Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp

Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THU TRANG

BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lê Thị Thu Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc luận văn 1

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC NHÓM 3

1.1 CẤU TRÚC NHÓM 3

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 3

1.1.2 Nhóm con 4

1.1.3 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 6

1.1.4 Đồng cấu nhóm 8

1.1.5 Tích trực tiếp 11

1.2 MỘT SỐ NHÓM ĐẶC BIỆT 11

1.2.1 Nhóm đối xứng 11

1.2.2 Nhóm dihedral 12

1.2.3 Nhóm quaternion 13

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG 14

2.1 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 14

2.1.1 Định nghĩa biểu diễn hoán vị 14

2.1.2 Bậc của biểu diễn, biểu diễn trung thành 17

2.1.3 Biểu diễn hoán vị trên các lớp kề 17

2.1.4 Đẳng cấu hoán vị 23

2.1.5 Định lí Frobenius 28

2.2.3 Định lí A I Mal'cev 41

KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Để nghiên cứu một nhóm, người ta không khảo sát nó một cách riêng lẻ

mà xét nó trong mối quan hệ với những nhóm khác, thông qua một công cụ, gọi là đồng cấu nhóm Một đồng cấu từ nhóm G lên nhóm đối xứng trên một tập hợp X mở ra một khái niệm, gọi là một biểu diễn hoán vị của G trên X Biểu diễn hoán vị là một bộ phận của lý thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng trong lớp các nhóm hữu hạn sinh Nhằm tìm hiểu biểu diễn hoán vị của một nhóm cùng các ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của mình là:

“Biểu diễn hoán vị và ứng dụng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu cấu trúc nhóm, nhóm đối xứng

 Nghiên cứu biểu diễn hoán vị của một nhóm trên một tập

 Khảo sát những ứng dụng của biểu diễn hoán vị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Nhóm đối xứng, nhóm hữu hạn sinh

 Biểu diễn hoán vị của một nhóm trên một tập

 Những ứng dụng của biểu diễn hoán vị trong lý thuyết nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu

 Tập hợp, hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt là các tài liệu về nhóm đối xứng, về biểu diễn hoán vị

 Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được

 Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn gồm hai chương

Chương 1 CẤU TRÚC NHÓM

Chương này trình bày một cách sơ lược các khái niệm, kết quả của lý thuyết nhóm để làm cơ sở cho chương 2

Chương 2 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chương này là nội dung chính của luận văn trình bày biểu diễn hoán vị

và một số ứng dụng của nó trong lý thuyết nhóm

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC NHÓM

Chương này trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm và một số nhóm đặc biệt để làm cơ sở cho chương sau, các chi tiết liên quan có thể xem trong các tài liệu về lý thuyết nhóm

1.1 CẤU TRÚC NHÓM

1.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1

Một nhóm là một cặp (G, ), trong đó G là một tập hợp (không rỗng)

và  là một phép toán hai ngôi trên G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

(i) Phép toán  có tính kết hợp nghĩa là

(x  y)  z = x  (y  z), với mọi x, y, z  G

(ii) Có một phần tử kí hiệu e  G, gọi là phần tử trung lập, có tính chất

x  e = e  x = x, với mọi x  G

(iii) Với mỗi x  G, có một phần tử x'  G, được gọi là phần tử đối

xứng của x, sao cho

x  x' = x'  x = e

Nếu phép toán hai ngôi  đã rõ và không sợ nhầm lẫn gì, người ta còn

nói G là một nhóm

Khi phép toán hai ngôi được kí hiệu bởi , hợp thành của cặp phần tử

và y Phần tử trung lập của nhóm được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu 1 Phần

tử đối xứng được gọi là phần tử nghịch đảo của x và được kí hiệu là x1

Định nghĩa 1.2

Cấp của một nhóm G, kí hiệu bởi G , là số phần tử của G nếu G có

hữu hạn phần tử, và bằng  nếu G có vô hạn phần tử

(i) Phần tử trung lập của G là duy nhất

(ii) Với mọi x  G, phần tử đối xứng của x là duy nhất

Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước) [4]

Giả sử G là một nhóm (với phép hợp thành viết theo lối nhân) Khi đó, với mọi a, b, c  G thì ac = bc, kéo theo a = b và ca = cb kéo theo a = b

