CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT LUÂN VĂN THẠC SĨ 2017

Cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat, tìm hiểu và nghiên cứu các cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat mới 2017. Luân văn thạc sĩ Cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat, tìm hiểu và nghiên cứu các cấu trúc đại số trong lý thuyết otomat mới 2017.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG, 2013

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Gia Định

ĐÀ NẴNG, 2013

Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hồng Nhung

1.1 Sơ đồ đẳng cấu ψ: ψ= 9 1.2 Sơ đồ cảm sinh ánh xạ ψ và ψ’ 22

1.3 Sơ đồ ′ là ảnh đồng cấu của với ánh xạ quyết

MỞ ĐẦU ……… 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3

7 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1 ÔTÔMAT THUẦN TUÝ 4

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 4

1.1.2 Biểu diễn ôtômat của một tập và nửa nhóm 5

1.1.3 Đồng cấu ôtômat 7

1.1.4 Ôtômat tuần hoàn 11

1.2.ÔTÔMAT PHỔ DỤNG 15

1.2.1.Định nghĩa các tính chất của ôtômat phổ dụng 15

1.2.2 Tính khớp của ôtômat phổ dụng và rút gọn trái, phải 18

1.3 ÔTÔMAT MOORE 21

1.3.1 Định nghĩa và vài thuộc tính 21

1.3.2 Ôtômat Moore và ôtômat phổ dụng 22

1.3.3 Đồng cấu của ôtômat Moore 24

1.4 ÔTÔMAT THUẦN TUÝ TỰ DO 28

1.4.1 Định nghĩa, sự thực thi 28

1.4.2 Tiêu chuẩn tự do 30

1.4.3 Một vài tính chất 33

1.5 TỔNG QUÁT HOÁ 35

1.5.3 Ôtômat Affine 38

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG VÀ PHÂN RÃ ÔTÔMAT 41

2.1 XÂY DỰNG ÔTÔMAT THUẦN TUÝ 41

2.1.1 Kết nối tầng của ôtômat tuyệt đối thuần túy 41

2.1.2 Kết nối tầng và tích luồng của ôtômat nửa nhóm thuần túy 45

2.1.3 Các thuộc tính của kết nối tầng 46

2.2 PHÂN RÃ ÔTÔMAT THUẦN TUÝ HỮU HẠN 49

2.2.1 Lý thuyết phân rã Krohn-Khodes 49

2.2.2 Phân rã của ôtômat Mealy 55

CHƯƠNG 3 ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH 57

3.1 ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ÔTÔMAT 57

3.1.1 Ôtômat tuyến tính, sự tuyến tính hóa 57

3.1.2 Ôtômat tuyến tính Moore 59

3.1.3 Song ôtômat 62

3.1.4 Ôtômat, song ôtômat và biểu diễn 64

3.2 XÂY DỰNG VÀ PHÂN RÃ ÔTÔMAT 65

3.2.1 Xây dựng Tích tam giác 65

3.2.2 Phân rã ôtômat tuyến tính 69

3.3 TỰ ĐẲNG CẤU CỦA ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ÔTÔMAT 76

3.3.1 Một số định nghĩa, bổ đề cơ bản 76

3.3.2 Tự đẳng cấu của ôtômat phổ dụng 78

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lịch sử phát triển của lý thuyết Ôtômat đã trải qua những thời kỳ huy hoàng từ những năm 50 do nhu cầu nghiên cứu phát sinh từ ngôn ngữ hình thức, ngôn ngữ lập trình, điều khiển học,…và ngày càng tỏ rõ vai trò quan trọng của nó trong nhiều công trình cho tới nay Ôtômat – mô hình toán học trong lý thuyết tính toán cổ điển – đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết khoa học máy tính

Đề tài này dành cho việc nghiên cứu các cấu trúc đại số liên quan đến khái niệm Ôtômat Tầm quan trọng được thực hiện trên khung đại số của Ôtômat và cơ sở dữ liệu thực Vì vậy, các khái niệm này xuất hiện dưới dạng các cấu trúc đại số nhiều loại, cho phép lý thuyết đại số được phát triển Vì việc xử lý về mặt cấu trúc đại số mở đường cho cấu trúc và dáng điệu của Ôtômat và cơ sở dữ liệu thực, chúng ta hy vọng rằng lý thuyết được xây dựng

sẽ tìm thấy các ứng dụng của nó Mặt khác, chúng ta theo đuổi khá nhiều mục đích đại số hầu tìm kiếm các phương cách làm phong phú cho chính đại số Khái niệm Ôtômat xuất hiện trong nhiều bài toán khác nhau được liên kết với khoa học máy tính, hệ thống mạng, lý thuyết điều khiển, … Cấu trúc toán học của nó dựa trên lập luận trực giác, phản ánh thực thể Ôtômat thực Bây giờ lý thuyết Ôtômat là một lĩnh vực toán học được phát triển Có hai khía cạnh có thể được vạch ra trong việc nghiên cứu Ôtômat, đó là sự tiếp cận

tổ hợp và lý thuyết đại số Cái thứ nhất thuộc phạm vi lớn hơn liên quan đến dáng điệu, phân tích và tổng hợp Ôtômat Chắc chắn rằng cả hai hướng này là không độc lập với nhau: phương pháp đại số được dùng trong bài toán tổ hợp Chẳng hạn, lý thuyết Ôtômat đại số đóng một vai trò có ý nghĩa trong lý thuyết thuật toán và ngôn ngữ Tuy nhiên, nói theo khía cạnh đại số của lý thuyết Ôtômat, trước hết chúng ta ghi nhớ một Ôtômat như là một cấu trúc đại

số Một sự phân tích hợp lý về cấu trúc đại số này là một trong các mục tiêu chính của đề tài Ngoài ra, cấu trúc đại số của Ôtômat cung cấp một thông tin quan trọng về cấu trúc của Ôtômat thực Định lý phân rã Krohn-Rhodes hoá

ra là bằng chứng gây ấn tượng nhất cho điều này Một hướng quan trọng khác được trình bày bằng việc áp dụng phương pháp đại số đối với sự phân loại Ôtômat, mô tả dáng điệu của nó bằng sự đồng nhất, nghiên cứu các đa tạp Ôtômat Cuối cùng, chúng ta cố gắng đi theo quan điểm phạm trù về Ôtômat như là về các hệ đại số

Xuất phát từ nhu cầu phát triển của lý thuyết Ôtômat cùng những ứng

dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài với chủ đề: Các cấu trúc đại số

trong lý thuyết Ôtômat để tiến hành nghiên cứu Chúng tôi hy vọng tạo được

một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết

Ôtômat và các ứng dụng của nó và luận văn đã chỉ ra được một số ví dụ minh

hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết Ôtômat qua các cấu trúc đại số trên một số Ôtômat cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về Ôtômat thuần tuý

- Nghiên cứu về xây dựng và phân rã Ôtômat

- Nghiên cứu về Ôtômat tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các cấu trúc đại số trên một số Ôtômat cụ thể Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý thuyết Ôtômat

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến các cấu trúc đại số trong lý thuyết Ôtômat, cụ thể là Ôtômat

thuần túy, Ôtômat phổ dụng, Ôtômat Moore, Ôtômat thuần túy tự do, Ôtômat tuyến tính, song Ôtômat

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về lý thuyết Ôtômat

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến lý

thuyết Ôtômat và các cấu trúc đại số trên một số Ôtômat cụ thể nhằm xây

dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu các cấu trúc đại

số trong lý thuyết Ôtômat

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số

ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được

đề cập

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài các phần danh mục hình vẽ, mục lục, mở đầu, luận văn chia thành

CHƯƠNG 1 ÔTÔMAT THUẦN TUÝ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Một ôtômat =(A, X, B) gồm ba tập A, X, B lần lượt được gọi là tập các trạng thái, tập các tín hiệu vào, tập các tín hiệu ra và hai phép toán hai ngôi:

Một ôtômat = (A, X, B) được gọi là tuyệt đối thuần tuý nếu tập các tín hiệu vào cũng không có bất kỳ cấu trúc đại số nào

Ví dụ: Cho = (A, X, B) là một ôtômat với hai trạng thái A = {0,1}, hai tín hiệu vào X = {0,1} và hai tín hiệu ra B = {0,1} Các phép toán ๐ và ∗ được xác định bởi: a  x = a + x(mod2), a ∗ x = a x(mod2)

Cho A, B là các tập bất kỳ, SA là nửa nhóm tất cả các phép biến đổi của tập A, Fun(A, B) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ A vào B Xét tích Descartes S(A,B) = SAx Fun(A, B) và định nghĩa tích phép toán trên tập S(A, B), giả sử: (φ1, ψ1)(φ2, ψ2)=(φ1φ2, φ1ψ2), φi∈ SA, ψi ∈Fun(A, B)

Kiểm tra trực tiếp cho thấy rằng toán tử này có tính chất kết hợp Do đó S(A, B) là một nửa nhóm Định nghĩa ôtômat (A, S(A, B), B) với các phép toán xác định bởi:

a  (σ, φ) = a

a ∗ (σ, γ) = a

trong đó, a ∈ A, (σ, φ) ∈ S(A, B), σ ∈ SA, φ ∈ Fun(A, B)

Ôtômat trên là ôtômat nửa nhóm Thật vậy:

a((σ , φ )(σ , φ )) = a(σ σ , σ φ ) = a =(a )

= (a (σ , φ ))( σ , φ )

a ((σ , φ )( σ , φ )) = a∗ (σ σ , σ φ )=(a ) =(a (σ , φ ))( σ , φ )

