Tính toán dao động của tấm trên nền

Với những công trình thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm, tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên bề mặt của cống, tác dụng của gió, động đất… Tính chất tải trọng độ

Trang 1

MỤC LỤC

DANH MỤC BẢNG BIỂU

DANH MỤC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN 4

1.1 Mục đích, tầm quan trọng, các vấn đề cơ bản của tính toán dao động của tấm trên nền 4

1.2 Lý thuyết tấm và lý thuyết nền (mô hình nền) 5

1.2.1 Lý thuy ết tấm 5

1.2.2 Lý thuy ết nền 12

1.2.3 Lý thuy ết tấm trên nền 18

1.3 Bài toán dao động 30

1.3.1 Khái ni ệm và phân loại bài toán dao động 30

1.3.2 Các bài toán dao động 33

1.3.3 Ph ương pháp phần tử hữu hạn 44

CHƯƠNG II: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM TRÊN NỀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 47

2.1 Phương pháp phân tử hữu hạn trong tính toán kết cấu 47

2.1.1 Tính k ết cấu theo mô hình tương thích 49

2.1.2 Tính kết cấu chịu tải trọng động 53

2.2 Tính kết cấu tấm trên nền chịu tác dụng của tải trọng động 53

2.3 Phần mềm Sap 2000 – tính kết cấu theo phương pháp PTHH 54

2.3.1 Xác định tần số dao động riêng bằng Sap 2000 54

2.3.2 Trình t ự phân tích kết cấu chịu tải trọng động bằng Sap2000 54

2.5 Tính toán dao động của tấm trên nền bằng phần mềm sap2000 56

Trang 2

ĐỘNG ĐẾN CÔNG TRÌNH TRẠM BƠM ĐỒNG KỴ VÀ TRẠM BƠM

LÀNG VÕ 58

3.1 Giới thiệu công trình trạm bơm Đồng kỵ và trạm bơm làng Võ 58

3.1.1 Gi ới thiệu trạm bơm Đồng kỵ và làng Võ 58

3.1.2 Đặc điểm địa chất tỉnh Bắc Ninh 58

3.1.3 Đặc điểm kết cấu trạm bơm làng Võ và Trạm bơm Đồng Kỵ 60

3.2 Mô hình hóa bài toán và các số liệu đầu vào 61

3.2.1 Mô hình bài toán 61

3.2.2 Các điều kiện biên của bài toán: 62

3.3 Tính toán dao động của trạm bơm Làng Võ và trạm bơm Đồng Kỵ 62

3.3.1 Tính toán dao động cho hai trạm bơm 62

3.3.2 T ấn số dao động tự do 67

3.3.3 Dao động cưỡng bức của tấm dưới tác dụng của lực kích thích 69

3.4 Phân tích ảnh hưởng củ các yếu tố đến sự làm việc của kết cấu 72

3.4.1 Phân tích s ự ảnh hường của hệ số nền đến tần số dao động riêng c ủa tấm 72

3.4.2 Phân tích s ự ảnh hưởng của kích thước đến tần số dao động riêng c ủa tấm 73

3.4.3 Phân tích s ự ảnh hưởng của hình dạng tấm đến tần số dao động riêng c ủa tấm 79

3.4.4 Phân tích s ự ảnh hưởng của tương quan độ cứng của tấm dao động riêng 84

3.5 Tổng hợp các kết quả tính toán, phân tích mối liên hệ giữa các thông số ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm 87

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

Trang 3

Bảng 1.1: Hệ số nền ko 14

Bảng 1.2: Giá trị của các hằng số đàn hồi của nền tạo bởi các vật liệu khác nhau 27

Bảng 3.1: Bảng chu kỳ và tần số dao động riêng của trạm bơm Làng Võ 67

Bảng 3.2: Kết quả chu kỳ và tần số dao động – TH3 72

Trang 4

Hình 1.1: Mô hình tấm 5

Hình 1.2: Sơ đồ mạng lưới sai phân 8

Hình 1.3: Mô hình nền 13

Hình 1.4: Mô hình nền Winkler 13

Hình 1.5: Quy luật phân bố hệ số nền 17

Hình 1.6: Tấm chữ nhật trên nền đàn hồi 20

Hình 1.7: Mô hình tính độ võng của tấm chữ nhật chịu tải trọng ngang 23

Hình 1.8: Mô hình tính của tấm chữ nhật chịu tải cách đều nhau 26

Hình 2.1 Sơ đồ giải bài toán kết cấu theo phương pháp PTHH 52

Hình 2.2 Định nghĩa tải trọng 55

Hình 2.3 Định nghĩa hàm lực kích thích 55

Hình 2.4 Định nghĩa tải trọng lực kích thích 56

Hình 3.1: Cắt ngang tổ máy trạm bơm làng Võ 60

Hình 3.2: Mặt bằng trạm bơm làng Võ 60

Hình 3.3: Cắt ngang tổ máy trạm bơm Đồng Kỵ 61

Hình 3.4: Mặt bằng trạm bơm Đồng Kỵ 61

Hình 3.5: Mô hình hóa tấm trong Sap2000 63

Hình 3.6: Bảng thuộc tính vật liệu 63

Hình 3.7: Bảng thuộc tính mặt cắt 64

Hình 3.8: Bảng định nghĩa tải trọng 64

Hình 3.9: Bảng định nghĩa hàm tải trọng động 65

Hình 3.10: Bảng định nghĩa tải trọng động 65

Hình 3.11: Bảng gán liên kết cho đối tượng 66

Hình 3.12: Bảng gán giá trị tải trọng động 66

Hình 3.13 Dạng dao động thứ nhất của sàn trạm bơm làng Võ 67

68

Hình 3.14 Dạng dao động thứ hai của sàn trạm bơm làng Võ 68

68

Hình 3.15 Dạng dao động thứ ba của sàn trạm bơm làng Võ 68

Hình 3.16 Dạng dao động thứ tư của sàn trạm bơm làng Võ 69

Trang 5

Hình 3.18: Mô men uốn M11 của tấm móng trạm bơm làng Đồng Kỵ khi

chưa xử lý nền 70 71 Hình 3.19: Mô men uốn M11 của sàn trạm bơm làng Đồng Kỵ khi đã xử lý 71 Hình 3.20: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ số nền và tần số dao động riêng 73Hình 3.21: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ chiều dài một cạnh hình vuông của

tấm và tần số dao động riêng 76Hình 3.22: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hệ chiều dày của tấm và tần số dao động riêng 78Hình 3.23: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa kích thước của tấm và tần số dao động riêng 80Hình 3.24: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa hình dạng của tấm và tần số dao động riêng 83 Hình 3.25: Đồ thị thể hiện quan hệ giữa độ cứng của tấm và tần số dao động riêng 87

