PHƯƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Tuy nhiên, bài toán này đến nay vẫn còn đang được nghiên cứu vì các lý do sau đây: 1 mô hình tải trọng cần phải được phát triển để mô tả chính xác hơn các tải trọng di động trong thực tế

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

PHÍ THỊ HẰNG

PHƯƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ

VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

…… ….***…………

PHÍ THỊ HẰNG

PHƯƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ

Hà Nội – 2016

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm và TS Phạm Xuân Khang đã tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này

Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Viện Cơ học, đặc biệt

là các đồng nghiệp trong Phòng Chẩn đoán kỹ thuật và sự ủng hộ của bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án

Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn đến Trường Đại học Điện lực, Khoa Công nghệ Năng lượng và gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án

Tác giả luận án

Phí Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Phí Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Phí Thị Hằng

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v

DANH MỤC HÌNH VẼ vii

DANH MỤC BẢNG x

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 5

1.1 Sơ lược về lịch sử bài toán tải trọng di động 6

1.2 Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động 7

1.3 Một số phương pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động 11

1.3.1.Phương pháp Bubnov-Galerkin 11

1.3.2.Phương pháp phần tử hữu hạn 14

1.3.3.Phương pháp độ cứng động 15

1.4 Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi 17

1.5 Một số nhận xét và định hướng nghiên cứu 20

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP LUẬN 23

2.1 Hàm đáp ứng tần số 23

2.1.1 Phép biến đổi Fourie 23

2.1.2 Các đặc trưng tần số của hệ cơ học 24

2.1.3 Ứng dụng cho mô hình dầm đàn hồi 25

2.1.4 Khái niệm về đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng bất kỳ 27

2.2 Phương pháp phổ tần số cho dầm chịu tải trọng di động 27

2.2.1 Cơ sở phương pháp [42] 27

2.2.2 Ví dụ minh họa và kiểm chứng 30

2.3 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 32

Kết luận chương 2 36 CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG 38

3.2 Đáp ứng tần số của dầm đàn hồi chịu tải trọng điều hòa 43

Kết luận chương 3 51 CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG CỦA DẦM BỊ NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG 53

4.1 Dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt 53

4.1.1 Mô hình dầm có nhiều vết nứt 53

4.1.2 Bài toán dao động riêng 56

4.1.3 Dao động riêng của dầm liên tục có nhiều vết nứt 60

4.2 Phương pháp phổ tần số cho dầm có vết nứt chịu tải trọng di động 65

4.3 Ảnh hưởng của vết nứt đến đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động 69

4.4 Nhận dạng vết nứt bằng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động 76

4.4.1 Cơ sở phương pháp nhận dạng 76

4.4.2 Kết quả thử nghiệm số 78

Kết luận chương 4 86 KẾT LUẬN CHUNG 88

DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ 90

DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

a độ sâu vết nứt (m)

b, h tương ứng chiều rộng, chiều cao của dầm (m)

A

EI

P w

48

3 o o

v v

( t x

w độ võng của dầm tại mặt cắt x và thời điểm t

) , ( 

 x hoặc

dt e t x w

W(

hàm phổ tần số của độ võng hay hàm đáp ứng tần

số

) , W(

) , (

phương pháp phần tử hữu hạn

phương pháp phần tử phổ

r

C hằng số chuẩn hóa được chọn cho từng dạng riêng

Nnoise véc tơ cột phân bố chuẩn với trung bình bằng 0 và

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Mô hình bài toán tải trọng di động 7

Hình 1.2 Mô hình dầm chịu tác dụng của lực di động 8

Hình 1.3 Mô hình dầm chịu tải trọng khối lượng di động 9

Hình 2.1 So sánh chuyển vị của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s 31

Hình 2.2 So sánh góc xoay của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s 31

Hình 3.1 Mô hình dầm Euler-Bernoulli 38

Hình 3.2 Phổ biên độ của độ võng tại điểm giữa dầm ứng với các vận tốc khác nhau 39 Hình 3.3 So sánh phổ biên độ chính xác và gần đúng (tính theo công thức (3.1.1)): đường liền – chính xác; đường rời với các dấu tròn – gần đúng 40

Hình 3.4 Biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá trị khác nhau của hệ số cản 41

Hình 3.5 Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá trị khác nhau của hệ số cản 41

Hình 3.6 Phổ biên độ của đáp ứng khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hưởng 42

Hình 3.7 Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số   0 41 với các vận tốc không phải là phản cộng hưởng 44

Hình 3.8 Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số   0 41với các vận tốc phản cộng hưởng 45

Hình 3.9 Biểu đồ tốc độ phản cộng hưởng và tần số tải trọng trong trường hợp lực di động là điều hòa đơn tần 45

Hình 3.10 Biên độ dao động riêng khi tần số tải trọng bằng tần số lái (cộng hưởng ngoài) 46

Hình 3.11 Biên độ dao động cưỡng bức phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng 47

Hình 3.12 Biên độ dao động dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng 47

Hình 3.13 Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc và tần số lực di động 48

Hình 3.14 Biên độ dao động riêng dưới tác dụng của hai lực điều hòa đối xứng 49

Hình 3.15 Biên độ dao động riêng dưới tác dụng của tổ hợp lực hằng số và lực điều hòa 50

Hình 3.16 Phổ biên độ đáp ứng dưới tác dụng của tổ hợp lực hằng số (   0 ) và lực

điều hòa (   0 51) khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hưởng của lực điều hòa 51

Hình 4.1 Ba kiểu vết nứt cơ bản 54

Hình 4.2 Mô hình vết nứt: a) dạng mô hình vết nứt cưa, b) dạng mô hình vết nứt chữ V, c) dạng mô hình vết nứt bằng lò xo xoắn 54

Hình 4.3 Mô hình dầm có nhiều vết nứt 56

Hình 4.4 Mô hình dầm liên tục có vết nứt 60

Hình 4.5 Mô hình dầm có 5 vết nứt 69

Hình 4.6 Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các vận tốc tải trọng khác nhau 70

Hình 4.7 Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các tần số tải trọng khác nhau 71

Hình 4.8 Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số ứng với các vị trí vết nứt khác nhau tại cộng hưởng chính và vận tốc tải trọng bằng 0.5v c 72

Hình 4.9 Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (ở tần số 1 0.986    ) tương ứng với các vị trí vết nứt khác nhau (e  1;  0.5 ) 73

Hình 4.10 Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số   0 986 1,   1 phụ thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các vận tốc tải trọng khác nhau 73

Hình 4.11 Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số   0.986 1(v0.5vc) phụ thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các tần số tải trọng khác nhau 74

Hình 4.12 Sự thay đổi của phổ biên độ đáp ứng tương ứng với số lượng các vết nứt (từ 1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5 74

Hình 4.13 Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số ứng với số lượng vết nứt khác nhau (từ 1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5 75

Hình 4.14 Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (tại tần số 1 0.986    ) tương ứng với số lượng vết nứt khác nhau (từ 1 đến 9); các tham số tải trọng là e  1;  0.5 75

Hình 4.15 Kết quả nhận dạng vết nứt sử dụng đáp ứng tại các tần số 0.5ω1, 0.8ω1, 0.9ω 1 , ω 1 , 1.5ω1 81

Hình 4.16 Ảnh hưởng của tốc độ di chuyển của tải trọng (0,1vc ; 0.3vc ; 0.5vc; 0.8vc; vc) đến kết quả nhận dạng vết nứt 82

Hình 4.17 Kết quả nhận dạng vết nứt phụ thuộc vào tần số tải trọng(0; 0.8ω1 ; ω1; 1.2ω1 và 1.5ω1) 83 Hình 4.18 Kết quả nhận dạng vết nứt phụ thuộc vào pha của tải trọng(0 ; π/4 ; π/2; 3π/4 và π) 84 Hình 4.19 Kết quả nhận dạng vết nứt tại 5; 10; 15; 20; 22.5m với độ sâu 5%; 10% 15%; 20% ;30% phụ thuộc vào mức nhiễu 5% ; 10% ; 15% 85

