Tìm hiểu tính chất của hàm chỉnh hình, hệ thống các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Biểu diễn tích phân của hàmchỉnh hình” là một công trình nghiên cứu tìm hiểu của chính tác giả.Bản luận văn được hoàn thành trên cơ sở k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGUYỄN HUY LỢI

Header Page 2 of 258.

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS TS.Nguyễn Huy Lợi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầycủa mình

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tác giả nhận được sựquan tâm giúp đỡ của các giảng viên: Khoa Toán; Phòng Sau đại họcTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tác giả xin trân trọng cảm ơn sựgiúp đỡ quý báu đó

Được sự tạo điều kiện của Trường THPT Nguyễn Trường Thúy cùngbạn bè và các đồng nghiệp nhà trường Nhân dịp này tác giả xin đượcgửi lời cảm ơn trân trọng!

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Phạm Quang Tuyến

Header Page 3 of 258.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Biểu diễn tích phân của hàmchỉnh hình” là một công trình nghiên cứu tìm hiểu của chính tác giả.Bản luận văn được hoàn thành trên cơ sở kế thừa các kết quả của cácnhà Toán học trong lĩnh vực khoa học được trình bày Tôi xin trân trọngcảm ơn!

Tác giả

Phạm Quang Tuyến

Header Page 4 of 258.

Mục lục

1.1 Không gian C, C, Cn 6

1.2 Hàm chỉnh hình 18

1.3 Nguyên hàm và tích phân của hàm một biến phức 26

2 Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình 33 2.1 Tích phân Cauchy 33

2.2 Tích phân loại Cauchy 38

2.3 Tích phân Fourier 43

2.4 Tích phân Laplace 45

2.5 Mối liên hệ giữa tích phân Fourier và tích phân loại Cauchy 48 2.6 Một số ứng dụng 52

Header Page 5 of 258.

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài. Lý thuyết giải tích phức có rất nhiều ứng dụngtrong việc giải quyết một số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn.Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XVIII nhiều nhà toán học đã cónhững thành công trong việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết giải tíchphức để giải quyết các bài toán về thủy động học và khí động học.Trong môn giải tích phức thì hàm chỉnh hình đóng vai trò rất quan trọngtrong một số vấn đề lý thuyết cũng như trong thực tiễn Đặc biệt khigiải quyết các vấn đề thực tiễn ta thường dẫn tới bài toán biểu diễn tíchphân của hàm chỉnh hình Hơn nữa các phương pháp biểu diễn tích phâncủa hàm chỉnh hình có thể giúp chúng ta nhìn nhận kiến thức giải tíchphức một cách sâu và rộng hơn từ đó đáp ứng tốt yêu cầu dạy học Với

lý do trên và với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS TS NguyễnHuy Lợi, tôi đã chọn đề tài: “Biểu diễn tích phân của hàm chỉnhhình”

1 Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu các phương pháp biểu diễntích phân của hàm chỉnh hình sau đó nêu ra một số ứng dụng trong lýthuyết và thực tiễn của nó

2 Nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu tính chất của hàm chỉnhhình, hệ thống các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài tập trung

Header Page 6 of 258.

nghiên cứu một số phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hìnhnhư tích phân Cauchy, tích phân Fourier, tích phân Laplace và ứng dụngcủa hàm chỉnh hình trong việc giải phương trình vi phân thường và một

số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt

4 Phương pháp nghiên cứu. Đọc, dịch, tra cứu, tổng hợp theochủ đề các tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic và

Chương 1 Một số kiến thức về hàm chỉnh hình

Trong chương này chúng ta trình bày tóm tắt một số kiến thức về khônggian không gian C, C, Cn, các kiến thức về hàm chỉnh hình, nguyên hàm,tích phân của hàm phức làm cơ sở để nghiên cứu cho chương II Tài liệudùng để viết chương này chủ yếu dựa vào X ([2] , [3])

1.1 Không gian C, C, Cn

1.1.1 Không gian C, C Trong mặt phẳng Oxy ta gọi mỗi điểm

z = (x, y) là một số phức Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức,

ký hiệu là C Ta gọi x là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z); ygọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z); trục Ox gọi là trục thực,

Oy gọi là trục ảo Với hai số phức z1 = (x1, y1) và z2 = (x2, y2), ta nói

z1 = z2 khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2

Các phép toán và tính chất Ta đồng nhất số thực x với số phức(x, 0) và viết x = (x, 0) Đặc biệt (0, 0) = 0 và (1, 0) = 1 Ký hiệu sốphức (0, 1) = i gọi nó là đơn vị ảo Trên tập hợp số phức, ta xây dựnghai phép toán

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2);

z1.z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

Header Page 8 of 258.