Trang 6

M Ở ĐẦU

1 Tính c ấp thiết của đề tài:

Bài toán dao động công trình rất hay gặp trong xây dựng và đã được nghiên cứu qua rất nhiều công trình khoa học về mặt lý thuyết cũng như bằng

thực nghiệm Đặc biệt việc nghiên cứu càng trở nên quan trọng dao động công trình ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của công trình, tuổi thọ của công trình, sức khỏe của người làm việc và sử dụng của công trình đó

Với những công trình thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm, tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên bề mặt của cống, tác dụng

của gió, động đất… Tính chất tải trọng động nói chung và tải trọng dao động nói riêng tác dụng lên CTLT thường rất lớn và liên tục trong thời gian dài gây

ra những bất lợi cho công trình như làm tăng nội lực, ứng suất, biến dạng rất

lớn và gây hiện tượng mỏi làm giảm tuổi thọ Để hạn chế ảnh hưởng của dao động đến công trình có rất nhiều phương pháp, ví dụ như: lắp thêm các thiết

bị chống rung, thay đổi độ cứng các liên kết, xử lý điều chỉnh thiết bị động

cơ… Tuy nhiên độ ổn định của nền ảnh hưởng đến sự làm việc của công trình đặt trên nó Thực tế đã xẩy ra rất nhiều các hư hỏng; sụt lở các công trình thủy

lợi mà nguyên nhân chủ yếu là do kết cấu nền móng yếu… Vì vậy các công trình xây dựng trên các nền đất yếu cần phải xử lý để đảm bảo hệ số nền đủ

lớn để giữ cho nó làm việc bình thường dưới tác dụng của tải trọng động

Xuất phát từ thực tế đó luận văn tiến hành đi sâu nghiên cứu, tính toán dao động của tấm trên nền trong công trình thủy lợi, trong đó nghiên cứu tính toán

với các hệ số nền khác nhau Từ đó áp dụng vào các công trình thủy lợi

thực tế của nước ta

Hiện nay có nhiều phương pháp tính toán dao động của tấm trên nền, trong đó có xét sự làm việc đồng thời giữa đất nền và hệ kết cấu công trình

bằng phương pháp phần tử hữu hạn với việc sử dụng kết hợp cùng một số

phần mềm chuyên dụng như SAP2000, Plaxis; Geo slope… cho ta kết quả

Trang 7

chính xác với các bài toán phức tạp với nhiều dạng dao động phức tạp Qua

những kiến thức đã học trong chương trình đào tạo cao học, tác giả đưa ra

hướng nghiên cứu trong luận văn: kết hợp giữa môn học động lực học công trình; môn học phương pháp số và địa kỹ thuật xử lý nền móng để có được cái nhìn tống quát bài toán dao động của tấm trên nền đàn hồi Áp dụng kết

quả nghiên cứu cho công trình trạm bơm Đồng Kỵ và Làng Võ đề làm sáng tỏ thêm các luận cứ mà luận văn đưa ra

2 M ục đích của Đề tài:

Nghiên cứu sự làm việc của công trình khi chịu tải trọng động Ảnh

hưởng của dao động đến tải trọng tác dụng lên công trình Sự thay đổi nội lực, ứng suất, biến dạng của kết cấu khi chịu tải trọng dao động Nghiên cứu ảnh

hưởng của hệ số nền đến khả năng chịu lực của công trình khi chịu tải trọng động Nghiên cứu bài toán dao động bằng phương pháp số

3 Cách ti ếp cận và phương pháp nghiên cứu:

- Áp dụng kiến thức đã học trong chương trình đào tạo cao học để giải quyết các bài toán trong thực tế

- Vận dụng kiến thức động lực học công trình nghiên cứu các bài toán dao động

- Kết hợp với môn học phương pháp số đưa ra công cụ giải quyết bài toán dao động

- Từ kiến thức địa kỹ thuật đánh giá trạng thái, tính chất của nền đất khi

chịu tải trọng động

4 K ết quả dự kiến đạt được:

- Giới thiệu được tổng quan về bài toán dao động của tấm trên nền

- Tính toán dao động của tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Sử dụng được phần mềm SAP2000 để tính dao động của tấm trên nền

- Tính toán dao động cho công trình cụ thể là trạm bơm Đồng Kỵ và

trạm bơm Làng Võ

Trang 8

- Từ kết quả tính toán đưa ra các nhận xét, lưu ý trong việc tính toán công trình khi chịu tải trọng dao động

Trang 9

Với những công trình thủy lợi kể đến tải trong dao động như trạm bơm, tuabin nhà máy phát điện, dao động sóng nước lên bề mặt của cống, tác dụng

của gió, động đất… Tính chất tải trọng động nói chung và tải trọng dao động nói riêng tác dụng lên CTLT thường rất lớn và liên tục trong thời gian dài gây

ra những bất lợi cho công trình như làm tăng nội lực, ứng suất, biến dạng rất

lớn và gây hiện tượng mỏi làm giảm tuổi thọ Để hạn chế ảnh hưởng của dao động đến công trình có rất nhiều phương pháp, ví dụ như: lắp thêm các thiết

bị chống rung, thay đổi độ cứng các liên kết, xử lý điều chỉnh thiết bị động

cơ… Tuy nhiên độ ổn định của nền ảnh hưởng đến sự làm việc của công trình đặt trên nó Thực tế đã xẩy ra rất nhiều các hư hỏng; sụt lở các công trình thủy

lợi mà nguyên nhân chủ yếu là do kết cấu nền móng yếu… Vì vậy các công trình xây dựng trên các nền đất yếu cần phải xử lý để đảm bảo hệ số nền đủ

lớn để giữ cho nó làm việc bình thường dưới tác dụng của tải trọng động Bài toán dao động của tấm trên nền là một vấn đề phức tạp, liên quan đến nhiều yếu tố như tính chất tải trọng, hình dạng kích thước vật thể, và tính

chất của nền Cho đến nay đã có rất nhiều nghiên cứu về lý thuyết cũng như

thực nghiệm về vấn đề này Các nghiên cứu lý thuyết tập trung giải quyết các bài toán tổng quát về lý thuyết tấm và tấm trên nền đàn hồi Các bài toán dao động của tấm thường dựa trên lời giải của bài toán tĩnh bổ sung thêm hàm

thời gian Các nghiên cứu thực nghiệm đi sâu nghiên cứu các bài toán cụ thể,

Trang 10

trong những trường hợp cụ thể về tính chất tải trọng điều kiện nền và hình

dạng của tấm Do đó rất khó có thể khái quát thành một quy luật, lời giải tổng quát