DANH MỤC BẢNG

Bảng 4.1 Hàm dạng cho các điều kiện biên khác nhau 58

Bảng 4.2 Giá trị của các tham số trong một số điều kiện biên lý tưởng 58

Bảng 4.3 Kết quả tính toán tần số của dầm liên tục có vết nứt 64

Bảng 4.4 Kết quả nhận dạng độ sâu vết nứt phụ thuộc vào mức nhiễu đo đạc 80

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu đáp ứng động lực học của kết cấu chịu tải trọng di động đóng vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt là giao thông vận tải Việc tính toán thiết kế, kiểm định cũng như chẩn đoán đánh giá khả năng làm việc của các cầu giao thông không thể tiến hành được nếu không có lời giải của bài toán dao động của kết cấu chịu tải trọng di động Bài toán dao động dầm đơn giản chịu tải trọng của lực di động đã được quan tâm giải quyết từ rất sớm (đầu thế kỷ 19) Tuy nhiên, bài toán này đến nay vẫn còn đang được nghiên cứu vì các lý do sau đây: (1) mô hình tải trọng cần phải được phát triển để mô tả chính xác hơn các tải trọng di động trong thực tế; (2) phương pháp giải bài toán động lực học cũng cần phải cải thiện để nhận được các lời giải sát với thực tế; (3) kết cấu công trình chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp làm phát sinh nhiều bài toán mới về động lực học

Công cụ phổ cập nhất để giải bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động chính là phương pháp Bubnov-Galerkin dựa trên các hàm cơ sở là các dạng dao động riêng của dầm (phương pháp chồng mode-mode superposition) Tuy nhiên, phương pháp này khó áp dụng cho kết cấu phức tạp khi mà các dạng dao động riêng chưa biết Khi đó, người ta áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), ở đó các hàm dạng có thể sử dụng các đa thức Hermitt Mặc dù phương pháp PTHH đã mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của bài toán tải trọng di động, nhưng nó chỉ có hiệu quả tốt trong miền tần số thấp Hơn nữa, khi ứng dụng phương pháp PTHH cho bài toán tải trọng di dộng, người ta phải xây dựng một thuật toán dò tìm vị trí của tải trọng theo thời gian, làm tăng đáng kể thời gian tính toán Gần đây, phương pháp ma trận độ cứng động lực hay còn gọi

là phương pháp phần tử phổ (spectral element method) được phát triển để cải thiện độ chính xác của phương pháp PTHH Nhưng nó vẫn gặp rắc rối khi thực hiện phép biến đổi Fourie ngược của một hàm có bước nhảy như lực cắt tại vị trí đặt lực

Gần đây, các tác giả của công trình [42] đã đưa ra một giải pháp khắc phục được cả hạn chế của phương pháp PTHH và phương pháp phần tử phổ Tuy nhiên, cách tiếp cận phổ này mới chỉ dừng lại ở việc kiểm chứng độ chính xác

so với cách tiếp cận trong miền thời gian, mà chưa được ứng dụng để phân tích dao động của dầm chịu tải trọng di động trong miền tần số Luận án này là ứng dụng đầu tiên của phương pháp phổ tần số nêu trên, do vậy tác giả của luận án cũng chỉ hạn chế các nghiên cứu ở các mô hình dầm với tải trọng đơn giản Nội dung chính của phương pháp phổ tần số là thiết lập bài toán dao động của dầm đàn hồi chịu tải trọng di động hoàn toàn trong miền tần số, ở đó các phương trình chuyển động đều là các phương trình vi phân thường có thể giải được bằng các phương pháp thông thường Tải trọng tập trung đã được thay thế bằng tải trọng phân bố không còn sự kỳ dị của hàm Dirac Đây có thể coi là một sự phát triển của phương pháp phần tử phổ cho bài toán dao động của dầm chịu tải trọng

di động Tuy nhiên, phương pháp này mới chỉ được triển khai cho trường hợp tải trọng tập trung di động với tốc độ đều Những bài toán phức tạp hơn sẽ được nghiên cứu phát triển tiếp theo

Mục tiêu của luận án này là phát triển ứng dụng phương pháp phổ tần số

nêu trên để phân tích dao động trong miền tần số của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động Thực chất, bài toán phân tích dao động trong miền tần số hay còn gọi là phân tích phổ dao động là nghiên cứu sự biến thiên của biên độ theo tần số để phát hiện ra các dao động có biên độ nổi trội (thường được biểu thị bằng các đỉnh cộng hưởng trong biểu đồ của hàm đáp ứng tần số) Biên độ và tần số đỉnh cho hai thông tin cơ bản về một dạng dao động cụ thể

Đối tượng nghiên cứu trong luận án là kết cấu đơn giản dạng dầm

Euler-Bernoulli không và có vết nứt chịu tải trọng tập trung điều hoà di động với vận tốc không đổi Mô hình vết nứt trong dầm đàn hồi được sử dụng trong luận án là

mô hình lò xo tương đương với độ cứng tính từ độ sâu vết nứt theo lý thuyết cơ học phá hủy

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp giải tích, các kết quả

giải tích được phân tích minh họa bằng phương pháp số sử dụng các hàm có sẵn

trong MATLAB để thực hiện các phép tính như biến đổi Fourie nhanh, giải phương trình đại số phi tuyến và tuyến tính hay vẽ đồ thị các hàm,…

Trong luận án đặt ra và giải quyết các vấn đề sau: Một là, xây dựng các biểu thức giải tích tường minh cho hàm đáp ứng tần số của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt với các điều kiện biên khác nhau dưới tác dụng của lực tập trung di động với vận tốc không đổi; Hai là, phân tích phổ dao động của dầm đàn hồi (không

và có vết nứt) dưới tác dụng của lực tập trung (hằng số và điều hòa) di động; Ba

là đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số dưới tác dụng của tải trọng di động

Luận án bao gồm mở đầu và các chương sau:

Chương 1 trình bày tổng quan và các phương pháp cổ điển trong việc giải

bài toán tải trọng di động; bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm và một số kết quả đã đạt được

Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đáp ứng tần số áp

dụng cho dầm đàn hồi chịu tải trọng di động

Chương 3 đưa ra lời giải chính xác trong miền tần số cho bài toán dao

động của dầm không vết nứt chịu tải trọng di động và phân tích phổ dao động của dầm phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng di động

Chương 4 nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt sử dụng

phương pháp phổ tần số và đề xuất một thuật toán thử nghiệm chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi chịu tải trọng di động

Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã nhận được trong luận án

và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu

Những đóng góp mới của luận án có thể tóm tắt như sau:

1 Đại đa số các công trình nghiên cứu đã công bố về bài toán tải trọng di động đều phân tích đáp ứng của dầm trong miền thời gian, luận án này đã tiến hành phân tích đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động trong miền tần số Áp dụng phương pháp này, ta có thể nhận dạng được tất cả các dạng dao động của dầm từ trạng thái chuyển tiếp (transient) đến chế độ bình ổn (steady) cùng với cả thành phần dao động kéo theo do tải trọng di động gây nên (Đã

công bố tại Vietnam Journal of Mechanics, 2014)

2 Đối với dầm không nứt chịu tải trọng di động, đã phát hiện ra rằng nếu tải trọng tập trung di động với vận tốc chậm (nhỏ hơn 1/10 vận tốc tới hạn) thì dầm dao động với tần số của tải trọng Nhưng khi vận tốc của tải trọng lớn hơn 1/3 vận tốc tới hạn thì dầm chỉ dao động với tần số riêng Nếu vận tốc của lực trong khoảng từ 1/10 đến 1/3 vận tốc tới hạn thì sự tương tác của các thành phần dao động trên là rất mạnh, có thể dẫn đến sự triệt tiêu dao động

của dầm ở tần số riêng (Đã gửi đăng tại Vietnam Journal of Mechanics,

2015)