Đối với một nhóm G bất kì, {1} và G là hai nhóm con của G Người

ta gọi chúng là các nhóm con tầm thường của G Các nhóm con khác (nếu có) được gọi là các nhóm con thực sự (hay không tầm thường) của G

Mệnh đề 1.3 [7]

Giả sử S là một tập con khác rỗng của một nhóm G Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) S là một nhóm con của G

(ii) Với mọi x, y  S thì xy1S

Nhóm con S là nhóm con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của G

mà chứa S Trong trường hợp S G , ta nói rằng S là một tập sinh của G hay G được sinh ra bởi S

Nếu S có hữu hạn phần tử S  { ,s1 s2, s3, , s n} ta kí hiệu

(i) Nhóm cyclic là nhóm giao hoán

(ii) Mọi nhóm con của một nhóm cyclic cũng là cyclic

a  e được gọi là cấp của

a Cấp của phần tử a được kí hiệu là ord(a)

Theo định nghĩa ta có x  G, ord(x) = 1  x = e

Mệnh đề 1.8 [4]

Hai lớp kề trái của S hoặc trùng nhau hoặc không có phần tử nào chung (các lớp kề phải cũng vậy) Như thế, nhóm G được phân hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng các lớp kề phải)

Định lí 1.3 (Định lí Lagrănggiơ) [7]

Cấp của một nhóm G hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm con của

nó

Định nghĩa 1.11

Giả sử S là một nhóm con của nhóm G Tập tất cả các lớp kề trái của

S trong G được gọi là tập thương của nhóm G trên nhóm con S, kí hiệu G S/

Lực lượng của tập G S/ được gọi là chỉ số của nhóm con S trong nhóm G, và được kí hiệu là G S: 

Định nghĩa 1.12

Một nhóm con S của một nhóm G gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu

1

x ax S , với mọi a  S và x  G, và kí hiệu S G

Rõ ràng, {1} và G là hai nhóm con chuẩn tắc của G, gọi là các nhóm

con chuẩn tắc tầm thường của G

Mệnh đề 1.11 [7]

Nếu K là một nhóm con chuẩn tắc của G thì

(i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xK, yK) với lớp trái xyK, là một ánh

Giả sử G và H là các nhóm (với phép toán hai ngôi viết theo lối

nhân) Một ánh xạ  : G  H được gọi là một đồng cấu nhóm nếu

Giả sử : G  H là một đồng cấu nhóm Khi đó

(i)  chuyển đơn vị của G thành đơn vị của H, tức là (1 ) 1G  H

(ii)  chuyển nghịch đảo của phần tử x  G thành nghịch đảo của phần tử  (x)  H, tức là (x1)( )x 1

Định nghĩa 1.14

Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh (tương ứng toàn ánh,

song ánh) được gọi là một đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nhóm

Nếu có một đẳng cấu nhóm  : G  H thì ta nói G đẳng cấu với H

Nếu : GH là một đồng cấu nhóm thì Ker là nhóm con chuẩn

tắc của G và Im là nhóm con của H

Mệnh đề 1.14 [4]

Đồng cấu nhóm : G  H là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im = H

Nó là một đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker {1 }G , trong đó 1G là đơn vị của G

Nhóm S X( ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp X Mỗi nhóm

con của S X( ) được gọi là nhóm các phép thế trên X

Một phần tử S X( ) được gọi là một phép thế

Trường hợp đặc biệt, nếu X = {1, 2, , n} thì nhóm đối xứng S X( )

được kí hiệu đơn giản là S n được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử

Xét đa giác đều n cạnh P n với n > 2 Gọi a là phép quay mặt phẳng

xung quanh tâm của P n một góc (có hướng) bằng 2

n



, còn b là phép đối

xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của P n và một đỉnh của nó Khi đó, tất

cả các phép đối xứng của P n (tức là các biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến

Ta gọi nhóm quaternion Q8 là nhóm được sinh bởi 2 phần tử và 3 quan

hệ cơ bản như sau: Q8  a b, | a4  e a, 2 b2, aba  b

Các quan hệ này chỉ ra rằng mỗi phần tử của Q đều là một trong 8 8phần tử của tập sau đây  a b s t : 0 s 3, 0 t 1