Trong lĩnh vực công trình thủy lợi nói riêng mặc dù các bài toán dao động của tấm trên nền rất hay gặp trên thực tế Nhưng các nghiên cứu về vấn

đề này vẫn còn rất ít Các tiêu chuẩn quy phạm phần lớn đều chưa đề cập đến

vấn đề này Những điều đò đòi hỏi phải cần nhiều thêm các nghiên cứu về dao động của tấm trên nền trong các công trình thủy lợi tại thời điểm hiện nay

1.2 Lý thuy ết tấm và lý thuyết nền (mô hình nền)

1.2.1 Lý thuyết tấm [3]

Tấm là vật thể có một chiều nhỏ hơn rất nhiều so với 2 chiều còn lại

Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai đáy Bề dày h là chiều cao hình

lăng trụ

Hình 1.1: Mô hình tấm

Có thể phân ra các loại bài toán tấm sau:

+ Phân loại theo tải trọng tác động:

Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi khi các tải trọng nằm trong mặt

phẳng trung bình, gồm bài toán ứng suất phẳng (tấm tường, đĩa mỏng) và bài toán biến dạng phẳng (tường chắn, vỏ hầm, ống dầy )

Bài toán uốn tấm khi tải trọng có phương vuông góc mặt trung bình Thí

dụ bài toán các bản sàn, vách thân và đáy tầu

Bài toán gồm cả hai loại tải trọng trên: trong phạm vi tuyến tính (biến

dạng bé) có thể sử dụng nguyên lý cộng tác dụng tách riêng hai bài toán,

ến (biến dạng lớn) phải xét đồng thời

Trang 11

+ Phân loại theo chiều dày tấm:

, ứng suất theo phương bề dầy của tấm là nhỏ hơn

rất nhiều so với ứng suất theo hai phương còn lại và có thể bỏ qua trong tính toán (bỏ qua các ứng suất σzz so với σxx , σyy) Tuỳ thuộc tính chất làm việc

của tấm khi chịu tải trọng ngang và tải trọng trong mặt trung bình, có thể chia

tấm mỏng ra làm các loại khác nhau:

T ấm mỏng cứng: khi chịu tác động của tải trọng ngang mặt trung bình

của tấm chỉ chịu uốn, thay đổi độ cong, không chịu kéo hoặc nén Biến dạng

của tấm là bé

T ấm mềm: khi chịu tải trọng ngangmặt trung bình không chỉ thay đổi độ

cong, chịu uốn, mà còn cả biến dạng màng Biến dạng của tấm là lớn

T ấm tuyệt đối mềm, màng mỏng: tấm không có khả năng chịu uốn, chỉ

tồn tại các ứng lực kéo

+ Phân loại theo lĩnh vực nghiên cứu

Tĩnh học (tính toán ứng suất biến dạng khi chịu tải trọng không kể lực quán tính của các khối lượng vật chất)

Động lực (phản ứng của tấm khi chịu các tải trọng có kể lực quán tính

của các khối lượng vật chất, dao động tự do)

Ổn định (khả năng bảo toàn trạng thái phẳng khi chịu các lực nằm trong

mặt phẳng trung bình)

a Các gi ả thiết của lý thuyết tấm mỏng, biến dạng bé

Chuyển vị và biến dạng của tấm là bé Bỏ qua chuyển vị u, v của mặt

trung bình (không có biến dạng trong mặt trung bình)

Pháp tuyến thẳng và vuông góc mặt trung bình (giả thuyết Kirchoff), đoạn chiều dài nằm trong bề dầy là không thay đổi

Trang 12

Ứng suất pháp σzz theo phương vuông góc mặt trung bình là rất nhỏ so

với các ứng suất khác nên có thể bỏ qua trong tính toán

Những giả thiết này trong Lý thuyết tấm hoàn toàn tương tự với những

giả thiết trong lý thuyết uốn thanh của môn Sức bền vật liệu như là giả thiết

tiết diện phẳng Bernoulli, giả thiết thớ dọc không tác dụng tương hỗ

b Ph ương trình Sophie- Germain

Phương trình cần bằng:

0

2 2

2

= +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

p y

M y x

H x

Ứng lực Mx = -D( 2)

2 2

2

y

w x

w

∂

∂ +

∂

∂ µ

My = -D( 2)

2 2

2

x

w y

w

∂

∂ +

Thay ứng lực (1.2) vào phương trình cân bằng (1.1) ta nhận được

phương trình mang tên Sophie-Germain, là phương trình để giải của bài toán

tấm mỏng cứng:

D

p y

w y

x

w x

w w

∂

∂ +

∂

∂ +

4 2 2 4

c Ph ương trình Marcus:

Đặt mômen thu gọn M =

µ +

w x

w D

2 2

Trang 13

M w

2

(1.5)

Cấp của phương trình vi phân giảm nhưng số phương trình lại nhiều hơn

d Ph ương pháp sai phân (PPSP)

PPSP là một phương pháp số, gần đúng để giải phương trình vi phân

Nội dung là thay đạo hàm bằng tỷ số các lượng hữu hạn, do đó, thay việc giải

phương trình vi phân bằng việc giải các phương trình đại số, thay việc tìm ẩn

số dưới dạng hàm giải tích bằng việc tìm giá trị ẩn số tại một số hữu hạn các điểm

Giả thử cho hàm f(x,y) xác định trong miền S Phủ miền S bằng một

mạng lưới chữ nhật cạnh ∆x, ∆y như trên hình vẽ (2-12) ∆x, ∆y gọi là bước sai phân, chúng có thể đều nhau hoặc thay đổi Đạo hàm của f tại điểm 0 được

thay bằng các tỷ số hai lượng hữu hạn

n n n

n

x

f x

0

n n

n

y

f y

0

Tử số ∆(n)f gọi là sai phân cấp n, mẫu số ∆x, ∆y là các bước sai phân

Phương pháp sai phân trong bài toán phăng gọi là phương pháp lưới

o y xHình 1.2: Sơ đồ mạng lưới sai phân

Phương trình Sophie Germain đối với độ võng w đúng trên toàn bề mặt S

nên cũng đúng tại các nút lưới, chẳng hạn tại điểm “0” sẽ có

Phương trình viết dưới dạng sai phân khi lấy ∆x = ∆y = ∆ sẽ là

Trang 14

p w w w w w w w w w

w w w

w

4 12 11 10 9 8 7 6 5 4

3 2 1

Viết phương trình tương tự cho tất cả n nút nằm bên trong tấm, ta nhận được hệ n phương trình đại số tuyến tính chứa n ẩn số w tại các nút, một số

giá trị của w tại những nút nằm trên chu vi tấm và tại những nút nằm ngoài

cách chu vi một bước sai phân Những trị số trên và ngoài chu vi được xác định theo các điều kiện biên

e Ph ương pháp biến phân

Phiếm hàm là một đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào một hoặc nhiều hàm số cuả một hoặc nhiều biến số độc lập