3 Đã đưa ra một phương pháp tính toán tần số riêng của dầm liên tục có nhiều vết nứt và đã chỉ ra rằng các gối cứng trung gian làm thay đổi đáng kể ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của cả dầm Đây là sự phát triển của phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết nứt (Đã công bố trong Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Hà Nội 2014)

4 Đã phân tích sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động phụ thuộc vào vị trí vết nứt, số lượng vết nứt đồng thời với các tham số như vận tốc, tần số và pha của tải trọng Ở đây đã phát hiện

ra những giá trị của các tham số nêu trên làm cho hàm đáp ứng tần số là lớn nhất, phục vụ cho việc chẩn đoán vết nứt một cách chính xác nhất (Đã công

bố trong Tuyển tập Báo cáo tại Hội Cơ học Kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 2015)

5 Đã đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt trong dầm bằng cách đo đạc đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động Thử nghiệm bằng số cho thấy thuật toán được đề xuất cho phép phát hiện chính xác 4 vết nứt ở xa biên khi sai số đo đạc lên đến 15% (Đã công bố 01 công trình trên tạp chí ISI:

Nondestructive Testing and Evluation (First Online 15 Sep 2015) và đã gửi

đăng 01 bài báo trên tạp chí ISI: Journal of Vibration and Control, 2015)

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Đáp ứng động học của dầm chịu tải trọng động là một vấn đề quan trọng trong việc thiết kế đường sắt, cầu và các quá trình cơ khí Đó là vấn đề thực sự quan trọng vì nó tồn tại ở nhiều lĩnh vực như giao thông vận tải, cầu, đường sắt, đường hầm… Các kết cấu này đều được thiết kế để chịu tác dụng của các tải trọng di động

Tải trọng di động là một vấn đề phức tạp nhưng không thể tránh khỏi trong động học kết cấu Rất nhiều công trình đã công bố trong vòng 100 năm qua đối với đáp ứng động của cầu đường sắt và sau là với cầu cao tốc dưới tác động của tải trọng di động Tương tác xe-cầu là một lĩnh vực rộng lớn trong vấn đề tải trọng di động Trong trường hợp tốc độ di chuyển của xe tương đối thấp thì vấn

đề có thể được giải quyết thông thường như đối với tải trọng không di chuyển Các hiệu ứng động lực học bắt đầu được quan tâm vào giữa thế kỷ 19 ở Anh, khi cầu Stephenson bắc qua sông Dee Chester ở Anh sụp đổ vào năm

1847 Chính tai nạn này đã thúc đẩy các kỹ sư nghiên cứu về vấn đề tải trọng di động Trước đó, các vấn đề tải trọng di động được xem xét cho cầu đường sắt chịu tải trọng di động của các toa tàu Các loại điển hình của tải trọng di động trên kết cấu là hằng số hay dạng điều hòa hoặc tải trọng gây ra do khối lượng di động

Ngày nay, sự phát triển của công nghệ giao thông vận tải và cơ khí ôtô đã giúp các kết cấu xe-cầu có khả năng chịu rung động và áp lực cao hơn nhiều so với trước đây với tải di chuyển tốc độ cao và trọng lượng lớn Vì vậy, bài toán tải trọng di động cũng phức tạp hơn nhiều cả về tải trọng di động và bản thân kết cấu chịu tải trọng di động Chính sự phức tạp này đòi hỏi phải có những phương pháp mới để nâng cao độ chính xác của lời giải bài toán tải trọng di động gần với thực tế hơn Như vậy, vấn đề tải trọng di động mặc dù được quan tâm từ rất lâu, nhưng đến ngày hôm nay vẫn còn rất cấp thiết

1.1 Sơ lược về lịch sử bài toán tải trọng di động

Lịch sử nghiên cứu về tải trọng động di động đã được khởi đầu từ cuối thế

kỷ 19 bằng những nghiên cứu của R Willis, G.G Stokes, H Zimmermann Những nghiên cứu đầu tiên này đã đưa ra những lời giải gần đúng đầu tiên về bài toán tải trọng hằng số di động Bài toán phức tạp hơn về tải trọng di động phụ thuộc thời gian đã được nghiên cứu bởi các nhà khoa học người Nga như A.N Krylov, S.P.Timoshenko, N.G Bondar Sau đó bài toán tải trọng di động tính đến ảnh hưởng của khối lượng đã được nghiên cứu bởi H Saller, H.H Jaffcott, H Standing Các kết quả đầu tiên này đã được S.P Timoshenko tổng kết lại trong các cuốn sách [87, 88] Những nghiên cứu mang tính ứng dụng hơn

về bài toán tải trọng di động đối với đường ray hay các kết cấu phức tạp hơn đã được tổng kết lại bởi V Kolusek [48] Đến năm 1972, L Fryba đã xuất bản cuốn sách tổng kết khá đầy đủ các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này một cách bài bản, khoa học và nó được tái bản với sự cập nhật những kết quả mới hơn sau

đó gần 30 năm, vào năm 1999 [28]

Năm 2004, Y.B Yang, J.D Yau và Y.S Wu đã tổng kết các kết quả nghiên cứu bài toán tương tác giữa cầu và xe ứng dụng trong việc thiết kế các đường cao tốc ở Nhật, Đài Loan và Hồng Kông trong tài liệu [94] Những nghiên cứu

lý luận sâu sắc về bài toán tải trọng di động, đặc biệt là bài toán các vật di động

đã được công bố trong các công trình của A.V Pesterev và cộng sự [71-73]

Ở Việt Nam, bài toán tải trọng di động đã được quan tâm nghiên cứu và đã

có những đóng góp đáng kể trong lĩnh vực này, trong đó cần phải kể đến các công trình nghiên cứu của các tác giả Nguyễn Văn Khang và các công sự [4, 5],

Đỗ Xuân Thọ [14], Hoàng Hà và các cộng sự [2], Đỗ Kiến Quốc và các cộng sự [13], Nguyễn Trọng Phước và cộng sự [11], Nguyễn Thái Chung và Hoàng Xuân Lượng [1] và một số luận án tiến sỹ [3, 6, 10, 12] Hiện nay, vấn đề tải trọng di động đang thu hút nhiều chuyên gia của Việt Nam và những hướng nghiên cứu điển hình ở Việt Nam là nghiên cứu các kết cấu phức tạp hơn dầm đàn hồi như: dầm FGM [31], tấm, vỏ hay các kết cấu phức tạp như đường hầm [25], v.v…

1.2 Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động

Xét một dầm đàn hồi chịu tải trọng di động như trong Hình 1.1, trong đó

mô tả một vật có khối lượng m đặt trên một giảm chấn (k,c) di động trên một

dầm đàn hồi có các đặc trưng cơ học như trong hình vẽ Bỏ qua khối lượng của con lăn và giả thiết rằng con lăn luôn tiếp xúc với bề mặt của dầm, phương trình chuyển động của hệ có thể thiết lập ở dạng [15, 67]:

)]

( [

) ( ) , ( )

, ( )

, (

0 2

2 4

4

t x x t P t

t x w F t

t x w x

t x w

(t mg c z t kz t m g y t

P        ; (1.2.2)

],)([)(

;)]

()([)(

;)()

()()(t c z t kz t m w0 t z t y t w0 t w0 t w x0 t t z

Trong phương trình trên w ( t x, ) là độ võng của dầm, y (t)là dịch chuyển thẳng đứng tuyệt đối và z (t)-dịch chuyển tương đối của vật (so với dầm); x0(t)là vị trí của con lăn trên dầm; (t)là hàm xung Dirac, có tính chất

( ) (t t t0 dt f t0

Hình 1.1 Mô hình bài toán tải trọng di động

Từ bài toán tổng hợp này ta có thể nhận được các bài toán cụ thể như sau :