Ký hiệu ôtômat này là Atm1(A, B)

Một ôtômat mà chỉ có hai tập A, X và phép toán  được gọi là nửa ôtômat của ôtômat thuộc tín hiệu vào – trạng thái Trên thực ôtômat như thế là biểu diễn = (A, X) Cũng có ôtômat = (A, X, B) chỉ có phép toán ∗, ôtômat như thế được gọi là ôtômat của tín hiệu vào – ra hoặc ∗-ôtômat

1.1.2 Biểu diễn ôtômat của một tập và nửa nhóm

Cho A là một tập hợp và SA là nửa nhóm của các phép biến đổi Nếu X

là một tập hợp khác nào đó thì mỗi ánh xạ f: X→SA cho biểu diễn của các phần tử từ X bằng phép biến đổi của A Ta có phép toán : AxA→A được xác định bởi ax=af(x) Mặt khác cho toán từ , mỗi x có thể xem như phép biến đổi của A, và vì vậy f: X→SA xuất hiện Cùng là một phép tương ứng 1-

1 Trong trường hợp X=Γ1 là một nửa nhóm, có thể trực tiếp dễ dàng biểu diễn quan hệ aγ γ = (aγ )γ , γ Γ có được nếu và chỉ nếu f: Γ→SA là một đồng cấu Dựa trên các lập luận đã biết, ta định nghĩa khái niệm về một biểu diễn ôtômat biểu diễn

Cho ôtômat =(A, X, B) và nửa nhóm S(A, B) Phần tử xX hoạt động, theo một cách như là phép biến đổi của tập hợp A, nghĩa là phần tử của SA, và

theo một cách khác như là phần tử của Fun(A, B) Do đó ta định nghĩa hai ánh xạ:

α: X→SA, β: X→Fun(A, B) Với mỗi xX ta định nghĩa chuyển đổi xα

của SA và ánh xạ xβ của Fun(A, B) theo cách sau:

axα = ax, axβ = a∗x

Định nghĩa biểu diễn f: X→S(A, B), bằng cách đặt xf = (xαxβ) Biễu diễn này là liên kết với ôtômat Nếu X=Γ là một nửa nhóm, dễ dàng thấy rằng f: X→S(A, B) là đồng cấu từ nửa nhóm Γ vào S(A, B)

Mặt khác, ta xét ánh xạ f: X→S(A, B) và phần tử xf = (φ, ψ)S(A,B)=

SA x Fun(A, B) là ảnh của phần tử x Ôtômat =(A, X, B, , ∗) với ax=x , a∗x=a tương ứng với ánh xạ này Nếu X=Γ là một nửa nhóm, đồng cấu f: Γ→S(A, B) xác định ôtômat nửa nhóm (A, Γ, B) Thật vậy, định nghĩa ôtômat

= (A, X, B) tương đương với việc xác định biểu diễn f: X→S(A, B) trong việc xác định ôtômat nửa nhóm (A, Γ, B) là tương đương với đồng cấu f: X→S(A, B)

Một ôtômat tuyệt đối thuần tuý (A, X, B) được gọi là ôtômat khớp nếu ánh xạ liên kết X→S(A, B) là đơn ánh Tương ứng ôtômat nửa nhóm (A, Γ, B) là ôtômat khớp, nếu đồng cấu f: Γ→S(A, B) là đơn cấu nửa nhóm Cho ánh xạ f: A→B Xét quan hệ ρ= ρ(f) trên A xác định bởi a ρa′ nếu và chỉ nếu f(a)=f(a’) Rõ ràng ρ là quan hệ tương đương, gọi là tương đương hạt nhân của f hay đơn giản là hạt nhân của f, ký hiệu là Kerf Nếu f:X→S(A, B) là đồng cấu thì hạt nhân của ρ=Kerf được gọi là hạt nhân của biểu diễn ôtômat hoặc hạt nhân của ôtômat =(A, X, B) Mỗi ôtômat =(A, X, B) có được ôtômat khớp (A, X/ρ, B) với X/ρ là tập hợp thương của X bởi ρ

Cùng với hạt nhân ρ=Kerf, xét hạt nhân của ánh xạ α: Γ → SA, β: Γ→Fun(A, B) được ký hiệu ρα=kerα, ρβ=kerβ Vì α là đồng cấu, ρα là

phép đồng dư của nửa nhóm Γ nghĩa là với γ ραγ , γ′ραγ thì γγ′ραγ γ Quan

hệ tương đương ρβ có thể không là phép đồng dư nhưng nó bảo toàn phép nhân, nghĩa là nếu γ ρβγ thì γγ ρβγγ Ngoài ra ρ = ραρβ

Sử dụng biểu diễn ôtômat, một ôtômat tuyệt đối thuần tuý = (A, X, B)

có thể mở rộng đến ôtômat nửa nhóm F( ) = (A, F, B), ở đây F = F(X) là nửa nhóm tự do sinh bởi tập X Thật vậy, việc xác định ôtômat là tương đương với việc xác định biểu diễn f: X→S(A, B) Do thuộc tính phổ dụng của nửa nhóm tự do, ánh xạ f: X→S(A, B) là được mở rộng duy nhất lên đồng cấu f:F(X)→S(A, B), trong khi xác định đồng cấu này là tương đương với việc xác định ôtômat nửa nhóm (A, F(X), B)

Ví dụ: =(A, X, B) là ôtômat với tập trạng thái A={a0, a1,…,an-1}, tập các tín hiệu vào X bao gồm một phần tử x và tập các tín hiệu ra B={0,1} Phép toán  và ∗ được định nghĩa như sau:

ai x=ak, ở đây k=i + 1(modn);

ai ∗ x = 0, i ≡ 0(mod2)

1, i ≡ 1(mod2) Trong ôtômat nửa nhóm F( ) = (A, F, B), nửa nhóm là F( ), nửa nhóm là F( ) nửa nhóm tuần hoàn vô hạn với phần tử sinh x Các phần tử của F( ) có dạng xm, m = 1, 2, … và hoạt động theo cách sau:

ai x =ak với k = i + m(modn)

ai ∗ x = 0, i + m − 1 ≡ 0(mod2)

1, i + m − 1 ≡ 1(mod2)

1.1.3 Đồng cấu ôtômat

Bộ ba ánh xạ μ=(μ1,μ2,μ3), với μ1:A→A', μ2:X→X', μ3:B→B' được gọi

là đồng cấu : → ’ từ ôtômat = (A, X, B) đến ôtômat ’ = (A’, X’, B’), nếu điều kiện sau được thoả mãn:

(a  x)μ = aμ  xμ

(a ∗ x)μ = aμ ∗ xμ , aA, xX (1.2)

Để định nghĩa đồng cấu của ôtômat nửa nhóm μ: (A, Γ, B)→ (A′, Γ′, B′)

và có thêm điều kiện sau:

μ là đồng cấu của nửa nhóm Γ đến Γ′ (1.3)

Nếu μ1,μ2,μ3 là ánh ánh xạ 1-1 thì μ được gọi là đẳng cấu của ôtômat Một đồng cấu (tương ứng đẳng cấu) của ôtômat vào chính nó được gọi là

tự đồng cấu của ôtômat

Cho hai ôtômat =(A, X, B) và ’=(A’, X, B) có cùng tập tín hiệu vào

và tập tín hiệu ra Đồng cấu → ’ có dạng μ1= (μ1, εX, εB) trong đó εX, εBlần lượt là ánh xạ đồng nhất của tập X và B được gọi là đồng cấu theo trạng thái Nếu ánh xạ μ1 là toàn ánh (tương ứng đơn ánh),μ1 được gọi là toàn cấu (tương ứng đơn cấu) trạng thái Đối với các ôtômat hữu hạn, với ôtômat , được cho tồn tại một thuật toán xây dựng ảnh toàn cấu theo trạng thái ảnh ’

với số trạng thái ít nhất Đồng cấu theo tập tín hiệu vào và đồng cấu theo tập tín hiệu ra được định nghĩa hoàn toàn tương tự như đồng cấu theo trạng thái Chẳng hạn, một đồng cấu theo tập tín hiệu vào từ ôtômat =(A, X, B) vào ôtômat ’ = (A, X’, B) là đồng cấu dạng μ2=( εA , μ2 , εB) với εA, εB là ánh xạ đồng nhất của tập hợp A, B điều kiện (1.2) kéo theo ax= (a  x)εA = aεA  xμ2 = a  xμ2, aA, xX Tương tự a ∗ x = a ∗ xμ

Đồng cấu theo tín hiệu vào có nghĩa làm cho ôtômat trở nên khớp hơn; nếu là một ôtômat khớp thì ôtômat ’ cũng là một ôtômat khớp và đồng cấu μ2: → ’ là đẳng cấu

Nếu μ=(μ1,μ2,μ3): → ’ và υ = (υ , υ , υ ): → ’ là hai đồng cấu ôtômat thì tích μυ=(μ1υ ,μ2υ ,μ3υ ): → ’’ thoả mãn điều kiện (1.2) nên

μυ cũng là một đồng cấu:

(a  x)μ1 = ((a  x)μ )υ = (aμ1  xμ2)υ = aμ1υ  xμ2υ

Do đó ánh xạ μυ: → ’’ là đồng cấu của ôtômat

Mệnh đề 1.1 Bất kỳ đồng cấu ôtômat μ=(μ1,μ2,μ3) nào đều có thể được biểu diễn như tích μ = μ3μ1μ2 của đồng cấu theo tín hiệu ra μ3, theo trạng thái μ1 và theo tín hiệu vào μ2

