Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer-Schauder nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình Elliptic không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNVũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦABÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hữu Đạt

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦABÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

-KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hữu Đạt

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦABÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

-KHÔNG TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Hoàng Quốc ToànKhoa Toán - Cơ - Tin, Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội

Hà Nội - 2014

Lời nói đầu

Các phương pháp giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trong việcnghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính Trong luậnvăn này, tác giả trình bày một số áp dụng định lý điểm bất động vàobài toán biên đối với một lớp phương trình elliptic không tuyến tính.Luận văn gồm hai chương:

Nội dung chủ yếu của chương 1 là trình bày các định lý về điểmbất động trong không gian Banach, bao gồm: Định lý ánh xạ coBanach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lýđiểm bất động Leray - Schauder - Schaefer

Trong chương 2 trình bày một số áp dụng định lý điểm bất độngBrouwer - Schauder để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu khôngtầm thường của bài toán Dirichlet và bài toán Neumann đối vớimột lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính, với phầnchính là toán tử Laplace, dạng:

−∆u = g(x, u)trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong Rn

Trong quá trình viết luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn, chỉbảo rất tận tình của PGS TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin được gửilời cảm ơn sâu sắc đến thầy

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại

học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tácgiả hoàn thành luận văn đúng thời hạn.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, gia đình, ban

bè đồng nghiệp, đã luôn động viên, ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiệnthuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn

Hà Nội, năm 2014Học viên

Vũ Hữu Đạt

Bảng ký hiệu

Rn là không gian thực n chiều

Ω là miền bị chặn có biên trơn trong Rn

∂Ω là biên của Ω

α = (α1, , αn), αi ∈ N(i = 1, , n) được gọi là đa chỉ số

|α| = α1 + + αn được gọi là cấp của đa chỉ số α

kukX chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert

hu, vi: tích trong của u và v trong không gian Hilbert

Ck(Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k}

C∞(Ω) =

∞Tk=0

Ck(Ω) : các hàm khả vi vô hạn trong Ω

C0k(Ω), C0∞(Ω) kí hiệu các hàm trong Ck(Ω), C∞(Ω) với giá compact

W1,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω)|Du ∈ Lp(Ω)}với chuẩn

kukW1,p = kukLp (Ω) + k∇ukLp (Ω)

W01,p(Ω) = {u ∈ W1,p(Ω)|u = 0 trên ∂Ω} với chuẩn

H01(Ω) : không gian hàm W01,p(Ω) với p = 2

H−1(Ω) : không gian W−1,q(Ω) với p = q = 2

Mục lục

1.1 Sự hội tụ yếu trong không gian Banach 1

1.2 Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội 2

1.3 Không gian Holder và Không gian Sobolev 3

1.3.1 Không gian Holder 3

1.3.2 Không gian Sobolev 4

1.3.3 Bất đẳng thức Poincare 6

1.4 Toán tử −∆ 7

1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản 12

1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 13

1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu 15

1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh 16

1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder 18

1.5.5 Định lý điểm bất động Leray-Schauder-Schaefer 21 2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng 23 2.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Banach đối với bài toán Dirichlet cho một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến 23 2.2 Ứng dụng định lý Leray-Schaefer để giải bài toán giá trị biên đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính 28

2.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho bài toán Dirichlet đối với một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến 32

2.4 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder chobài toán Neumann đối với một lớp phương trình ellipticcấp 2 phi tuyến 38

Kí hiệu un * u.

Nhận xét 1.1.2

i) Nếu un → u thì un * u;

ii) Một dãy hội tụ yếu thì bị chặn

iii) Nếu un * u thì ||u|| ≤ lim inf

n→∞ ||un||

Định lý 1.1.3

Cho X là không gian Banach phản xạ và dãy {un} bị chặn trong X Khi

đó tồn tại một dãy con {unk} của {un} và u ∈ X sao cho dãy {unk} hội

tụ yếu đến u trong X

Nhận xét 1.1.4

1 Mọi dãy bị chặn trong không gian Hilbert đều chứa dãy con hội tụyếu.

2 Xét X = Lp(Ω), ta có X∗ = Lq(Ω) với 1

p +

1

q = 1 Một phiếm hàmtuyến tính f trên Lp(Ω) có thể biểu diễn dưới dạng

f 7−→

ZΩ

f gdx, ∀g ∈ Lq(Ω)

Từ đó fn * f ∈ Lp(Ω) có nghĩa là

ZΩ

fngdx −→

ZΩ

f gdx, ∀g ∈ Lq(Ω) (1.2)