Bài toán lực di động : Trong số các vấn đề dao động của kết cấu và vật rắn

chịu tải trọng di động thì trường hợp đơn giản nhất là dầm gối tựa đơn chịu một lực không đổi di chuyển trên nó với vận tốc không đổi (Hình 1.2)

x0( ) 

k



Hình 1.2 Mô hình dầm chịu tác dụng của lực di động

Trong trường hợp này,

- Dầm có mặt cắt và mật độ khối lượng không đổi trên suốt chiều dài dầm;

- Tải trọng di động là một lực tập trung và di chuyển với vận tốc không đổi,

từ trái qua phải;

- Tính toán được áp dụng với dầm gối tựa đơn và các điều kiện đầu bằng 0 Với các giả định đó, bài toán được miêu tả bởi phương trình:

) ( ) v ( ) , ( )

, ( )

, (

2 2 4

4

t P t x t

t x w t

t x w F x

t x w

0;

) , 0 ( t 

; 0 )

, (

0 2

; 0 )

, (

(1.2.5)

và điều kiện ban đầu:

0;

) 0 , (x 

(1.2.6)

trong đó:

x - tọa độ lực tính từ điểm mút trái của dầm,

t - thời gian lực di chuyển tính bắt đầu tại thời điểm lực di chuyển lên dầm, w(x,t) - chuyển vị của dầm tại điểm x và thời gian t, tính từ vị trí cân bằng khi

dầm chịu tải trọng lượng bản thân,

ρ - mật độ khối lượng không đổi dọc theo chiều dài dầm,

 - hệ số cản của dầm, P- lực tập trung có giá trị hằng số hoặc phụ thuộc thời gian,

( [

Bài toán khối lượng di động: Bài toán lần đầu được tính toán và giải gần

đúng bởi R Willis [91] Lời giải chính xác được đưa ra bởi G G Stokes [83] và sau đó là H Zimmermann [100]

Khảo sát một dầm gối tựa đơn bỏ qua khối lượng với nhịp dài ℓ trên đó tải trọng P có khối lượng m chuyển động ở tốc độ không đổi v, xem Hình 1.3 Tải

trọng tác dụng lên dầm là lực quán tính (-md2

thẳng đứng tại điểm x=vt tại đó xảy ra tương tác giữa vật và dầm vào thời điểm

t

Hình 1.3 Mô hình dầm chịu tải trọng khối lượng di động

Theo phương pháp hàm Green với phân bố tải trọng :

 v , / ] )[

v ( ) (x,t x t P md2w t t dt2

chuyển vị của dầm tại x và thời điểm t được miêu tả bởi phương trình:

 

) v , ( ] , v [

)

2

t x G dt

t t w d m P t

với điều kiện ban đầu là:

; 0 )

)(t m g w0 t

Hệ các phương trình (1.2.1), (1.2.11) là mô hình của bài toán dao động của dầm dưới tác dụng của khối lượng di động

Bài toán vật thể di động: Trong trường hợp tổng quát, hệ phương trình hỗn

hợp (1.2.1) - (1.2.3) bao gồm cả phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng là mô hình của bài toán vật thể di động Lúc này, kết quả giải hệ phương trình này cho ta đồng thời đáp ứng động lực học của cả dầm và vật

Ngoài ra, ta có thể nghiên cứu các bài toán khác như sau: Nếu sự di chuyển này có tốc độ không đổi ta có bài toán di động với vận tốc không đổi Nhưng có thể khảo sát đáp ứng của dầm và vật khi chuyển động của vật trên dầm có vận tốc thay đổi, tức là khi tăng tốc hoặc khi giảm tốc

Mặt khác, những bài toán phức tạp hơn cũng đã được nghiên cứu như: hệ lực cách đều di động với cùng vận tốc hay hệ nhiều vật cách đều di động, mô tả chuyển động của đoàn tàu trên đường ray

Một số bài toán tải trọng di động có thể đặt ra khi kết cấu chịu lực là tấm, khung hay vòm,… Hoặc kết cấu dầm bằng các loại vật liệu khác nhau như composite, FGM v.v… Nói chung bài toán tải trọng di động thường tập trung vào đáp ứng động lực học của kết cấu nhiều hơn là của vật di động Vì vậy, đối tượng chính để nghiên cứu đó là phương trình (1.2.1) với các lực khác nhau P(t) Đây cũng là nội dung của luận án này

1.3 Một số phương pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động

1.3.1 Phương pháp Bubnov-Galerkin

Phương pháp Bubnov-Galerkin là một phương pháp gần đúng hữu hiệu để giải phương trình vi phân, tích phân Vì thế đối với các đối tượng của Động lực học công trình mà phương trình chuyển động của nó có thể thiết lập được ở giải tích thì ta có thể sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin để tìm đáp ứng động Ý tưởng của phương pháp Bubnov-Galerkin thực ra là việc xấp xỉ lời giải của một bài toán bằng một chuỗi hàm cơ sở đã biết thoả mãn các điều kiện biên, để nhận được một hệ phương trình vi phân thường đối với các toạ độ suy rộng Nếu các hàm cơ sở này là các hàm riêng (eigefunctions) có tính trực giao của hệ đã cho thì các phương trình đối với tọa độ suy rộng được tách riêng cho từng tọa độ, giải được một cách khá đơn giản Khi đó người ta gọi phương pháp Bubnôv-Galerkin là phương pháp chồng mode (mode superposition) Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động ngay từ đầu và cho đến nay vẫn đang được nghiên cứu bằng phương pháp chồng mode

J.B Yang và các cộng sự [94] chỉ sử dụng số hạng đầu tiên (dạng dao động chính) đã chỉ ra rằng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động bao gồm 3 thành phần dao động chính là: dao động với tần số riêng (gọi là dao động riêng); dao động với tần số của tải trọng (dao động cưỡng bức) và dao động với tần số tỷ lệ với vận tốc của tải trọng (driving frequency, v / , tạm dịch là tần số lái) Dao

động với tần số này có thể gọi là dao động kéo theo (induced) Trong đó biên độ dao động riêng là trội hơn cả và biên độ dao động với tần số lái có dạng sóng biên độ nhỏ Trong các nghiên cứu [54, 95] các tác giả đã phát hiện ra hiện tượng cộng hưởng (resonance) và phản cộng hưởng (cancellation) khi khảo sát biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc di chuyển của tải trọng Hiện tượng phản cộng hưởng là sự triệt tiêu của biên độ dao động riêng ở một số vận tốc nào đó của tải trọng P Museros và cộng sự [62], C.P Sudheesh-Kumar và cộng sự [84] đã nghiên cứu chi tiết về hai hiện tượng này và đã tìm ra được các vận tốc phản cộng hưởng cho 2 dạng dao động đầu tiên trong khai triển nghiệm theo phương pháp chồng mode

Hướng nghiên cứu khác về bài toán tải trọng tập trung di động là tính toán

hệ số động lực hay hệ số khuếch đại (amplification factor) của tải trọng di động

so với tải trọng tĩnh phục vụ thiết kế và đánh giá khả năng chịu lực của cầu A.V Pesterev và các cộng sự [73] đã chứng minh được rằng tồn tại một hàm giải tích của vận tốc tải trọng mô tả biên độ cực đại của đáp ứng động của dầm

và đã đưa ra một số phương pháp để xác định hàm số này E Savin [81] đã đưa

ra các công thức và là người đầu tiên đưa ra các công thức tường minh để khảo sát hệ số động lực nêu trên và đã vẽ được biểu đồ biên độ cực đại phụ thuộc vào

tỷ số giữa tần số riêng và tần số lái Đây có thể coi là kết quả đầu tiên về hàm phổ biên độ đáp ứng gần đúng, tuy rằng nó mới chỉ được tính toán ở miền vận tốc tải trọng rất nhỏ Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng điều hoà đã được nghiên cứu bởi A Garinei [29]; F Ricciardelli và C Briatico [77], trong đó Garinei đã nghiên cứu ảnh hưởng của tần số và pha của tải trọng đến đáp ứng trong miền thời gian và vẽ biểu đồ hệ số động lực phụ thuộc vào tần số tải trọng Các tác giả công trình [77] đã nhận được các công thức giải tích để tính toán chuyển vị và gia tốc của dầm chịu tải trọng hình sin theo thời gian và cũng đã vẽ được biểu đồ hàm đáp ứng tần số của quá trình chuyển tiếp (transient frequency response) phụ thuộc vào tần số riêng của dầm (tương tự như hàm phổ đáp ứng tức thời trong tính toán động đất)

