đã tạo dựng cho tác giả một kiến thức nền tảng và thầy côtrong tổ Xác Suất Thống Kê của khoa Toán-Cơ-Tin đã giúp đỡ và tạođiều kiện để tác giả bảo vệ luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, độngviên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn

Do trình độ tác giả và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quýbạn đọc

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ điểm qua một số kiến thức cơ sở về giải tích ngẫu nhiên

và một số khái niệm của toán tài chính được sử dụng trong luận văn

nhiênĐịnh nghĩa 1.1 MartingaleGiả sử (Ω,A, P ) là không gian xác suất Quá trình X = {Xt,At, t ∈ R}

được gọi là một martingale (trên ,dưới) đối với (At, t ∈ R) nếu thỏa mãn

3 điều kiện sau:

1.X = {Xt,At, t ∈ R} là quá trình thích nghi với bộ lọc At (tức là Xt là

At−đo được)

2.E|Xt| < ∞ với mọi t ∈ R

3.Với mọi t ≥ s (t, s ∈ R) E(Xt/As) = Xs (E(Xt/As) ≤ Xs ; E(Xt/As) ≥

Xs) P − h.c.c

Định nghĩa 1.2 Martingale địa phươngQuá trình ngẫu nhiên {Xt, At, t ≥ 0} được gọi là martingale địa phươngnếu tồn tại dãy thời điểm Markov (τn) đối với (At) sao cho

(i) P{τn ≤ n} = 1,P{limn→∞τn = ∞} = 1.(ii) Đối với mỗi n = 1, 2, dãy {Mt∧τn,At, t ≥ 0} là martingale khảtích đều

Định nghĩa 1.3 Nửa martingale liên tụcMột quá trình X được gọi là nửa martingale liên tục nếu nó có thể đượcbiểu diễn dưới dạng tổng Xt = Mt+ At, t ≥ 0 trong đó M là martigale địaphương liên tục và A là quá trình biến phân bị chặn thích nghi liên tụcthỏa mãn A0 = 0.

Định lý 1.1 Burkholder-David-Gundy

Giả sử {Mi,Ai, 0 ≤ i ≤ N } là một martingale, 1 < p < ∞ và d0 =

M0, di = Mi+1 − Mi, 0 = i < · · · < n = N Khi đó tồn tại các hằng số

C1, C2 chỉ phụ thuộc p không phụ thuộc dãy di, i = 1, , N sao cho

Với xác suất mới Q này thì Yt trở thành một martingale đối với họ

(Ft), FtW = σ(Ws, s ≥ t) R0t||gs||2ds < ∞h.c.c Ta định nghĩa

αt = exp[

Z t 0

(gs, dWs) − 1

2

Z t 0

Cho Yt = g(t, Xt) với g(t, x) là hàm xác định trên [0, ∞) × R và có các

đạo hàm riêng gt, gx, gxx liên tục

Khi đó Yt = g(t, Xt) là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là:

Công thức Ito nhiều chiều

Cho W (t, ω) = (W1(t, ω), , Wm(t, ω))là chuyển động Brown m-chiều

X(t, ω) = (X1(t, ω), , Xn(t, ω)) và dX = hdt + f dW là một vi phânngẫu nhiên Ito n-chiều (với f, h là các hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khảđoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ω) Giả sử g(t, x) =(g1(t, x), , gp(t, x)) là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục R+×Rn →R+.Khi đó quá trình Y (t, ω) = g(t, Xt) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều màthành phần thứ k là Yk được cho bởi

X

i,j

∂2gk

∂xi∂xj(t, X)dXidXj,

a(s, Xs)ds +

Z t 0

|a(t, Xt(ω))|dt < ∞
= 1,

E

Z T 0

|b(t, X(t, ω))|2dt
< ∞

và biểu thức tích phân thỏa mãn với xác suất 1 với mỗi t ∈ [0, T ]