Chứng minh Cho μ=(μ1,μ2,μ3) là đồng cấu ôtômat nửa nhóm μ: = (A, Γ, B,  , ∗)→ ’ = (A’,Γ’, B’, ′ , ∗’) Xét ôtômat 1 = (A, Γ, B’) với phép toán  , ∗ được định nghĩa theo qui tắc:

 γ = a  γ, a*1γ=a*γ μ3, aA, γΓ Ôtômat này là một ôtômat nửa nhóm Ngoài ra, 2 = (A’, Γ, B’) với hai phép toán  , ∗ xác định bởi:

a 2 γ = a ' γ μ2, a *2 γ = (a *' γ)μ3 cũng là ôtômat nhóm và μ2=( εA', μ2 , εB'):

2→ ’ là một đồng cấu ôtômat Ta còn có μ1=(μ1, εΓ, εB'): 1→ 2 là một đồng cấu và μ3μ1μ2: → 1→ 2 → ’ chính là

Lưu ý: Thứ tự của tích trên là quan trọng Biểu diễn như thế của đồng

cấu ôtômat được gọi là sự phân tích chính tắc của một đồng cấu Chứng minh trên được cho với trường hợp đồng cấu ôtômat nửa nhóm Nếu ta xét đồng cấu ôtômat tuyệt đối thuần tuý thì lập luận sẽ đơn giản

Trong lý thuyết ôtômat đồng cấu thay thế đóng vai trò quan trọng Đồng cấu từ ôtômat =(A, X, B) vào ôtômat ’=(A’, X’, B’) thay thế của tín hiệu

aμ1  x′ = (a  x′μ2)μ1

(aμ1 ∗ x′)μ3 = (a ∗ x′μ2)μ3, aA, x'X'

Đồng cấu thay thế của tín hiệu vào, tín hiệu ra là bộ ba ánh xạ μ1: A→ ’;

μ2: X’→X; μ3: B→B’, μ=(μ1,μ2,μ3) thoả mãn điều kiện

và tín hiệu ra Nếu (A, Γ, B) là ôtômat nửa nhóm thì một ôtômat con có dạng (A1, Γ, B1) được gọi là Γ – ôtômat con

Đồng dư của ôtômat =(A, X, B) là bộ ba của quan hệ tương đương ρ=(ρ1,ρ2, ρ3), ρ1 trên tập A, ρ2 trên tập X và ρ3 trên tập B thoả mãn điều kiện sau:

aρ1a'∧xρ2x'⇒(a๐x)ρ1(a'๐x')∧(a*x)ρ3(a'*x) (1.5)

Cho ρ=(ρ1, ρ2, ρ3) là một đồng dư của ôtômat Ôtômat ( /ρ1, X/ρ2, B/ρ3) với phép toán ๐ và xác định bởi:

μ1, μ2, μ3 Bộ ba (τ1, τ2, τ3) thoả mãn (1.5) Vì vậy =(τ1, τ2, τ3) là đồng dư của Đồng dư này được gọi là hạt nhân của đồng cấu và kí hiệu =Ker

Đồng cấu ôtômat τ: → /Kerμ được gọi là đồng cấu tự nhiên

Mệnh đề 1.2 Cho φ là đồng cấu từ ôtômat vào ôtômat và ρ là đồng cấu tự nhiên lên /Kerφ Khi đó ôtômat là đẳng cấu với ôtômat /Kerφ, và tồn tại duy nhất đẳng cấu ψ sao cho ρψ = φ

là quan hệ tương đương trên tập A xác định bởi a1τΓa2 nếu và chỉ nếu

a1*γ=a2*γ, ∀γΓ Như vậy, ôtômat (A, , B) là khớp, nếu các lớp của tương đương τΓ bao gồm các phần tử tách biệt, nghĩa là ∀aA, aγ1 = aγ2, a ∗

γ1 = a ∗ γ2 kéo theo γ1 = γ2; γ1, γ2 Γ

Ta gọi ôtômat là rút gọn trái, nếu các lớp tương đương τΓ là gồm các phần tử tách biệt, nghĩa là, a1*γ= a2*γ, ∀γ ∈ Γ kéo theo a1= a2 Ôtômat được gọi là rút gọn phải nếu B trùng A*Γ = {a∗ γ | a ϵ A, γ ϵ Γ Ta gọi ôtômat rút gọn trái đơn giản là ôtômat rút gọn

1.1.4 Ôtômat tuần hoàn

Xét các ôtômat con , α∈ I, trong ôtômat nửa nhóm cố định =(A, ,B) Chặn dưới lớn nhất là giao của = (Aα , Γα , Bα), = ∩ 

= (∩ Aα ,∩ Γα ,∩ Bα), α ∈ I Giả sử phần giao này khác rỗng

Chặn trên nhỏ nhất hoặc hợp của các ôtômat này được xác định theo cách sau: đây là ôtômat con ∪  = (A, Σ, B, ), α ∈ I, trong đó  là nửa

nhóm của sinh bởi Γα; B={a*σ|a∈A, σ∈Σ}∪(⋃α∈IBα); A là tập con bất biến nhỏ nhất đối với  của A chứa mọi A Cho ôtômat (A, Γ, B) và bộ ba tập hợp (Z, X, Y), Z⊂A, X⊂Γ, Y⊂B Ôtômat con nhỏ nhất ’=(A’, ’, B’) của với tính chất Z⊂A', X⊂Γ', Y⊂B’ sẽ được gọi là ôtômat con sinh bởi bộ ba này Bộ ba tập hợp (Z, X, Y) được gọi là hệ sinh của ôtômat ’ Rõ ràng ’

là giao của tất cả các ôtômat con = (Aα , Γα , Bα) của A, thỏa mãn Z⊂Aα, X⊂Γα, Y⊂Bα

Mệnh đề 1.4 Nếu ôtômat con ’ = (A’, Γ’, B’) của (A, Γ, B) sinh bởi

hệ sinh (Z, X, Y) thì Γ’ là nửa nhóm con của Γ sinh bởi tập X; tập A’ là hợp của tập Z với Z  Γ gồm a γ, a ∈A', γ ∈ Γ' Tập B’ là hợp của tập Y với tập tất cả các phần tử a * γ, với a ∈ A', γ ∈ Γ' Chứng minh là hiển nhiên

Chú ý: Ta quan tâm chủ yếu ôtômat nửa nhóm Xét ôtômat = (A, X, B) với tập tín hiệu vào X bất kỳ Lấy trong một bộ ba (Z, X, Y’) và xây dựng ôtômat con sinh bởi bộ ba này như sau trong Đầu tiên xét ôtômat con nửa nhóm (A', Σ', B′) trong ℱ( ) sinh bởi (Z, X’, Y’) rồi lấy ôtômat (A’, X’, B’) mà “quên” nửa nhóm  Đặc biệt hệ (Z, X’, Y’) sinh ôtômat nếu

và chỉ nếu X’ = X và cùng bộ ba sinh ra ℱ( )

Như trường hợp đặc biệt của hệ sinh (Z, X, Y), có thể xét hệ với tập rỗng

Y, với X= Γ Nếu trong trường hợp sau Z chỉ có một phần tử và cuối cùng với tập rỗng Y và X= Γ, ta đi đến khái niệm ôtômat tuần hoàn Theo mệnh đề 1.4

về định nghĩa ôtômat tuần hoàn có thể phát biểu theo cách sau:

Một ôtômat =(A, Γ, B) được gọi là một ôtômat tuần hoàn với phần tử sinh a, nếu A= {a} ∪ aΓ, trong đó a = {aγ, γ∈ Γ} và B=A*Γ Từ nay trở

đi ta ký hiệu {a}∪ a  bởi Γ1

Bây giờ, ta mô tả ôtômat tuần hoàn với nửa nhóm Γ Xét ôtômat Atm(Γ)

=(Γ1, Γ, Γ) với hai phép toán được °, * định nghĩa theo nguyên tắc: xy = x γ, x*γ=x γ, γΓ

Ở đây Γ1 = Γ ∪ {1}, {1} ∉ Γ và phép nhân trong Γ1 như sau: Nếu x, yΓ thì tích của chúng được xác định trong Γ, nếu xΓ1, y=1 thì x1=1x=x Rõ ràng Γ1 là một nửa nhóm với đơn vị 1 nhận Γ làm nửa nhóm con

Ôtômat này tuần hoàn đối với đơn vị của nửa nhóm Γ1 là phần tử sinh Atm(Γ) được gọi là ôtômat tuần hoàn chính qui của nửa nhóm Γ Rõ ràng ảnh đồng cấu của ôtômat tuần hoàn cũng là ôtômat tuần hoàn và vì vậy mọi ôtômat thương của ôtômat Atm(Γ) là tuần hoàn

Mệnh đề 1.5 Mỗi ôtômat tuần hoàn với nửa nhóm Γ là đẳng cấu với

ôtômat thương nào đó của ôtômat Atm(Γ)

Chứng minh Cho = (A, , B) là ôtômat tuần hoàn với phần tử sinh a

Atm*(ψ: Γ → B) là một ôtômat tuần hoàn với phần tử sinh là một phần tử đơn

vị của Γ Trong trường hợ này chúng ta có ôtômat rút gọn Atm(ψ: Γ → B) = (Γ1/ρ, Γ, B), ở đây ρ là hạt nhân của ánh xạ τ: Γ1 → Fun(Γ, B)