Phương pháp Bubnov-Galerkin hay phương pháp chồng mode cũng đã được sử dụng để nghiên cứu kết cấu dầm có vết nứt chịu tải trọng di động [19,

56, 60, 82,93] Trong tất cả các công bố trên, các tác giả đều sử dụng dạng dao động riêng của dầm có vết nứt làm hệ hàm cơ sở để tính đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động Do đó ảnh hưởng của vết nứt đến đáp ứng của dầm thông qua dạng dao động riêng của dầm có vết nứt và trước khi giải bài toán tải trọng di động cần giải bài toán dao động riêng của dầm có vết nứt M.A Mahmoud và M.A Abou-Zaid [60] đã chỉ ra rằng vết nứt làm tăng biên độ dao động của dầm chịu tải trọng di động, đồng thời cũng làm thay đổi chu kỳ dao động riêng của dầm Vì vậy, ảnh hưởng của vết nứt không đơn điệu làm tăng độ võng của dầm Các tác giả C Bilello (Italia) và L.A Bergman (USA) của công trình [19] đã kiểm chứng bằng thực nghiệm rất bài bản về dầm Euler-Bernoulli chịu tải trọng khối lượng di động M Shafiei và N Khaji [82] đã giải bài toán dầm Timoshenko có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động Dầm FGM (vật liệu có cơ

lý tính biến thiên) chịu tải trọng di động đã được nghiên cứu trong [31, 93] Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng khối lượng di động đã được nghiên cứu trong [75, 97] G.V Rao, tác giả công trình [75] với giả thiết là khối lượng di động nhỏ, đã sử dụng phương pháp tiệm cận để giải hệ phương trình vi phân với hệ số biến thiên và đã nhận được biểu đồ biên độ dao động đối với vận tốc của tải trọng Tác giả đã so sánh kết quả tính theo hai mô hình: tải trọng di động và khối lượng di động đã cho thấy khối lượng di động làm tăng đáng kể biên độ dao động của dầm R Zarfram và cộng sự đã nghiên cứu dao động của dầm chịu tải trọng khối lượng di động và kích động ở gối đỡ (biên) trong [97] Ở đây, các tác giả phát hiện ra rằng cả khối lượng, vận tốc và vị trí của khối lượng đều ảnh hưởng, nói cách khác làm thay đổi tần số riêng của dầm và do đó làm thay đổi bức tranh dao động của dầm (cả về biên độ, tần số và chu kỳ dao động cưỡng bức liên quan đến thời gian đi qua của tải trọng)

Rõ ràng là bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều khi tải trọng là phương tiện giao thông như ô-tô hay đoàn tầu di động trên dầm [22, 38, 73, 96] Phương

pháp chồng mode lúc này không tách biến như trường hợp tải tập trung di động

mà thậm chí còn tương tác với cả dao động thẳng đứng của vật thể hay các toa

xe di động trên dầm [64, 65] Chính vì vậy, việc giải các phương trình vi phân sau khi áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin là một vấn đề nan giải, đôi khi đòi hỏi phải cải biên phương pháp Bubnov-Galerkin Đóng góp chủ yếu trong cơ

sở phương pháp luận trong việc giải quyết vấn đề này là của tác giả A.V Pesterev [73] và Y.K Cheung [22] Do việc giải bài toán dầm chịu tải trọng của các vật thể di động cần phải kết hợp các phương pháp khác nhau trong đó đóng vai trò chủ đạo là phương pháp số, vượt ra ngoài khuôn khổ của luận án này, nên không được bàn luận kỹ ở đây

Tóm lại, phương pháp Bubnov-Galerkin là một trong các phương pháp chủ đạo trong việc giải quyết bài toán dầm đàn hồi chịu tải trọng di động Tuy nhiên,

áp dụng phương pháp này đòi hỏi phải biết các hàm cơ sở, nói chung, là các dạng dao động riêng của dầm, một bài toán khá phức tạp đối với dầm có hư hỏng như vết nứt Hơn nữa, các kết quả nhận được nêu trên là rất quan trọng để hiểu rõ bản chất dao động của dầm chịu tải trọng di động Nhưng các kết quả này hầu như chỉ nhận được ở xấp xỉ thứ nhất (dạng dao động cơ bản) của phương pháp Bubnov-Galerkin và chỉ được khảo sát chủ yếu là trong miền thời gian Việc chính xác hoá các lời giải này và tránh việc giải quyết bài toán dao động riêng trước khi nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm chịu tải trọng di động là một nhu cầu thực tế

1.3.2.Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp PTHH ra đời và phát triển đến nay trở thành một phương tiện hiệu quả và thông dụng nhất trong việc nghiên cứu các bài toán kỹ thuật Đã có rất nhiều tài liệu về phương pháp PTHH, vì vậy ở đây chỉ tóm lược một số nhận xét về việc áp dụng phương pháp PTHH trong bài toán tải trọng di động

Các kết quả nhận được trong việc áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán tải trọng di động [25, 30, 33, 47, 57, 59, 74, 78, 89, 92] chủ yếu là tìm giá trị cực đại của đáp ứng (chuyển vị, vận tốc, gia tốc) trong miền thời gian phụ thuộc vào

vận tốc của tải trọng Mặc dù phương pháp PTHH là công cụ chủ đạo trong nghiên cứu động lực học các kết cấu phức tạp như khung, dàn, v.v… nhưng khi

áp dụng cho kết cấu dầm thì cũng chỉ cho ta một lời giải gần đúng Đặc biệt, phương pháp PTHH chỉ cho phép nghiên cứu đáp ứng của dầm trong miền tần

số thấp tương đương với tần số cơ bản như trong phương pháp Galerkin Ngoài ra, khi áp dụng cho bài toán tải trọng di động phương pháp PTHH có hai nhược điểm: một là phải có thuật toán theo dõi vị trí của tải trọng

Bubnov-để tính toán tải trọng nút, tốn thời gian tính toán; hai là phương pháp PTHH chỉ cho ta đáp ứng trong khoảng thời gian mà tải trọng còn ở trên dầm Trong khi những nghiên cứu lý thuyết cho thấy dầm vẫn tiếp tục dao động và có khi còn rất mạnh ngay cả khi tải trọng đã ra khỏi dầm không còn tác dụng lên dầm nữa

Vì những lý do nêu trên, tác giả luận án đã không lựa chọn phương pháp PTHH cho nghiên cứu của mình về bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động