Vì Lp(Ω) là không gian đối ngẫu của Lq(Ω) nên Lp(Ω) là không gianphản xạ nếu 1 < q < +∞ Vậy từ một dãy bị chặn trong Lp(Ω) cóthể tách ra được một dãy con hội tụ yếu thỏa mãn 1.2 Khẳng địnhnày rất quan trọng về tính compact

Định lý 1.1.5

Giả sử dãy các hàm {fn} trong Lp(Ω) thỏa mãn

||fn − f ||Lp (Ω) −→ 0(n → ∞)Khi đó tồn tại một dãy con {fnk} của dãy {fn} sao cho:

i) fnk −→ f h.k.n trên Ω

ii) |fnk(x)| ≤ h(x), ∀k và h.k.n trên Ω, trong đó h ∈ Lp(Ω)

1.2 Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội

Định lý 1.2.2 Định lý hội tụ đơn điệu

Giả sử dãy hàm {fm} là đo được và không giảm Khi đó nếu f1 ≥ 0 hoặc

f1 khả tổng thì

Z

Rn

limm→∞fmdx = lim

1.3 Không gian Holder và Không gian Sobolev

1.3.1 Không gian Holder

Định nghĩa 1.3.1

i) Hàm số u : Ω −→ R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại

hằng số C > 0 sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ, ∀x, y ∈ ΩKhi γ = 1 thì u là liên tục Lipschitz

ii) Nếu u : Ω −→ R liên tục và bị chặn trên Ω ta định nghĩa

và chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là

uDαϕdx = (−1)|α|

ZΩvϕdx, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω)

Kí hiệu Dαu = v

Nhận xét 1.3.5

Đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại là duy nhất

1.3.2 Không gian Sobolev

|Dαu|pdx)1/p với 1 ≤ p < ∞P

|α|≤k

ess supΩ

|Dαu| với p = ∞

ii) Cho dãy {un}, u ∈ Wk,p(Ω) Khi đó {un} gọi là hội tụ đến u trong

Wk,p(Ω) nếu

limn→∞||un− u||Wk,p (Ω) = 0

Kí hiệu un −→ u trong Wk,p(Ω)

Định lý 1.3.8

i) Với mỗi k = 1, 2, và 1 ≤ p < ∞, không gian Sobolev Wk,p(Ω) làkhông gian Banach

ii) Không gian Sobolev Wk,p(Ω) là không gian phản xạ khi và chỉ khi

1 < p < ∞ Hơn nữa khi đó Wk,p(Ω) là không gian Hilbert với tích

vô hướng xác định bởi

(u, v)Wk,p (Ω) = X

|α|≤kZΩ

DαuDαvdx

Nhận xét 1.3.9

i) Gọi bao đóng của C0∞(Ω) trong Wk,p(Ω) là W0k,p(Ω), khi đó

W0k,p(Ω) = C0∞(Ω)Wk,p (Ω) = {u ∈ Wk,p(Ω) : Dαu = 0 trên ∂Ω, |α| ≤ k}ii) H0k(Ω) = W0k,2(Ω)

Định nghĩa 1.3.10

Không gian đối ngẫu của không gian H0k(Ω) được ký hiệu là H−k(Ω).Một hàm f ∈ H−k(Ω) là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H0k(Ω).Trong phần này ta xét các định lý nhúng mà trong đó định lý nhúngSobolev đóng một vai trò quan trọng

Định nghĩa 1.3.11

Giả sử X, Y là các không gian Banach

i) X được gọi là nhúng liên tục trong Y nếu tồn tại ánh xạ tuyến tínhliên tục i : X −→ Y sao cho ||i(x)||Y ≤ C||x||X,∀x ∈ X

Kí hiệu X ,→ Y Khi đó ta có thể đồng nhất X với một không gian con i(X) ⊂ Y

ii) X được gọi là nhúng compact vào Y nếu ánh xạ i biến mọi tập con

bị chặn trong X thành tập compact tương đối trong Y Định lý 1.3.12

Cho Ω ⊂ Rn có độ đo Lebesgue hữu hạn, 1 ≤ p ≤ q < ∞ Khi đó Lq(Ω)nhúng compact trong Lp(Ω)

Định lý nhúng Sobolev vẫn đúng với các không gian W0k,p(Ω) trên mọimiền Ω bị chặn

|u|2dx ≤ d2

ZΩ

|Du|2dx

Định lý 1.3.17.

Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn trong lớp C1 Khi đó tồn tại hằng số

C = C(Ω) sao cho mọi u ∈ H01,p(Ω), ta có

ZΩ

|u|2dx ≤ C2



ZΩ

(−∆u, v) = (5u, 5v), ∀u, v ∈ Ho1(Ω) (1.2)

Ta chú ý rằng với ∀u, v ∈ C2(Ω) thì

(−∆u, v) = R

Ω5u(x) 5 v(x)dx

=

nPi=1

RΩ

RΩ

v∂

2u

∂x2idx) +

nPi=1

RΩ

(∂u

∂xiv.cos(xi, v)ds

= −

nPi=1RΩ

∂2u

∂x2i là toán tử LaplaceCho λ1 ∈ R xác định bởi

λ1 = infu∈H 1 (Ω),u6=0

RΩ

|5u(x)|2dxR

Ω

|u(x)|2dx

Hay λ1 = inf

RΩ

|5u(x)|2dx :R

Ω

|u(x)|2dx = 1, u ∈ H1(Ω)

Điều này tương đương với đặc trưng sau của λ1

|u(x)|2dxR

là toán tử xác định dương, tự liên hợp và compact (do phép nhúng

Ho1(Ω) ,→ L2(Ω) là compact) Áp dụng định lý Courant Fischer suy ratoán tử A có dãy vectơ riêng {ui} trong H1

o(Ω), tương ứng với dãy cácgiá trị riêng {µi} đơn điệu giảm khi i −→ +∞, nghĩa là:

µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µi ≥ · · · > 0, µi −→ 0(i −→ +∞)

và µ1 = max(Au, u) : ||u| |H1 (Ω) = 1, u ∈ Ho1(Ω)

Nếu với mỗi λ có một hàm u 6= 0, u ∈ Ho1(Ω) sao cho:

ZΩ5u(x) 5 v(x)dx = λ

ZΩu(x)v(x)dx, v ∈ Ho1(Ω) (1.4)

thì λ là một giá trị riêng và u là một hàm riêng tương ứng của bài toángiá trị riêng

lấy λ1 là giá trị riêng đầu của toán tử −∆ ta có điều phải chứng minh

|u(x)|2dxR

Ω

|5u(x)|2dx

Suy ra:

ZΩ

|u(x)|2dx ≤ 1

λ1ZΩ

Theo định nghĩa toán tử −∆ ta có:

(∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||2L2 (Ω) ≥ k||u||2L2 (Ω), ∀u ∈ H01(Ω)

||uj − uk||H1 (Ω) ≤ C||fj − fk||H−1 (Ω), ∀j, k

Từ đó, {uj} là dãy Cauchy trong H1

0 Vì H01 là không gian Hilbert nêntồn tại u :

limj→∞||uj − u||H1 = 0

Do −∆ là toán tử liên tục nên −∆u = f Vậy −∆ là toán tử đóng Tachứng minh −∆ là ánh xạ lên Thật vậy, giả sử u0 ∈ H1

0(Ω) trực giaovới R(−∆) ,→ H1(Ω Ta có

(−∆u, u) = 0, ∀u ∈ H01(Ω)Cho u = u0 suy ra

T : L2(Ω) → H01(Ω) ,→ L2(Ω)

là toán tử compact, tự liên hợp trong L2(Ω) Ngoài ra ta có

(T ψ, ψ) = (u, −∆u) ≥ k||u||2H1 (Ω) Suy ra (T ψ, ψ) ≥ 0, ∀ψ ∈ H−1(Ω)

Do đó hạn chế của toán tử T trong L2(Ω) là toán tử tự liên hợp, compact,xác định dương Suy ra, trong L2(Ω) tồn tại một cơ sở trực giao đếmđược gồm toàn các hàm riêng {uj}∞j=1 của T tương ứng với các giá trịriêng {µj}∞j=1 trong đó µj > 0 và giảm dần về 0 khi j → ∞ Tức là

T uj = µjuj, µj → 0 khi j → ∞ (1.7)Hơn nữa, vì:

T : L2(Ω) → H01(Ω) ,→ L2(Ω)nên từ 1.7 uj ∈ H1

0(Ω), ∀j Tác động toán tử −∆ vào hai vế của 1.7 tađược

−∆T uj = µj(−∆uj) suy ra uj = µj(−∆uj)

Giả sử µ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử T = (−∆)−1 trong L2(Ω)

µ1 ≥ µ2 ≥ · ≥ µ ≥ · · · → 0(j → ∞)

x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T

Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được

quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Chẳng hạnnếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là mộtphần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính làđiểm bất động của ánh xạ T xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X, Sauđây ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động.