Từ sự đồng nhất x = (x, 0) các phép toán trên tập hợp số thực được bảotoàn Thật vậy, ta có thể chỉ ra một số điều dưới đây

x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0 + 0)x.y = (x, 0).(y, 0) = (x.y − 0.0, x.0 + y.0) = (xy, 0)

z + 0 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = zz.0 = (x, y).(0, 0) = (x.0 − y.0, x.0 + y.0) = 0z.1 = (x, y).(1, 0) = (x.1 − y.0, x.0 + y.1) = (x, y) = zi.i = (0, 1).(0, 1) = (0.0 − 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0) = −1.Bởi vì (y, 0) = y với mọi y ∈ R nên (0, y) = (0, 1).(y, 0) = i.y Do đó, tanhận được dạng biểu diễn sau đây của số phức

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy

Số phức ¯z = x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x + iy

Ta dễ dàng chứng minh các tích chất sau: Với các số phức z = x + iy,

z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ta có

(i) z = z; z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2; z1z2 = ¯z1.¯z2(ii) z + ¯z = Rez = 2x; z − ¯z = 2iImz = 2iy(iii) z.¯z = x2 + y2 ≥ 0

bán kính 1

2, cực bắc của mặt cầu là điểm N (0; 0; 1).Mặt phẳng Oξη trùng với mặt phẳng Oxy Với mỗi z ∈ C, đường thẳng

Header Page 9 of 258.

zN cắt mặt cầu S tại điểm Π(z) Phép tương ứng z → Π(z) xác địnhmột song ánh từ C lên S\{N } Nếu điểm z = x + iy thì Π(z) có tọa độlà

và gọi là mặt phẳng phức mở rộng

Với mọi z1, z2 ∈, ta đặt

d(z1, z2) =

q(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2 + (ζ1 − ζ2)2,trong đó Π (z1) = (ξ1; η1; ζ1), Π (z2) = (ξ2; η2; ζ2) Số d (z1; z2) được gọi

là khoảng cách cầu của hai số phức z1 và z2

Tập điểm trên mặt phẳng phức. Giả sử a ∈ C và số thực

Điểm a gọi là điểm biên của tập hợp X ⊂ C nếu với mọi r > 0 thì tađều có

S(a, r) ∩ X 6= φ và S(a, r) ∩ (C\X) 6= φ

Tập tất cả các điểm biên của X gọi là biên của X ký hiệu là ∂X

Header Page 10 of 258.

Điểm a gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn tâm a bán kính r đều

có giao khác rỗng với X, tức là S(a, r) ∩ X 6= φ Tập các điểm dính của

X ký hiệu là X và gọi là bao đóng của X Điểm a được gọi là điểm trongcủa X nếu tồn tại đĩa mở S(a, r) nằm trọn trong X Tập hợp tất cả cácđiểm trong của X gọi là phần trong của X và ký hiệu là intX Với cáckhái niệm này ta có thể thấy ngay kết quả sau

Định lý 1.1.1 Với mọi tập hợp X ⊂ C ta luôn có

(i) X = X ∪ ∂X;

(ii) intX = X\∂X;

(iii) Tập hợp X là đóng khi và chỉ khi X = X hoặc X ⊃ ∂X;(iv) X là tập đóng bé nhất chứa X;

(v) intX là phần trong lớn nhất chứa trong X

Tập X ∈ C gọi là bị chặn nếu tồn tại số R > 0 sao cho |z| ≤ R với mọi

z ∈ X

Tập compact. Giả sử X là một tập con trong C và {zn} là một dãytrong X Điểm a được gọi là điểm tụ của dãy {zn} nếu với mọi ε > 0 tồntại vô số số nguyên dương n sao cho |zn − a| < ε Điều đó tương đươngvới mọi hình cầu S(a, r) chứa vô hạn các phần tử của dãy {zn}