1.3.3 Phương pháp độ cứng động

Thực chất phương pháp độ cứng động đã được quan tâm từ rất sớm, thậm chí trước cả phương pháp PTHH Nó có nguồn gốc từ phương pháp độ cứng cổ điển, nhưng do việc tính toán quá phức tạp nên đã bị lãng quên một thời gian Cuối thế kỷ 20, khi phương pháp PTHH gặp một số trở ngại trong việc mô phỏng các quá trình động lực tần số cao, phương pháp độ cứng động lực được quan tâm và phát triển Đặc biệt là khi các công cụ tính toán trên máy tính nhất

là phương pháp tính toán bằng chữ (symbolic) phát triển rất mạnh

Có một quan điểm cho rằng, phương pháp độ cứng động là sự phát triển tiếp theo của phương pháp PTHH, trong đó các hàm dạng Hermitt (thực chất là lời giải của bài toán tĩnh) đã được thay bằng các hàm dạng mới là lời giải của bài toán động (phụ thuộc tần số) Dù sao thì phương pháp độ cứng động và phương pháp PTHH cũng có sự khác nhau cơ bản sau đây: phương pháp độ cứng động xét các bài toán trong miền tần số, còn phương pháp PTHH xét các bài toán trong miền thời gian [7] Gần đây, đã xuất bản một số sách chuyên khảo

về một phương pháp mới của động lực học, gọi là phương pháp phần tử phổ [90] (Spectral Element Method - SEM) Thực chất, phương pháp phần tử phổ chỉ là

phương pháp độ cứng động được kết nối với phép biến đổi Fourie nhanh, nên kết quả nhận được vẫn là lời giải trong miền thời gian

Phương pháp độ cứng động đã được M Henchi và các cộng sự [32]; M Ichikawa cùng cộng sự [36] ứng dụng cho bài toán tải trọng di động đối với dầm đàn hồi nhiều nhịp hay dầm liên tục Nhưng họ chỉ sử dụng phương pháp độ cứng động để tìm dạng dao động của dầm nhiều nhịp và sau đó sử dụng dạng dao động riêng này để nghiên cứu đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động bằng phương pháp chồng mode N Azizi và các cộng sự [18] đã sử dụng SEM để nghiên cứu bài toán dao động của dầm nhiều nhịp chịu tải trọng di động Các tác giả công bố [37] đã nhận được lời giải (đáp ứng) trong miền tần số, nhưng không trực tiếp phân tích nó mà lại đưa trở lại miền thời gian bằng phép biến đổi Fourie ngược để khảo sát trong miền thời gian Kết quả mới chỉ dừng lại ở việc

so sánh kết quả nhận được với phương pháp PTHH Các kết quả nhận được trong [18] đáng lưu ý ở chỗ các tác giả đã triệt để áp dụng phương pháp SEM để giải bài toán và phát hiện ra rằng dao động của dầm vẫn tiếp tục với tần số riêng sau khi tải trọng đã ra khỏi dầm Điều này, như đã nói ở trên, phương pháp PTHH không thể phát hiện được Tuy nhiên, khi sử dụng phương pháp phần tử phổ này, lại gặp rắc rối bởi hiệu ứng Gibbs (khai triển Fourie của hàm liên tục từng khúc không mô tả chính xác hiện tượng trong miền tần số) khi tính toán lực cắt (nói chung là có bước nhảy khi lực tác dụng tập trung) Như vậy, phương pháp độ cứng động hay các phương pháp miền tần số mặc dù đã có những tiến

bộ đáng kể so với phương pháp PTHH, nhưng khi áp dụng cho kết cấu dầm vẫn chưa đưa ra các kết quả chính xác phù hợp với thực tế, đặc biệt là khó sử dụng cho các kết cấu có hư hỏng dạng vết nứt Gần đây, GS Nguyễn Tiến Khiêm [42]

đã phát hiện ra rằng bài toán dầm đàn hồi chịu tải trọng di động khi đưa về miền tần số có thể giải được một cách chính xác bằng các phương pháp cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân thường cấp 4 Khi đó, lời giải là hàm đáp ứng tần số chính xác và đầy đủ có thể sử dụng để phân tích phổ dao động của đáp ứng với tải trọng di động Mọi rắc rối liên quan đến vị trí và thời gian đi qua dầm của tải trọng đều được loại trừ Phương pháp này được gọi là phương pháp phổ tần số,

được phát triển và sử dụng trong luận án này để nghiên cứu dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động

1.4 Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi

Hư hỏng của kết cấu được hiểu là sự thay đổi các tính chất vật lý (vật liệu, liên kết,…) và hình học (kích thước, hình dáng,…) của kết cấu so với trạng thái ban đầu (được gọi là kết cấu nguyên vẹn) Hư hỏng kết cấu nói chung được mô

tả bởi hai tham số: vị trí và mức độ hư hỏng Ví dụ, vết nứt là dạng hư hỏng điển hình của kết cấu, được đặc trưng bởi hai tham số là vị trí và kích thước của nó Nội dung cơ bản của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi [8] là xác định vị trí và độ sâu của các vết nứt bằng cách đo đạc các đặc trưng dao động (có thể là dao động riêng hay dao động cưỡng bức) của dầm Các phương pháp giải quyết bài toán này có thể được phân loại theo các đặc trưng đo đạc được của dầm như sau:

(1) Phương pháp tần số riêng nghĩa là xác định vị trí và độ sâu của vết nứt

từ số liệu đo đạc tần số dao động riêng;

(2) Phương pháp dạng dao động riêng giải quyết bài toán chẩn đoán vết

nứt sử dụng các dạng riêng hoặc độ cong (tỷ lệ với biến dạng) của dạng riêng có thể đo đạc được;

(3) Phương pháp hàm đáp ứng tần số dựa trên các số liệu đo đạc hàm đáp

ứng phổ đo đạc được trong Thử nghiệm động (Dynamic Testing)

(4) Phương pháp miền thời gian dựa trên các số liệu đo đạc hàm đáp ứng

trong miền thời gian

Bài toán cơ bản đầu tiên về vấn đề này được nghiên cứu bởi R.D Adams và các cộng sự [16], ở đó ông đã nghiên cứu trường hợp một thanh đàn hồi có khuyết tật (suy giảm độ cứng cục bộ) được mô tả bằng một lò xo dọc trục và xây dựng được phương trình để xác định vị trí hư hỏng từ số liệu đo tần số riêng Sau đó Y Narkis [63] là người đầu tiên đưa ra lời giải giải tích của bài toán chẩn đoán một vết nứt trong dầm đàn hồi bằng phương pháp tần số Tiếp theo, một loạt các thuật toán nhận dạng nhiều vết nứt bằng phương pháp tần số được đề

xuất trong các công bố [39-42, 49, 55,70] Việc sử dụng các phương trình tần số

để chẩn đoán vết nứt có những hạn chế cơ bản như sau:

a) Số lượng tần số đo được rất ít so với số lượng các tham số vết nứt, đặc biệt trong trường hợp không biết số lượng vết nứt;

b) Phương trình tần số có dạng rất phức tạp đối với các tham số vết nứt cả trên phương diện giải tích cũng như tính toán số

Chính vì vậy, những hạn chế nêu trên có thể được giải quyết một bước quan trọng nếu sử dụng thêm số liệu đo về dạng riêng cùng với tần số Việc chẩn đoán

hư hỏng nói chung và vết nứt nói riêng bằng dạng dao động riêng đã được thực

hiện trong [34, 44, 45,79] Tuy nhiên, khó khăn lớn nhất trong việc sử dụng dạng dao động để chẩn đoán vết nứt chính là sai số đo đạc, mà nhiều khi còn lớn hơn sự thay đổi của dạng riêng do vết nứt gây nên Hơn nữa, dạng riêng là một đặc trưng hàm nên số lượng đầu đo phải rất nhiều mới đo được chính xác dạng dao động riêng Mặt khác, Pandey và các cộng sự [69] đã phát hiện ra rằng, bản thân dạng dao động riêng không nhạy cảm với hư hỏng bằng độ cong (curvature) của nó, đặc biệt là hư hỏng dạng vết nứt Độ cong dạng riêng gắn liền biến dạng do uốn của dầm, nên việc đo đạc độ cong dạng riêng là hoàn toàn khả thi Hơn nữa độ cong dạng riêng (là đạo hàm bậc hai) hoàn toàn có thể tính được từ dạng riêng đo đạc bằng các công thức toán học [76] Cho đến nay, phương pháp độ cong dạng riêng vẫn đang được nghiên cứu phát triển [21, 26, 27]

