Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần đúng một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên,giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi nhữngthiếu sót và hạn chế Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi

từ phía các thầy, cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốthơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn

chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần đúng

phương trình tích phân tuyến tính Volterra ”được hoàn thành bởi sự nhận thức

và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kếtquả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Danh mục kí hiệu và viết tắt 1

Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm 4

1.1.1 Không gian metric 4

1.1.2 Không gian định chuẩn 6

1.1.3 Không gian Hilbert 7

1.1.4 Không gian L(X, Y ) 8

1.1.5 Một số không gian hàm 11

1.1.6 Khai triển Taylor 13

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 14 2.1 Phương trình tích phân Volterra 14

2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một 14

2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 14

2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai 15

2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 17

2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian 18

2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích 24

2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm 28

2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 31

2.2.5 Phương pháp biến đổi Laplace 37

2.2.6 Phương pháp chuỗi lũy thừa 42

3 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 48 3.1 Công thức cầu phương 48

3.2 Công thức hình thang 48

3.3 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 50

Danh mục kí hiệu và viết tắt

Các kí hiệu thường dùng

C Không gian các hàm liên tục

C1 Không gian các hàm khả vi liên tục

Rn Không gian Euclidnchiều

M = (X, d) Không gian metric

x /∈ M xkhông thuộc tậpM

∀x ∈ M Với mọixthuộc tập M

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiềutác giả quan tâm nghiên cứu Trong đó lớp phương trình tích phân đóng vai tròquan trọng

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất hiện trong nhiều ứng dụngkhoa học như lý thuyết động lực, thiết vị bán dẫn, sự lan truyền bệnh dịch, Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trìnhtích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến giải xấp xỉphương trình Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người

ta sử dụng rất nhiều các phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình tích phân tuyếntính Volterra, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề

tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính

Volterra” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra, một sốphương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra và một số phươngpháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một,loại hai

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một sốphương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần đúng một sốphương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyếtphương trình tích phân

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tíchphân tuyến tính Volterra

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 ChoX là một tập tùy ý Một metric trongX là một ánh xạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau đây

Định nghĩa 1.1.2 Một dãy các điểm(xn), n = 1, 2, trong không gian ric X được gọi là hội tụ đến điểma ∈ X nếu

met-limn→∞d(a, xn) = 0

Khi đó ta kí hiệu lim

n→∞xn = ahoặc xn → akhin → ∞

Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểmxn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trongkhông gian metric X nếu với mọiε > 0 cho trước, tồn tại một sốn0 ∈ N∗ saocho với mọin ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d(xn, xm) < ε

Nói cách khác ta có

limn,m→∞d(xn, xm) = 0

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

cơ bản trongX đều hội tụ tới một phần tử trongX

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ và f :

X → X là một ánh xạ củaX vào chính nó thỏa mãn điều kiện

d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y),

với hằng số α < 1và ∀x, y ∈ X Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X

sao cho f (x∗) = x∗ Hơn nữa,x0 ∈ X, dãy xn, n ∈ N xác định bởi xk+1 =

f (xk), ∀k ∈ N hội tụ đếnx∗ đồng thời ta có ước lượng

Ta lại cóxn+1 = f (xn)nên cho n → ∞, ta có x∗ = f (x∗) Vậyx∗ là điểm mà

f (x∗) = x∗

Giả sử ngoài ra còn cóxcũng có tính chất f (x) = xkhi đó ta có

d(x∗, x) = d(f (x∗), f (x)) ≤ αd(x∗, x),vớiα < 1 Từ đó suy ra x∗ = x Vậyx∗ là duy nhất

1.1.2 Không gian định chuẩn

ChoX là một không gian vectơ trên trườngP (P = R hoặc C).