Chú ý: γ1ργ2 khi và chỉ khi γ1∗ x = γ2∗ x, ∀x ∈ Γ , nghĩa là ∀x ∈ Γ ta

có γ1x = γ2x Quan hệ tương đương ρ được gọi là quan hệ tương đương Nerode

Mệnh đề 1.6 Mỗi ôtômat tuần hoàn rút gọn = (A, Γ, B) là đẳng cấu với ôtômat Atm(ψ: Γ → B) nào đó

Chứng minh Theo mệnh đề 1.5 ôtômat tuần hoàn = (A, Γ, B) là một ảnh toàn cấu của ôtômat chính quy Atm(Γ) Giả sử μ = μ1, εΓ, μ3 là toàn cấu tương ứng và μ = μ μ μ là sự phân tích chính tắc

Atm( ) = Γ1, Γ, Γ → Γ1, Γ, B → (A, Γ, B), ở đây μ là một toàn cấu theo tín hiệu ra, μ2 là ánh xạ đồng nhất và μ là toàn cấu theo trạng thái Chứng tỏ Γ1, Γ, B là ôtômat Atm*(ψ: Γ → B) đối với ánh xạ ψ: Γ → B được xác định theo qui tắc: γ = 1 ∗ γ, 1 ∈ Γ1, γ ∈ Γ Thật vậy, nếu x ∈ Γ1, γ ∈

Γ, thì xγ = xγ (vì Γ1, Γ, B là ảnh toàn cấu theo tín hiệu ra của ôtômat Atm()) Vì vậy, x * γ= (1x)∗ γ = 1* xγ = (xγ) Nên ta có x γ = xγ,

x * γ= (xγ) Dó đó Γ1, Γ, B = Atm ∗ (ψ: Γ → B) Từ đó, nếu (A, Γ, B) là một ôtômat rút gọn, thì nó đẳng cấu với ôtômat rút gọn Atm∗ (ψ: Γ → B)/kerμ = Atm: (ψ: Γ → B)

Một ôtômat = (A, Γ, B) được gọi là Γ− bất khả quy nếu nó không chứa Γ− ôtômat con Rõ ràng là Γ− bất khả quy nếu và chỉ nếu ôtômat này là tuần hoàn và mọi phần tử của A đều là phần tử sinh của nó Một ôtômat = (A, Γ, B) được gọi là hoàn toàn khả quy, nếu nó sinh bởi Γ− ôtômat con bất khả quy

Mệnh đề 1.7 Một ôtômat = (A, Γ, B) là hoàn toàn khả quy nếu và chỉ nếu A =∪ Aα, α ∈ I, ở đây Aα∩ Aβ = ∅, α ≠ β, AαΓ = Aα và B = A* Γ ={a ∗ γ|a ∈ A, γ ∈ Γ} Ôtômat con bất khả quy trong có dạng  = (Aα, Γα,

Bα), ở đây Bα = Aα ∗ Γ = {a ∗ γ|a ∈ Aα, γ ∈ Γα}

1.2 ÔTÔMAT PHỔ DỤNG

1.2.1 Định nghĩa các tính chất của ôtômat phổ dụng

Ôtômat Atm1(A, B) đề cập thảo luận trong mục 1.1 có tính chất phổ dụng cụ thể là:

Mệnh đề 2.1 Với bất kỳ ôtômat nửa nhóm = (A, Γ, B) tồn tại duy nhất đồng cấu theo tín hiệu vào μ: →Atm1 (A, B)

Chứng minh Cho f: Γ → S(A, B) là một biễu diễn ôtômat của nửa nhóm

Γ Đồng cấu nửa nhóm f xác định đồng cấu theo tín hiệu vào μ = (εA, f, εB) từ vào Atm1 (A, B) = (A, S(A, B), B) Thực vậy, nếu a ∈ A, γ ∈ Γ, γf =(σ, γ) ∈ S(A, B)=SAxFun(A, B) thì

(a γ)εA=a γ = aσ=a (γ, σ)= aεA γf,

(a γ)εA=a γ = aσ=a (γ, σ)= aεA γf, giả sử (εA, , εB) là đồng cấu khác từ vào Atm1 (A, B) và γ = (σ′, φ′)

Theo (1.2), với mọi aA, ta có a γ =(a γ)εA= aεA  γ = aσ',

Mỗi tín hiệu vào x chuyển trạng thái a của ôtômat thành tín hiệu ra b: a*x = b Mặt khác, có thể nói rằng trạng thái chuyển tín hiệu vào x thành tín hiệu ra, nghĩa là, mỗi trạng thái cố định hoạt động như ánh xạ từ X vào B, tức

là, như một phần tử của Fun(X, B) Việc xây dựng sau tương ứng với quan điểm này

Cho nửa nhóm Γ và tập B Định nghĩa ôtômat (A, Γ, B), ở đây A = Fun(Γ, B) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ Γ vào B Cad phép toán  và * là

được xác định như sau:

Nếu aA=Fun (Γ, B), γΓ, thì a๐γ thuộc Fun(Γ, B) cho bởi (a๐γ)(x)=a(γx),∀x∈Γ, a*γ=a(γ) Ôtômat này là một ôtômat nửa nhóm

aγ γ (x) = a γ γ x = a γ γ x = aγ γ (x)

a ∗ γ γ = a γ γ = aγ γ = aγ *γ

Ký hiệu ôtômat (A, Γ, B) là Atm2(A, B)

Mệnh đề 2.2 Với bất kỳ ôtômat = (A, Γ, B), tồn tại duy nhất một đồng cấu theo trạng thái μ: →Atm2(Γ, B)

Chứng minh Định nghĩa ánh xạ υ: A →Fun(Γ, B), lấy aυ(x)=a*xB,

∀aA, xΓ Khi đó μ=(υ, εΓ, εB) là đồng cấu theo trạng thái từ ôtômat vào

Atm2(Γ, B): (aγ)υ(x)=(aγ)*x=a*γ=aυ(γx)=(aυ γ)(x), nghĩa là (aγ)υ =

aυγεΓ, a*γ=(a ∗ γ)ε =aυ(γ) = aυ*γ=aυ*γ εΓ

Đồng cấu này là duy nhất Thật vậy, với đồng cấu khác (h, εΓ, εB):

A→Atm2(A, B) ta có ah*γ=a (γ) = (a ∗ γ)ε =aυ(γ),∀aA, γΓ, do đó h = Mệnh đề 2.2 có nghĩa là Atm2(Γ, B) là một vật trong phạm trù các ôtômat thuần tuý với các tín hiệu vào và ra cố định

Hạt nhân của đồng cấu μ: =(υ, εΓ, εB): →Atm2

(Γ, B) trùng với đồng

dư tương đương ∗ Điều này có nghĩa là ôtômat là rút gọn (trái) nếu tương ứng υ:A→ Fun(Γ, B) là một đơn cấu Nó cũng có nghĩa là ôtômat rút gọn trái

/ Γ∗ là nhúng đơn cấu vào Atm2 (Γ, B) Nói cách khác mỗi ôtômat rút gọn trái nằm trong Atm2 (Γ, B) Cho hai biểu diễn A, Γ và (A’, Γ), một ôtômat ’

= A', Γ, B và ánh xạ υ: A→A’ mà bảo toàn hoạt động của Γ trong A và A’ (nghĩa là (aγ)υ=aυ*γ) Đặt a*γ=aυ*γ, chúng ta định nghĩa ôtômat

= A, Γ, B và (υ, εΓ, εB)là một đồng cấu theo trạng thái từ A vào ’

Đặc biệt, với (A, Γ), (Fun(Γ, B), Γ) và υ:A→ Fun(Γ, B) cho tương ứng ôtômat (A, Γ, B) với đồng cấu (υ, εΓ, εB): (A, Γ, B) → Atm2

(Γ, B) Mặt khác điều này cho biết bất kỳ ôtômat (A, Γ, B) nào đều có thể được định nghĩa theo cách này

Ôtômat Atm1(A, B) và Atm2(Γ, B) được liên kết với ôtômat rút gọn trái

và khớp tương ứng Tiếp theo chúng ta giới thiệu ôtômat Atm3(A, Γ) liên kết ôtômat rút gọn phải, nghĩa là với việc loại bỏ các tín hiệu ra thừa

Cho tập A và nửa nhóm Γ một hoạt động a ๐ γ của các phần tử γ ∈ Γ lên các phần tử aA; nghĩa là, biểu diễn (A, Γ) được cho Lấy tích Descartes AxΓ

và sinh quan hệ tương đương ρ trên nó bằng quan hệ hai ngôi (a, γ1γ2)ρ(a๐γ1, γ2) Ký hiệu A⨂Γ cho tập thương AxΓ/ρvà ký hiệu ánh xạ

–

: AxΓA⨂Γ Xét ôtômat (A, Γ, A⨂Γ) Hai phép toán ๐ và ∗ trên nó được định nghĩa bằng biểu diễn (A, Γ) và quan hệ a*γ=(a, γ) Vì vậy ôtômat nửa nhóm được xác định này ký hiệu bởi Atm3(A, Γ)

đồng cấu theo tín hiệu ra từ Atm3(A, Γ) vào (nghĩa là Atm3(A, Γ) là một vật đầu trong phạm trù các ôtômat với biểu diễn (A, Γ) cố định )

Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ ʋ: A⨂ΓB theo nguyên tắc :

(a,γ)υ=a*γ Khi đó (ε , ε , ʋ) là đồng cấu theo tín hiệu ra Atm3(A,Γ)=(A,Γ,A⨂Γ) vào Tính duy nhất được kiểm tra tương tự như trong mệnh đề trước