Tập K ⊂ C được gọi là compact nếu mọi dãy các phần tử của K đều cóđiểm tụ trong K

Giả sử X ⊂ C và {Gi}i∈I là các tập mở trong C Ta nói

+ Họ {Gi}i∈I gọi là phủ mở của X nếu ∪

+ Đặc biệt nếu {Gik}nk=1 là một số hữu hạn các tập mở phủ X thì

nó được gọi là phủ con hữu hạn của X

Ta cần đến kết quả quan trọng sau đây về tập compact

Định lý 1.1.2 (Định lý Heine – Borel) Giả sử X ⊂ C Khi đó các điềukiện sau là tương đương

ϕ02(t) + ψ02(t) > 0; với mọi t ∈ [a, b]

Đường cong liên tục tạo bởi hữu hạn đường cong trơn gọi là đường congtrơn từng khúc

Các điểm z(a) = ϕ(a) + iψ(a) và z(b) = ϕ(b) + iψ(b) lần lượt được gọi

là điểm đầu và điểm cuối của đường cong L Đường cong có điểm đầu

và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng Đường cong không cóđiểm tự cắt, tức là nếu t1 6= t2 thì z(t1) 6= z(t2) ngoại trừ tại các điểmđầu và cuối của đường cong, được gọi là đường cong Jordan

Đường cong Jordan đóng được gọi là chu tuyến Chu tuyến γ giới hạnmột miền trong mặt phẳng được ký hiệu bởi Dγ Miền D gọi là đơn liênnếu mọi chu tuyến γ ⊂ D đều có Dγ ⊂ D Miền không đơn liên gọi là

Header Page 12 of 258.

miền đa liên.

Quy ước Gọi chiều dương của biên của D là chiều mà khi đi dọc biêncủa D theo hướng đó thì miền được xét nằm về bên trái, hướng ngượclại là hướng âm Ký hiệu

+ ∂D+ là biên của D lấy theo chiều dương;

+ ∂D− là biên của D lấy theo chiều âm

Có thể chỉ rằng mọi đường cong liên tục là compact Do đó, nếu xétđường cong liên tục trong miền D thì 0 < d(L, D)

Một số ví dụ mô tả các khái niệm

1 Hình tròn mở là tập mở Thật vậy, với mọi z ∈ S(a, r) ta có |z − a| < r.Đặt δ = r − |z − a| > 0 và chọn số δ1 sao cho 0 < δ1 < δ Khi đó, tathấy rằng

S(z, δ1) ⊂ S(a, r)

Để chứng tỏ điều này, ta lấy phần tử bất kỳ w ∈ S(z, δ1) thì

|w − a| ≤ |w − z| + |z − a| < δ1 + r − δ < δ + r − δ < r

Điều đó chứng tỏ w ∈ S(a, r) và như vậy S(a, r) là tập mở

2 Phần bù của đĩa đóng C\ ¯S(a, r) là tập mở Thật vậy, với mọi z ∈C\S (a, r) thì |z − a| > r Khi đó chọn số δ¯ 1 sao cho

0 < δ1 < δ = |z − a| − rthì ta thấy S(z, δ1) ⊂ C\S(a, r) Thật vậy, với mọi w ∈ S(z, δ1) ta có

thuộc đường tròn |z − a| = r là điểm biên của X và đường tròn đó làbiên của đĩa.

1.1.2 Không gian Cn. Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2n, cácđiểm của nó là các bộ có thứ tự 2n số thực (x1, , x2n) Ta đưa vào trong

đó cấu trúc phức, bằng cách đặt zv = xv + ixn+v(v = 1, , n) Thường

ta ký hiệu xn+v = yv nên zv = xv + iyv(v = 1, , n) Không gian màđiểm là những bộ n số phức (hữu hạn)

z = (z1, , zn) = {zv} (1.1.2)

sẽ gọi là không gian phức n chiều và ký hiệu qua Cn Đặc biệt khi n = 1

ta có C1 = C là mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùy ý, khônggian Cn là tích n mặt phằng phức