Định nghĩa 1.1.5 Một chuẩn, kí hiêuk · ktrong X là một ánh xạ từ X vào Rthỏa mãn các điều kiện:

i)kxk ≥ 0với mọix ∈ X;

ii)kxk = 0khi và chỉ khix = θ (θ là kí hiệu phần tử không);

iii)kλxk = |λ| kxk với mọi sốλ ∈ P và với mọi x ∈ X;

iv)kx + yk ≤ kxk + kyk với mọiy ∈ X

Sốkxk được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơx ∈ X

Định nghĩa 1.1.6 Một không gian vectơX cùng với một chuẩn xác định trongkhông gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theoP làthực hoặc phức)

Định lý 1.1.2 Giả sửX là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X đặt

d(x, y) = kx − yk

Khi đód là một metric trênX.

Định nghĩa 1.1.7 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụđếnx0 ∈ X nếu lim

n→∞kxn− x0k = 0 Khi đó ta kí hiệu

limn→∞xn = x0 hoặc xn → x0 khin → ∞

Định nghĩa 1.1.8 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là mộtdãy cơ bản, nếu

limm,n→∞kxm − xnk = 0

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử không gian định chuẩnX là một không gian metricđầy đủ (với khoảng cáchd(x, y) = kx − yk) Khi đóX được gọi là một khônggian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.10 Cho hai không gian tuyến tínhX vàY trên trườngP Ánh

xạAtừ không gianX vào không gianY được gọi là tuyến tính nếuAthỏa mãni)A(x + y) = Ax + Ay với mọix, y ∈ X;

ii)A(αx) = αAx, α ∈ P

Acũng được gọi là toán tử tuyến tính Nếu Achỉ thỏa mãn i) thìAđược gọi làtoán tử cộng tính, nếuA chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.KhiY = P thì toán tử tuyến tính Ađược gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.11 Cho không gian định chuẩnX vàY Toán tử tuyến tính A

từ không gianX vào không gianY gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng sốc ≥ 0saocho

kAxk ≤ c kxk , với mọix ∈ X

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =

R hoặcP = C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

X × X vào trườngP, kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề:

(i)(y, x) = (x, y), với mọix, y ∈ X;(x, y)là số phức liên hợp của(x, y)(ii)(x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọix, y, z ∈ X;

(iii)(αx, y) = α(x, y) với mọi sốα ∈ P và mọix, y ∈ X;

(iv)(x, x) > 0nếu x 6= θ, (θlà kí hiệu phần tử không);

(v)(x, x) = 0nếu x = θ;

Các phần tửx, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số(x, y)gọi là tích

vô hướng củaxvày Các tiên đềi, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.13 Không gian tuyến tínhX trên trường P cùng với một tích

vô hướng trênX gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.3 Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X, ta đặt

kxk = p(x, x) Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

1)H là không gian tiền Hilbert;

2)H là không gian Banach với chuẩnkxk = p(x, x)với x ∈ X

1.1.4 Không gian L(X, Y )

Cho hai không gian định chuẩnX vàY Ta kí hiệuL(X, Y )là tập hợp tất cảcác toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Ta trang bị choL(X, Y ) hai phéptoán sau:

a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định

bằng hệ thức

(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X

b) Tích của vô hướngα ∈ P (P = R hoặcP = C) với toán tử A ∈ L(X, Y )

là toán tử, kí hiệuαA xác định bằng hệ thức

(αA)(x) = α(Ax), ∀x ∈ X

Dễ dàng kiểm traA + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y )là hai phép toán thỏa mãntiên đề tuyến tính Do vậy L(X, Y ) cùng với hai phép toán trên là một khônggian vectơ trên trườngP

Dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tửA ∈ L(X, Y )nếu với mỗix ∈ X, lim

n→∞kAnx − Axk = 0trong không gianY.Một dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) hội tụ đều tới toán tửA ∈ L(X, Y ) thì dãy(An)hội tụ từng điểm tới toán tử Atrong không gianY

Định lý 1.1.4 Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là không gian Banach.

Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ(An) ⊂ L(X, Y ) Theo định nghĩa

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗)(∀n, m ≥ n0) kAn − Amk < ε (1.4)

Từ đó với mọix ∈ X ta có

kAnx − Amxk = k(An− Am)xk ≤ kAn− Amk kxk < ε kxk (1.5)

Từ (1.4),(1.5) suy ra dãy điểm(Anx) ⊂ Y là dãy cơ bản trongY Mà theo giảthiếtY là không gian Banach, nên tồn tại giới hạn

limn→∞Anx = y ∈ Y

Đặty = Ax Nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tửtuyến tính Atừ không gian định chuẩn X vào không gian BanachY Cho quagiới hạnm → ∞ trong hệ thức (1.5) và kết hợp với hệ thức (1.4) ta được

kAnx − Axk ≤ ε kxk , ∀n ≥ n0, ∀x ∈ X,hay

k(An − A)xk ≤ ε kxk , ∀n ≥ n0, ∀x ∈ X

Do đó

kAn − Ak ≤ ε, ∀n ≥ n0

Từ đó suy raA = An1− (An1− A) ∈ L(X, Y )vớin1 > n0 vàkAn − Ak → 0khin → ∞

Vì vậy dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gianL(X, Y ) VậyL(X, Y )là không gian Banach

Bây giờ ta giả sử X = Y, nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tửtuyến tính liên tục trong X Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tửnhư sau

Tích của hai toán tửA, B trong X là toán tử AB trongX sao cho

suy raAB cũng bị chặn (tức là liên tục) và

kABk ≤ kAk kBk Như vậy trong không gian L(X, X) có xác định phép cộng và phép nhân haiphần tử Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên đềcủa một vành

Do vậy ta cóL(X, X) là

i) Một vành

ii) Một không gian định chuẩn

iii) Thỏa mãn điều kiệnkABk ≤ kAk kBk

iv) Có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhấtI vớikIk = 1

Người ta nói L(X, X) là một vành định chuẩn Trong vành L(X, X) đươngnhiên có thể nói đến các lũy thừa của một toán tử

A0 = I, An = AAn−1(n = 1, 2, )

1.1.5 Một số không gian hàm

Rn là không gian vectơ

Rn là không gian metric với metricd(x, y) =

s

n

P

j=1(xj − yj)2

Hệ thức trên thỏa mãn 3 tiên đề về metric

Vì vậy hệ thức trên định một metric trên không gian Rn

Không gian metric Rn thường được gọi là không gian Euclid

Rn là không gian metric đầy

Rn là không gian định chuẩn

Với một trong các chuẩn sau

Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).

Rn là không gian Hilbert

vuut

Không gian C[a,b]

C[a,b] = {x(t)xác định, liên tục∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞

Không gianC[a,b] là không gian metric

Không gianC[a,b] là không gian Banach

Không gianC[a,b] là không gian tách được (hay không gian khả ly)

Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trongC[a,b]

1.1.6 Khai triển Taylor

f00(x0)2! (x − x0)

2 + + (1.8)

+ f

n(x0)n! (x − x0)

(n)+ f

n+1(c)(n + 1)!(x − x0)

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

VOLTERRA

2.1 Phương trình tích phân Volterra

2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một

Dạng tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại mộtđược cho bởi

f (x) =

Z x 0

trong đó hạt nhânK(x, t) và hàm f (x)là các hàm giá trị thực cho trước, hàmu(x)là hàm cần được xác định và nó xuất hiện bên trong dấu tích phân của cácphương trình tích phân Volterra loại một

2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai

Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai đượccho bởi

u(x) = f (x) + λ

Z x 0

Hàm ẩnu(x), sẽ được xác định, nằm bên trong và bên ngoài dấu tích phân Hạtnhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực, và λ là một tham số chotrước

2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương

trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phươngtrình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai

Ta giả thiết K(x, x) 6= 0 Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phânVolterra loại một