Có hai cách khác để khắc phục sự nhạy cảm yếu của dạng dao động riêng: một là sử dụng các biểu thức chính xác của dạng riêng hay độ cong dạng riêng

và hai là sử dụng biến đổi wavelet để phân tích dạng riêng đo được để xác định vết nứt trong dầm Tuy nhiên vấn đề ảnh hưởng của sai số đo đạc và phân tích

xử lý vẫn chưa giải quyết ngay cả khi sử dụng các lời giải chính xác và phép biến đổi wavelet nêu trên trong chẩn đoán vết nứt bằng dạng riêng

Như ta đã biết, cả tần số và dạng riêng hay độ cong dạng riêng đều không

đo đạc được trực tiếp trong thử nghiệm động, mà được tính toán từ hàm đáp ứng tần số đo được bằng [8]:

) ( ) (

) ( )

AB AB

S S

S

trong đó SA, SB là hàm tự phổ của đáp ứng đo được tại vị trí A và của tải trọng

đo tại B và SAB là hàm phổ chéo của đáp ứng với tải trọng Mặt khác, sử dụng phương pháp chồng mode hàm đáp ứng tần số (1.4.1) được biểu diễn bằng công thức

, ) ( ) ( )

(  2  2 

r r AB

i

B A H

số đo đạc của tần số và dạng dao động riêng bao gồm sai số đo đạc hàm đáp ứng tần số và sai số xử lý số liệu để tính xác định tần số và dạng dao động riêng từ số liệu đo hàm đáp ứng tần số Để khắc phục sai số đo đạc của các đặc trưng dao

động như tần số và dạng dao động riêng, hiển nhiên là nên sử dụng ngay hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán vết nứt trong dầm Hàng loạt công trình nghiên

cứu sử dụng trực tiếp hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi đã được công bố [35, 50, 58, 61, 68, 85] Mặc dù việc sử dụng hàm đáp ứng tần số trực tiếp vào chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi đã tránh được sai số trong việc xác định tần số và dạng riêng từ số liệu đo đạc, nhưng phương pháp này vẫn còn những hạn chế sau đây:

(a) Ảnh hưởng của vết nứt đến hàm đáp ứng tần số là thông qua tần số và dạng dao động riêng, nên sự tương tác giữa các dạng dao động trong công thức (1.4.2) rất có thể sẽ làm lu mờ ảnh hưởng của vết nứt và do đó độ nhạy của hàm đáp ứng tần số với vết nứt nói chung là không lớn;

(b) Nếu sử dụng công thức (1.4.2) làm phương trình để xác định vị trí và độ sâu vết nứt thì ta buộc phải ngắt đuôi khai triển (1.4.2) vì số lượng đầu đo rất hạn chế ngay cả để đo một dạng dao động riêng Do đó sai số đo đạc lúc này lại

bị cộng thêm sai số của việc bổ sung số liệu đo hay sai số ngắt đuôi khai triển (1.4.2);

(c) Biểu thức (1.4.1) cho thấy hàm đáp ứng tần số đo (1.4.1) phụ thuộc rất nhiều vào vị trí điểm đo đáp ứng và điểm đo tải trọng mà phép thử nghiệm động thông thường bị hạn chế bởi số lượng đầu đo, đặc biệt là đầu đo tải trọng

Những hạn chế nêu trên của phương pháp chẩn đoán vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số sẽ được khắc phục cơ bản nếu có thể xây dựng được một biểu thức chính xác của hàm đáp ứng tần số thay cho khai triển (1.4.2) và tăng đáng kể số lượng điểm đo đáp ứng hoặc đo tải trọng bằng cách cho điểm đo di động trên dầm Nếu điểm đặt tải trọng có thể di chuyển dọc theo dầm, thì hàm đáp ứng tần

số (1.4.1) chắc chắn sẽ chứa nhiều thông tin về kết cấu hơn Chính ý tưởng này dẫn đến việc sử dụng tải trọng di động để đo đạc hàm đáp ứng tần số, phục vụ việc chẩn đoán vết nứt trong dầm

Những kết quả bước đầu về sử dụng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động để chẩn đoán vết nứt trong dầm đã được công bố trong [17, 46, 52, 53, 98, 99], trong đó các tác giả chủ yếu sử dụng phép biến đổi wavelet để phân tích đáp ứng trong miền thời gian của xe di động trên dầm, chứ không phải đáp ứng của dầm Điều này hạn chế bởi độ nhạy của xe với vết nứt trong dầm nói chung là không cao và chắc chắn việc số liệu đo đạc đáp ứng của xe chạy trên dầm còn bị ảnh hưởng của nhiều nguồn nhiễu khác không phải là sai số đo đạc Vì lý do này, việc chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đạc đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di động là một vấn đề mới còn ít được quan tâm và rất có triển vọng Chính vấn đề này được giải quyết trong luận án của tác giả

thiết trong cả nghiên cứu và ứng dụng Lý do thứ nhất là do sự phát triển không ngừng của các phương tiện giao thông, vận tải, mô hình tải trọng cũng đòi hỏi phải được nghiên cứu phát triển cho phù hợp với thực tế Hai là các kết cấu chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp, đòi hỏi những mô hình kết cấu mới, đặc biệt là các kết cấu có khuyết tật và hư hỏng Riêng bài toán kết cấu đơn giản với tải trọng phức tạp hay kết cấu phức tạp chịu tải trọng đơn giản cũng là những vấn đề cần phải giải quyết

2 Cho dù nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu bài toán tải trọng di động, những lời giải chính xác của bài toán ngay cả về phương diện toán học vẫn còn quá ít Có một số người cho rằng phương pháp chồng mode cho ta lời giải chính xác của bài toán, nhưng thực chất như đã nói ở trên người ta chỉ xem xét đáp ứng trên cơ sở dạng riêng cơ bản (đây chưa phải là sự chồng mode) Thực tế, nghiệm này cũng đủ để tính toán thiết kế kết cấu công trình, nhưng khi cần phải tính đến ảnh hưởng của các tần số cao thì phương pháp chồng mode trở nên bất lực (do sự hội tụ nhanh của phương pháp chồng mode theo tần số) Phương pháp PTHH thì còn kém phương pháp chồng mode khi phải nghiên cứu tần số cao Duy chỉ có phương pháp độ cứng động hay phương pháp miền tần số là khả thi trong việc nghiên cứu đáp ứng tần số cao Nhưng nó vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ

3 Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng cách đo đạc đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động đã biết, như đã phân tích ở trên là rất triển vọng Bởi vì số lượng điểm đo tải trọng lúc này thực chất là đã tăng lên vô cùng (do tải trọng di động liên tục trên dầm) Đặc biệt là nếu có thể đo đạc đáp ứng của dầm bằng một đầu đo di động cùng với tải trọng Chắc chắn số liệu đo đạc sẽ rất nhiều thông tin về trạng thái kỹ thuật của dầm, ví dụ như các vết nứt

Vì những lý do nêu trên, vấn đề đặt ra trong luận án này là phát triển phương pháp phổ tần số để nghiên cứu dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động Trên cơ sở lời giải giải tích trong miền tần số của bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di động, nghiên cứu các trạng thái dao động khác nhau của dầm dưới tác dụng của tải trọng điều hoà di động Sau đó, xây dựng và

thử nghiệm một thuật toán nhận dạng đa vết nứt trong dầm bằng cách đo đạc đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động Lúc đó các tham số tải trọng như vận tốc di chuyển hay tần số và pha của tải trọng điều hoà sẽ là các tham số điều khiển để nhận được lời giải chính xác nhất của bài toán chẩn đoán Khi giải bài toán chẩn đoán để khắc phục ảnh hưởng của sai số đo đạc đến kết quả chẩn đoán đã sử dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov, một công cụ mạnh trong việc giải quyết những bài toán không chỉnh

