BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN Tìm hiểu về bất đẳng thức vi phân LUẬN VĂN THẠC SĨ 2017

Bất đẳng thức vi phân. Nghiên cứu và tìm hiểu bất đẳng thức vi phân và phương pháp giải một số bài toán bất đẳng thức vi phân trong toán học. Bất đẳng thức vi phân. Nghiên cứu và tìm hiểu bất đẳng thức vi phân và phương pháp giải một số bài toán bất đẳng thức vi phân trong toán học. Bất đẳng thức vi phân. Nghiên cứu và tìm hiểu bất đẳng thức vi phân và phương pháp giải một số bài toán bất đẳng thức vi phân trong toán học.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN NGỌC HOAN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hoan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 HÀM ĐƠN ĐIỆU 3

1.1.1 Bổ đề Zygmund 3

1.1.2 Điều kiện cần và đủ cho tính đơn điệu đối với các hàm liên tục 6

1.1.3 Điều kiện đủ để một hàm đơn điệu 10

1.2 NGHIỆM CỰC ĐẠI VÀ NGHIỆM CỰC TIỂU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 11

1.2.1 Một số kí hiệu và định nghĩa 11

1.2.2 Định nghĩa nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu của phương trình vi phân thường 12

1.2.3 Bổ đề cơ bản về bất đẳng thức vi phân thường theo nghĩa mạnh 17 1.2.4 Một số khái niệm và định lí trong phương trình vi phân thường 19 1.2.5 Sự tồn tại địa phương của nghiệm cực đại bên phải 23

1.2.6 Sự tồn tại toàn cục của nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu 25

1.2.7 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu vào dữ kiện đầu và vế phải của phương trình 34

CHƯƠNG 2 BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP MỘT 41

2.1 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP MỘT 41

2.2 ĐIỀU KIỆN V+ (V- ) TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 45

2.3 MỘT SỐ BIẾN THỂ CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 47

2.4 HỆ SO SÁNH 49

2.5 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 57

CHƯƠNG 3 BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO 64

3.1 MỞ ĐẦU 64

3.2 NGHIỆM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP n 66

3.3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP n 67

3.4 PHƯƠNG TRÌNH SO SÁNH CẤP n 71

3.5 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 72

3.6 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 75

KẾT LUẬN 79

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

ổn định của nghiệm của các phương trình vi phân; cũng như các vấn đề về sai

số của nghiệm xấp xỉ…

Nhận thức được tầm quan trọng của lý thuyết các bất đẳng thức vi phân, được sự gợi ý của TS Nguyễn Duy Thái Sơn, tôi chọn đề tài:

“BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN”

để hoàn thành luận văn Thạc sĩ Toán học

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trình bày một cách hệ thống và khép kín các vấn đề cơ bản trong lý thuyết các bất đẳng thức vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bất đẳng thức vi phân thường cấp một và một số bất đẳng thức vi phân thường cấp cao

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bất đẳng thức vi phân thường cấp một và một số bất đẳng thức vi phân cấp cao

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các nguồn tài liệu, phân tích và giải thích cặn kẽ các chứng minh, tìm các ví dụ minh họa, tổng hợp các kiến thức thu được trong quá trình nghiên cứu

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cô trong hội đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học

và những ai quan tâm đến lĩnh vực này

Do thời gian nghiên cứu không nhiều nên có thể còn một số nội dung hay mà luận văn chưa đề cập đến Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung

thường xuyên để nội dung luận văn được phong phú hơn

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương :

Chương 1: Các kiến thức liên quan

Trình bày có hệ thống các khái niệm, tính chất, các định lí liên quan đến nghiệm cực đại, cực tiểu của phương trình vi phân, là cơ sở lí thuyết để giải

quyết các vấn đề trong hai chương sau

Chương 2: Bất đẳng thức vi phân thường cấp một

Trình bày có hệ thống và khép kín các bất đẳng thức vi phân thường cấp một, một số biến thể của các bất đẳng thức vi phân, các bất đẳng thức vi phân

đối với hệ so sánh

Chương 3: Bất đẳng thức vi phân thường cấp cao

Trình bày có hệ thống và khép kín các bất đẳng thức vi phân thường cấp

cao, các bất đẳng thức vi phân đối với phương trình so sánh cấp n và một số

bất đẳng thức tích phân

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Toàn bộ các kết quả của chương này được tham khảo ở tài liệu [3]