Nếu ôtômat (A, Γ, B) là rút gọn phải thì đồng cấu (ε , ε , ʋ): Atm3

(A, Γ) là một toàn cấu

Chú ý: Từ tính duy nhất của đồng cấu cho bởi mệnh đề 2.1- 2.3 kéo theo

tính chất (tùy đẳng cấu) của vật phổ dụng tương ứng; nghĩa là ôtômat có tính chất phổ dụng được cho Chẳng hạn, nếu ôtômat ß = (A, Γ, C) thoả mãn với bất kỳ ôtômat = (A, Γ, B) cùng phép toán ๐ trên ß tồn tại duy nhất đồng cấu từ ß vào thì là đẳng cấu với Atm3(A, Γ)

1.2.2 Tính khớp của ôtômat phổ dụng và rút gọn trái, phải

Rõ ràng Atm1(A, B) và Atm2(Γ, B) là khớp và rút gọn trái và rút gọn phải Atm3(A, Γ) là rút gọn Nếu (A, Γ) là một biểu diễn khớp thì rõ ràng ôtômat Atm3(A, Γ) cũng là khớp Mệnh đề sau dễ dàng thử lại

Chứng minh Rõ ràng chỉ có điều kiện đủ cần được chứng minh Giả sử

tồn tại một ôtômat khớp = (A, Γ, B) và cho μ=(εB, εΓ, υ) là đồng cấu duy nhất từ Atm3(A, Γ) vào (xem mệnh đề 2.3) Ký hiệu các phép toán ๐ * của ôtômat Atm3(A, Γ) là ◦ và ∗, ký hiệu các phé toán của ◦ và ∗ Khi đó a*̅γ υ=(a, γ)υ=a*γ Nếu trong ôtômat Atm3

(A, Γ) ∀a ∈ A các đẳng thức, a๐γ1=a๐γ2, a ∗ γ1=a ∗ γ2, γ1, γ2 ∈ Γ được thoả mãn thì các đẳng thứa tương

tự a๐γ1=a๐γ2, a ∗ γ1=a ∗ γ2, có trong (vì a*̅γ υ=a*γ) Vì ôtômat là khớp nên γ1, = γ2 và do đó ôtômat Atm3(A, Γ) là khớp

Phát biểu thứ hai được kiểm tra một cách tương tự Câu hỏi tự nhiên đặt

ra liệu có tồn tại biểu diễn (A, Γ) sao cho hoặc

a Ôtômat Atm3(A, Γ) (và vì vậy, bất kỳ ôtômat (A, Γ,B)) là không khớp hoặc,

b Ôtômat Atm3(A, Γ) và bất kỳ ôtômat (A, Γ, B) là không rút gọn trái Câu trả lời được cho trong ví dụ sau:

a Cho tập A và nửa nhóm Γ Giả sử nửa nhóm Γ không phải là nửa nhóm có phần tử không phải Phần tử t được gọi là không phải (tương ứng trái) nếu at = t (tương ứng ta = t), ∀a ∈ Γ Định nghĩa biểu diễn (A, Γ) theo quy tắc: a๐γ=a, ∀a∈A, γ∈Γ Cho biểu diễn này mở rộng tùy ý đến ôtômat (A,

Γ, B) Ôtômat này không khớp Thật vậy, cho f: Γ→S(A, B) là ánh xạ từ Γ vào S(A, B) được xác định bởi ôtômat này và γf=(υ, φ) Vì a๐γ = a ta có γf=ε, φ, ở đây ε là phép biến đổi đồng nhất của tập A Từ (ε, φ)(ε, ψ) =(ε, ψ) ta có hình ảnh 1

 của nửa nhóm Γ là nửa nhóm có phần tử không trong S(A, B) phải, nhưng vì điều kiện Γ không phải là nửa nhóm có phần tử không phải do đó thì f không thể là đơn cấu và ôtômat (A, Γ, B) là không ôtômat khớp Đặc biệt, ôtômat Atm3(A, Γ) cũng không khớp

b Cho Γ là nửa nhóm có đơn vị và (A, Γ) là một biểu diễn mà đơn vị hoạt động trên đồng nhất trên A Khi đó bất kỳ ôtômat (A, Γ, B) mở rộng biểu diễn này không thể rút gọn trái Thật vậy, lấy một phần tử a ∈ A, mà a๐1 ≠

a, ∀γ ∈ Γ, a ∗ γ = (a ∗ 1) • γ Điều này có nghĩa là phần tử khác nhau a và a◦1

từ a hoạt động lên Γ là như nhau, nghĩa là ôtômat (A, Γ, B) là không rút gọn trái Vì vậy, Atm3(A, Γ) cũng không thể rút gọn trái

Định nghĩa ôtômat (A, S(A, B), AxB) bởi: a๐(, )= a, a(, )=(a, a)

aA, (, )S(A, B)

S(A,B), AxB)

Thật vậy, cho (a, b) = (11, 11) = (22, 22) là hai biểu diễn khác nhau Do đó,

a11 = a22 (2.1)

Ta cần chứng tỏ rằng (a, b) = (11, 11) = (22, 22) Ký hiệu c là phép biến đổi của tập A biến mỗi phần tử của A thành A và d là ánh xạ từ

A vào B biến mỗi phần tử của A thành  của B, đẳng thức sau là hiển nhiên: a๐(c, ) = ac = , aA, A (2.3.)

2(cα2 , dα2 ) (theo công thức (2.1, 2.2) = 2(cα2 , dα2 ) (theo 2.5) =

2(2,2)

Vì vậy, 1(1, 1) = 2(2, 2) hoặc (11, 11)=(22, 22) nghĩa

là  được định nghĩa hoàn toàn đúng Đồng cấu theo tín hiệu ra từ ôtômat (A, S(A, B), AxB) vào ôtômat (A, S(A, B), C) tương ứng với : AxBC Lập luận đơn giản chứng tỏ đồng cấu này duy nhất

1.3 ÔTÔMAT MOORE

1.3.1 Định nghĩa và vài thuộc tính

Một ôtômat được gọi là Ôtômat Moore nếu tồn tại một ánh xạ ψ: A → B sao cho: a*x = (a ๐ x)ψ Ánh xạ ψ là ánh xạ xác định của Ôtômat Moore Điều kiện a*x = (a ๐ x)ψ có nghĩa là trong ôtômat Moore toán tử ∗ mô phỏng

bởi phép toán ◦ và ánh xạ ψ Do đó ôtômat Moore là dễ kiểm tra

công thức a1◦x1= a2◦x2 kéo theo a1∗x1= a2∗x2

kéo theo a1∗x1=a1∗x2 Xét tập con A◦X={a◦x, aA, xX}theo tập trạng thái

A Định nghĩa ánh xạ ψ:A→B theo cách sau: nếu aA◦X, nghĩa là a=a1◦x,

a1A, xX, thì aψ = a1∗x; nếu a∉A◦X, định nghĩa ánh xạ ψ bất kỳ Khi

a1◦x1=a2◦x2 kéo theo a1∗ x1= a2∗ x2, định nghĩa này là đúng, nó không phụ thuộc vào biểu diễn của phần tử a trong dạng a = a1◦ x Bằng định nghĩa của

ψ, a∗x = (a๐x) Do đó là ôtômat Moore

Ký hiệu Γ là nửa nhóm, mà nó là kết quả của phần bù của nửa nhóm Г

chỉ nếu nó có thể mở rộng đến ôtômat =(A, Γ , B)

Moore Thực vậy, ký hiệu ψ là ánh xạ aψ=a*1 Khi đó

a*γ=a*γ )=(a๐γ)*1=(a๐ γ)ψ nghĩa là (A, Г1, B) là ôtômat Moore Vì vậy, (A, Г, B) cũng là ôtômat Moore, như là một Ôtômat con của (A , Г’, B’), mặt khác, cho =(A, Г, B) là ôtômat Moore với ánh xạ xác định ψ Khi đó ôtômat Moore có thể mở rộng đến ôtômat 1=(A, Γ1, B) là được thực hiện Chú ý rằng từ định nghĩa của ôtômat Moore và ôtômat ℱ( ) như sau: nếu =(A,X,B) là ôtômat Moore, thì ℱ( ) cũng là ôtômat Moore với cùng ánh xạ quyết định

Chú ý: 1) Về tính khớp của ôtômat Moore Nhắc lại ôtômat =(A,Γ,B)

là khớp, nếu hạt nhân của ôtômat biểu diễn f: Γ →S(A, B) là tầm thường Nói chung tính khớp của ôtômat không có nghĩa là tính khớp của biểu diễn liên kết α: Γ→SA.Thật vậy, kerf = kerα∩kerβ, ở đây β là ánh xạ Γ→Fun(A,B) tương ứng với ôtômat đã cho Tuy nhiên, nếu kerαkerβ thì kerf=kerα và tính khớp của ôtômat là tương đương với sự không chính quy của biểu diễn (A, Γ) Theo định nghĩa của ôtômat Moore kết luận kerαkerβ được giải quyết Vì vậy tính khớp của ôtômat là tương đương với tính khớp của biểu diễn (A, Γ)