Định lý 1.5 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Giả sử T > 0 và a, b : [0, T ] ×R → R, là các hàm đo được thỏa mãn cácđiều kiện

|a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T ]

|a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ D|x − y|, x ∈ R, t ∈ [0, T ]

trong đó C,D là các hằng số dương nào đó Giả sử Z là biến ngẫu nhiênđộc lập với A∞ sao cho E|Z|2 < ∞

Khi đó phương trình vi phân

dXt = a(t, Xt)dt + b(t, Xt)dWt, 0 ≤ t ≤ T, X0 = Z

có nghiệm duy nhấtXt thuộc NT ( lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω →

R đo được, thích nghi đối với At và R0T E|f (t, ω)|2dt
< ∞ )

Định nghĩa 1.5 Độ đo martingale nhỏ nhấtCho độ đo martingale Pˆ ≈ P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất

nếu P (A) = P (A), ∀A ∈ Fˆ 0 và mọi martingale bình phương khả tích bất

kì trực giao mạnh với martingale tùy ý cố định M ∈ M theo P cũng làmartingale theo Pˆ tức là :

L ∈ M2 và hL, M i = 0 ⇒ L là martingale theo P ˆ

(vớiM; M2 tương ứng là các không gian martingale khả tích; bình phươngkhả tích.)

Định nghĩa 1.6 Độ đo tối ưu phương sai

Độ đo có dấu Q trên (Ω, F ) được gọi là độ đo Θ−martingale có dấunếu Q[Ω] = 1, Q  P với dQdP ∈ L2(P ) và

với mọi Q ∈ P(Θ) Nếu eP là tối ưu phương sai thì kí hiệu d edPP = De

Định nghĩa 1.7 Quá trình mũ martingale địa phươngCho M là liên tục, martingale địa phương giá trị thực Khi đó mũ martin-gale địa phương E(M ) là quá trình

Xt = Et(M ) = exp(Mt − 1

2hM it)

Và Xt là nghiệm duy nhất của phương trình dXt = XtdMt, X0 = 1.

Nếu γ ∈ L(M ) thì nghiệm Xt của phương trình dXt = γtXtdMt được chobởi Xt = X0Et(γ • M ) Nếu W là chuyển động Brown nhận giá trị trong

Rd và γ ∈ L(W ) thì nghiệm của phương trình dXt = γtXtdWt được chobởi

Xt = X0Et(γ • W ) = X0exp(−1

2

Z t 0

||γs||2ds +

Z t 0

γsdWs)

1.2 Một số kiến thức cơ sở toán tài chính

1.2.1 Chứng khoán phái sinh

Định nghĩa 1.8 Quyền mua cổ phần

Là loại chứng khoán do công ty cổ phần phát hành kèm theo đợt pháthành cổ phiếu thường bổ sung và được phát hành cho cổ đông hiện hànhsau đó chúng có thể được đem ra giao dịch

Ví dụ 1.1 Công ty A muốn huy động thêm vốn nên đã phát hành thêm

cổ phiếu cho các cổ đông, các cổ đông này được nhận các quyền mua cổphần, các cổ đông này nếu không mua cổ phiếu có thể nhường lại cho ngườikhác bằng cách bán quyền mua cổ phần của mình

Định nghĩa 1.9 Hợp đồng kì hạn

Là một thỏa thuận trong đó một người mua một người bán chấp thuậnmột giao dịch hàng hóa với khối lượng xác định tại một thời điểm xác địnhtrong tương lai với một mức giá được ấn định vào ngày hôm nay

Định nghĩa 1.10 Hợp đồng tương lai

Là cam kết mua hoặc bán các loại chứng khoán, nhóm chứng khoán hoặcchỉ số chứng khoán nhất định với một số lượng nhất định và mức giá nhấtđịnh vào ngày xác định trước trong tương lai

Định nghĩa 1.11 Quyền lựa chọn

Là quyền được ghi trong hợp đồng cho phép người mua lựa chọn quyềnmua hoặc quyền bán một số lượng chứng khoán được xác định trước trongkhoảng thời gian nhất định với một mức giá được xác định trước Quyềnlựa chọn là một bản hợp đồng mang tính thỏa thuận nhưng ràng buộc vềmặt pháp lý trong đó có tham gia của người mua, người viết và cơ quanquản lý