Đặc biệt, hệ quả của sự phản xứng đó là không phải mọi mặt phẳng đềubình đẳng khi chuyền từ R2n đến Cn Chẳng hạn ta xét mặt phẳng 2rchiều

2rY:

2nX

v=1

αµvxv = βµ(µ = 1, , 2n − 2r) (1.1.4)trong đó αµv và βµ là các hằng số thực, các phương trình độc lập nhau, tức

là rank (αµv) = 2n − 2r Như trước kia, đặt zv = xv+ ixn+v(v = 1, , n),

ta sẽ có:

Header Page 14 of 258.

xv = zv + zv

2 , xn+v =

zv − zv2i (v = 1, , n)

và do đó, ta có thể viết lại phương trình mặt phẳng đó dưới dạng

nX

v=1(αµvzv + αµv0zv) = bµ(µ = 1, , n − r) (1.1.5)

trong đó αµv, αµv0 và bµ là các hằng số phức Trong tất cả các mặt phẳngnhư vậy, ta tách ra những cái mà trong phương trình không có zv; nhữngmặt như vật sẽ gọi là mặt phẳng giải tích r chiều (phức) Do đó, theođịnh nghĩa, phương trình của mặt phẳng giải tích r chiều phức sẽ là

Ar :

nX

v=1

αµvzv = bµ(µ = 1, , n − r) (1.1.6)Chỉ có các mặt phẳng giải tích là mặt phẳng “chân chính” của khônggian Cn, những mặt phẳng khác trong R2n (đặc biệt, tất cả các mặt sốchiều lẻ) sẽ không được xem là mặt phẳng của Cn Chẳng hạn, trong

C2, tập các điểm mô tả bởi phương trình z1 = x1 + ix3 = 0 (tức là mặtphẳng hai chiều {x1 = 0, x3 = 0} trong R4) được xem là mặt phẳng, còntập x1+ ix2 = 0 (tức là mặt phẳng hai chiều {x1 = 0, x2 = 0} trong R4)không được xem là mặt phẳng

Ta sẽ gọi các mặt phẳng giải tích n−1 chiều phức zv = 0 là các mặt phẳngtọa độ Các mặt giải tích một chiều phức còn được gọi là đường thẳnggiải tích Các đường thẳng giải tích đi qua điểm zo = (z1o, , zno) ∈ Cn

đã cho, có thể viết bởi phương trình

L : zv = zvo + ωvζ (ζ ∈ C; v = 1, , n) (1.1.8)

Header Page 15 of 258.

Trong Cn đưa vào một cách tự nhiên cấu trúc không gian vectơ: tổng cácvectơ z0 = {zv0} và z00 = {zv00} được hiểu là vectơ z0 + z00 = {zv0 + zv00}

là tích của vectơ z = {zv} với số ζ ∈ C là vectơ λz = {λzv}

Sử dụng các phép tính trên, ta có thể viết phương trình đường thẳnggiải tích dưới dạng vectơ:

trong đó ω = (ω1, , ωn) ∈ Cn là vectơ định hướng của đường thẳng, còn

ζ ∈ C là tham số Như vậy, đường thẳng giải tích là một hàm vectơ tuyếntính của biến phức ζ với giá trị trong không gian phức (L : C → Cn).Trong Cn có thể đưa vào cấu trúc không gian mêtric Thường xét haimêtric: mêtric Ơclit e (z0, z00), hay

|z0 − z00| =

vuut

nX

v=1

|zv0 − zv00|2 =

vuut

2nX

v=1(zv 0 − zv00)2 (1.1.10)

c) ρ (z0, z000) ≤ ρ (z0, z00) + ρ (z00, z000) - tiên đề tam giác

Ứng với các mêtric trên, trong Cn đưa vào cả hai tôpô Điều đó đượccho bằng cách chỉ ra hệ lân cận trong mêtric Ơclit, ε - lân cận của zo làhình cầu:

B (zo, ε) = {z ∈ Cn : |z − zo| < ε} (1.1.12)

Header Page 16 of 258.

còn trong ρ - mêtric, là đa tròn (hay đa trụ):