1.1 HÀM ĐƠN ĐIỆU

1.1.1 Bổ đề Zygmund

Một hàm số thực ( ) t xác định trên một khoảng  được gọi là tăng trên

khoảng  nếu với bất kì hai điểm t t 1, 2   mà t1t2 thì suy ra ( )t1 ( )t2 Hàm ( )t được gọi là tăng ngặt trên khoảng  nếu với bất kì hai điểm

1, 2

t t  mà t1t2 thì suy ra ( )t1 ( )t2 Một cách tương tự về việc định

nghĩa hàm giảm và giảm ngặt

Với một hàm số ( )t xác định trên một lân cận của điểm t , ta kí hiệu 0

0

( )

D  t ,D  (t0 ) ,D (t0) ,D  (t0 ) lần lượt là đạo hàm (theo định nghĩa) Dini phía trên bên phải, phía trên bên trái, phía dưới bên phải, phía dưới bên trái tại điểm t 0

Ta kí hiệu ( )t , ( )t lần lượt là đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải

của hàm ( )t tại điểm t Bất đẳng thức 0 a0có nghĩa là a hữu hạn, dương

hoặc a   Các bất đẳng thức a 0, a 0, a 0 được xác định một cách tương tự

Ví dụ 1.1 Xét hàm số

khi( ) =

( )lim inf 0

h

h

h D

h h h

( )lim sup 1

h

h

h D

h h h

Chứng minh Giả sử phản chứng ( )t không giảm trên khoảng  , khi

đó tồn tại t t thuộc  mà 1, 2 t1 sao cho t2 ( )t1 ( )t2 Khi đó ( \  Z)không chứa khoảng ( ( ), ( )) t1  t2 , lúc đó có y 0 ( ( ), ( )) t1  t sao cho 2

Kết quả này mâu thuẫn với (1.4), suy ra ( ) t giảm trên khoảng 

Vậy bổ đề đã được chứng minh

bổ đề sau khi thay tập Z bởi tập Z (hay Z

) thực hiện tương tự như trên, ta chỉ thay đổi việc lấy t là cận dưới lớn nhất của E 0

1.1.2 Điều kiện cần và đủ cho tính đơn điệu đối với các hàm liên tục Định lí 1.1 Cho ( ) t là hàm liên tục trên khoảng  Điều kiện cần và đủ

để ( )  t giảm trên  là tập \ Qkhông quá đếm được, với

nên Δ \ Q là tập rỗng (tập rỗng là tập không quá đếm được)

b) Điều kiện đủ Giả sử Δ \ Q là tập không quá đếm được Lấy ε 0tùy ý, đặt

ψ Z không chứa bất kì khoảng nào, áp dụng Bổ đề Zugmund suy ra

( )

ψ t giảm trên Δ , do ε 0 và cách xác định hàm ψ t nên ( )( ) φ t giảm trên

Δ

Vậy định lí đã được chứng minh

Hệ quả 1.1 Cho ( )φ t là hàm liên tục trên khoảng Δ Điều kiện cần đủ

để ( ) φ t giảm ngặt trên Δ là tập Δ \ P không quá đếm được, với

{ Δ : ( ) 0}

Chứng minh Áp dụng Định lí 1.1 vì tập Δ \ P không quá đếm được nên φ t giảm trên Δ Giả sử ( )( ) φ t không giảm ngặt, khi đó tồn tại t t thuộc 1, 2

Δ mà t1 sao cho t2 φ t( )1 φ t( )2 , tức là φ t là hàm hằng trên ( ) [ , ]t t điều 1 2

này dẫn đến ( )φ t  với 0 t[ , ]t t1 2 , suy ra [ , ]t t1 2 Δ \P , điều này mâu thuẫn

với giả thiết tập Δ \ P không quá đếm được Do đó φ t giảm ngặt trên Δ ( )Vậy hệ quả được chứng minh