Định nghĩa 1.12 Quyền chọn mua

Là một hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia đượcquyền mua một khối lượng hàng hóa nhất định tại một mức giá xác địnhtrong một thời hạn nhất định Bên được quyền mua phải trả cho bên cònlại một khoản được gọi là giá quyền mua Và khi kết thúc hợp đồng người

có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợp đồng

Ví dụ 1.2 Một người định mua cổ phiếu của công ty A nhưng vì một lí

do nào đó anh ta chưa muốn mua ngay nên đã đến ngân hàng mua một sốquyền chọn mua rằng anh ta có thể mua một số lượng cổ phiếu nhất địnhcủa công ty A với mức giá là X vào ngày cố định T đã thỏa thuận Đếnngày T người mua có thể không cần thực hiện hợp đồng và chấp nhận mấttiền mua quyền mua

Định nghĩa 1.13 Quyền chọn bán

Là hợp đồng giữa hai bên mà trong đó một bên cho bên kia được quyềnbán một khối lượng nhất định hàng hóa tại một mức giá xác định trongmột thời hạn nhất định Người mua quyền chọn bán phải trả cho ngườibán quyền một khoản tiền được gọi là giá quyền hoặc phí quyền Và khikết thúc hợp đồng người có quyền mua không bắt buộc phải thực hiện hợpđồng

1.2.2 Cơ hội có độ chênh thị giá

Định nghĩa 1.14 Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được gọi làmột cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá Vt(φ) của phương án đầu

tư đó thỏa mãn :

(i) P (V0(φ) = 0) = 1

(ii)P (VT(φ) ≥ 0) = 1

(iii)P (VT(φ) > 0) > 0

T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng

Định nghĩa 1.15 Ta nói thị trường M = (S, Φ) là một thị trường không

có cơ hội chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợnào trong Φ có độ chênh thị giá

Định nghĩa 1.16 Chiến lược đầu tư đáp ứngChiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn XT tại thờiđiểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợφ sao cho VT(φ) = XT.tức là giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trịđáo hạnXT đã định trước và ghi trong hợp đồng Quá trình giá VT(φ) củaphương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng

Một bài toán đặt ra là định giá cho các sản phẩm phái sinh như thếnào ? và sau khi các sản phẩm này được mua bán thì phải bảo hộ chúngnhư thế nào? Luận văn này nghiên cứu một số cách tiếp cận toán họcchặt chẽ để có thể định giá và bảo hộ các sản phẩm phái sinh này

X đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một quá trình khả đoán φ ∈ Φ

sao cho VT(φ) = XT (XT là giá đáo hạn của chứng khoán được ghi tronghợp đồng và VT(φ) là quá trình giá đầu tư bởi chiến lược φ)

Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao của thị trường Vì vớitính đầy đủ thì mọi tài sản phái sinh kiểu châu Âu đều có thể định giábằng phương pháp độ chênh thị giá

Định nghĩa 2.2 Ta nói rằng tài sản phái sinh X được đáp ứng một cáchduy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhấtđối với X

Ví dụ 2.1 Mô hình Black-Scholes trong thị trường đầy đủ

Giả sử một tài sản tài chính S tuân theo mô hình Black-Scholes tức là thỏa

mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:

dSt = µStdt + σStdBt,

với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học

Giá tài sản S tuân theo mô hình Black- Scholes như trên thỏa mãn thịtrường đầy đủ tức là mọi tài sản phái sinh đều được đáp ứng bởi mộtchiến lược tự tài trợ Tính đầy đủ sẽ được chỉ ra ở phần sau