Các hàm được gọi là các đối số hoặc đối số suy rộng, miền xác định của phiếm hàm là miền xác định của các đối số Phiếm hàm thường được biểu

I 1 ' 2 (1.8)

TNBDĐH của thanh chịu uốn = ∫

L

dz EJ

M I

2

) , , , ,

F I

B

A D

C

x

x x

hàm (1.8); bài toán đường trắc địa xác định đường ngắn nhất nối hai điểm A,

B n ằm trên mặt cho bởi phương trình ϕ(x, y, z) = 0 trong hệ toạ độ Descartes;

bài toán đường đoản thời của I Bernouilli: Tìm đường nối hai điểm A, B

Trang 15

không nằm trên một đường thẳng đứng sao cho điểm vật chất trượt theo

đường này từ A tới B sẽ mất thời gian ngắn nhất

f Ph ương pháp trực tiếp giải bài toán biến phân

Nội dung của các phương pháp trực tiếp là: thay thế việc giải các phương trình vi phân Euler của bài toán biến phân, ta sẽ tìm cách thiết lập trực tiếp các điều kiện cực trị của phiếm hàm khảo sát bằng cách giả thiết dạng của các hàm dừng

i y x a x

y

1

) ( )

( (1.11)

Với: a i là các hằng số tạm thời chưa xác định, y i (x) là những hàm số tự chọn

miễn là thoả mãn các điều kiện biên của bài toán (nằm trong miền xác định

của phiếm hàm) Các hàm y i (x) gọi là hàm cơ sở, hay hàm toạ độ.Thay (1.11) vào biểu thức của phiếm hàm, sau khi tích phân ta nhận được giá trị phiếm

hàm I ph ụ thuộc vào các hằng số a i, hoặc đại lượng I là một hàm của các trị số

a i Điều kiện cực trị của I được biểu diễn bởi hệ các phương trình đại số

Đây là một phương pháp để giải các phương trình vi phân Cơ sở của

phương pháp là việc sử dụng khái niệm về hàm trực giao

Các hàm trực giao: Hai hàm số u(x), v(x) là trực giao trong khoảng [a,b] nếu

0 )

Trang 16

g Nguyên lý bi ến phân trong bài toán đàn hồi

Trong Cơ học, nói chung, và trong Lý thuyết đàn hồi, nói riêng, năng

lượng của hệ là những phiếm hàm của các đối số nội lực, chuyển vị và biến

dạng Nguyên lý biến phân của lý thuyết đàn hồi là những điều kiện cực trị

của những phiếm hàm năng lượng này

Trong nguyên lý tổng quát thì trường ứng suất, biến dạng, chuyển vị

thực là trường làm phiếm hàm năng lượng toàn phần (NLTP) đạt giá trị cực

tiểu Biểu thức NLTP của cả vật thể bằng tích phân trên toàn bộ thể tích vật

thể của năng lượng toàn phần riêng (NLTP trong một đơn vị thể tích) NLTP riêng là phiếm hàm của nhiều đối số suy rộng: ứng suất, chuyển vị, biến dạng

của các biến số độc lập là các toạ độ x, y, z

Nguyên lý biến phân riêng của bài toán đàn hồi chỉ khảo sát những năng

lượng là phiếm hàm của một số các đối số (hoặc là các ứng suất hoặc là các chuyển vị, biến dạng) Phương trình Euler Ostrogradski của bài toán biến phân sẽ cho ta toàn bộ (khi dùng nguyên lý tổng quát) hoặc một phần (khi dùng nguyên lý riêng) các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi

+ Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange

Chuyển vị thực phát sinh trong vật thể là những hàm dừng của phiếm hàm thế năng toàn phần (TNTP)

E = U - A (1.13)

trong đó:

U thế năng biến dạng đàn hồi của vật thể

A công của ngoại lực

Trong bài toán tấm, khi tải trọng là lực phân bố vuông góc mặt trung bình thì công ngoại lực:

=∫∫

S

wdxdy xy p

A ( ) (1.14)

Thế năng biến dạng đàn hồi của tấm:

Trang 17

dxdy

y

w x

w y

x

w D

dxdy w

D U

S S

] )

[(

) 1 ( )

(

2 2

2 2 2 2

w x

w y

x

w w

D

S

}

2 ] )

( )[

1 ( 2 ) {(

2 2

2 2 2 2

xx; , ; , ] ,

;

; [

∫∫ (1.17) Điều kiện dừng δE = 0 là phương trình Euler-Ostrogradski dạng

, ( )

, (

2 2

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

xy yy

E y x w

E y w

E x w

F

(1.18)

D

p w

1 ( 2

2 2

w w

2 4 4 4

, 2 2

y x

w y

x

w x

w w

1 ( 2

2 2

w w

2 4 4 4

, 2 2

y x

w y

x

w y

w w

y x

w w

E y

D

p y

w y

x

w x

w

∂

∂ +

∂

∂ +

4 4

Mô hình nền là các mô hình tính toán biểu diễn các quan hệ giữa độ lún

của nền và các phản lực nền, thể hiện cơ chế làm việc (biến dạng) của nền

dưới tác dụng của ngoại lực dưới dạng các phương trình toán học

Trang 18

Hình 1.3: Mô hình nền

Để xây dựng nên các mô hình nền, chúng ta phải chấp nhận một giả thiết chung, đó là việc tính toán nền móng phải dựa trên giả thiết nền biến

dạng đàn hồi tuyến tính Để điều này chấp nhận được chúng ta phải khống

chế áp lực nền móng trong một mức nhỏ hơn Rtc (cơ học đất đã đưa ra điều

kiện Rtt<Rtc)

Có nhiều cách xây dựng quan hệ giữa độ lún S(x) và phản lực của nền p(x) khác nhau cho nên cũng có nhiều phương pháp khác nhau để tính toán, tuy nhiên hiện nay về cơ bản có 3 nhóm mô hình phổ biến:

- Mô hình nền biến dạng cục bộ (mô hình nền Winkler)

- Mô hình nửa không gian biến dạng tổng thể

- Mô hình lớp không gian biến dạng tổng thể

Ở đây chúng ta không đi sâu phân tích các mô hình mà chỉ giới thiệu mô hình của Winkler, là một mô hình đơn giản nhưng khá phù hợp với các bài toán kĩ thuật Mô hình này quan niệm nền là một hệ vô số các lò xo (các lò xo này không liên kết với nhau) Cơ chế của mô hình này được biểu diễn bằng quan hệ:

Hình 1.4: Mô hình nền Winkler P(x)= C.S(x) (1.19)

