Thầy giáo Nguyễn Đức Huấn trường THCS Phan Bội Châu huyện Tứ Kỳ, tỉnh Hải Dương xin giới thiệu tập tài liệu nâng cao hình học lớp 7 chương 3 tap 2 để các thầy cô và các em tham khảo trong quá trình ôn tập. Chúc các thầy cô và các em thành công
Trang 1TẬP 2
$4:TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
Bài 1: Cho xOy = a (a<90°) và điểm M năm trong góc đó Ở ngoài góc góc
xOy lay hai điểm E và F sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thăng ME, Oy
là đường trung trực của đoạn MF
b) Gọi I là giao điểm của EM và Ox
H là giao điểm của FM và Oy
AEOM cân có OI là đường trung trực
nên đồng thời là đường phân giác EOM =2Ó,
Chứng minh tương tự có FOM =2Ó,
=> EOF = BOM + FOM =2(0, +0,)=2a
c) Néu a=90° thi EOF =180° = E, O, F thang hang
lai cé OE = OF = O 1a trung điểm của EF
Bài 2: Cho AABC cân tại A, có Â = = 400 Đường trung trực của AB cắt BC ở D a) Tinh CAD
b) Trên tia đối của tia AD lấy điểm M sao cho AM = CD Chứng minh ABMD
Trang 2Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Lại có 4BC=70° > BAD=70° > CAD =BAD-BAC =70° —40° =30°
b) Tacé BAD=70° > MAB =110°
ACB =70° => ACD =110° = MAB = ACD
= AAMB = ACDA (c.g.c) = MB=AD ma AD = BD
= MB=BD = ABMD can tai B
Bài 3: Cho AABC có A = 120” Đường trung trực của AB va AC cắt nhau tai I
cắt cạnh BC lần lượt tại D, E ù
a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì?
b) Tinh BIC
HD:
a) Theo t/c đường trung trực ta có: LA = IB = IC
Vậy ALIAB, AIAC là các tam giác cân
Bài 4: Cho AABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lay diém D sao cho BD =
BA, trên tia đối của tia CB lây điểm E sao cho CE = CA Kẻ trung tuyến BM của AABD, trung tuyến CN của AACE BM và CN cắt nhau tạiO Chứng minh
AO 1 DE
HD:
BD = BA = ABAD can tai B
Trang 3Từ (1) và (2) = OA là đường trung trực của DE = OA L DE
Bài 5: Cho AABC không vuông Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thăng BC theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng tia AO là tia
Từ (1), 2) = AOBC cân tại O => B =C,
= 4=A, = AO la phan gidc cha MON
Bài 6: Cho AABC có Â = 110” Đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC
theo thứ tự tại E và E Tính E4F'
HD:
EA =EB = AEAB can taiE=> 4 =B
Tuong tircé 4, =C
=> 4 +4, =B+C=180° — 4 =180° -110° =70°
= EAF = BAC-(4,+4,)=110" - 70° = 40°
Bài 7: Cho AABC cân (AB = AC) Trên cạnh AB và AC lần lượt lay hai điểm
M va N sao cho AM = AN, gọi giao điểm của BN và CM là I Chứng minh: AI
là đường trung trực của BC
HD:
Xét AAMC va AANB co: AM = AN (gt)
MAC là góc chung; AB = AC ( vì AABC cân)
Trang 4Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
= IB =ÏIC lại có AB = AC = AI là đường trung trực của BC = AI 1 BC Bài 8: Cho AABC có A = 120°, B-C=30° Đường trung trực của BC cắt cạnh
AC tại D, cắt tia đối của tia AB tại E 7
AEDB = AEDC (c.c.c) > C, =B, =30° => dpem