2.1 Bảo hộ trong thị trường đầy đủ

Cho (Ω, F , P )là không gian xác suất, T là một thời điểm cố định Cho

F = {Ft; 0 ≤ t ≤ T } là một bộ lọc với F0 chứa Ω và những tập có độ đo

0 theo P với FT = F

Cho X = {Xt; 0 ≤ t ≤ T } là quá trình ngẫu nhiên có giá trị véctơvới thành phần là X0, X1, , Xd thích nghi liên tục phải, giới hạn trái

và dương thực sự Hơn nữa X0 là nửa martingale thoả mãn X00 = 1

và Xtk biểu diễn giá trị của chứng khoán thứ k tại thời điểm t, đặt

βt = 1/Xt0 Ta xác định một quá trình giá chiết khấuZ = (Z1, Z2, , Zd)

với Ztk = βtXtk; k = 1, , d

Kí hiệu P = {Q ∈ (Ω;F)|Q tương đương P và Z là martingale theo Q }

Giả sử P khác rỗng (dẫn tới không có sự chênh thị giá) ta có X và Z làcác nửa martingale theo P Một phần tử tuỳ ý P∗ ∈ P được gọi là độ đoquy chiếu và E∗ là kì vọng toán học tương ứng

iv) V∗(Φ) là một martingale theo P∗.

Trong đó Φkt mô tả số tài sản hoặc số đơn vị chứng khoán thứ k đượcgiữ bởi nhà đầu tư tại thời điểm t, V∗(Φ) là quá trình giá chiết khấu mô

tả giá chiết khấu của danh mục đầu tư và G∗(Φ) mô tả quá trình lãi chiếtkhấu hoặc lỗ thông qua chiến lược giao dịch bởi nhà đầu tư Trong đó (ii)nói lên rằng những chiến lược giao dịch đáp ứng không cho phép giá trịcủa phương án đầu tư âm (iii) nói rằng tất cả sự thay đổi trong giá trịcủa phương án đầu tư đều phụ thuộc vào sự đầu tư mà không cần thêmhoặc bớt vốn Điều kiện (iv) khẳng định quá trình giá chỉ phụ thuộc vàoviệc chọn độ đo quy chiếu

Một quyền phái sinh S được coi như biến ngẫu nhiên dương Mộtquyền phái sinh S được đáp ứng nếu tồn tại chiến lược đáp ứng ψ saocho VT∗(ψ) = βTS Một quyền phái sinh S được gọi là khả tích nếu

E∗βTS < ∞ Sau đây ta sẽ tìm hiểu một định lí nói về mối quan hệgiữa thị trường đầy đủ và sự duy nhất của chiến lược đầu tư đáp ứng

Định lý 2.1 Các mệnh đề sau là tương đương:

(a) Mô hình thị trường đầy đủ theo độ đo P∗.(b) Mỗi martingale Mt được biểu diễn dưới dạng

Mt = M0 +

Z t 0

HdZ với H ∈ L(Z)

(c) P có duy nhất một phần tử

Chứng minh (a) ⇒ (b) Cho M là một martingale tuỳ ý Từ martingalebất kì có thể được biểu diễn dưới dạng hai martingale dương khác nhau do

vậy không giảm tổng quát có thể giả sử là M dương Đặt S = XT0MT khi

đó tồn tại chiến lược đáp ứng Φ sao cho VT∗(Φ) = MT Hơn nữa theo địnhnghĩa chiến lược đáp ứng, martingale VT∗(Φ) = V0∗(Φ) +R0T HdZ, trong

đó H = (Φ1, , Φd) Do đó M có cùng biểu diễn hay Mt = E∗(βTS|Ft) =

Vt∗(Φ)

(b) ⇒ (a) Cho S là một tài sản phái sinh khả tích tuỳ ý Định nghĩa một

độ đo martingale M bằng cách đặt Mt = E∗(βTS|Ft) và cho H ∈ L(Z)

sao cho Mt = M0 + Rt

0 HdZ đặt Φ1 = H1, , Φd = Hd trong đó Φ0 =

M0 +R

HdZ − HZ.Điều này dẫn tới chiến lược giao dịch đáp ứng với Vt∗(Φ) = Mt do đó

VT∗(Φ) = βTS Hay S được đáp ứng, suy ra thị trường là đầy đủ Trướckhi chứng minh (b) ⇒ (c) ta có một số định nghĩa