Suy ra ( )t liên tục trên  và D( )t D( )t  0, ( 0) trên Z Vì \ Z

là tập không quá đếm được nên theo Định lí 1.2.1 (Hệ quả 1.2.1) suy ra ( ) t

là giảm (giảm ngặt) trên 

Do đó (1.5) đúng với ,t s : t  Kết hợp hai trường hợp trên suy ra (1.5) s

đúng với mọi t, s phân biệt thuộc 

Chứng minh ii Ta thực hiện tương tự chứng minh ở trên

Định lí 1.3 Cho ( )t là hàm liên tục trên một khoảng mở  Nếu một

trong các đạo hàm Dini là xác định và liên tục tại t   thì 0 ( )t0 tồn tại

Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử D( )t tồn tại và liên tục tại t Đặt 0 D( )t0  , do l D( )t liên tục tại t nên lấy tùy ý 0  0 khi đó tồn tại   sao cho 0

0

( ) ( )( ) lim

Hệ quả 1.2 Cho ( )t là hàm liên tục trên một khoảng mở  Nếu một trong các đạo hàm Dini là xác định và liên tục trên  thì ( )t tồn tại và liên tục trên 

Chứng minh Theo Định lí 1.3 với mọi t   thì ( )t luôn tồn tại Ta

cần chứng minh ( )t liên tục trên  Thật vậy, với mọi t   ta có 0

( ) ( )lim ( ) lim lim

Khi đó, ( )  t là hàm giảm trên 

Chứng minh Lấy   tùy ý và đặt ( )0  t ( )t  t, suy ra ( )t liên

tục tuyệt đối trên  và

Mặt khác, vì ( ) t liên tục tuyệt đối trên  nên tập ( \ Z) cũng có độ đo

bằng 0, do đó ( \   Z) không chứa bất kì khoảng nào Theo Bổ đề Zugmund suy ra ( )t giảm trên  và do  0 tùy ý nên suy ra ( )t là hàm giảm trên



Vậy định lí đã được chứng minh

Nhận xét 1.5 Tương tự Định lí 1.4 ta cũng có kết quả như sau

Nếu ( )t là hàm liên tục tuyệt đối trên một khoảng  và giả sử

( )t 0

  với hầu hết t   thì ( )  t là hàm tăng trên 

1.2 NGHIỆM CỰC ĐẠI VÀ NGHIỆM CỰC TIỂU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Điều kiện V V ( ) Hệ f X Y ( j = 1, 2,…,n) được gọi là thỏa điều j( , )kiện V V ( ) đối với Y trên D nếu với bất kì chỉ số cố định i thì hàm f i(X,Y) là

tăng (giảm) đối với từng biến y1, ,y i1,y i1, ,y n riêng biệt

Điều kiện W W ( ) Hệ f X Y ( j = 1, 2,…,n) được gọi là thỏa điều j( , )kiện W W ( ) đối với Y trên D nếu với mọi chỉ số cố định i thì mệnh đề sau

iii) Với n = 2, điều kiện W W ( ) và điều kiện V V ( ) là tương đương nhau

Với n > 2, sự tương đương này nói chung là không đúng Mặc dù vậy, sự tương đương ở trên là đúng trên miền đặc biệt D với phép chiếu D xuống

xác định trên miền D , lấy ( ,t Y0 0)D

Một nghiệm ( )t (1( ),t 2( ), ,t  n( ))t của (1.8) đi qua ( ,t Y và xác 0 0)định trên khoảng   [ , )t0  được gọi là nghiệm cực đại (cực tiểu) bên phải

của hệ (1.8) trên khoảng  đi qua  ( ,t Y nếu với bất kì nghiệm 0 0)

Ta cũng định nghĩa một cách tương tự đối nghiệm cực đại (cực tiểu) bên

trái của hệ (1.8) đi qua ( ,t Y 0 0)

Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân

1/3

dy y

Một số nghiệm của phương trình vi phân dy y1/3

dt  , thỏa điều kiện đầu

d)

0 3/2

( ) 2

( ) khi3

Hình 1.1 Một số nghiệm của phương trình vi phân dy y1/3

dt  với điều kiện

đầu (0)y  0

Nhận xét 1.7 Nghiệm cực đại (cực tiểu) trên một khoảng, đi qua một

điểm cho trước, là duy nhất được định rõ (bất cứ khi nào nó tồn tại) trên khoảng đó

Nếu nghiệm của hệ (1.8) đi qua ( ,t Y từ phía trái (phía phải) là duy nhất trên 0 0)một khoảng, khi đó nó vừa là nghiệm cực đại bên trái (bên phải) vừa là nghiệm cực tiểu bên trái (bên phải) trên khoảng đó