Bai 9: Cho AABC cé AC > AB Trén canh CA lay diém E sao cho CE = AB
Các đường trung trực của BE va AC cắt nhau tại O Chứng minh rằng:
1) Bai todn tong quat:
Cho AABC, diém D trén canh AB,
diém E trén canh AC sao cho AD = CE
Trang 5Các đường trung trực của DE và ÁC
cắt nhau tại O Chứng minh rang:
AO là phân giác của góc A
2) Bài toán này còn phát biểu dưới dạng:
Cho AABC, các điểm D, E thay đổi vị trí trên các cạnh AB, AC sao cho AD =
CE Chứng mình rằng các đường trung trực của DE luôn luôn đi qua điểm cô định (đó là giao điểm của đường trung trực của ÁC và tia phân giác của góc Á)
Bài 10: Cho AABC cân tại A Trên cạnh Ab, AC lần lượt lấy hai điểm M và N
sao cho AM + AN = AB Đường trung trực của AB cắt
đường phân giác của góc A tại O Chứng minh:
=> AN = BM O thuộc đường trung truc cua AB = OA = OB => AAOB can tai O
=> B=4=A4, = ABOM=AAON (c.g.c) > OM=ON
b) Đường trung trực của AB và phân giác của góc  là cố định nên giao điểm O của chúng là cô định
Ta có OM = ON (chứng minh trên) nên O thuộc trung trực của MN
Vậy đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm có định là O
Bài 11: Cho góc xOy cố định ( xy z 180°) Trên Ox lấy điểm M, trên Oy lấy
điểm N sao cho OM + ON = m không đổi Chứng minh rằng đường trung trực
của MN luôn luôn đi qua một điểm có định khi M, N thay đổi trên Ox, Oy
HD:
Trang 6Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Trên tia Oy lấy điểm P sao cho OP =m
=> NP=OM (1)
Vé phan gidc Oz cua géc xOy
vẽ đường trung trực của OP cắt OZ
=> IM=IN = I thuộc đường trung trực của MN
Vì góc xOy cố định nên Oz cố định P e Oy mà OP = m không đổi nên điểm P
cố định, vì vậy đường trun trực của OP cỗ định => I cố định
Vậy đường trung trực của MN luôn luôn đi qua một điểm cô định khi M, N thay
đối trên Ox, Oy
Bài 12: Cho AABC đều Gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa A
và C sao cho BD = AE Chứng minh rằng khi D và E thay đổi trên các cạnh AB
và AC thì đường trung trực của đoạn DE luôn luôn đi qua tâm O đường tròn
=> OA=OB;OD=OE lạicó AE=BD (gt)
= ADO=CEO (cing bu voi hai géc bang nhau)
Ta có AB= AC; AE=BD = AD=EC
= AODA = AOEC (c.g.c)
=> OA =OC mà OA =OB = OA = OB = OC
= O là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC.
Trang 7Bài 13*: Cho AABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh
A sao cho AEBC có chu vi nhỏ nhất
AABD có AH là phân giác mà AH L BD
=> AABD can tai A
do đó AH cũng là đường trung trực
cua BD => EB = ED Do đó
EB + EC = ED + EC > CD Dấu "=" xảy ra © E năm giữa C và D khi đó E = A
vậy chu vi AEBC nhỏ nhất © E = A
Bài 14*: Cho AABC nhọn Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm
D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME
DAE =2BAC không đỗi
AADE cân có góc ở đỉnh không đổi
nên cạnh đáy DE nhỏ nhất
nếu cạnh bên nhỏ nhất
AD =AM > AH dâu "=" xảy ra khi M = H Khi đó DE nhỏ nhất.