f (x) =

Z x 0

đối vớix, và dùng quy tắc Leibnitz, ta tìm được

f0(x) = K(x, x)u(x) +

Z x 0

Z x 0

1K(x, x)Kx(x, t)u(t)dt. (2.5)Đặt

Ví dụ 2.1 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình

tích phân Volterra loại hai

ex− cos x =

Z x 0

Lấy đạo hàm cả hai vế của (2.8) và dùng quy tắc Leibnitz ta được

ex + sin x = u(x) +

Z x 0

ex−tu(t)dt

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại hai

u(x) = ex+ sin x −

Z x 0

ex−tu(t)dt

Ví dụ 2.2 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương

trình tích phân Volterra loại hai

4 + x − 4ex+ 3xex =

Z x 0

Lấy đạo hàm cả hai vế của (2.9) và dùng quy tắc Leibnitz ta thu được

1 − ex+ 3xex = 2u(x) +

Z x 0u(t)dt,

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại hai

u(x) = 1

2(3x − 1)e

x+ 1

2 − 12

Z x 0u(t)dt

Nhận xét 2.1 Đã biết rằng nếu K(x, x) = 0, thì không thể biến đổi phươngtrình tích phân Volterra loại một thành loại hai Tuy nhiên, nếuK(x, x) = 0 và

Kx0(x, x) 6= 0 thì bằng việc lấy đạo hàm phương trình tích phân Volterra loạimột nhiều lần , với K(x, t) là hạch , thì phương trình đã cho sẽ đưa được vềphương trình tích phân Volterra loại hai

Ở chú ý thứ nhất, khi K(x, x) = 0 , Kx0(x, x) 6= 0, ta sẽ lấy đạo hàm hailần, và áp dụng quy tắc Leibnitz để biến đổi phương trình đã cho về phươngtrình tích phân Volterra loại hai

Ví dụ 2.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình

tích phân Volterra loại hai

sin x − x cos x = 2

Z x 0

Lấy đạo hàm hai vế của (2.10) và dùng quy tắc Leibnitz ta được

x sin x = 2

Z x 0cosh(x − t)u(t)dt,phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại một Tuy nhiên vì

Kx0(x, x) 6= 0, nên ta lấy đạo hàm thêm một lần nữa để thu được phương trìnhtích phân Volterra loại 1

Khi đã biến đổi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một thànhphương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, thì ta có thể áp dụng cácphương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai cho phươngtrình tích phân tuyến tính Volterra loai một

2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích

phân tuyến tính Volterra loại hai

Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, người ta đã đề xuấtmột số phương pháp giải tích và phương pháp số như phương pháp xấp xỉ liêntiếp, phương pháp biến đổi Laplace và nhiều phương pháp khác Trong mục này

ta sẽ áp dụng một số phương pháp như phương pháp phân tích Adomian (ADM),phương pháp biến đổi khai triển (mADM), phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phươngpháp chuỗi lũy thừa và phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình tíchphân Volterra loại hai Ta cần xác định nghiệmu(x)của phương trình tích phântuyến tính Volterra loại hai

Sau đây chúng ta sẽ trình bày các phương pháp nêu trên

2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian

Phương pháp phân tích Adomian (ADM) đã được giới thiệu và phát triển bởiGeorge Adomian và là phương pháp tốt trong nhiều phép kiểm tra

Phương pháp phân tích Adomian bao gồm phân tích hàm u(x) của phươngtrình bất kỳ thành tổng vô hạn của các số hạng được xác định bởi chuỗi

Để thiết lập quan hệ truy hồi, ta thế (2.11) vào phương trình tích phân Volterra(2.2) ta thu được

u0(x) = f (x),

un+1(x) = λ

Z x 0K(x, t)un(t)dt, n ≥ 0, (2.14)tương đương với

u0(x) = f (x), u1(x) = λ

Z x 0K(x, t)u0(t)dt,

u2(x) = λ

Z x 0K(x, t)u1(t)dt, u3(x) = λ

Z x 0K(x, t)u2(t)dt, (2.15)

và tương tự vậy với các thành phần khác

Trong công thức (2.15), các thành phần u0(x), u1(x), u2(x), u3(x), hoàntoàn xác định Nghiệmu(x) của phương trình tích phân Volterra (2.2) cho dướidạng chuỗi

Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình tích phân Volterrađược minh họa bởi các ví dụ sau

Ví dụ 2.4 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích

phân Volterra sau

u(x) = 6x − 3x2 +

Z x 0

Ta chú ý rằng f (x) = 6x − 3x2, λ = 1, K(x, t) = 1 Nhắc lại rằng nghiệmu(x)được giả sử là có dạng chuỗi cho trong (2.11) Thế chuỗi khai triển (2.11)vào cả hai vế của (2.16) cho ta