Mệnh đề 1.1 Qua ánh xạ

nghiệm cực đại (cực tiểu) bên phải của hệ (1.8) đi qua ( ,t Y sẽ chuyển đổi 0 0)

thành nghiệm cực đại (cực tiểu) bên trái của hệ

Vì    t d   dt nên khi thay t, dt, y i lần lượt bởi  ,  d,  i

(i1, 2, , )n vào hệ (1.8) ta nhận được hệ (1.10) Khi thay t bởi  ,  y bởi i

i

 (i1, 2, , )n các nghiệm ( ), t Y t của hệ (1.8) lần lượt chuyển thành các ( )nghiệm  ( ), Y( ) của hệ (1.10), với  ( )(1(), , n()) đi qua (t Y0, 0) xác định trên    ( ,t0] ( )

Y t   t  Y()  ( ) suy ra

Y()  ( ),       (    )

Từ ( ),( ) và (    )suy ra  ( )là nghiệm cực đại bên trái của (1.10) đi qua (t Y0, 0)

Chứng minh tương tự cho trường hợp nghiệm cực tiểu bên phải

Vậy mệnh đề đã được chứng minh

Nhận xét 1.8 Một kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp nghiệm

cực tiểu (cực đại) bên trái

Mệnh đề 1.2 Qua ánh xạ

(1.11)  t,  i  y i, (i1, 2, , )n

nghiệm cực đại (cực tiểu) bên phải của hệ (1.8) đi qua ( ,t Y sẽ chuyển đổi 0 0)

thành nghiệm cực tiểu (cực đại) bên phải của hệ

Vì Ω( )t là nghiệm cực đại bên phải của hệ (1.8) nên

Ω( )t Y t( ),tΔ  Δ( ) ( ),

( ,t Y ) Mệnh đề được chứng minh

1.2.3 Bổ đề cơ bản về bất đẳng thức vi phân thường theo nghĩa mạnh

Bổ đề 1.1 Giả sử phía bên phải của hệ (1.8) xác định trên một miền mở

D và thỏa điều kiện W đối với Y trên D Lấy ( ,t Y0 0)D Giả sử rằng

Mệnh đề 1.3 Nếu phía bên phải của hệ (1.8) thỏa điều kiện W đối với

Y thì phía bên phải của hệ chuyển đổi (1.10) thỏa điều kiện W đối với Y Qua ánh xạ (1.9) (kí hiệu   i( ) i()) hệ bất đẳng thức vi phân (1.14) chuyển đổi thành

Mệnh đề 1.4 Nếu phía bên phải của hệ (1.8) thỏa điều kiện W đối với

Y thì phía bên phải của hệ chuyển đổi (1.12) cũng thỏa điều kiện W đối với

Y

Qua ánh xạ (1.11) (kí hiệu   i( )   i( )) hệ bất đẳng thức vi phân (1.14) chuyển đổi thành

Bổ đề 1.3 Giả sử phía bên phải của hệ (1.8) xác định trên một miền mở

D và thỏa điều kiện W đối với Y trên D Lấy ( ,t Y0 0)D Giả sử

định trên   [ , )t0  và   [ , )t0  Giả sử  ~. Khi đó, nghiệm ( )t

gọi là thác triển bên phải của nghiệm ( )t nếu

( )t ( )t

   với t  

Ta cũng định nghĩa một cách tương tự về thác triển bên trái của một

nghiệm Nghiệm  (t) vừa là thác triển bên phải vừa là thác triển bên trái của nghiệm ( )t được gọi là thác triển của ( )t

Một nghiệm ( )t xác định trên   [ , )t0  được gọi là tiếp cận biên

của miền mở D bởi tận cùng bên phải nếu đường cong Y  ( )t không bị

chứa trong bất kì tập compact nào của D Trong trường hợp này khoảng

Một điều rõ ràng là một nghiệm ( )t tiếp cận biên của D về tận cùng

bên phải sẽ không có thác triển bên phải nào khác với nó

Một nghiệm tiếp cận biên của D bởi tận cùng bên trái và khoảng cực đại

bên trái của sự tồn tại nghiệm cũng được định nghĩa một cách tương tự

Định lí 1.5 ([7]) Mỗi nghiệm của hệ (1.8) với vế phải liên tục trên miền

mở D đều có ít nhất một thác triển nghiệm tiếp cận biên của D ở tận cùng về

hai phía

Nhận xét 1.9 Rõ ràng thác triển nói chung là không duy nhất

Định lí 1.6 ([5]) Giả sử vế phải của hệ (1.8) là liên tục trên miền mở D

Cho (t)là một nghiệm xác định trên khoảng bị chặn   [ , )t0  (_  (,t0]) và giả sử với một dãy t ta có v

là một nghiệm của hệ (1.8) trên đoạn [ , ]t0  ([ , ] t0 )