1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãinhất là nguyên lý ánh xạ co Banach Trước khi phát biểu nguyên lý nổitiếng này, chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co:

Để chứng minh sự tồn tại, ta phải chỉ ra rằng y ∈ X bất kì, lấy {Tny}hội tụ đến điểm bất động x∗ Đầu tiên ta có:

d(T y, T2y) ≤ αd(y, T y)

và do quy nạp

d(Tny, Tn+py) ≤ d(Tny, Tn+1y) + + d(Tn+p−1y, Tn+p)

=

n+p−1Xi=nd(Tiy, Ti+1y)

Nguyên lý ánh xạ co Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quanđến hình cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ X và một ánh

xạ co từ B → X sao cho nó không dịch chuyển tâm hình cầu quá xa.Định lý được chứng minh

1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu

ZBdetBwdx = |B| 6= 0e (1.12)Mặt khác, từ (1.10) ta có |w|2 = 1 Bằng cách lấy đạo hàm 2 vế ta có

Vì |w| = 1 nên từ (1.13) suy ra 0 là một giá trị riêng của (Dw)T với mỗi

x ∈ B Do đó detBw = 0 trong B Điều này mâu thuẫn với (1.12).Vậy không tồn tại hàm trơn w thỏa mãn (1.10) và (1.11)

2 Tiếp theo ta chỉ ra rằng không có hàm liên tục nào thỏa mãn (1.10)

Vì ηε(y) chỉ phụ thuộc vào y nên dễ dàng thấy rằng w1(x) = x nếu

x ∈ Rn\B[0, 2] khi đó đặt w2 = 2w1

wÁnh xạ trơn w2 thỏa mãn (1.10) và (1.11) với hình cầu B[0, 2] thay thế

B[0, 1], điều này mâu thuẫn với phần trên.

3 Ta chứng minh định lý

Giả sử ánh xạ u : B → B liên tục nhưng không có điểm bất động Xácđịnh ánh xạ:

w : B −→ ∂BBằng cách đặt w(x) là giao điểm của ∂B với tia xuất phát từ u(x) và điqua x

Điều này hoàn toàn xác định vì u(x) 6= x, ∀x ∈ B

Khi đó w là ánh xạ liên tục và thỏa mãn (1.10) và (1.11), mẫu thuẫnvới chứng minh ở phần 2

Vì X có tính chất điểm bất động nên ∃x0 ∈ X sao cho h−1◦ g ◦ h(x0) =

x0 ⇒ g ◦ h(x0) = h(x0) hay g(y) = y với y = h(x0) Suy ra g có điểmbất động

Bổ đề được chứng minh

Chứng minh (định lý)

+) Vì C ∈ Rn bị chặn nên C ⊂ B∗ là hình cầu đóng nào đó, B∗ đồng phôivới B = B[0, 1] ⊂ Rn.B có tính chất điểm bất động (theo nguyên lýBrouwer dạng yếu) nên theo bổ đề, B∗ cũng có tính chất điểm bấtđộng.

+) Vì C lồi, đóng, bị chặn nên với mọi x ∈ Rn, x − C lồi đóng bị chặntrong Rn mà Rn là không gian Hilbert nên tồn tại duy nhất y ∈ Csao cho ||x − y|| = inf{||x − u||, u ∈ C} Đặt P x = y

+) Ta chứng minh P là ánh xạ không dãn Lấy z cố định ∈ C Ta xácđịnh hàm ψ : [0, 1] → R+ bởi:

ψ(t) = ||x − (1 − t)y − tz||2 = ||x − y||2+ 2t(y − x, z − y) + t2||y − z||2

hP x − x; P y − P xi ≥ 0 ⇒ hP x − x; P x − P yi ≤ 0 (1.14)Hơn nữa

hP y − y; P x − P yi ≥ 0 (1.15)Lấy 1.15 trừ 1.14 ta được:

h(x − y) − (px − py); px − P yi ≥ 0

⇒ ||P x − P y||2 ≤ hP x − P y, x − yi ≤ ||P x − P y|| ||x − y||

⇒ ||P x − P y|| ≤ ||x − y||, ∀x, yVậy P không dãn Suy ra P x = x, ∀x ∈ C

Khi đó f ◦ P : Rn → C là ánh xạ liên tục

Vì B∗ có tính chất điểm bất động, nên ∃x0 ∈ B∗ sao cho (f ◦P )(x0) =

x0Nhưng f (P (x0)) ∈ C ⇒ x0 ∈ C và do đó P x0 = x0

⇒ f (x0) = x0 ⇒ x0 là điểm bất động của f

Định lý được chứng minh.