∞

X

n=0

un(t)dt,hay tương đương

u0(x) + u1(x) + u2(x) + = 6x − 3x2 +

Z x 0[u0(t) + u1(t) + u2(t) + ]dt

Ta đồng nhất thành phần thứ không bởi tất cả các số hạng mà không bao gồmdưới dấu tích phân Do đó ta thu được quan hệ truy hồi sau

u0(x) = 6x − 3x2,

uk+1(x) =

Z x 0

uk(t)dt, k ≥ 0,

Do đó

u0(x) = 6x − 3x2,

u1(x) =

Z x 0

u0(t)dt =

Z x 0(6t − 3t2)dt = 3x2 − x3,

u2(x) =

Z x 0

u1(t)dt =

Z x 0

(3t2 − t3)dt = x3 − 1

4x

4,

u3(x) =

Z x 0

u2(t)dt =

Z x 0

Ta thấy sự xuất hiện của các hệ số giống nhau nhưng trái dấu Các số hạng nàyđược gọi là các "số hạng nhiễu âm" Triệt tiêu các hệ số giống nhau có dấu tráinhau thu được nghiệm toàn phần

u(x) = 6x

Ví dụ 2.5 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích

phân Volterra sau

u(x) = 1 + x +

Z x 0

∞

X

n=0(t − x)un(t)dt,hay tương đương

u0(x) + u1(x) + u2(x) + = 1 + x +

Z x 0(t − x)[u0(t) + u1(t) + u2(t) + ]dt.Thực hiện như trước ta thu được quan hệ truy hồi sau

u0(x) = 1 + x,

uk+1(x) =

Z x 0(t − x)uk(t)dt, k ≥ 0,cho ta

u0(x) = 1 + x,

u1(x) =

Z x 0(t − x)u0(t)dt =

Z x 0

(t − x)(1 + x)dt = −1

2!x

2 − 13!x

3,

u2(x) =

Z x 0

(t − x)u1(t)dt = 1

2!

Z x 0

(t − x)t2dt = 1

4!x

4+ 15!x5

tương tự dùng nghiệm dạng chuỗi được cho bởi

4+ 15!x

5+ ,

= (1 − 1

2!x

2 + 14!x

4 − ) + (x − 1

3!x

3 + 15!x

5 − ),

và dạng quen thuộc là

u(x) = cos x + sin x,thu được bằng cách dùng khai triển Taylor

Ví dụ 2.6 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích

phân Volterra sau

u(x) = 1 + x −

Z x 0

∞

X

n=0(t − x)un(t)dt,hay tương đương

u0(x) + u1(x) + u2(x) + = 1 + x −

Z x 0(t − x)[u0(t) + u1(t) + ]dt.Điều này chỉ ra quan hệ truy hồi sau

u0(x) = 1 + x,

uk+1(x) = −

Z x 0(t − x)uk(t)dt, k ≥ 0,hay cho ta

u0(x) = 1 + x,

u1(x) = −

Z x 0

(t − x)u0(t)dt = 1

2!x

2 + 13!x

3,

u2(x) = −

Z x 0

(t − x)u1(t)dt = 1

4!x

4+ 15!x

5,

cứ làm như vậy Nghiệm dạng chuỗi được cho bởi

u(x) = 1 + x + 1

2!x

2 + 13!x

3 + 14!x

5 + ,

và dạng quen thuộc là

u(x) = ex,thu được bằng cách dùng khai triển Taylor

Ví dụ 2.7 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích

phân Volterra sau

u(x) = 1 + 2

Z x 0

tu0(t)dt = x2,

u2(x) = 2

Z x 0

tu2(t)dt = x

6

6 ,

Nghiệm dạng chuỗi được cho bởi

Ví dụ 2.8 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích

phân Volterra sau

u(x) = x − 2

3x

3 − 2

Z x 0

uk+1(x) = −2

Z x 0

u(x) = x − x2

Ví dụ 2.9 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích

phân Volterra sau

u(x) = 3 + 1

4

Z x 0

2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích

Như đã trình bày ở phần trước, phương pháp khai triển Adomian biểu diễnnghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn các thành phần Các thành phần uj, j ≥ 0 cóthể được tính dễ dàng nếu số hạng không thuần nhất f (x) trong phương trìnhtích phân Volterra