Tuy vậy, phạm vi nghiên cứu của luận án vẫn chỉ giới hạn trong khuôn khổ của dầm đàn hồi Euler-Bernoulli và tải trọng di động với vận tốc không đổi Mặc dù về mô hình không mới, nhưng khi áp dụng phương pháp mới luận án vẫn thu được các kết quả mới

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP LUẬN 2.1 Hàm đáp ứng tần số

2.1.1 Phép biến đổi Fourie

Đối với hàm số x (t) (hay còn gọi là một quá trình nếu t là biến thời gian)

khả tích bình phương trên trục số thực (  ,  ) tồn tại tích phân

) ( ) (   X*  

trong đó dấu sao chỉ số phức liên hợp

Song song với biến đổi tích phân (2.1.1), tồn tại tích phân

t

) ( 2

1 )}

( { )

(2.1.3) được gọi là phép biến đổi Fourie ngược, cho phép ta xác định lại hàm ban đầu nếu biết hàm phổ tần số của nó Nếu hàm phổ tần số có tính chất (2.1.2) thì biến đổi ngược (2.1.3) luôn cho ta một hàm thực

Sử dụng công thức (2.1.1) có thể chứng minh được các tính chất sau đây của biến đổi Fourie

a) {ax1(t)bx2(t)}a{x1(t)}b{x2(t)}aX1()bX2(); (2.1.4)

X e t x e

t t

c) { ( )} 1 X( /c)

c ct

Ví dụ, xét hàm delta Dirac (t)được định nghĩa bằng các tính chất sau:

0

0 : )

(

t

t t

) (t t t0 dt f t0

( ) (t t dt f





 1 )

( dt t

Khi đó ta có

1 )

( )}

2.1.2 Các đặc trưng tần số của hệ cơ học

Xét một hệ cơ học được mô tả bằng phương trình

) ( ) ( ) ( ) (t x t kx t p t x

trong đó m - khối lượng, c - hệ số cản, k - độ cứng, p(t) - lực ngoài Biến đổi

Fourie hai vế phương trình (2.1.13) ta được

) ( ) ( )

hay

) ( ) ( ) (  H  P

với

k ci m

Trong các biểu thức trên hàm X(  ) gọi là đáp ứng tần số của hệ chịu tải trọng

ràng hàm (2.1.16) là một hàm phức có các phần thực và phần ảo tương ứng là

2 2 2 2

2 2 2

) (

) (

; )

( ) (

k

c I

c m

k

m k

/ 1 2 2

) (

1 )]

( ) ( [ ) (

k I

atan ) (

) ( atan ) (

c R

I H

km



 rất nhỏ thì tần số cộng hưởng xấp xỉ tần số riêng 0  k / m Đây là hiện tượng cộng hưởng khi tần số kích động trùng với tần số riêng Ngược lại, khi tần số càng cách xa tần số cộng hưởng thì hệ số động lực càng bé (hiện tượng xa cộng hưởng) và lúc đó biên độ dao động của hệ có thể coi bằng 0, hệ không bị kích động

2.1.3 Ứng dụng cho mô hình dầm đàn hồi

Xét dao động uốn của dầm đàn hồi Euler-Bernoulli mô tả bằng phương trình [64]

) , ( ) , ( )

, ( )

, ( )

, (

2 2

2 4

5 1 4

4

t x p t

t x w t

t x w F t

x

t x w x

t x w

trong đó w ( t x, ) là độ võng của dầm tại mặt cắt x và E, I, F, ρ, ℓ là các tham số

vật liệu, hình học, 1, 2là các hệ số cản của dầm Biến đổi Fourie hai vế phương trình (2.1.20) ta được

) , ( ,

( ) (

) , ( ) 1

W( ,  ) ( , ) it ; ( ,  ) ( , ) it Đưa vào các ký hiệu

EI x

P x

Q( ,  )  ( ,  ) / ; 4 F2(1i2) /EI;

) 1 /(

) / (

);

1 ( /

) , ( ) , ( )

W dx

x W

dx

x

n n

n n

2 4

4 4

4

, 0 ) ( )

, (

1

x Q

( ) , ( ) / 1 ( ) ( ) (

) ( )

) ( ) ( )

( ) ( )

, (

n n n

n n

x P

x Q

x W

) (

) ( ) ( )

, (

0

) (

) ( ) ( 1

) , ( ) , , (

n

EI P

x W x

x H

được gọi là hàm truyền của dầm phụ thuộc vào điểm đặt lực x0 và điểm tính đáp

ứng x Dễ dàng nhận thấy các hệ số (2.1.26) càng nhỏ khi n càng lớn và khi tần

số càng xa tần số riêng n Hệ số này cũng đạt cực đại khi tần số trùng với tần

số riêng (cộng hưởng) và trong các giá trị cộng hưởng ấy thì giá trị biên độ tại cộng hưởng chính (tần số đầu tiên) là đáng kể hơn cả Chính vì vậy, trong kỹ

thuật người ta chỉ lấy một số hạng đầu tiên trong chuỗi (2.1.28) để tính toán đáp ứng động Trong trường hợp này có thể tính hệ số động bằng

2 1 2

2 1

1 0 1

) (

) ( ) ( 1 ) , ,

2.1.4 Khái niệm về đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng bất kỳ

Như vậy, trong trường hợp tổng quát hàm W(x,) thoả mãn phương trình

(2.1.21) và điều kiện biên được gọi là đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng tổng quát p ( t x, ) Đáp ứng tần số là một hàm phức, mô tả biên độ dao động cưỡng bức của dầm ứng với tần số , W(x,  ) R w(x,  ) iI w(x,  ) Giá trị tuyệt đối hay modun của đáp ứng tần số, ký hiệu là

) , ( ) , ( )

, ( ) , (x  W x  R2 x  I2 x 

chính là biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi chịu tải trọng tổng quát p ( t x, ) Hàm

số S w(x,  )của hai biến (x, ), được gọi là phổ biên độ đáp ứng (Response

Spectrum) của dầm tại mặt cắt x xét trong miền tần số Nếu xét hàm (2.1.30) theo biến x với 0 cố định ta được một đặc trưng gọi là biểu đồ biên độ dao động hay dạng dao động của dầm tại tần số 0 Nội dung của phương pháp phổ tần số trong bài toán tải trọng di động được trình bày dưới đây là việc xây dựng hàm phổ biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi chịu tải trọng di động

Ngoài biên độ nêu trên hàm đáp ứng tần số (là một hàm phức) còn có đặc trưng pha Nhưng do đặc trưng pha biến đổi rất nhanh theo tần số và cho ta ít thông tin về đáp ứng của dầm hơn đặc trưng biên độ tần số, nên không được quan tâm phân tích trong luận án này

2.2 Phương pháp phổ tần số cho dầm chịu tải trọng di động

2.2.1 Cơ sở phương pháp [42]

Xét một dầm Euler-Bernoulli chịu tác dụng của lực bất kỳ P(t) di động với

vận tốc hằng số trên dầm Khi đó dao động của dầm được mô tả bằng phương trình (2.1.20) hay (2.1.21) với vế phải là p(x,t)P(t)(xvt) và

v / )

v / ( )

v ( ) ( )

trong đó 0(x,  ) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

0 ) , ( /

) ,

0

1 ( ,) ( ) ( ,)

2 / ) sin (sinh

, 0

) (p0   q0    p q 

tại đầu trái dầm, x = 0 Mặt khác, ta có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của

phương trình (2.3.3) ở dạng

)()

()

L x

x

và dầm ngàm chặt hai đầu

x x

x L x x

x

L1( )cosh cos ; 2( )sinh sin (2.2.9) Nghiệm (2.2.2) với các hàm (2.2.4) và (2.2.7) sẽ thỏa mãn điều kiện biên (2.2.6) tại đầu trái dầm x 0 Thay nghiệm này vào các điều kiện biên ở đầu phải dầm

ta được

) , ( )

( )

) ( 1

1 1