2) Về sự duy nhất của ánh xạ xác định

Nếu = (A, Γ, B) là ôtômat Moore thì vì các phần tử có dạng a◦γ, ánh

xạ quyết định là duy nhất bởi điều kiện (a◦γ)ѱ = a*γ Vượt ra tập A◦Γ, ánh xạ

ѱ có thể lấy tùy ý Do đó, nếu A◦ Γ ≠A thì ôtômat Moore có thể có nhiều ánh

xạ xác định nhưng nó chỉ khác trên tập A\A◦ Γ

1.3.2 Ôtômat Moore và ôtômat phổ dụng

Mệnh đề 3.3 Nếu tập B không chỉ một phần tử thì với bất kì A, ôtômat

Atm1(A, B) không phải là ôtômat Moore

Chứng minh Cho ôtômat nửa nhóm = (A, Γ, B) và một ánh xạ bất kì ѱ: A→B, kí hiệu Δ = Δ(ѱ) là tập tất cả phần tử δΓ mà a*δ = (a◦δ)ѱ được thỏa mãn Δ là idêal trái trong Γ, nghĩa là γδΔ với bất kì γΓ và δΔ Thật

vậy, a*γδ = (a◦ γ)*δ = ((a◦γ)◦δ)ѱ = (a◦γδ)ѱ Ôtômat con (A, Δ, B) là Moore

bộ phận của ôtômat ban đầu dưới ánh xạ đã cho ѱ: A→B Xét bộ phận Moore của Atm1(A, B)=(A, S(A, B), B) Với bất kỳ aA có a*γ=aφ =(a◦γ)ѱ=aσѱ,ở đây ѱ: A→B, γ=(σ, φ)S(A, B) và γΔ(ѱ) Điều này có nghĩa là φ=σѱ và nửa nhóm Δ(ѱ) bao gồm tất cả các phần tử γS(A, B) có dạng γ=(σ,φ), σSA Từ điều này dẫn đến Δ(ѱ) bé hơn S(A, B) và ôtômat Atm1(A, B) không phải là ôtômat Moore cho bất kỳ ѱ Hơn nữa, nó có thể lấy phần tử của S(A, B) không thuộc bất kì Δ(ѱ) Ôtômat phổ dụng Atm2(Γ, B) có thể là ôtômat Moore (Chẳng hạn: Nếu Γ chứa một đơn vị) hoặc có thể không

Xét ví dụ của ôtômat Atm2(A, B), nó không phải là ôtômat Moore Cho

Γ là nửa nhóm bao gồm hai phần tử khác nhau γ1 và γ2, γ1x = γ2x, ∀xΓ (Điều kiện này có nghĩa là tác động trái chính quy lên chính nó không chính quy) Nửa nhóm như thế là tồn tại Chứng tỏ rằng nếu tập B chứa nhiều hơn một phần tử thì với nửa nhóm Γ đã cho ôtômat Atm2(Γ, B) không phải là một Moore Lấy hàm aFun(A, B) với điều kiện a(γ1) ≠ a(γ2) Khi đó a∗γ1 = a(γ1)

≠ a(γ2) = a∗γ2 Đồng thời a∘γ1=a∘γ2, vì (a∘γ1)(x) = a(γ1x) = a(γ2x)(a∘γ2)(x) là được thực hiện với bất kỳ xX Theo mệnh đề 3.1 ôtômat đã cho Atm2(Γ, B) không phải là một ôtômat Moore, thì nó không thể ôtômat con của ôtômat Moore

Bổ đề 3.4 Cho tập hợp Z và nửa nhóm Γ Cho H=ZxΓ1 Định nghĩa biểu diễn (H, Γ): nếu h = (z, σ)H, zZ, σΓ1 và σΓ, thì h∘γ = (z, σγ) Khi đó: a) Biểu diễn (H, Γ) là sinh tự do bởi tập Z, nghĩa là với bất kỳ (A, Γ) ánh xạ υ: H→A có một mở rộng duy nhất đến ánh xạ υ: H→A mà giao hoán với tác động của Γ trong H và A;

b) Nếu biểu diễn (H, Γ) được mở rộng đến ôtômat (H, Γ, B), thì ôtômat này là Moore

Chứng minh a) Định nghĩa ánh xạ υ:H→A theo quy tắc: Nếu h=(z, γ)

H thì hυ=(z, γ)υ= zυ∘γγ1 = (zυ∘γ)∘γ1 = hυ∘γ1 Khi đó với bất kỳ γ1H, (h๐γ1)υ=(z, γγ1)υ = zυ∘γγ1= (zυ∘γ)∘γ1 = hυ∘γ1

Ta có thể giả sử Z⊂H bằng việc đồng nhất zZ với phần tử (z, 1)H Vì tác động của Γ trong A và H giao hoán với ánh xạ υ, ánh xạ mở rộng υ là duy nhất Thật vậy, nếu (z, γ)Z x Γ1, thì (z, γγ1)υ = zυ∘γγ1= (z, 1) υ∘ γ = zυ∘γb) Định nghĩa ánh xạ ψ: H→B theo cách sau: nếu h=(z, γ), γΓ, thì

hψ=(z,1)*γ nếu h=(z,1) thì hψ là được giả sử bất kỳ Trong trường hợp cho h=(z, γ)H và cho γ1Γ có (h∘γ1)ψ =(z, γγ1)ψ=(z, 1)γγ1 Mặt khác, h*γ1 = (z, γ)* γ1= (z,1γ)* γ1=(z, 1)* γγ1 Do đó, (h∘γ1)ψ = h*γ1 và do đó (H, Γ, B) là một ôtômat Moore

1.3.3 Đồng cấu của ôtômat Moore

Mệnh đề 3.5 Mỗi ôtômat là ảnh đồng cấu (theo trạng thái) của ôtômat

Moore

Chứng minh Ta xây dựng ôtômat mới =(AxB, X, B) từ =(A, X, B) bằng cách đặt (a, b)∘x = (a∘x, a*x); (a, b)*x = a*x Định nghĩa ánh xạ ψ: AxB→B như (a, b)ψ = b Thì ((a, b)∘x)ψ = (a∘x, a*x)ψ = a*x = (a, b)*x Do

đó, là ôtômat Moore Bộ ba (µ, εx, εB) với ánh xạ µ: AxB→B định nghĩa theo nguyên tắc (a, b)µ =a là đồng cấu của ôtômat trên

((a,b)∘x)µ = (a∘x, a*x)µ = a∘x = (a, b)µ ∘xε

((a, b) ∗ x) = (a, b)*x =a*x= (a,b)µ ∘xε

Mệnhđề 3.5 nghĩa là mỗi ôtômat là tương đương theo tập trạng thái với một ôtômat Moore và do đó, bất kỳ ôtômat có thể mô phỏng ôtômat Moore Đó là cần thiết trong trường hợp này số lượng của trạng thái của ôtômat gia tăng

Hệ quả Ảnh đồng cấu của ôtômat Moore có thể không phải ôtômat Moore

Câu hỏi đặt ra khi nào ảnh của otômat Moore lại là ôtômat Moore

Mệnh đề 3.6 Cho là ôtômat với ánh xạ xác định ψ và ρ = (ρ1, ρ2, ρ3) là đồng dư của , thỏa mãn ρ1 kerψ khi đó ôtômat thương số /ρ cũng là một ôtômat Moore

Chứng minh Cho µ = (µ1, µ2, µ3) là một đồng cấu tự nhiên của ôtômat lên /ρ Vì ρ1kerψ, thì ánh xạ ψ: A→B cảm sinh ánh xạ ψ: /ρ1→B và

Hệ quả Nếu tồn tại một đồng cấu µ = (εA, µ2, µ3) của ôtômat Moore

=(A,Γ,B) trên ôtômat ’ = (A, Γ’, B) như thế εA là ánh xạ đồng nhất Trong trường hợp đặc biệt, nếu µ là một đơn cấu trên dòng vào hoặc dòng ra thì ’ cũng là ôtômat Moore

Cho ρ = ( ρ1, ρ2, ρ3) là một đồng dư của ôtômat Moore và cho µ = (µ1,

µ2, µ3) là đồng cấu tự nhiên của lên /ρ Đồng dư ρ được gọi là đồng dư của Moore (tương ứng với nó đồng cấu µ được gọi là đồng cấu Moore) nếu với ánh

xạ xác định ψ nào đó ta có ρ1⊂kerψµ3

Mệnh đề 3.7 Nếu ρ là đồng dư Moore của ôtômat Moore thì /ρ cũng là ôtômat Moore

Chứng minh Theo mệnh đề 1.1 đồng cấu µ của ôtômat trên

’=(A’,Γ’, B’) = /ρ nhận phân rã dưới dạng µ = μ μ μ :

(A, Γ, B) →(A, Γ, B’) →(A’, Γ, B’) →(A’, Γ’, B’)

Ôtômat (A, Γ, B’) là một ảnh của ôtômat Moore qua toàn cấu theo tín

hiệu ra μ Do đó, theo Hệ quả của Mệnh đề 3.6 nó cũng là một ôtômat

Moore với ánh xạ quyết định ψ1 = ψμ3

Ôtômat 2=(A’, Γ’, B’)=(A/ρ1, Γ, B/ρ3) là ảnh đồng cấu của ôtômat

1=(A, Γ, B’) Vì ρ1⊂kerψµ3=Kerψ1, theo Mệnh đề 3.6 2 cũng là ôtômat

Cuối cùng, ôtômat ’ = /ρ là một ảnh toàn cấu theo tín hiệu vào của

ôtômat Moore 2 và kết quả nó cũng là ôtômat Moore

Mệnh đề 3.8 Đồng cấu µ của ôtômat Moore = (A, Γ, B) với ánh xạ

xác đinh ψ trên ôtômat ’ = (A’, Γ’, B’) là một đồng cấu Moore, nếu và chỉ

nếu tồn tại ánh xạ ψ: A’B’ với sơ đồ giao hoán

A ψ B

µ1 µ3 µ1ψ = ψµ3 (3.4)