Kí hiệu M (Z) = {Q|Z là martingale địa phương theo Q}và ta có P là tậpcon của M (Z)

Một phần tử Q ∈ M (Z) được gọi là điểm vô cùng nếu nó không thể biểudiễn dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai martingale trong M (Z) Kí hiệu

Me(Z) là tập hợp tất cả các điểm vô cùng trong M (Z) Ta có kết quả :

Q ∈ Me(Z) nếu và chỉ nếu Z chỉ có thể là martingale địa phương theo Q

Hệ quả của nó là Q ∈ Me(Z) nếu và chỉ nếu tính chất biểu diễn trong b)được thỏa mãn

(b) ⇒ (c) Nếu P∗ ∈ Me(Z) thì không thể tồn tại Q ∈ M (Z) với Q tươngđương với P∗

(c) ⇒ (b) Ta chỉ ra P∗ ∈ Me(Z) Thật vậy giả sử ngược lại Khi đó tồntại α ∈ (0, 1) và Q0, Q00 ∈ M (Z) sao cho P∗ = αQ0 + (1 − α)Q00 Ta có

Q0 ≤ P∗/α và chỉ ra Z là martingale theo Q0 tương tự cho Q00 do đó Z làmartingale theo Qβ = βQ0 + (1 − β)Q00 với mỗi β ∈ (0, 1) Từ Qβ tươngđương với P∗ với mọi β ∈ (0, 1) tức là Qβ ∈ P với mọi β ∈ (0, 1) Nhưngđiều này là mâu thuẫn do P có duy nhất một phần tử

Tiếp theo ta sẽ đi mô tả về chiến lược duy nhất trong thị trường đầy đủ

2.1.1 Chiến lược bảo hộ quyền phái sinh trong thị trường đầy

JsdWsX0, t ∈ [0, T ],

với quá trình khả đoán J ∈ L(WX0) Ta lại có dXsX0 = σXsX0dWsX0 suy

ra Mt = M0 +R0tJs/(σXsX0)dXsX0, ta cần

M0 +

Z t 0

Js/(σXsX0)dXsX0 = Mt = V0 +

Z t 0

Suy ra J ∈ L(X0) theo tính liên tục của M suy ra K ∈ L(X0) Vậy ta

có chiến lược giao dịch Φ thoả mãn VtX0(Φ) = Mt, t ∈ [0, T ] Hơn nữa với

Vậy ta có điều phải chứng minh

Như vậy chiến lược tối ưu đầu tư để đáp ứng quyền phái sinh h là: Φs =(Ms − HsXsX0; dVsX0

dX X0 s

)

Xét trong trường hợp rời rạc ta có H = ∆VtX0

∆X X0 t

Điều này sẽ được minhhọa bởi ví dụ mục sau đây

2.1.2 Công thức Black-Scholes về định giá quyền chọn Châu

Âu trong thị trường đầy đủ

Xét mô hình Black-Scholes đơn giản được cho bởi phương trình vi phânngẫu nhiên tuyến tính sau:

dXt = µXtdt + σXtdBt,

với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học

Giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là mộttrường hợp của thị trường đầy đủ Gọi V0 là giá của quyền chọn vào thờiđiểm t=0 Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồngquyền chọn như sau :

V0 = X0N (d1) − Se−rTN (d2),

d1 = 1

σ√T

Sau đây ta sẽ đi xây dựng công thức trên

Thật vậy, ta có V0 được tính theo công thức

V0 = e−rTE[(XT − S)+]

trong đó XT là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T và S là giá thựcthi hợp đồng tại thời điểm T Nếu XT ≥ S thì lợi nhuận là XT − S ≥ 0

nhà đầu tư sẽ mua quyền chọn với giá thực thi S NếuXT < S thì nhà đầu

tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua Lợi nhuận

Ta tính giá trị trung bình của nó bởi kì vọng toán E[(XT − S)+] giá

cả trên thị trường thường thay đổi theo một hệ số là hàm mũ eγt của thời

gian, nhà đầu tư xem rằng giá Quyền Chọn Mua có thể bị chiết khấu vớitốc độ r nên giá trị thực sự của Quyền Chọn Mua thời điểm hiện tại t =