Bảng nhân của nhóm quaternion Q là 8

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày biểu diễn hoán

vị và một số ứng dụng của nó

2.1 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ

2.1.1 Định nghĩa biểu diễn hoán vị

Định nghĩa 2.1

Một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm đối xứng trên tập hợp X được gọi

là một biểu diễn hoán vị của G trên tập X, tức là một ánh xạ  từ nhóm G vào nhóm đối xứng S(X), thỏa mãn

trên chính G, và được gọi là biểu diễn chính quy phải (right-regular

representation)

(iii) Cho G là nhóm đối xứng S3 trên tập 3 phần tử X = {1, 2, 3} để xác

định các phần tử của nhóm này thì theo định nghĩa nhóm đối xứng, ta phải

Ta kiểm tra được rằng   p i   p j   p p i j với mọi i1,6, j1,6

Do đó,  là một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm đối xứng S(G) Vậy,  là

một biểu diễn hoán vị của G trên tập G Hơn nữa,  còn là một đơn cấu

(iv) Cho GS3, xét đồng cấu

p i p i ,i1,6

Đây là biểu diễn hoán vị của G trên tập X = {1, 2, 3}

(v) Cho G a là nhóm cyclic cấp 2 sinh bởi phần tử a, và S( ),

biểu diễn hoán vị của một nhóm hữu hạn mà có bậc vô hạn

2.1.3 Biểu diễn hoán vị trên các lớp kề

Giả sử G là một nhóm và H là nhóm con của G Khi đó các lớp kề phải của H trong G là

1, 2,

Hx Hx

Trong mỗi lớp kề Hg, ta chọn ra một phần tử đại diện cho lớp kề đó, với 1 là đại diện của H Tập tất cả các phần tử đại diện của các lớp kề phải của H được gọi là một hệ đại biểu phải (right transversal) của H trong G

Giả sử X là một hệ đại biểu phải của H trong G Ta ký hiệu phần tử đại diện của lớp kề Hg là g, như vậy gX

Ta lưu ý rằng hai lớp kề phải hoặc là trùng nhau hoặc là rời nhau Do

g g là đại diện của lớp H g g1 2

Theo lưu ý trên ta có Hg1 H g1 và H g g1 2 H g g1 2 Hg g1 2 H g g1 2 Do đó

g g  g g g g G

Bổ đề đã được chứng minh 

Như vậy, x = y Vậy g là một đơn ánh

Ta cần chứng minh g là một toàn ánh Giả sử x  X thì xg1X và

Ta chứng minh  là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm đối xứng trên

tập X, tức là ta phải chứng minh rằng nếu g1, g2G thì

Ánh xạ  được xác định trong mệnh đề 2.2 được gọi là biểu diễn lớp

kề của G ứng với nhóm con H

Với cách xây dựng như trên ta thấy rằng  phụ thuộc vào nhóm G,

nhóm con H và hệ đại biểu phải X

Ví dụ 2.5

Xét nhóm dihedral D4 {1, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7} được miêu tả

trong bảng nhân sau:

Từ bảng toán ở trên ta dễ dàng xác định được tâm của nhóm D4 là

cấu  xác định một biểu diễn lớp kề của nhóm D4 ứng với nhóm con tâm

1 4 5 4

Theo mệnh đề 2.2, ta có một biểu diễn lớp kề  : Q8  S(X) của nhóm

Q8 ứng với nhóm con tâm Z(Q8)

Xét song ánh : X Y

1

2

a b

Vậy, song ánh : X Y và toàn ánh  : ( )S X S Y( ) thỏa mãn

x x

đó ,  xác định một đẳng cấu hoán vị và do đó theo mệnh đề 2.3 thì  là một đẳng cấu nhóm Vậy  là một đẳng cấu thỏa mãn yêu cầu đề toán

Mệnh đề đã được chứng minh 

Mệnh đề 2.5

Cho G là một nhóm bất kì và H là nhóm con của G Giả sử X i, i1, 2

là hai hệ đại biểu phải của H trong G và i là hai biểu diễn lớp kề tương ứng với các hệ đại biểu phải này Khi đó 1( )G và 2( )G là đẳng cấu hoán