Định lí 1.7 Giả sử vế phải của hệ (1.8) liên tục trên hình lập phương

0 0



và Y t( )( ( ), ,y t1 y t n( )) là một nghiệm bất kì của hệ (1.8) tiếp cận biên của

Q ở tận cùng về hai phía và đi qua điểm ( , )t Y0  ( ,t y0 1, ,y  Kí hiệu khoảng n)

cực đại của sự tồn tại nghiệm là  ( , )  và đặt

(1.23)  bt0 h

Nghiệm Y(t) tiếp cận biên của Q bởi tận cùng bên phải nên đường cong

Y= Y(t), t[ , )t0  không chứa trong bất kì tập compact nào của Q

0 0

Ta cũng thực hiện chứng minh tương tự như ở trên

Do cả hai trường hợp trên không thể xảy ra nên suy ra (1.21) đúng Định lí được chứng minh

1.2.5 Sự tồn tại địa phương của nghiệm cực đại bên phải

Định lí 1.8 Giả sử vế phải của hệ (1.8) liên tục và thỏa điều kiện W đối với Y trên một miền mở D Lấy ( ,t Y0 0)D và lấy một dãy tùy ý các điểm

( ,t Y v)D và tiếp cận biên của D ở tận cùng về hai phía

Với những giả thiết trên, tồn tại một số dương h sao cho:

Chứng minh Tồn tại một số dương  sao cho

0 0

   , với vv0 (dưới đây ta chỉ xét vv0)

Do vế phải của hệ (1.8) thỏa điều kiện W đối với Y trên D nên vế phải của

hệ (1.28) cũng thỏa điều kiện W đối với Y trên D Mặt khác, ta có

Bằng lập luận tương tự ta cũng chứng minh được Y t bị chặn dưới bởi bất v( )

kì nghiệm nào của hệ (1.8), đi qua điểm ( ,t Y Từ đây kết hợp với 0 0)

(1.32) lim v( ) ( ),

h v



   

Do Y t là dãy giảm trên v( )  kết hợp với (1.32) suy ra (1.32) là hội tụ đều h

Từ các lập luận ở trên dễ dàng suy ra ( )t là một nghiệm của (1.8) đi qua

1.2.6 Sự tồn tại toàn cục của nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu Định lí 1.9 Giả sử phía bên phải của hệ (1.8) liên tục và thỏa điều kiện

W đối với Y trên miền mở D Khi đó, qua bất kì điểm ( ,t Y0 0)D luôn

tồn tại nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu bên phải tiếp cận biên của D về tận cùng bên phải

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh phần định lí liên quan đến nghiệm

cực đại bên phải Theo Định lí 1.8, với ( ,t Y0 0)D thì tồn tại một số dương h

sao cho nghiệm cực đại bên phải đi qua ( ,t Y tồn tại trên khoảng 0 0)

[ , )

   Kí hiệu h là cận trên bé nhất của các số dương h Bây giờ 0

chú ý rằng nếu ta có nghiệm cực đại bên phải trên một khoảng h (hh thì )hạn chế của nó đến bất kì khoảng  là nghiệm cực đại bên phải trên h  Do h

đó nó kéo theo rằng với bất kì số dương hh0 luôn có nghiệm cực đại bên phải trên  , ta gọi là h h( )t Tiếp theo, ta thấy rằng nếu 0h1h2h0 thì (do tính duy nhất) nghiệm cực đại trên  là thác triển bên phải của nghiệm 2cực đại trên  1

Với t[ ,t t0 0h0) chọn h sao cho

Ta chứng minh ( ) t tiếp cận biên của D về tận cùng phía bên phải:

Giả sử ngược lại, ( )t không tiếp cận biên của D về tận cùng phía bên phải

thì ( )t Y sẽ chứa trong một vài tập compact nào đó của D Khi đó có một

dãy t t v (0 t v t0h0) sao cho

W = í

= + ïî

là một nghiệm của hệ (1.8) trên h0 [ ,t t0 0 h0)

Để chứng minh () ta phải chứng minh rằng

Nếu Y t là nghiệm bất kì của hệ (1.8) đi qua ( ) ( ,t Y và xác định trên 0 0)

) ,

Suy ra ( ) được chứng minh

Mệnh đề ( ) dẫn đến tồn tại một số dương h0 hh0 sao cho nghiệm cực

đại bên phải của hệ (1.8) đi qua ( ,t Y tồn tại và xác định trên 0 0)

0

h h

  Điều này mâu thuẫn với cách định nghĩa h Mâu thuẫn đó suy ra 0 ( )t tiếp cận

biên của D về tận cùng phía bên phải

Vậy, qua ( ,t Y0 0)D luôn tồn tại nghiệm cực đại bên phải của hệ (1.8) tiếp cận biện về tận cùng bên phải

Sử dụng ánh xạ (1.11) và Mệnh đề 1.2 và Mệnh đề 1.4 ta dễ dàng chứng minh phần định lí liên quan đến nghiệm cực tiểu bên phải

Đến đây định lí được chứng minh

Định lí 1.10 Giả sử phía bên phải của hệ (1.8) liên tục và thỏa điều

kiện W đối với Y trên miền mở D Khi đó, qua bất kì điểm ( ,t Y0 0)D luôn

tồn tại nghiệm cực đại bên trái và nghiệm cực tiểu bên trái tiếp cận biên của

Với một phương trình vi phân đơn cấp một mà vế phải liên tục trên miền

mở D, khi đó với bất kì điểm (t0,Y0) D luôn tồn tại nghiệm cực đại , nghiệm cực tiểu bên phải (bên trái) tiếp cận biên của D về tận cùng bên phải (bên trái)

Nhận xét 1.11 Trường hợp n = 2, vì điều kiện W W ( ) và điều kiện ( )

V V  là tương đương nhau nên điều kiện W W ( ) trong Định lí 1.9

(Định lí 1.10) có thể thay thế bởi điều kiện V V ( )

Định lí 1.11 Giả sử vế phải của hệ (1.8) liên tục và thỏa điều kiện W

đối với Y trên D Lấy ( ,t Y0 0)D và kí hiệu Ω ( ) t là nghiệm cực đại bên phải đi qua ( ,t Y , tiếp cận biên của D về tận cùng phía bên phải, 0 0)

Δ [ ,t α ) là khoảng tồn tại của nó Khi đó, nếu Y  ( )t ( ( ), ,1 t  n( ))t

là đường cong liên tục bất kì với tΔ [ ,t α0  chứa trong D và thỏa mãn 0)

Chứng minh Theo iii) của Định lí 1.8, bất đẳng thức (1.36) sẽ đúng

trên khoảng [ , )t α với 0 α và đủ gần đối với t0 t Đặt 0 α là cận trên bé nhất *

0

[t ,α ), điều này mâu thuẫn với cách định nghĩa *

α , vì α* α** Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng *

min ( , )

α  α α Do đó ta có

Φ( )t Ω ( ), t tΔ  ΔĐịnh lí đến đây được chứng minh

Nhận xét 1.12 Khi n > 2 điều kiện W trong Định lí 1.11 không thể

thay thế bởi điều kiện yếu hơn V Thật vậy, ví dụ sau cho thấy rằng điều kiện

V có thể xảy ra nhưng bất đẳng thức (1.36) không đúng với bất kì lân cận phía bên phải nào của t 0

Dễ dàng kiểm tra được rằng các hàm  i( ,t y y y1, 2, 3) (i 1, 2, 3) là xác định và

thỏa mãn điều kiện V trên D Với  i( )t 0 (i1, 2,3) ta có

( )t ( )t

  với t  0

Định lí 1.12 Với những giả thiết của Định lí 1.11, kí hiệu ( )t là nghiệm cực tiểu phía bên phải đi qua ( ,t Y0 0)D , tiếp cận biên của D ở tận cùng bên phải Đặt Δ [ ,t α0 0) là khoảng tồn tại của ( )t Khi đó, nếu