1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder

Định lý 1.5.8 Định lý xấp xỉ các toán tử compact

Giả sử X, Y là các không gian Banach, M là một tập con bị chặn của

X T : X → Y là ánh xạ đã cho Khi đó T là compact khi và chỉ khi cácđiều kiện sau thỏa mãn:

Với mỗi n ∈ N tồn tại một toán tử compact Pn : M → Y sao cho:

supx∈M

||T (x) − Pn(x)|| ≤ 1/n

và

dim(span{Pn(M )}) < ∞Trước khi chứng minh ta nhớ lại tính chất sau của các tập compacttương đối trong không gian Banach

Giả sử M ⊂ X, X là một không gian Banach Tập các điểm x1, x2, , xn ∈

M được gọi là một − lưới cho tập M, nếu với mọi x ∈ M, tìm được xisao cho ||x − xi|| <  Dễ thấy tập các điểm {xi : i = 1, , n} là một

− lưới cho tập M khi và chỉ khi

min

i ||x − xi|| <  với mỗi x ∈ MTính chất 1.5.9

M là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi  > 0 tồn tại một

ai(x)yi

NPi=1

ai(x)

(1.17)

trong đó ai(x) := max(n−1− ||tx − yi||, 0) Khi đó toán tử này thỏa mãncác kết luạn của định lý Thật vậy, do (9.1.2), các hàm liên tục ai khôngđồng thời triệt tiêu với mỗi x ∈ M , ta có:

||Pn − T x|| =

Pi

ai(x)(yi − T x)P

i

a(x)

≤

Pi

ai(x)n−1P

⇐ Giả sử (1.1) đúng Nhận xét rằng toán tử T là giới hạn đều của cáctoán tử liên tục Pn, do đó nó cũng liên tục hoặc từ (9.1.1), ta có:

||T x − T y|| ≤ ||T x − Pnx|| + Pnx − Pny|| + Pny − T y||

≤ 1/n + ||Pnx − Pny|| + 1/n < 3

với n đủ lớn và ||x − y|| < δ() Hơn nữa, T (M ) là compact tương đối,

vì từ (1.1) ta suy ra rằng với mỗi n ∈ N, tập compact tương đối Pn(M )

có một 1/n- lưới hữu hạn và vì vậy tập T (M ) có một 2/n-lưới hữu hạn.Định lý được chứng minh

Định lý 1.5.10 Schauder, 1930

Giả sử M là tập lồi, compact khác rỗng của một không gian Banach X.Giả sử T : M → M là ánh xạ liên tục Khi đó T có điểm bất động.Chứng minh

Đặt Mn := conv({y1, , yN}), trong đó yi và Pn được chọn tương tựnhư trong (9.1.2), (9.1.3) Do M là tập lồi nên

Mn ⊆ conv(T (M )) ⊆ M

Do đó

Pn : Mn → Mn

là ánh xạ liên tục Hơn nữa, Mn là tập lồi, compact, và Mn ⊆ RN Chú ýrằng ta đã đồng nhất span{y1 , yN} với một không gian con của RN.Theo định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại một điểm bất động

xn = Pn(xn), với xn ∈ Mn ⊆ M

Vi M là compact nên tồn tại một dãy con hội tụ, vẫn kí hiệu là (xn)(nếu không gây nhầm lẫn) sao cho xn → x khi n → ∞ Điểm x chính làđiểm bất động của ánh xạ T vì

Giả sử M là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một không gian Banach

X Giả sử T : M → M là toán tử compac Khi đó T có điểm bất động.Chứng minh

Đặt A := conv(T (M )) Khi đó A ⊆ M và tập A là lồi, compact Hơnnữa, T (A) ⊆ A Do đó hạn chế

T : A → A

có điểm bất động (do định lý 9.1) và vì vậy T có điểm bất động

Hệ quả được chứng minh

Chú ý 1.5.12

Người ta có thể chứng mịnh trực tiếp hệ quả này bằng cách sử dụngđịnh lý xấp xỉ các toán tử compact

Thật vậy, lấy u0 ∈ M Nếu cần, thay u bởi u − u0, ta có thể giả

sử 0 ∈ M Từ định lý xấp xỉ các toán tử compact ta suy ra với mỗi

n = 1, 2, , tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Xn của X vàmột toán tử liên tục

Pn : M → Xnsao cho

||T u − Pnu|| ≤ 1

n, ∀u ∈ M