u(x) = f (x) + λ

Z x 0

là một đa thức Tuy nhiên, nếu hàmf (x) là tích của hai hay nhiều các đa thức,các hàm lượng giác, các hàm hyperbolic, và các hàm khác, thì việc xác định cácthành phầnuj, j ≥ 0trở lên phức tạp và gặp nhiều khó khăn Phương pháp biến

đổi phân tích sẽ giảm nhẹ các bước tính toán và hơn nữa còn tăng tốc độ hội tụcủa chuỗi Phương pháp biến đổi phân tích được áp dụng với tất cả các phươngtrình tích phân.

Sau đây chúng ta sẽ trình bày phương pháp biến đổi phân tích

Để đưa ra mô tả ngắn ngọn phương pháp biến đổi phân tích, ta nhắc lạiphương pháp khai triển Adomian với việc dùng quan hệ truy hồi

u0(x) = f (x),

uk+1 = λ

Z x 0

và dễ dàng hơn Trong nhiều trường hợp, hàmf (x) có thể được biểu thị thànhtổng của hai hàmf1(x) vàf2(x) Hay

Từ (2.26), chúng ta thay đổi công thức truy hồi (2.24) Để giảm thiểu tính toán,

ta đồng nhất thành phần thứ không u0(x) với f1(x) hoặc f2(x) Phần còn lạicủa f (x) có thể thêm vào thành phần u1(x) hoặc các số hạng khác Nói cáchkhác, phương pháp biến đổi phân tích có dạng

u0(x) = f1(x),

u1(x) = f2(x) + λ

Z x 0

uk+1 = λ

Z x 0K(x, t)uk(t)dt, k ≥ 1

Phương pháp biến đổi phân tích sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau.

Ví dụ 2.10 Giải phương trình tích phân Volterra dùng phương pháp biến đổi

phân tích

u(x) = cos x − x(1 − esin x) − x

Z x 0

esin tu(t)dt (2.28)Đầu tiên, ta táchf (x)cho bởi

f (x) = cos x − x(1 − esin x),thành hai phần là

esin tu0(t)dt = 0,

uk+1 = −x

Z x 0K(x, t)uk(t)dt = 0, k ≥ 1

Thu được mỗi thành phần củauj, j ≥ 1bằng không Dẫn tới nghiệm toàn phầncho bởi

esec tu(t)dt, 0 ≤ x ≤ π

2. (2.29)Thực hiện như trước, ta táchf (x) thành hai phần

f1(x) = cos x, f2(x) = sin x

Tiếp theo ta dùng công thức truy hồi biến đổi (2.27) được

u0(x) = f1(x) = cos x,

u1(x) = sin x −

Z x 0

u0(t)dt = 0,

uk+1 = −

Z x 0K(x, t)uk(t)dt = 0, k ≥ 1

Thu được mỗi thành phần củauj, j ≥ 1bằng không Dẫn tới nghiệm

f (x) = 1 + sin x + x + x2 − x cos x,thành hai phần, hai số hạng đầu tiên và ba số hạng tiếp theo ta có

f1(x) = 1 + sin x, f2(x) = x + x2 − x cos x,Tiếp theo chúng ta dùng công thức truy hồi biến đổi (2.27) được

u0(x) = 1 + sin x,

u1(x) = x + x2 − x cos x − x

Z x 0

u0(t)dt = 0,

uk+1 = −x

Z x 0K(x, t)uk(t)dt = 0, k ≥ 1

Thu được mỗi thành phần củauj, j ≥ 1bằng không Nghiệm toàn phần là

u(x) = 1 + sin x

Ví dụ 2.13 Giải phương trình tích phân Volterra bằng cách dùng phương pháp

biến đổi phân tích

u(x) = 1 + x + x2 + 1

2x

3 + cosh x + x sinh x − x

Z x 0u(t)dt (2.31)