A’ ψ B’

Chứng minh Cho µ là đồng cấu Moore, nghĩa là ρ1=Kerµ1 thỏa mãn điều kiện ρ1⊂ kerψµ3 Lập luận như trên, ta biểu diễn µ dưới dạng μ1μ2 μ3

Từ các đẳng thức (3.2) và (3.3) chúng ta có μ1ψ2=μ1ψ''=ψ1=ψμ3 Vì vậy,

µ1ψ2=ψµ3, nghĩa là, lấy ánh xạ ψ2 là ψ, ta có đẳng thức µ1ψ=ψµ3

Ngược lại, nếu ánh xạ ψ:A'→B' nào đó đẳng thức ψµ3 = µ1ψ đúng thì

ρ1=Kerµ1⊂Kerµ1ψ =Kerψμ3, nghĩa là, µ là một đồng cấu Moore

Hệ quả: Nếu đồng cấu µ từ ôtômat Moore lên ' thỏa mãn điều kiện (3.4) thì ' là một ôtômat Moore với ánh xạ xác định ψ Ngược lại là không đúng, từ sự kiện µ: → ' là đồng cấu của ôtômat Moore không kéo theo µ

là đồng cấu của Moore

Xét trường hợp theo đồng cấu µ: → ' của ôtômat Moore là một đồng cấu của Moore

1) Nếu ôtômat =(A, Γ, B) thỏa mãn điều kiện A◦Γ = A và µ = (µ1, µ2,

µ3): → ' là đồng cấu của ôtômat Moore thì µ là đồng cấu Moore

2) Thật vậy, cho '=(A’, Γ’, B’), và ' là ánh xạ xác định của ôtômat Moore và ' Lấy một phần tử tùy ý a1 A, vì A◦Γ=A thì với aA, γΓ,

a1=a◦γ Khi đó a1ψμ3 = (a ๐ γ)ψμ3 = (a * γ)μ3= aμ1 * γμ2 Mặt khác,

a1μ1 ψ'=(a ๐ γ)μ1ψ'= (a ๐ γ )ψ' = aμ1 * γμ2 Do đó ψμ3 = μ1ψ' và µ đồng cấu Moore

1) Giả sử rằng A◦Γ nhỏ hơn A Lấy aA\A◦Γ và giả sử a1μ1ψ' thuộc

về ảnh của tập hợp B của ánh xạ µ3 (Đặc biệt, nó xảy ra khi µ là đồng cấu của ôtômat trên ôtômat ') Kí hiệu b là điểm cố định tùy ý từ B với μ3 =

aμ1 ψ' Vì ánh xạ xác định ψ: A → B ngoài tập A◦Γ có thể được định nghĩa tùy

ý, đặt aψ = b thì aμ1 ψ' = aψμ3

Nếu aμ1 ψ∉A'◦Γ', thì do tính bất kỳ của ánh xạ xác định ψ' ngoài tập hợp A'◦Γ', có thể giả sử rằng: aμ1 ψ ∈ Bμ3 Nếu aμ1 ∈ Aμ1๐Γμ2 thì với a1 A, γ1 Γ

nào đó, aμ1 = a ๐ γ và aμ1 ψ' = a μ1 * γ μ2 = (a * γ )μ3 ∈ Bμ3 Để lại xét trường hợp, khi với một phần tử aA\A◦ Γ nào đó, ảnh aμ1 nằm trong A’◦Γ’\Aμ1๐Γμ2 Trong trường hợp này có thể xây dựng một ví dụ đồng cấu của ôtômat Moore mà không phải đồng cấu Moore

Ví dụ: Cho A’ ={a1, a2,…,an }, n>1 Xét biểu diễn (A’, Γ’), ở đây Γ’ là nửa nhóm SA gồm tất cả phép biến đổi tập A’ Lấy tập B’ = {b1, b2,…,bn } và

mở rộng biểu diễn (A’, Γ’) đến ôtômat ’= (A’, Γ’, B’) bằng cách đặt ai * γ =

bj, nếu ai◦γ=a Các tiên đề của ôtômat nửa nhóm là hiển nhiên ’ là ôtômat

Moore với ánh xạ xác định ψ': aiψ''= bi Lấy ôtômat con (A, Γ, B) ’ là

ôtômat Trong ôtômat con này A=A’, Γ là nửa nhóm con của Γ’ bao gồm tất cả các ánh xạ từ A đến tập {a2,…,an }, B={b2,…,bn} cũng là ôtômat Moore với ánh xạ xác định sau: a =bi,, nếu i>1, aψ có thể định nghĩa tùy ý Ánh xạ đồng nhất của ôtômat lên chính nó là đồng cấu → ’ Nhưng nó

không phải là đồng cấu Moore, vì phần tử a = b1 không thuộc tập Bμ3 và

, B) được gọi là - ôtômat tự do với hệ sinh tự do sinh (Z, Y), ZA,YB, nếu cho bất kì - ôtômat ’ = (A’, ’, B’) và với mọi ánh xạ μ1: ZA’, μ :

YB’ tồn tại duy nhất sự mở rộng của ánh xạ này đến đồng cấu μ=(μ , ,

μ ):  ’ Từ sự duy nhất của mở rộng kéo theo tính duy nhất (sai khác đẳng cấu) của - ôtômat tự do với hệ sinh tự do (Z,Y)

Với mỗi nửa nhóm  và mỗi cặp của tập hợp (Z, Y) có thể xây dựng một ôtômat tự do (Z, Y) với nửa nhóm tín hiệu vào  Đối với mục đích này, lấy tích Descartes H = Z x 1 và định nghĩa (như trong Bổ đề 3.4) tác động của các phần tử của  trên H theo quy tắc sau:

Nếu h=(z, δ)H, γ thì h๐γ=( z, δγ) Theo Bổ đề 3.4 biểu diễn (H, Γ)

là sinh tự do bởi tập Z, nghĩa là, với bất kỳ biểu diễn (A, ) và ánh xạ υ: H

A giao hoán với tác động của  trên H và A Giả sử rằng tập Z chứa trong H bằng sự đồng nhất phần tử zZ với (z,1)H Khi đó phần tử (z, γ) = (z, 1)๐γ được đồng nhất với tập Z 1 Lấy Y(Z x) như là tập  của các tín hiệu

ra và định nghĩa phép toán * theo quy tắc: nếu h= (z,σ)H, γ, thì h*γ=(z, δγ) Khi đó nó có thể đồng nhất các phần tử có dạng (z, γ) với phấn

tử z*γ Ký hiệu tập Zx  là Z* Ta có được ôtômat (H, Γ, Φ)

Ta kiểm tra rằng ôtômat này là tự do và có hệ sinh tự do (Z, Y) Lấy một ôtômat bất kì (A, , B) và ánh xạ μ1:ZA, μ :YB Biểu diễn (H, Γ) là sinh tự do bởi tập Z, do đó ánh xạ μ1: ZA là sự mở rộng duy nhất đến μ1: H

A, theo cách sau: hH và γ, (h๐γ)μ1=hμ1 ๐γ Với phần tử (z,γ)Zx

), tập ( , )μ3=zμ3∗γ Cùng với μ3:YB điều này cho ánh xạ μ3: B và nếu h=(z, σ)H, γ∈thì (h*γ)μ3=( , σγ)μ3=zμ1∗σγ=(zμ1๐σ)∗γ =( , σ)μ1∗γ

=hμ1 ∗γ Vì vậy, cặp ánh xạ (μ1, μ3) được mở rộng đến đồng cấu của ôtômat (H, Γ, Φ)(A, Γ, B) Tính duy nhất của mở rộng này kéo theo từ tính tự do của biểu diễn (H, Γ) và từ các tiên đề của đồng cấu ôtômat Vì vậy, ôtômat (H, Γ,

Φ), là sinh tự do bởi cặp tập hợp (Z,Y) Ký hiệu ôtômat này là AtmΓ(Z, Y) Mục đích tiếp theo là xét phạm trù các ôtômat với nửa nhóm biểu diễn các tín hiệu vào Vật của phạm trù này là ôtômat nửa nhóm thuần túy bất kì,

và cấu xạ là đồng cấu ôtômat Trong trường hợp đã cho hệ sinh tự do của ôtômat tự do gồm có ba tập X, Y, Z Ôtômat là tự do với hệ sinh (Z, X, Y),

nếu với bất kì ôtômat ’ =(A’, Γ’, B’) của phạm trù đã cho và với bất kỳ bộ

ba của ánh xạ: µ1: Z→A’, µ2: X→Γ’ , μ3: Y→B’, tồn tại duy nhất sự mở rộng của ánh xạ đó đến đồng cấu µ: → ’ Ôtômat như thế được kí hiệu bởi Atm(Z, X, Y) Để xây dựng ôtômat như thế cần lấy nửa nhóm tự do F= F(X) với hệ sinh tự do của X và sau đó là AtmF(Z,Y) Dễ dàng thấy rằng ôtômat được xây dựng thực sự tự do

1.4.2 Tiêu chuẩn tự do

Xét ôtômat = (A, Γ, B) Phần tử aA được gọi là ước của phần tử b

A nếu tồn tại phần tử γΓ, sao cho b = a ๐ γ

Định lý 4.1 Ôtômat = (A, Γ, B) là tự do, đó là = Atm(Z, X, Y), nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

1) Với bất kì γΓ và aA phần tử a ๐ γ không phải là ước của a;