U (z, ε) = |z ∈ Cn : ρ (z − zo) < ε| (1.1.13)Bất đẳng thức kép hiển nhiên

ρ (z0, z00) ≤ |z0, z00| ≤ √nρ (z0, z00) (1.1.14)

chứng tỏ rằng, các mêtric (1.1.10) và (1.1.11) đưa vào Cn các tôpô tươngđương

Để kết thúc phần này, ta mô tả ngắn gọn việc compact hóa không gian

Cn, tức là làm đầy nó bởi các phần tử vô hạn Phương pháp đơn giảnnhất dẫn đến, như thường gọi, không gian của lý thuyết hàm Cn Ta đãnói, không gian Cn có thể xét như tích các mặt phẳng phức C Nhưngmặt phẳng C hợp với điểm vô hạn được làm đầy thành mặt phẳng đóng

C, đồng phôi với mặt cầu Do đó, làm đầy một cách tự nhiên Cn thànhtích n mặt phẳng đóng (mặt cầu), ta đi đến không gian của lý thuyếthàm

Do đó, các điểm của Mv có dạng (z1, , zv−1, ∞, zv+1, , zn), trong đó

zµ(µ 6= v) là các số phức hữu hạn hoặc vô hạn Mỗi Mv, và cũng cónghĩa là tập tất cả các điểm vô hạn của Cn có số chiều phức bằng n − 1.Tất cả các Mv giao nhau tại điểm (∞, , ∞)

Header Page 17 of 258.

Tôpô Cn được đưa vào như trong tích các không gian: lân cận của zo ={zo

v} ∈ Cn là tích các lân cận của các điểm zvo trong mặt phẳng đóngcủa biến zv Trong tôpô đó, không gian Cn là compact: từ mỗi dãy điểm

zµ ∈ Cn(µ = 1, 2, ) có thể chọn dãy con hội tụ đến điểm zo ∈ Cn nàođó

Phương pháp compact hóa khác Cn dẫn đến, như thường gọi, không gian

xạ ảnh phức Pn Ta đưa vào trong Cn các tọa độ thuần nhất (ω1, , ωn+1)bằng cách đặt

n+1X

v=1

|ωv|2 6= 0



Các tọa độ thuần nhất của điểm z ∈ Cn xác định sai khác một nhân

tử tỉ lệ (tức là cùng với (ω1, , ωn+1), các tọa độ của z cũng sẽ là(λω1, , λωn+1), trong đó λ 6= 0 là các số phức tùy ý Ngược lại, theocông thức (1.1.16) bộ tùy ý các tọa độ thuần nhất ω = (ω1, , ωn+1),trong đó ωn+1 6= 0, tương ứng điểm z ∈ Cn trong đó các tọa độ với các

tỉ số khác nhau ở (1.1.16) tương ứng với các điểm khác nhau Để loại

bỏ vị trí đặc biệt của tọa độ thuần nhất cuối cùng ωn+1, ta làm đầy Cnbởi các điểm kỳ dị (vô hạn) và khi đó, bộ tùy ý các tọa độ thuần nhất

ω = (ω1, , ωn+1) , |ω| 6= 0 sẽ tương ứng với các điểm của không gian Pnnào đó, cũng được gọi là không gian xạ ảnh phức Các điểm của Pn có

ωn+1 6= 0 theo công thức (1.1.16), tương ứng với các điểm z ∈ Cn, vì thế

Pn thực sự làm đầy Cn Các điểm ω có ωn+1 = 0 tương ứng với các điểm

tương ứng với một điểm z ∈ Cn, đồng thời đại diện của những lớptương đương khác nhau tương ứng với các điểm khác nhau Nhữnglớp tương đương như vậy có thể biểu diễn trực quan nhờ các đườngthẳng giải tích trong không gian Cn+1 Thực vậy, các bộ tương đương

ω = (ω1, , ωn+1) , |ω| 6= 0, đặc trưng hóa đường thẳng giải tích trong

ý (1.1.17) mà ωn+1 = 0, biểu diễn điểm vô hạn

Ta đã biết rõ mô hình mặt phẳng xạ ảnh, nhận được từ mặt cầu trong

R3 bằng cách đồng nhất các điểm đối kính (giai của mặt cầu với cácđường thẳng trong R3 minh họa các điểm của mặt phẳng xạ ảnh) Cũngnhư thế, có thể biểu diễn nhờ mặt cầu trong Rn+1 và không gian xạ ảnhthực n chiều Ta mô tả tóm tắt mô hình tương ứng đối với Pn