Trang 8Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Bài 15*: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy Tìm điểm B thuộc tia Ox, điểm
E
C thuộc tia Oy sao cho AABC có chu vi nhỏ nhất
Ox là đường trung trực của AD,
Oy là đường trung trực của AE
Trang 9$4:TINH CHAT BA DUONG CAO CUA TAM GIAC
Bài 1: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là trung điểm của HB, E
là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH Chứng minh răng CF L AD, BF L
AE
Ta cé AF = FH; DB = DH
— DF là đường trung bình của AAHB F
=> DEF //AB mà AB | AC = DF 1 AC
AADC cé DF 1 AC; AH | DC
nên F là trực tâm của AADC => CF 1 AD
Chứng minh tương tự ta có BF L AE
Bài 2: Cho AABC cân tại A, đường cao AH Kẻ HE L AC Gọi I là trung điểm
Trang 10Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
= AABI = ACKA (c.g.c) > AI = AK
b) Vi AABI = ACKA
= 7,=A mà 7,+14D=90° = 4 +14D=90° hay 14K =901
ma AI = AK AAIK vuông cân
Bài 4: Cho AABC có cạnh BC lớn nhất Trên cạnh BC lấy điểm D va E sao cho
BD = BA và CE = CA Tia phân giác của góc B cắt AE tại M, tia phân giác của góc C cắt AD tại N Chứng minh rằng phân giác của 54C vuông góc với MN
BD =BA = ABAD cân tại B
có BM là phân giác thì đồng là đường cao
Chứng minh tương tự có CN L AE
AAMN có hai đường cao cắt nhau tại H
=> H là trực tâm của AAMN = AH 1 MN
Mặt khác H lại là giao điểm của phân giác góc B và góc C của AABC nên AH là phân giác của góc A
Vậy phân giác của góc A vuông góc với MN
Bài 5: Cho AABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD Goi I, J lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác ABH, ACH, E là giao điểm của các đường thắng BI với A1
a) Chứng minh rằng AABE vuông
b) Chimg minh rang IJ 1 AD
c) (st) Gọi M là giao điểm của LJ với AB Chứng minh rang AI | MH
Trang 11b) Goi F là giao điểm của CJ với AI
Chứng minh tương tự câu a) ta có JC 1 Al
A AJI có hai đường cao cắt nhau tại P — P là trực tâm của AAIJ > AP 1 IJ AABC có hai phân giác BE và CF cắt nhau tại P > AP là phân giác của 84C hay AD 1 JJ
c) Gọi N là giao điểm của LJ với AC
AAMN có AP là đường phân giác mà AP L MN = AAMN cân tại A ma A = 90? > AAMN vuông cân => AMI =45° lai cé IHA=45° (gt) > AMI =IHA
lại có M41 =14H (gt) AAIM = AAIH (g.c.g) = AM=AH = AAMH can tai
A có AI là đường phân giác thì đồng thời là đường trung trực AI L MH Bài 6: Cho AABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD =
a) AABD cân tại B có BIlà đường
phân giác thì đồng thừi là đường
trung trực của AD
Chứng minh tương tự có CIlà ““ —§ ME D °C
đường trung trực của AE
Vậy I là giao điểm của các
đường trung trực của AADE
Trang 12Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
=> DE = EM + MD =m +m = 2m
c) Ta có IM =MD = ME =IM= DE
AIDE cé IM 1a đường trung tuyến mà IM = 2 DE = FID =90°
Gọi giao điểm của AI với BC là F
Vì CI là đường trung trực của AE = IA = IE hay AIAE cân tại I
=> EIF =2EAI (Uc góc ngoài của AAIE) = E41 =2 BIP
Chứng minh tương tự có 14D= 271Ð
= EAD = EAI-+ TAD ==(BIF + FID) =— BID = +90° = 45'
Bài 7: Cho AABC Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành ADEE Chứng minh rằng các đường cao của
Từ (1) và (2) > AH là đường trung trực của DE
Chứng minh tương tự có BI, CK lần lượt là các đường
trung trực của DE, EF Vậy các đường cao của AABC
là các đường trung trực của ADEF
Bai 8: Cho AABC can tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên Đường trung trực của
AC cắt đường thắng BC tại M Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM a) Chimg minh rang AMC = BAC
b) Chứng minh CM = CN
c) Muốn cho CM L CN thì AABC cân cho trước phải có điều kiện gì?