2) Với a, bA, γ1,γ2,γΓ, đẳng thức a ๐ γ= b ๐ γ kéo theo a = b và đẳng thức a๐γ1= a ๐ γ2 kéo theo γ1= γ2 ;

3) Từ đẳng thức a ๐ γ1= b ๐ γ2 kéotheo hoặc a = b hoặc a là một ước của

b, hoặc b là một ước của a;

4) Mỗi phần tử aA chỉ có thể có một số hữu hạn các ước;

5) Đẳng thức a*γ1= b*γ2 kéo theo a ๐ γ1= b ๐ γ2

Chứng minh Nửa nhóm F là nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu thỏa mãn

điều kiện sau:

(α) F không phải có đơn vị

(β) F là nửa nhóm có luật giảm ước hai phía

(γ) Đẳng thức f1f2 = f3f4, trong đó f1, f2, f3, f4 F kéo theo hoặc f1 = f3

hoặc f1 là chia hết trái cho f3, hoặc f3 là chia hết trái cho f1

(δ) Mỗi phần tử của nửa nhóm F có thể chỉ có một số hữu hạn các ước trái phân biệt

Cho =Atm(Z, X, Y)=(H,F,Φ) Chứng tỏ các điều kiện 1-5 là thỏa mãn 1) Cho a = (z, f)H = Z x F1 và γ1 F Giả sử rằng a๐γ1=(z, f)๐γ1 = (z,f)๐γ1 = (z, fγ1) là một ước của a Điều này có nghĩa là a = (a๐γ1) ๐ γ2 với γ2 

F, nghĩa là (z, f) = (z,fγ1γ2 ) Vì thế f = fγ1γ2, mâu thuẫn với điều kiện nửa nhóm F là tự do

2) Cho a=(z1, f1) và b = (z2.f) thuộc H, γ, γ1, γ2 F và a๐γ= b๐γ Khi đó

(z1,f1γ) = (z2,f2γ) Điều đó có nghĩa là z1 = z2 và f1γ = f2γ Vì nửa nhóm tự do

là nửa nhóm có luật giảm ước nên f1 = f2 Do đó, (z1,f1)=(z2,f2), nghĩa là a1=a2 Nếu a1๐γ1 = a๐γ2 , thì (z1, f1γ1 ) = (z1, f1γ2 ) Do đó, f1γ1 = f1γ2 Giản ước bởi

f1 chúng ta có γ1 = γ2

3) Cho a°γ1 = b°γ2 ; nghĩa là, (z1,f1γ1)= (z2, f2γ2 ) Khi đó z1 = z2 , f1γ1 =

f2γ2.Khi nửa nhóm F là tự do, nên từ công thức sau kéo theo hoặc f1 = f2 hoặc

f1 = f2x, hoặc f2 = f1y với x, y ∈ F Nếu f1 = f2 thì a = b, nếu f1 = f2x thì a = (z1,f1)=(z2, f2x) = (z2,f2 )๐x = b๐x, nghĩa là, b là một ước của a; nếu f2 = f2y, thì

b = a๐y, nghĩa là a là một ước của b

4) Nếu b = (z2, f2) là một ước của a =(z1, f1), nghĩa là, a =b๐x với xF, thì z1 = z2 và f1 = f2x; f2 là một ước trái của f1 Vì trong nửa nhóm tự do mỗi phần tử chỉ có hữu hạn ước trái phân biệt nên với f1 tồn tại duy nhất một số hữu hạn f2 phân biệt mà f1=f2x và do đó chỉ có một số hữu hạn các phần tử b

(α) Từ điều kiện 1 kéo theo với mọi aA và γ1, γ2Γ, (a๐ γ1) ๐ γ2 ≠ a๐γ1, nghĩa là, a๐γ1γ2≠ a๐γ1.Vì thế γ1γ2 ≠ γ1 và không có phần tử trong đơn vị Γ (β) Cho γ1γ0= γ2γ3 Lấy bất kỳ aA Khi đó (a๐γ1)๐γ = (a๐ γ2)γ Theo điều kiện 2 nó kéo theo a๐γ1 = a๐γ2 và γ1 = γ2.Nếu γγ1 = γγ2, thì (a๐γ)๐γ1 =(a๐γ)๐γ2

và có γ1= γ2 Vì vậy, Γ thỏa mãn luật triệt tiêu

(γ) Cho γ1γ2=γ3γ4 được thỏa mãn trong Γ Với aA, có (a๐γ1)๐γ2= (a๐γ3)๐γ4 Theo điều kiện 3 hoặc a๐γ1 = a๐γ3 hoặc a๐γ1 là một ước của a๐γ3 hoặc a°γ3 là một ước của a๐γ1.Nếu a๐γ1 = a๐γ3 thì γ1 = γ3; nếu a๐γ1 là một ước của a๐γ3 thì a๐γ3 = (a๐γ1)๐x = a๐γ1x và γ3= γ1x, nghĩa là, γ1 là một ước của γ3; nếu a๐γ3 là một ước của a๐γ1, thì γ3 là một ước của γ1

(δ) Kiểm tra mỗi γΓ chỉ có một số hữu hạn ước trái trong Γ Cho y=σψ, σ,ψΓ Khi đó a๐b = (a๐σ)๐ψ và a๐σ là một ước của a๐γ Theo điều kiện 4 có một số hữu hạn a๐σ phân biệt Tuy nhiên theo điều kiện 2, σ1≠σ2

kéo theo a๐σ1≠ a๐σ2 Vì thế cũng có một số hữu hạn thành phần khác của σ phân biệt

Bây giờ chứng tỏ rằng biểu diễn (A, Γ) là sinh tự do bởi tập Z nào đó, nghĩa là A=ZxΓ1 và phép toán ๐ là được xác định theo quy tắc: Nếu a=(z, γ)A và xΓ thì a๐x=(z, γx) Một phần tử aA được gọi là nguyên tố nếu nó không có ước riêng nào Ký hiệu tập tất cả các phần tử nguyên tố của A là Z Tập hợp này là khác rỗng do điều kiện 4 Cho z là phần tử cố định của Z và z๐Г={z๐γ, γГ} là tập tất cả z๐γ, γГ Theo điều kiện 2, tất cả z๐γ là khác nhau Ngoài ra, chứng tỏ rằng nếu z1 và z2 là phần tử khác nhau của Z, thì tập hợp z1 ๐ Г và z2 ๐ Г là rời nhau Thật vậy, cho z1 ๐ γ1=z2 ๐ γ2, vì z1 ≠ z2, theo điều kiện 3 hoặc z1=z2๐x hoặc z2=z1๐γ với x, yГ Điều này mâu thuẫn với sự

kiện các phần tử z1 và z2 là nguyên tố Vì vậy, nếu z1 ๐ γ1≠ z2 ๐ γ2, với z1, z2Г thì z1=z2, γ1=γ2 Hơn nữa, A là hợp của Z và các tập z๐Г, zZ Do đó, A=ZxГ1 Vì vậy ta có thể viết z๐y có dạng (z, γ) như tích Descartes Khi đó (z, γ)๐x=(z๐y)๐x=z๐γx=(z, γx)

Ký hiệu tập hợp các tín hiệu ra “thực sự được thấy” là các tín hiệu Φ0

(Φ0 là tập hợp các ký hiệu ra b, mà b=a*γ qua aA, γГ) và tập hợp tất cả tín hiệu ra còn lại của B là Y Để hoàn thành chứng minh chỉ cần chứng tỏ rằng

Φ0 =ZxГ và phép toán * được định nghĩa theo quy tắc: nếu a=(z, γ)A=ZxГ1

và xГ thì a*x=(z, γx) Gọi z*Г={z*γ, γГ}, zZ Theo điều kiện 5 và tất cả

z๐γ khác nhau kéo theo mọi z*γ cũng phân biệt Lập luận như trên, ta kết luận rằng z1*Г, z2*Г, z1 ≠ z2 là rời nhau và Φ0 là tập hợp của các tập z*Г với mọi zГ Điều đó có nghĩa là Φ0=ZxГ Vì vậy, cùng với z*γ ta có thể viết (z, γ) và với bất kỳ a=(z, γ)A và xГ ta có a*x=(z,γ)*x=(z๐γ)*x=z*γx=(z, γx) Vì vậy, nó cho thấy rằng nếu ôtômat =(A,Г,B) thỏa mãn điều kiện 1-5, thì nửa nhóm Г là tự do, biểu diễn (A, Г) là sinh tự do bởi tập hợp Z, B=(ZxГ)∪Y với tập Y nào đó và phép toán ° và * được xác định theo những nguyên tắc đã cho, nghĩa là ôtômat là một ôtômat có kiểu Atm(Z, X, Y)

Nếu tập hợp Z bao gồm một phần tử và tập Y là rỗng, thì AtmГ(Z, Y) là ôtômat tự do tuần hoàn và nó có thể đồng nhất với ôtômat Atm(Г)=(Г1, Г, Г)

1.4.3 Một vài tính chất

Theo Bồ đề (3,4), mỗi ôtômat tự do là một ôtômat Moore Rõ ràng mỗi ôtômat tự do AtmГ(X,Y) là một ôtômat khớp Tuy nhiên, mệnh đề 4.2 cho thấy rằng không phải mọi ôtômat tự do AtmГ(Z, Y) là rút gọn trái

Xét tác động chính quy trái của nửa nhóm Г1 nửa nhóm Г được cho bởi quy tắc: nếu γГ1,xГ thì γ๐x = γx Ký hiệu hạt nhân của nó là ρ, nghĩa là