2.1.5 Định lí Frobenius

Định lí 2.1

Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G Giả sử  là một biểu diễn

lớp kề của G ứng với nhóm con H Khi đó, hạt nhân của  là nhóm con chuẩn

tắc lớn nhất của G mà chứa trong H, tức là nếu N G và H N thì

NKer

Chứng minh

Giả sử  là một biểu diễn lớp kề của nhóm G ứng với nhóm con H,

tương ứng với hệ đại biểu phải X của H trong G Trước tiên, ta cần chứng

minh nếu K là hạt nhân của đồng cấu  thì K chứa trong H

Nếu a  K và x  X thì ( ) 1a  , tức là x( )( )a x xa Trường hợp

đặc biệt, nếu cho x = 1 thì 1 a , do đó a  H Tức là K chứa trong H Tất

nhiên hạt nhân K của đồng cấu  là một nhóm con chuẩn tắc của G Để

hoàn thành chứng minh định lí này ta cần chứng minh rằng K là nhóm con

chuẩn tắc lớn nhất của G mà chứa trong H Để chứng minh điều này ta cần

chứng minh rằng nếu N là nhóm con chuẩn tắc bất kì của G mà chứa trong H

Cho H là nhóm con của một nhóm G, X là một hệ đại biểu phải của H

trong G và  là biểu diễn lớp kề tương ứng Kí hiệu  là biểu diễn chính

quy phải của G Mục đích của phần này là tìm cách biểu diễn  thông qua 

Mọi phần tử của G đều biểu diễn dưới dạng hx, với h H và x X Do

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G Giả sử X là một

hệ đại biểu phải của H trong G và  là biểu diễn lớp kề tương ứng Khi đó

phần tử g  G, phép thế ( )g được nâng lên thành phép thế ( )g của H  X,

được xác định như sau:

     (2.6) Khi đó, ( )g là một phép thế của H  X Thật vậy

 cũng là toàn ánh Như vậy ( )g là một phép thế của H  X

Nếu g  G, thì theo (2.4) ở trên ta có,

xg a  g x a H

Với mỗi g  G, ta định nghĩa ( )( , )g h x (ha x g, , )x

Ta sẽ chứng minh rằng ( )g là phép thế của HX Giả sử (h, x)  H  X,

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G Giả sử X là một hệ

đại biểu phải của H trong G Khi đó có một biểu diễn trung thành  của G

như là một nhóm đối xứng của H  X (tích Decarter của H và X) được xác

Công thức (2.7), (2.8) và (2.9) cho ta

,

( )( , )g h x (ha x g, ( ))x

   (2.10) Chú ý rằng  là một đồng cấu, nên ( ) (g1  g2)  (g g1 2) suy ra  1 2 3 (2.11)

Như vậy để chứng minh  là một đồng cấu ta cần phải chứng minh vế phải của (2.12) bằng vế phải của (2.13), tức là ta phải chứng minh

x g x g x g g

a a  a (2.14) Công thức (2.4) và (2.5) cho ta

1 2

( ) x g g ( ( ))

x g g  a  x (2.15) Đồng thời, theo (2.11) ta có

Ta gọi đồng cấu  được xây dựng trong Định lí 2.2 là biểu diễn

Frobenius của nhóm G tương ứng với nhóm con H

là hai nhóm con của G

Sau đây ta sẽ tìm biểu diễn lớp kề của nhóm G ứng với H, với K, cho

mỗi trường hợp Tìm hạt nhân của mỗi biểu diễn đó Miêu tả biểu diễn

Frobenius của nhóm G ứng với nhóm con H, nhóm con K

a) Chọn một hệ đại biểu phải của H trong G là X {1, } Vì H là nhóm con chuẩn tắc của G, theo Định lí 2.1 thì mọi biểu diễn lớp kề của G ứng với H đều có hạt nhân là H Biểu diễn lớp kề  liên kết với hệ đại biểu

phải X {1, } được xác định bởi

1(1)1

Một cách tương tự như trên, ta dễ dàng tính được

2

1,1

1,

2 1,

1 ,

,,

2 1,

1 ,,,

a a a

,

1 ,,,

a a a

,

1

a a a

Sử dụng định nghĩa của  được cho trong định lí 2.2 ta có thể tính

được ảnh ( )g với bất kì g  G Đặc biệt,

định một biểu diễn Frobenius của nhóm G tương ứng với nhóm con H