HD:
12
Trang 13a) M thuộc đường trung trực của AC > MA = MC
= AMAC can tai M
Hai tam giac MAC và ABC là những tam giác cân lại có
chung góc ở đấy nên góc ở đỉnh bằng nhau hay AMC = BAC
b) AMAC cân tại M => 4 =C,
lại có Œ =7 (AABC cân) > 4=, => NAC =MBA
Bài 9: Cho AABC cân tại A, biết  = 30” Kẻ đường cao BD va trén tia BD lay
điểm K sao cho BK = AB
a) Chứng minh AABK đều
b) Goi H là trực tâm của AABC Chứng mình CH = 2CD A
HD:
a) AABD vuông tai D có Â = 30 > 4BD=60°
lại có BA = BK = AABK đều
b) AABC cân tại A có AH là trực tâm nên AH
đồng thời là đường phân giác > BAH =CAH
Trang 14Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Bài 10: Cho AABC đều và điểm M năng giữa B và C Đường thăng kẻ qua M song song với AC cắt AB ở P, đường thắng qua M song song với AB cắt AC tại
N
a) Chứng minh ABPM, AMCN là các tam giác đều
b) Gọi giao điểm của AM va PN là I, gọi O là trọng tâm của AABC Chứng minh AOAN = AOBP
c) Chứng minh OT là đường trung trực của NP
AN = PM (c/m trén); IAN = IMP; INA= IPM (so le trong)
= AAIN = AMIP (g.c.g) = IP = IN lai co OP = ON (vi AOAN = AOBP)
= OI là đường trung trực của PN
Bài 11*: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đỗi của tia MA lay điểm D sao cho MD = MA trên tia đối của AH lấy điểm E sao cho AE = BC Tính số đo góc EDC
HD:
14
Trang 15Ké EI L DC; goia điểm của BA với EI là K E
=> EI= ID = AEID vuông can tail > EDC =45°
Bài 12: Cho AABC M là một điểm nằm trong tam gidc sao cho ABM = ACM Gọi H và K tương ứng là hình chiếu của M trên AB và AC Chứng minh rang
trung trực của HK đi qua trung điểm của BC 2
Ta có PQ là đường trung binh cua AMBC = PQ // MC va PQ = 2MC (3)
Chứng minh tương tự có PI// BM va Pr=—BM (4)
Từ (1) và (4) = HQ = PI (5)
Từ (2) và (3) = PQ = KI (6)
15
Trang 16Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Từ HQ = BQ = A QBH cân tại Q => @ =2Z, (góc ngoài của AQBH)
= AKIN = AHIP (c.g.c) > IN=IP
b)Tacé AKIN = AHIP = 1, =P laicé 7, =H, (so le trong)
=> [,+1,+HIP=P+H,+ HIP =90° (vi AHPI cé BHP =90°) hay MIP =90°
16
Trang 17= MIN = AIP(=90° + AIN]
— AAIP = AMIN (c.g.c) > MN = AP
c) Gọi giao điểm của AP với MN 1a Q, giao diém của AB với MN là E
Ta có AAIP=AMIN => QAE=IME ma 4EQ=IEM (đỗi đỉnh)
= QAE+QEA=IME+IEM =90° > AQE=90° Vay AP L MN
Bài : Cho AABC Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai tam giác đều là ABE và
ACE Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của AABE Trên tỉa đối của tia IH lay diém K sao cho HI = IK Chứng minh: F
Do đó HB = HA (2) va B, = 4, =30°
Tu (1) va (2) = AH=CK va KCI = HBI = ABC +30°
Ta có KCF = 360° -(FCA+ ACB + KCI) = 360° -(60° + ACB +30° + ABC]
= 270° -(ABC + ACB) =90° + BAC
Lai cé AHF = A, + BAC + A, =30° + BAC +60° =90° + BAC
= HAF=KCF => AAHF =ACKF (c.g.c)
b) AAHF = ACKF = FH =FK (3) va AFH =CFK
ee cae eee _—
Từ (3) va (4) => dpcm
17
Trang 18Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
ON TAP CHUONG III
Bài 1: Cho AABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD, vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE
DE cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K Chứng minh rằng:
b) HA là phân giác của góc IHK
c) IC là tia phân giác của góc HIK
d) BK 1 AC
Chú ý: Câu d) có thể hỏi cách khác:
HD:
a) Theo t/c đường trung trực ta có AD = AH; AH= AE
=> AD=AE = AADE cân tại A
D
b) Ta có ID = IH (tc đường trung trực) > AIHD cân tại I có IB là đường trung
trực thì đông thời là đường phân giác = IB là phân giác góc D/⁄
b) Chứng minh tương tự có KC là phân giác của góc EK/
AHIK có hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh I và K cắt nhau tại A > HA 1a đường phân giác góc JK
c) Vì HA là đường phân giác góc 7K mà HC L HA = HC là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H của AHIC
AHKC có hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H và K cắt nhau tại C = IC 1a đường phân giác của góc HIK
d) Chứng minh tương tự câu c) có KB là đường phân giác cua trong cua AHIK còn K€ là đường phân giác ngoài > BK 1 AC
Chú ý: Chứng minh câu b) cách khác
AAID = AAIH (c.c.c) > IHA=IDA
AKHA = AKEA (c.c.c) => KHA=KEA
Lai cé IDA=KEA (vì AADE cân tại A)
= [HA=KHA hay HA là phân giác của IHK
18