Z ∞ a

Đặt d2 = −a và d1 = −a + σ T thì

d1 = 1

σ√T

Nếu thời điểm đáo hạn là T, còn thời điểm ban đầu là t thì giá chứngkhoán ban đầu sẽ là Xt còn khoảng thời gian từ lúc đầu đến lúc đáo hạn

sẽ là T − t khi đó công thức Black-Scholes sẽ là

Gọi giá thực thi chung của Quyền Bán và Quyền Mua là S Khi đó giácủa vị thế vào ngày đáo hạn sẽ như thế nào?

Nếu Xt ≥ S thì giá đó bằng S Ta đem giao cổ phiếu cho người muacòn Quyền Bán không có giá trị

Nếu Xt < S thì giá đó cũng vẫn bằng S Ta đem giao cố phiếu chongười bán Quyền Bán còn quyền mua thì không có giá trị

Vậy dù xảy ra tình huống nào thì giá của vị thế của ta là như nhau vàbằng S Vì ta ở vào một vị thế tất định, nên suy ra:

(Xt + Pt − Ct)erτ = S

trong đó r là lãi xuất không rủi ro ; τ = T − t Nếu chọn t = 0 thì τ = T

Là công thức Black-Scholes với Quyền Chọn Bán

Sau đây ta sẽ minh họa việc bảo hộ tài sản phái sinh bởi một chiến lượcđầu tư vào cổ phiếu:

Giá cổ phiếu của công ty cổ phần nhựa và môi trường xanh An Phát có mã

là AAA trong sàn giao dịch HOSE từ ngày 15/7/2010 đến ngày 24/9/2010như sau:

48.7 46.5 46.3 45.2 45.1 45.1 46 45.1 46.1 45

49 50.5 48.8 49.2 50 48 49 47 45.1 44.4

42 44.5 46.7 47.2 44.5 47.7 50.3 53.3 56.8 55.858.5 62.4 70.8 75.6 80 83.2 89 85 91 90.391.7 91 91.8 91.4 90.4 84.4 78.7 73.2 68.1 63.4

Ta cần bảo hộ cho 1000 quyền mua cổ phiếu của công ty này với giá thựcthi là 48.7 vào ngày đáo hạn là 24/9/2010 Giả sử giá cổ phiếu của AAA

là thỏa mãn thị trường đầy đủ, tuân theo mô hình Black-Scholes đơn giản

Ta ước lượng các tham số của phương trình Black-Scholes theo công thức:

Trung bình mẫu U =ˆ 1

n

Pn i=1(ln(xi+1) − lnxi), Ui = ln(xi+1) − lnxi

Phương sai mẫu S2 = n−11 Pn

Chương 3

Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ

3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực

tiểu bình phương trung bìnhTrong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sảnphái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất Tuy nhiêntrong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh khôngđược đáp ứng một cách chính xác mà chỉ được xấp xỉ bởi việc dùng chiếnlược đầu tư đáp ứng theo nghĩa bình phương trung bình nhỏ nhất Trongchương này sẽ đi nghiên cứu về chiến lược đầu tư đó

Trước hết chúng ta làm rõ hơn về nghĩa của bảo hộ bình phương trungbình Cho X là quá trình ngẫu nhiên liên tục mô tả giá chiết khấu của một

cổ phiếu trong thị trường tài chính với điều kiện không có độ chênh thịgiá X phải là nửa martingale, giả sử nó có dạng X = X0+ M +R dhM iˆλ

với quá trình khả đoán λˆ và chúng ta gọi K :=ˆ R ˆλtrdhM iˆλ là quá trìnhcân bằng bình phương trung bình của X Nếu martingale địa phương