1

( ) ( ( ), , n( ))

Y   t   t  t là đường cong liên tục bất kì với tΔ [ ,t α0  0)

chứa trong D và thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu

Định lí 1.14 Giả sử vế phải của phương trình (1.37) liên tục trên miền

mở D Lấy ( ,t y0 0)D và kí hiệu ( ) (t ( ))t là nghiệm cực đại (nghiệm cực tiểu) bên trái đi qua ( ,t y , tiếp cận biên của D về tận cùng phía bên 0 0)

trái và xác định trên   ( , ] t0 Lấy y( )t là đường cong liên tục bất kì với t    ( , ] t0 chứa trong D và thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu

1.14 sẽ đúng với bất kì đạo hàm Dini nào

Ví dụ 1.3 Lấy ( )t liên tục trên [ ,t0  và giả sử 0) ( )t0  y0 và

với c là hằng số dương Với những giả thiết này với bất kì nghiệm của hệ

(1.38) tồn tại trong khoảng xác định từ t đến  0

Thật vậy, lấy y t i( ) (i1, , )n là một nghiệm của (1.38) xuất phát tại t  0 0

và đặt [ , )t0  là khoảng tồn tại của nghiệm cực đại phía bên phải Xét hàm

2 1

( ) [ ( )]

n i i

2 1

n

i n i i

0 1

( ) [ ( )]

n i i





   trên [ , )t0 

Do đó ta phải có    , vì nếu không thì nghiệm sẽ không tiếp cận biên của

D ở tận cùng phía bên phải Bằng cách khác, từ (1.40) kéo theo khoảng tồn tại

nghiệm của hệ (1.38) là [ ,t  0 )

Ghi chú: trong ví dụ này thì dy ( , )t y cy

dt    và khi đó nghiệm cực đại bên phải đi qua ( ,t y là 0 0) ( 0 )

[ ,t  ), là nghiệm cực đại phía bên phải đi qua ( ,t Y , tiếp cận biên của D ở 0 0)

tận cùng phía bên phải Khi đó, với bất kì ( ,t0 0) tồn tại một chỉ số v 0sao cho

i) Với vv Y0, v( )t tồn tại trên [ , )t0  và

   hội tụ đều trên [ , )t0 

Chứng minh Theo Định lí 1.8, tập gồm các số ( ,t0 0) sao cho i) và ii) đúng với v là không rỗng Lấy 0  là cận trên bé nhất của các số như thế

Ta cần chứng tỏ rằng  0

 Giả sử rằng  0

 và xét điểm (, ()) D

  Lấy Q là một hình lập phương có tâm tại (, ( )) sao

cho QD Bởi tính liên tục của  i( , )t Y , (như ở chứng minh Định lí 1.8),

tồn tại một số dương M sao cho

(1.41) i( , )t Y 1 M (i 1, 2, , ;n v 1, 2, ), ( , )t Y Q*

v

và vì vậy ta thấy, theo cách chọn h và theo chứng minh Định lí 1.8 áp dụng

cho điểm (**, ( **)), i) và ii) thỏa mãn trên [**,**h] đối với chỉ số v

đủ lớn Vì thế, i) và ii) sẽ đúng trên [ ,t0 **+ ]h từ một chỉ số v nào đó trở đi

Nhưng xét thấy theo cách định nghĩa của * thì điều này là không thể xảy ra

vì theo (1.43) ** Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng h  0

Định lí 1.15 Cho vế phải của hệ (1.8) liên tục và thỏa điều kiện W đối với Y trên miền mở D Lấy ( ,t Y0 0)D , xét nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên phải ( ; ,t t Y0 0) (( ; ,t t Y0 0)) đi qua ( ,t Y , tiếp cận biên của D về tận cùng 0 0)

phía bên phải và lấy ( ,t Y0 0)(( ,t Y0 0)) là khoảng tồn tại của nó Với

1

( , , n)

E   với  i  (0  i 0 ) (i1, 2, , )n , kí hiệu ( ; , , )t t Y E0( ( ; , , )t t Y E0 ) là nghiệm cực đại (cực tiểu) bên phải đi qua ( ,t Y của hệ 0 0)

Chứng minh Trước hết ta chứng minh phần định lí liên quan đến

nghiệm cực đại phía bên phải Lấy một dãy các điểm v