Vì mỗi đường thẳng giải tích của Cn+1, đi qua gốc tọa độ, hoàn toàn đượcđặc trưng bởi vectơ đơn vị ωo = |ω|ω nên Pn có thể được biểu diễn như tậpcác điểm của mặt cầu S = {|z| = 1} trong Cn+1 Song, đồng thời phảiđồng nhất các giao điểm của S với đường thẳng giải tích minh họa mộtđiểm của Pn Giả sử đường thẳng L như vậy được cho bởi phương trìnhtham số zv = ωvoζ (v = 1, , n + 1, |ωo| = 1); vì phương trình mặt cầu Slà

n+1P

v=1

zvzv = 1 nên với các giao điểm của L và S, ta sẽ có |ζ|2

n+1P

v=1

|ωo

v|2 = 1hay |ζ| = 1 Từ đó, rõ ràng L và S giao nhau theo tập một chiều: vòngtròn {|ζ| = 1} nằm trên đường thẳng giải tích (hai chiều) và trên mặtcầu 2n + 1 chiều Như vậy, các điểm của Pn còn có thể biểu diễn như

Header Page 19 of 258.

các đường tròn trên mặt cầu đơn vị S ⊂ Cn+1 (điều đó tương ứng với:

Pn có số chiều thực 2n) Đặc biệt, các đường tròn nhận được trong giaocủa S với các đường thẳng L, đối với chúng ωn+1 = 0, biểu diễn các điểm

vô hạn

Trong không gian ωo có thể đưa vào tôpô bằng cách xem các đườngthẳng L là “gần nhau” nếu chúng xác định bởi những vectơ đơn vị “gầnnhau” (hoặc các đường tròn trên S là “gần nhau” nếu nhận được khi giao

S với các đường thẳng “gần nhau”) Trong tôpô đó, Pn là không giancompact

1.2 Hàm chỉnh hình. Giả sử hàm f = u(x, y) + iv(x, y) xác định

và hữu hạn trong lận cận nào đó của điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng f khả vi tại điểm z theo nghĩa giải tíchthực (vắn tắt: R2 - khả vi), nếu các hàm u và v khả vi theo nghĩa thựctại mọi điểm (x, y) ∈ R2 và khi đó

được gọi là vi phân của f tại điểm z

Nhận xét : Trong (1.2.1) ta viết du và dv qua các đạo hàm riêng (nhữngđạo hàm này tồn tại ở điểm z0), thì (1.2.1) có thể viết dưới dạng:

2(dz + dz) , dy =

12i(dz − dz) và thế các biểu thức này

Header Page 20 of 258.

vào (1.2.2), sau khi nhóm các số hạng ta thu được

 ∂u

∂x − ∂v

∂y

+ i2

Nếu nó tồn tại được gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm z0

Từ những điều nói trên, có thể suy ra rằng tính C - khả vi tương đươngvới sự tồn tại của đạo hàm

Định lý 1.2.1 (Cauchy – Riemann) Cho hàm số f (z) = u (x, y) +

iv (x, y) xác định tại điểm z và lân cận của điểm z = x + iy ∈ Ω Đểhàm f là C - khả vi tại z = x + iy ∈ Ω thì điều kiện cần và đủ là hàm fthỏa mãn R2 - khả vi tại điểm z và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann

Điều đó có nghĩa là u và v khả vi tại (x, y).

Điều kiện đủ Vì u và v khả vi tại (x, y) nên

do đó f C - khả vi tại z = x + iy Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.2.3 (Hàm chỉnh hình) Hàm f xác định trên miền D đượcgọi là hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) tại z0 ∈ D nếu tồn tại ε- lâncận của z0 chứa trong D sao cho f là C- khả vi tại z0 và U (ε, z0)

Ta gọi hàm f là chỉnh hình trên tập hợp mở Ω ⊂ C, nếu nó chỉnh hìnhtại mỗi điểm của tập này (do vậy đối với những tập này khái niệm chỉnh

Header Page 23 of 258.

f0(z0) 6= 0 chính là tính bảo giác của ánh xạ f tại z0.