ˆ

Z := E (−R λdM )ˆ là dương thực sự (điều này là hiển nhiên với X liêntục) và là một martingale chính qui thì đặt d ˆdPP := ˆZT xác định một độ đoxác suất Pˆ tương đương với P được gọi là độ đo martingale nhỏ nhất của

X Độ đo này sẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong phần chứng minh.Quyền phái sinh là một biến ngẫu nhiên H bình phương khả tích FT đo

được Nó mô phỏng giá phải trả của một sản phẩm phái sinh mà ta quantâm Một chiến lượcϑ là quá trình khả đoán sao cho tích phân ngẫu nhiên

Gt(ϑ) := R0tϑdX xác định tốt và là một nửa martingale khả tích

Thực vậy, Gt(ϑ) mô tả tiền lãi giao dịch được tạo ra bởi chiến lược đầu

tư tự tài trợ tương ứng ϑ và H − c − GT(ϑ) là tổng tài sản thâm hụt củangười bảo hộ bắt đầu với vốn ban đầu là c Sử dụng chiến lược ϑ và tàikhoản ngẫu nhiên phải trả là H vào ngày đáo hạn T Việc bảo hộ bìnhphương trung bình nghĩa là tìm lời giải của bài toán tối ưu sau:

min E[(H − c − GT(ϑ))2] trên tất cả các chiến lược ϑ (3.1)nghiệm của bài toán sẽ được kí hiệu là ξ(c) nếu nó tồn tại

Trong phần sau chúng ta sẽ chỉ rõ những điều kiện của X, định nghĩakhông gian Θ chiến lược giao dịch và tìm hiểu kĩ về bài toán bảo hộ giátrị bình phương trung bình Từ mục 3.3 ta giả sử quá trình cân bằng bìnhphương trung bình Kˆ bị chặn và liên tục.Ta cũng chứng minh rằng không

gian GT(Θ) là đóng trong L2(P ) và mỗi H ∈ L2(P ) nhận một phân tích

Fo¨llmer- Schweizer là

H = H0 +

Z T 0

ξsHdXs + LHT

với H0 ∈ R; ξH ∈ Θ và martingale bình phương khả tích LH trực giaomạnh với M những kết quả này thực sự rất nổi tiếng, nhưng đòi hỏi thêmbởi tính liên tục của Kˆ Tính đóng của G

T(Θ) dĩ nhiên bảo đảm rằng bàitoán (3.1) quả thực có nghiệm với mọi H; c Hơn thế nữa tính bị chặn của

ˆ

ζsdXs+ ˆLT

Trong mục 3.4 chúng ta chỉ ra rằng với H ∈ L2+ε(P ), nghiệm ξ(c) của

(3.1) được cho bởi dạng công thức liên hệ ngược

ξt(c) = ξtH − ζˆt

ˆE[ ˆZT/Ft](H0 +

Z t 0

ξsHdXs + LHt − c −

Z t 0

ξs(c)dXs)

với X liên tục, Kˆ bị chặn và

ˆ

LT = 0 trong phân tích Fo¨llmer- Schweizer của ZˆT. (3.2)

Sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ về hai định nghĩa quan trọng

3.2 Quá trình cân bằng bình phương trung bình và

không gian các chiến lược đầu tư

Cho (Ω, F,P) là một không gian xác suất với bộ lọc F = (Ft)0≤t≤T thỏamãn điều kiện đủ và liên tục phải, ở đó T ∈ [0, ∞) cố định Tất cả quátrình xem xét được biểu thị bởi t ∈ [0; T ]

Cho X là nửa martingale liên tục phải và có giới hạn trái(RCLL)nhậngiá trị trong Rd,X ∈ Sloc2 (không gian các nửa martingale địa phương bìnhphương khả tích) tức là X là một nửa martingale với phân tích chính tắc

ˆ

λtrs γsdBs =

Z t 0

P − h.c.c với t ∈ [0; T ], giữ nguyên tính liên tục của Kˆ và gọi nó là quá

trình cân bằng bình phương trung bình ( MVT) của X

ϑtrs γsdBs)

L p (P )

=

Z

ϑtrdA