Hàmf (x)gồm sáu số hạng Bằng phép thử, ta táchf (x) cho bởi

u0(t)dt = 0,

uk+1 = −x

Z x 0K(x, t)uk(t)dt = 0, k ≥ 1

Kết quả nghiệm được cho bởi

u(x) = 1 + x2 + cosh x

2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm

Các số hạng nhiễu âm được định nghĩa là các số hạng giống nhau nhưng tráidấu, xuất hiện giữa các thành phầnu0(x)và u1(x) Các số hạng nhiễu âm khác

có thể xuất hiện giữa các thành phần khác Như đã nói ở trên, các số hạng giốngnhau nhưng trái dấu có thể tồn tại ở một số phương trình và có thể không xuấthiện ở các phương trình khác Bằng việc triệt tiêu các số hạng nhiễu âm giữa

u0(x) và u1(x), u1(x) với các số hạng xa hơn, các số hạng không thể triệt tiêu

còn lại củau0(x)cho ta nghiệm toàn phần của phương trình tích phân Sự xuấthiện của các số hạng nhiễu âm giữa u0(x) và u1(x) không phải lúc nào cũng

đủ để thu được nghiệm toàn phần bằng việc triệt tiêu các số hạng nhiễu âm đó

Do đó cần phải chỉ ra rằng các số hạng không thể triệt tiêu củau0(x) thỏa mãnphương trình tích phân đã cho Hiện tượng số hạng nhiễu âm sẽ được minh họabởi các ví dụ sau

Ví dụ 2.14 Giải phương trình tích phân Volterra bằng cách sử dụng hiện tượng

số hạng nhiễu âm

u(x) = 6x + 3x2 −

Z x 0

Theo phương pháp Adomian ta thu được quan hệ truy hồi

u0(x) = 6x + 3x2; uk+1(x) = −

Z x 0

uk(t)dt, k ≥ 0

Điều này cho ta

u0(x) = 6x + 3x2; u1(x) = −

Z x 0

u0(t)dt = −3x2 − x3.Các số hạng nhiễu âm ±x2 xuất hiện trong u0(x) và u1(x) Triệt tiêu số hạngnày từ thành phần thứ khôngu0(x) nhận được nghiệm toàn phần

u(x) = 6xthỏa mãn phương trình tích phân Ta có thể chọnu0(x) = 6x

Ví dụ 2.15 Giải phương trình tích phân Volterra bằng cách sử dụng hiện tượng

số hạng nhiễu âm

u(x) = −2 + x2 + sin x + 2 cos x −

Z x 0(x − t)2u(t)dt (2.33)

Từ phương pháp Adomian ta được quan hệ truy hồi

u0(x) = −2 + x2 + sin x + 2 cos x;

uk+1(x) = −

Z x 0(x − t)2u(t)dt, k ≥ 0

Điều này cho ta

u0(x) = −2 + x2 + sin x + 2 cos x,

u1(x) = −3

8

Z x 0

u(x) = sin xthỏa mãn phương trình tích phân Chú ý rằng các số hạng khác củau1(x) triệttiêu trong giới hạn với các số hạng khác của các thành phần khác

Ví dụ 2.16 Giải phương trình tích phân Volterra bằng cách sử dụng hiện tượng

u(x) = sin2x

thỏa mãn phương trình tích phân.

Ví dụ 2.17 Chỉ ra nghiệm toàn phần của phương trình tích phân Volterra

u(x) = −1 + x + 1

2x

2+ 2ex−

Z x 0

Hàm này không thỏa mãn phương trình tích phân Điều này cho ta thấy rằng các

số hạng không triệt tiêu củau0(x) không phải lúc nào cũng cho ta nghiệm toànphần và do đó việc sắp xếp lại là cần thiết Nghiệm toàn phần được cho bởi

2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp, còn gọi là phương pháp lặp Picard là phươngpháp được sử dụng để giải bài toán giá trị ban đầu và phương trình tích phân