Do đó tập tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một vành

và vành này ta sẽ kí hiệu là H(D), H(D) là một không gian vector trênC

Tính chất 1.2.3 Giả sử D ⊂ C là một miền và H(D) là tập các hàmchỉnh hình trên D Khi đó

i) Nếu f ∈ H (D) và f (z) 6= 0, ∀z ∈ D thì 1

f ∈ H (D)

ii) Nếu f ∈ H (D) và f chỉ nhận các giá trị thực thì f không đổi

Chứng minh Chỉ cần chứng minh ii)

Như vậy đạo hàm của hàm chỉnh hình trong D là mạnh hơn chỉnh hìnhtrong D.

Chứng minh Đối với điểm z0 ∈ D bất kỳ, ta dựng hình tròn U ={|z − z0| < R} ⊂ D Khi đó hàm f được biểu diễn như là tổng của chuỗilũy thừa trong hình tròn này

Theo định lý: Tổng của chuỗi lũy thừa f (z) =

∞P

n=0

cn(z − a)n chỉnh hìnhtrong hình tròn hội tụ của nó, đạo hàm f0 = ϕ được biểu diễn bởi chuỗihội tụ trong chính hình tròn ấy Do đó, lại ứng dụng định lý này chohàm ϕ và nghĩa là ϕ khả vi trong U theo nghĩa giải tích phức

Một vài định lý quan trọng đối với hàm chỉnh hình

Định lý 1.2.2 Giả sử f là hàm chỉnh hình trong miền D và hình tròn

0

f (z0 + reiϕ)dϕ

Định lý 1.2.3 Giả sử hàm f chỉnh hình trong miền bị chặn D và liêntục trên ¯D Khi đó f = const hoặc |f (z)| đạt cực đại trên biên ∂D củaD

Chứng minh Vì f liên tục trên tập compact ¯D nên tồn tại z0 ∈ ¯D sao

Header Page 25 of 258.

maxz∈D |f (z)| = |f (z0)| Giả sử rằng z0 ∈ D Ta sẽ chứng tỏ rằng f (z) = const Lấy r > 0 saocho ¯S(z0, r) ⊂ D Theo định lý 1.2.2 ta có hệ thức

|f (z0)| = 1

2π

2πZ

0

|f (z0)| dϕ = 1

2π

2πZ

0

f (z0 + reiϕ)dϕ

∆z

∆z

Như vậy ta có được điều cần chứng minh

v=o

f (η∗v).(ηv+1 − ηv) (1.3.2)

Nếu khi n → ∞ mà max

v |ηv+1− ηv| → 0 tồn tại giới hạn của tổng (1.3.2)không phụ thuộc vào cách chia cung cung γ thành các cung nhỏ và cáchchọn các điểm ηv∗, thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm f (z)trên cung γ Ta ký hiệu

v=0[u(ηv∗) + iv(ηv∗)](∆xv + i∆yv)

=

n−1X

v=0[u(ηv∗)∆xv − v(ηv∗)∆yv] + i

n−1X

v=0[u(ηv∗)∆yv + v(ηv∗)∆xv]; (1.3.4)

trong đó η∗v = (x∗v, yv∗) Phần thực và phần ảo trong công thức (1.3.4) làtổng của hai tích phân đường loại hai Như vậy, tích phân (1.3.3) tồn tạinếu tồn tại hai tích phân đường

Z

γudx − vdy và

Z

γudy + vdx

Header Page 30 of 258.

là nguyên hàm f D

2 Một hàm f chỉnh hình miền đơn liên D có nguyên hàmtrong miền

Sự tồn nguyên hàm Giả sử f hàm chỉnh hình mộtmiền đơn... S(0, 1)

1.3 Nguyên hàm tích phân hàm biến phức 1.3.1 Nguyên hàm< /h3>

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử hàm f ∈ H (D) Hàm F (z) ∈ H (D) gọi

là nguyên hàm hàm f (z) F0(z)... data-page="28">

Tức hàm< /p>

ϕ(z) = f (z)

12πiZ

∂S(o,r)

f (η)η(η − 1)dηchỉnh hình hình trịn S(0, r) Vì r < tuỳ ý nên ϕ(z) chỉnhhình hình trịn