Trang 19

trong đó: + C: hệ số tỷ lệ, gọi là hệ số nền

+ S(x): độ lún

+ p(x): Phản lực nền

Xác định hệ số nền ko

Hệ số nền ko là một đặc trưng cơ học rất quan trọng của nền Với mỗi

loại nền khác nhau, hệ số nền ko phải được xác định chính xác bằng thực nghiệm hiện trường (khoan nền để lấy mẫu phân tích), hoặc có thể lấy gần

Trang 20

Với kết quả nghiên cứu thực nghiệm của Bowles, Tschebotarioff năm

1949 và của Rowe đã xác định được giá trị của hệ số nền tăng theo độ sâu Z Công thức tính hệ số nền ko như sau:

ko = As + Bs.Zn (1.20)

trong đó:

As - Hệ số phụ thuộc vào góc ma sát trong φ, lực dính C và dung trọng

của đất γ

Bs - Hệ số biến đổi theo chiều sâu

Z - Độ sâu hữu ích phía dưới đất

n - Số mũ để đưa ra ko phù hợp nhất, với giới hạn trên n = 1

Ngoài ra có thể kể thêm một số kiến nghị khác để xác định ko theo những công thức sau:

n - luôn luôn dương (không thể âm hoặc bằng không)

Theo giả thiết Winkler có thể tính Ks theo công thức gần đúng như sau:

ko =

H

q

- Hệ số an toàn, với đất rời k = 2; với đất dính k = 3

qgh - sức chịu tải giới hạn của nền đất

qgh = C.Nc + q.Nq + 0,5.γ.B.Nγ (1.24)

C - lực dính của đất

Trang 21

q - áp lực thẳng đứng do trọng lượng đất ở phía trên và phụ tải gây

(1) Biểu diễn giá trị và quy luật phân bố của hệ số nền bằng một hàm náo

đó ở Liên xô (cũ), Pháp và một số nước thuờng chọn quy luật phân bố tăng tuyến tính theo chiều sâu

ko = k.Z (1.29)

k - Hệ số tỷ lệ của hệ số nền lấy theo XNIP II.17.77 của Liên xô, nó được rút ra từ thực nghiệm, và có phạm vi biến đổi rộng

Trang 22

Một số kiến nghị khác trình bày trên Hình 1.4 Trong đó:

ko’ = 0,5.(K+ZZ *) (1.30)

Với: Z* = 2B - đối với đất dính

Z* = 4B - đối với đất rời

B – Chiều rộng của tường cừ

Hình 1.5: Quy luật phân bố hệ số nền

Cũng có thể đối với đất rời thì dùng quy luật tăng tuyến tính, đối với đất dính thì Ks = const Ngoài ra một số tác giả đề nghị giới hạn trên của ko là áp

lực bị động

(2) Thiết lập mối quan hệ giữa hệ số nền với các đặc trưng cơ học của

mô hình bán không gian biến dạng tuyến tính là E và µ

Việc xác định quy luật phân bố hệ số nền theo các hướng trên tương đối khó khăn vì phạm vi biến đổi của nó khá rộng

Công thức ko của Bowles trên cơ sở phân tích những mô hình thực

nghiệm là phù hợp hơn cả Nó xét đến những tính chất cơ lý của các loại đất

cũng như khả năng chịu tải giới hạn của nền Vì thế mà nó đang được sử dụng

rộng rãi trong tính toán dầm trên nền đàn hồi

Trang 23

Ta giả thiết rằng chuyển vị theo phương thẳng góc với mặt trung bình của nền

w n (x,y) b ằng độ võng w(x,y) của tấm: w n (x,y) = w(x,y)

Trong tính toán, nền được thay bằng mô hình giả định, quy ước mang tính

chất đặc trưng của nền thực

- N ền Winkler: Nền đàn hồi, phản lực hai chiều

Phản lực nền phân bố trên diện tích đáy của tấm, có cường độ tỷ lệ với

độ võng f(x,y) =kw(x,y), k được gọi là hệ số nền, có thứ nguyên F/L 3

Phương trình tấm trên nền Winkler

D

p w D

một tập hợp vô cùng nhiều các liên kết lò xo như nhau đặt riêng lẻ theo

phương thẳng đứng không có liên hệ với nhau)

- N ền bán không gian đàn hồi

Sử dụng nghiệm bài toán Boussinessq khi coi nền là một bán không gian

đàn hồi có hằng số đàn hồi E n , µn ta có quan hệ giữa lực và độ lún của mặt

nền tại điểm có khoảng cách d tới điểm đặt lực

d

P E z

y x w

n

n .

1 ) 0 , , (

Trang 24

2 2

2

) ( ) (

) , (

1 ) , (

ξ η

f E

y x w

ξ

η

f E

) , ( 1

w ( , ) ( , )

=

ta có hệ 2 phương trình vi tích phân đối với 2 ẩn số là độ võng và phản lực

Mô hình nền bán không gian đàn hồi có thể sử dụng khi nền đồng nhất có tính

chất gần với vật thể đàn hồi, tuy nhiên với nền đất thì việc xác định đặc trưng

C1 - hệ số nền thứ nhất, có thứ nguyên Lực/ Chiều dài 3;

C2 - hệ số nền thứ hai, có thứ nguyên Lực Chiều dài

Phương trình độ võng sẽ là: D∇4w+C1w−C2∇2w= p(x,y) (1.38)

b T ấm chữa nhật liên tục trên nền đàn hồi:

dưới của dầm chịu phản lực đàn hồi của nền và tựa vào thành thẳng đứng ngang qua

hộp Vách này trên hình vẽ được biểu diễn bằng nét đứt Khi nghiên cứu các tấm

chịu uốn loại tương tự như thế, cũng như trên, ta giả thiết cường độ phản lực của

nền đàn hồi tại một điểm nào đó tỷ lệ với độ võng ωtại điểm đó, tức là p =kω,

trong đó k là mô đun nền

Trang 25

q y y x x

ω ω

−

=

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

4 4 2 2 4 4

4

trong đó q là cường độ tải trọng ngang

Ta bắt đầu từ trường hợp được mô tả trên hình 1.5 Nếu gọi ω0 là độ võng ở

cạnh tấm dưới, còn ω là độ võng của tấm này so với mặt phẳng chứa các cạnh, thì

cường độ phản lực nền tại một điểm nào đó được biểu thị bằng tích k(ω0 - ω) và ta

viết phương trình (1.39) dưới dạng sau:

∆∆ ω = ( ω0 − ω )

D

k

(1.40)

Chọn trục tọa độ như hình vẽ, và giả sử cạnh tấm tựa tự do song song với trục

y, còn hai cạnh kia bị ngàm, ta có điều kiện biên:

0 ,

0 )

(

, 0 2 2 ,

0 )

(

2 2 2

Trang 26

α π α

π α π π

ω

D

k m

m

x m D

k

m m m

sin

4

5 , 3 , 1

4

4 4

Chuỗi thứ nhất ở vế phải là nghiệm riêng của phương trình (1.40), đấy là độ

phương trình thuần nhất :

0

= +

4 4 2

2 2

Y m Y

α

π α

eβm y γm e−βm ycos γm y, eβm ysin γm y, e−βm ysin γm y, (1.49)

Đồng thời ta lại có thể viết chúng dưới dạng sau:

,

y

chβm γm shβm ycos γm y, chβm ysin γm y, shβm ysin γm y, (1.50)

của y Bởi vậy, nếu dùng nghiệm (1.50), ta được:

y y

sh B y y

ch A

4 sin

m

m m

m m m

A D

k m

m D

k x m

γ β γ

β

αππ

ω

απ

Trang 27

Biểu thức này thỏa mãn điều kiện biên (1.41) Để thỏa mãn điều kiện (1.42),

đúng:

2 2

cos 2

0 2

sin 2 2

cos 2

1 4

4

4 4 0

b b

ch B A

b b

sh B A

b b

sh B b b

ch A D

k a

m m D

k

m m

m m m m m m

m m m m

m m

m m m

m

γ β β γ

γ β

γ

β π

π ω

+

− +

= +

Thay trị số Am và Bm vào phương trình (1.52), ta được độ võng cần tìm của

tấm Cũng xuất phát từ phương trình (1.39) ta có thể giải được bài toán về tấm chữ

nhật tựa tự do trên toàn bộ chu vi Dùng lời giải Naviê, độ võng của tấm sẽ được

biểu thị bằng chuỗi:

b

y m a

x m A

m n

mn

π π

x m a

q

m n mn

π π

sin sin

x m kA

k p

m n

mn

π π

n a

m D

=

2 2 2

2 4

m ab

x m

k b

n a

m D

b

m a

m ab

P

m m

π π

π

πη πξ

sin sin

4

2 2 2

2 4

Trang 28

Khi đã biết độ võng của tấm dưới tác dụng của một lực tập trung, bằng

phương trình chồng chất, ta có thể tính được độ võng do tải trọng ngang có dạng bất

kỳ Chẳng hạn ta xét

Hình 1.7: Mô hình tính độ võng của tấm chữ nhật chịu tải trọng ngang

Trường hợp tải trọng phân bố đều, cướng độ q Thay tích qdξdη vào vị trí của P

trong biểu thức (1.59) rối lấy tích phân theo cân từ 0 đến b, ta được:

=

5 , 3 ,

1 1 , 3 , 5 , 2

2 2 2

2 4 2

sin sin

16

k b

n a

m D

b

y m a

x m q

π

π π

π

Nếu k tiến tới không, thì độ võng sẽ tiến tới giải Navie đã cho đối với độ võng của

tấm tựa tự do chịu tải trọng phân bố đều

chịu tải trọng P đặt cách đều nhau trên trục x

Chọn trục tọa độ như hình vẽ và vì không có tải trọng ngang liên tục nên ta

α

π ω

cos 2

2

2 0

y y

e ak

ω

λ

(1.62)

Là độ võng của một dải có chiều rộng đơn vị và vô hạn song song với trục y

chịu lực P/a đặt tại điểm y=0 Các số hạng còn lại của chuỗi phải thỏa mãn yêu cầu đối xứng Theo yêu cầu này, tại những điểm đặt tải trọng, cũng như tại những điểm

ở giữa chúng, tiếp tuyến với mặt võng x phải có độ dốc bằng không, nghĩa là tiếp

tuyến nằm ngang

Trang 29

Các nghiệm riêng (1.49) của các hàm Ymđược lấy sao cho các nghiệm này tới

tới không khi các giá trị y tiến tới vô cùng Khi ấy

m m y m m

A B

0 A m x e y m m y m m y

m m

απω

Để biểu thị hằng số A’m theo tải trọng P, ta xét lực cắt Qγ tại mặt cắt vuông

các điểm, trừ những điểm đặt lực P, tại đó nó phải có hợp lực –P/2 Khi nghiên cứu

sự phân bố của lực cắt tương tự ta có thể biểu thị lực cắt này bằng chuỗi:

α

π α

x m P

a

P Q

m

x m

β γ β ω

A D a

P y

x y D

m

m m

2 )

6 , 4 , 2 2

2 2

) 1 (

2

m m m m

m

aD

P A

γ β λ

γ λ

( cos

* ) 1 (

6 , 4 ,

2 2

ak

P

m m m m y

λ ω

+

− +

=

(1.70)

Trang 30

Tất nhiên, ở điểm đặt tải trọng P sẽ có độ võng lớn nhất và giá trị số của nó được

xác định bằng cách thay x=a/2, y=0 vào biểu thức (w) (1.70) và ta được:

+ +

=

6 , 4 ,

2 2

max

1 2

m

ak

P u

k

P

µ λ

γ

λ π

λ

Trường hợp đặc biệt, chỉ duy nhất một lực tập trung P tác động lên tấm vô hạn,

cũng có thể tìm ra độ võng từ công thức (1.71), nếu trong đó đặt a = ∞ Lúc này số

hạng đầu trong công thức tiến tới không và nếu dùng ký hiệu (1.47) ta được:

4 4

2 4 4

6 , 4 , 2 2 max

2 1

2

m m m

u k

P

µ λ

µ µ

λ

αππ

λ ω

+

− + +

2 4 4

µ λ

µ µ

λ +

1

2 2

2

+

=

u u

du k

P P

8 1

2

1 2 2

2 2 2

max

λ π

λ

= +

Với trị số đọ võng này áp lực lớn nhất trên nền đàn hồi bằng :

D

k P P k

P

8 8

2 max max

λ λ

Ứng suất lớn nhất xuất hiện ở mặt dưới của tấm, tại vị trí đặt tải trọng Theo lý

thuyết trình bày ở trên, tại điểm này, mô men uốn có trị số lớn vô cùng, cho nên ở đây cần trở lại dùng lý thuyết tấm dày.Trên cơ sở lý thuyết này, trong phần phân

tích đã được nêu trước đây, để tính ứng suất kéo lớn nhất ở mặt dưới của tấm

max 0 , 275 ( 1 ) lg )

(

kb

Eh h

c=0, ta đi đến trường hơp lực tập trung

Trang 31

Trường hợp tiết diện đặt lực là hình vuông u x u, cần thay c bằng 0,57

Trường hợp các lực P cách đều nhau đặt trên cạnh của tấm nửa vô hạn, ta cũng áp

dụng được cách tính toán này Nếu khoảng cách a lớn, công thức cuối cùng tính ứng

suất kéo lớn nhất, tại mặt cắt dưới của tấm, ở vị trí đặt tải trọng có dạng:

= 0 , 529 ( 1 0 , 54 ) lg 0 , 71 )

3 2

max

kb

Eh h

P

Hình 1.8: Mô hình tính của tấm chữ nhật chịu tải cách đều nhau

coi lực P phân bố đều trên đó Các công thức (1.76) và (1.77)rất thuận tiện khi thiết

kế đường bê tông, hơn nữa ở trường hợp này hình tròn có bán kính c là diện tích

tiếp xúc của bánh xe với mặt đường

Tấm chịu uốn nằm trên nền đàn hồi là nửa vô hạn Cho đến đây ta vẫn giả thiết

độ lún tại một điểm xác định trên nền tỷ lệ với áp lực của tấm lên nền tại điểm đó và

như vậy, nó không phụ thuộc vào sự phân bố lực ở những vị trí khác Điều này đúng với tấm nổi trên bề mặt chất lỏng, nhưng nếu là một vật liệu dính kết thì giả

thiết này khá thô thiển đối với tình hình chịu lực thực tế của nền Nên đôi khi để đạt

mức độ chính xác cao hơn ta đưa vào các giả thiết sau:

- Nền có tính chất của một vật đàn hồi nửa vô hạn

-Tấm nằm trên nền không ma sát

-Sự tiếp giáp giữa tấm và nền vẫn tồn tại ngay cả khi có áp lực tương hỗ mang

dấu âm

đun Yâng E0 và hệ số Poat xông ν Các giá trị gần đúng bằng hằng số của các hằng

Trang 32

số phụ thuộc vào bản chất vật liệu nền được tìm thấy từ kết quả thực nghiệm động

lực học và được ghi trong bảng 63 cùng với hằng số:

0

0 0

Trong đó q(r) là tải trọng phân bố đã cho, còn p(r) là phản lực nền

Gọi K0( r,ρ,ϕ) là độ võng tại điểm(r,0) trên mặt nền, do tải trọng đơn vị theo

phương pháp tuyến đặt ở(ρ, ϕ) cũng trên nền gây ra Dạng hàm “ hàm ảnh hưởng”

K0 chỉ phụ thuộc vào bản chất của hàm Betxen, ta có thể chứng minh được phương

1 )

(

α α

α α α α α

K D

d J

K Q r

Ở đây J0 hàm Betxen cấp không Thông số phụ thuộc vào đặc trưng của nền được biểu thị bằng tích phân:

ϕ πρ

ρ 2 cos )

11,2

0,17 0,42 0,33 – 0,23 0,33 0,44 0,32 – 0,38

0,26

40 55,3 55,3 – 68,6

154 164,3

644 – 770

6,02

Trang 33

Còn s là khoảng cách giữa các điểm (r,0) và (ρ, ϕ) Sau cùng

( )ρ αρ ρ ρ

Là thông số phụ thuộc vào cường độ q(ρ) của tải trọng đối xứng tại r =ρ

Trường hợp đặc biệt, tải trọng P phân bố đều trên đường cong bán kính c, ta có:

) ( 2 )

(1.79); vì số hạng đầu của hiệu:

α α

α α α α

K D

d J Q r

ảnh hưởng K0(s) tại mọi điểm bằng không, chỉ trừ điểm s=0 là điểm đặt lực đơn vị

Theo phương trình (1.81)trị số K0(α) trong trường hợp này phải không đổi Từ

phương trình (1.80), để có được biểu thức:ω(r) = p(r) /k ứng với định nghĩa về mô đun, ta cần lấy K0(α)≈1/k Sử dụng ký hiệu đã được dùng trước đây l4=D/k, từ

phương trình (1.80) ta được biểu thức:

0

4 4

1

1 ) (

l

d J Q k

Trang 34

Thỏa mãn phương trình vi phân của tấm nổi

Đối với môi trường đẳng hướng nửa vô hạn, do kết quả của Butxinexcơ,

0 / 1

, ) (

1 ) (

0 α

α

k

K = (1.89) Trong đó k0 hằng số đàn hồi, được xác định theo (1.78) Viết gọn lại:

3 0 2 0

0

) 1 (

E D

0 1

) ( 1 ) (

l

d J Q k

α

α α α

1

λ λ π

ω

d l J D Pl

Pl d D

Pl P

2 0 2

0 0

3

2 0

9

3 1

+

Trị số này khác với 0,125Pl2/D là trị số mà Hec xơ đã thu được Trực tiếp xác định

sự phân bố áp lực từ biểu thức tổng quát (1.87)

0 1

λ λ λ π

d l J l

P p

r

(1.94)

Riêng tại nơi đặt tải trọng:

2 0 2

0 0

3 2

0

9

3 1

P l

P d l

= 0 , 366 ( 1 ) lg 0 , 226

3

Eh P

ν

Trang 35

1.3 Bài toán dao động [8]

a Khái ni ệm

Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực kết cấu xuất hiện từ

nửa thế kỷ 19, tuy nhiên thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu hơn so với bài toán động Cho đến những năm 30

của thế kỷ 20, môn động lực học công trình mới được coi như một phần riêng

biệt trong lĩnh vực cơ kết cấu

Bài toán đơn giản đầu tiên về động lực học công trình là nghiên cứu cách tính dao động cho sơ đồ kết cấu dầm, tiếp đó là các loại kết cấu thanh phức

tạp hơn như dàn vòm khung, dầm liên tục Trong thực tế ta thường phải giải quyết các bài toán về dao động công trình khi thiết kế xây dựng các công trình

như nhà máy thủy điện, trạm bơm chịu tác dụng của tải trọng động (tua bin, máy phát…)

Khi tính toán một hệ ta phải tính trên sơ đồ tính toán Muốn đưa sơ đồ

thực tế về sơ đồ tính toán ta phải đơn giản hóa một số điều kiện trong mức độ

- Dao động cưỡng bức là dao động dưới tác dụng của lực kích thích

b Phân lo ại dao động

Do tải trọng tác dụng có tính chất khác nhau đồng thời cấu tạo kết cấu

cũng có nhiều hình thức khác nhau nên dao động của công trình cũng có thể

có nhiều dạng khác nhau

Tùy theo cách quan niệm ta có thể phân loại dao động theo nhiều cách khác nhau như sau:

+ Theo biểu đồ dao động gồm

Trang 36

- Dao động hình sin

- Dao động phức tạp có chu kỳ

- Dao động có lực cản

- Dao động tăng dần

- Dao động rối loạn

+ Theo tính chất của nguyên nhân gây ra dao động gồm:

Dao động tự do (hay dao động riêng) là dao động sinh ra bởi lực kích động đột ngột hoặc bất kỳ rồi bỏ tức thời

Dao động cưỡng bức là dao động sinh ra bởi các ngoại lực tác động theo

một quy luật nào đó không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao động Các lực tác động này có thể là lực thay đổi theo chu kỳ

hoặc không theo chu kỳ, có thể là lực thay đổi đột ngột……

Tự dao động hay còn gọi là dao động tự kích thích là loại dao động xuất

hiện các lực tự do bản thân chuyển động gây ra và tắt đi khi ngừng chuyển động

Dao động ngẫu nhiên là loại dao động xuất hiện do các nguyên nhân bên ngoài tác động có tính chất ngẫu nhiên

Theo sự tồn tại hay không tồn tại các lực cản gồm:

Dao động có lực cản là dao động bị mất một số năng lượng do ảnh

hưởng của cản của môi trường dao động, do ma sát của các liên kết , do ma sát nội bộ…

Theo khả năng thay đổi của các thông số của hệ gồm:

Trang 37

Các thông số là các đại lượng liên quan đến việc biểu diễn dao động của

hệ, có thể có độ cứng Nếu các thông số của hệ không đổi trong quá trình chuyển động thì dao động được gọi là dao động không có thông số Nếu các thông số của hệ thay đổi theo thời gian với một quy luật nào đó thì dao động được gọi là dao động có thông số

c Khái ni ệm và các phương pháp tính dao động công trình

Trong dao động công trình có hai phương pháp tính cơ bản là phương pháp tĩnh và phương pháp năng lượng

Phương pháp tĩnh

Phương pháp này dựa trên cơ sở nhưng nguyên tắc cân bằng tĩnh lực trong đó bổ sung thêm các lực quán tính viết theo nguyên lý Ddalambe Như

vậy các phương trình cân bằng tĩnh học sẽ trở thành các phương trình cân

bằng động Đối với hệ phẳng, các phương trình cân bằng động có dạng:

2

dt

t X d m X

(1.97)

∑ −∑ 2( )= 0

2 )

dt

t d J

n m u

: lần lượt là thành phần theo phương x và

phương y của lực quán tính của khối lượng m khi chuyển động

dm J

m

u m

)

( ρ

: là mô men quán tính của khối lượng m đối với trục u;ρu là

khoảng cách từ phân tố khối lượng dm đến trục u

Trang 38

Đối với bài toán không gian, ta có thể thiết lập các điều kiện cân bằng theo nguyên tắc tương tự như trên, nhưng khi đó có 6 phương trình cân bằng động

+ Phương pháp năng lượng

Phương pháp năng lượng được xây dựng trên cơ sở áp dụng định luật

bảo toàn năng lượng; tổng thế năng và động năng của hệ trong quá trình dao động là không đổi

1.3.2 Các bài toán dao động

Các các bài toán dao động cơ bản sau:

+ Dao động hệ một bậc tự do

+ Dao động hệ có n bậc tự do

+ Dao động hệ có vô hạn bậc tự do

a Dao động hệ một bậc tự do

Phương trình vi phân dao động ngang tổng quát của hệ một bậc tự do ta có:

M&y&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = P(t) (1.99)

Phương trình (1.99) là phương trình vi phân dao động tổng quát của hệ đàn hồi tuyến tính một bậc tự do chịu lực cản nhớt tuyến tính Trong đó, C là

hệ số cản có thứ nguyên là [ lực x thời gian/ chiều dài ]; K là độ cứng của hệ,

là giá trị lực đặt tĩnh tại khối lượng làm cho khối lượng dịch chuyển một

Trang 39

Phương trình (1.99) cũng có thể được thiết lập dựa vào biểu thức chuyển

vị Thật vậy, nếu ta ký hiệu δ là chuyển động đơn vị theo phương chuyển động tại nơi đặt khối lượng – còn gọi là độ mềm của hệ một bậc tự do – thì

dịch chuyển y(t) của khối lượng tại thời điểm t do tất cả các lực tác dụng trên

hệ gây ra, theo nguyên lý cộng tác dụng là:

y(t) = δ P(t) - δ M&y&(t) - δ Cy&(t) (1.100) Hay M&y&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = P(t) (1.101) trong đó K =δ1

Được gọi là độ cứng của hệ

Giải phương trình vi phân (1.99) sẽ xác định được phương trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của khối lượng Bài toán một bậc tự do trên được giải

với các trường hợp sau:

Đây là trường hợp lý tưởng hóa, vì trong thực tế lực cản luôn tồn tại

Phương trình vi phân dao động lúc này có dạng đơn giản cho C và P(t) trong (1.99) bằng không)

My&& (t) + Ky(t) = 0 (1.102) Hay là y&& (t) + ω 2y(t) = 0 (1.103) trong đó ω 2 =

y

g

) (

Giải phương trình vi phân (1.102) ta có : y(t) = Asin(ωt + β)

Trang 40

(trong đó tại thời điểm tại thời điểm bắt đầu dao động (t=0), giả sử hệ có

chuyển vị ban đầu y0 và vận tốc ban đầu v0)

Điều này có nghĩa là dao động của hệ một bậc tự do, khi không có lực

cản là dao động điều hòa

A1 ( α2−ω2) + 2 −( α2−ω2) (1.106) Chuyển động của khối lượng, theo (1.99), phụ thuộc vào hệ số α

- Dao động cưỡng bức chịu lức kích thích điều hòa P(t) =P 0 sinrt

Phương trình vi phân tổng quát trong trường hợp này, theo (1.99) sẽ là:

M&y&(t) + Cy&(t) + Ky(t) = P0 sinrt (1.107)

Hay &y&(t) + 2α y&(t) +ω 2y(t) = 

trong đó P0 và r lần lượt là biên độ và tần số của lực kích thích; Còn αvà ω

như đã ký hiệu trước đây Đây là PTVP bậc hai tuyến tính chuẩn có vế phải là

một hàm điều hòa Nghiệm tổng quát của (1.108) bằng nghiệm tổng quát của

PTVP thuần nhất ký hiệu là y0(t), cộng với một nghiệm riêng ký hiệu y1(t)

y(t) = y0(t) + y1(t) (1.109)

c Dao động của hệ có nhiều bậc tự do:

Phương trình vi phân dao động ngang tổng quát của hệ có n bậc tự do,

cản nhớt tuyến tính, dưới dạng ma trận sau:

[M]{ y(t)}+ [C]{y. (t)}+ [K]{y(t)}= {P (t)} (1.110)

trong đó:

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	1,54 MB

Tính toán dao động của tấm trên nền

Các bài toán dao độ ng