Giải hệ phương trình bằng cách sử dụng bất đẳng thức

Trong chương này, tác giả sẽ nhắc lại và chứng minh hai bất đẳng thức kinh điển là bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Bunhia–Cauchy – Schwart B – C – S, cùng với đó là các bất đẳng th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục Lục

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 5

1.1 Bất đẳng thức AM – GM 5

1.2 Bất đẳng thức Bunhia –Cauchy – Schwart (B – C – S) 6

1.3 Bất đẳng thức Minkowski 7

1.4 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 7

1.5 Các bổ đề bất đẳng thức thường dùng 7

CHƯƠNG 2 SÁNG TÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 10

CHƯƠNG 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 33

Phần 1 Bài tập ví dụ 33

Phần 2 Bài tập tự luyện Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined LỜI CẢM ƠN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

LỜI NÓI ĐẦU

Hệ phương trình là một phân môn quan trọng trong chương trình Toán học ở các trường trung học phổ thông Các bài giải hệ phương trình rất hay xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng ( trước đây) và nay là kì thi trung họcphổ thông Quốc gia

Bên cạnh đó, bất đẳng thức cũng là một lĩnh vực xuất hiện lâu đời và đóng góp nhiều vào trong sự phát triển của Toán học, từ toán học sơ cấp tới toán học cao cấp Trong chương trình Toán học của mọi quốc gia trên thế giới trong đó có Việt Nam bất đẳng thức là một phần không thể thiếu được

Ta có thể tìm thấy rất nhiều các tài liệu liên quan tới giải hệ phương trình bằng các phương pháp như: biến đổi đại số, thế ẩn, thế lượng giác, dùng hàm số,… nhưng còn rất

ít các tài liệu sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức để giải hệ phương trình Chính vì

thế, tác giả đã chọn đề tài “Giải hệ phương trình bằng cách sử dụng bất đẳng thức”

Luận văn gồm ba chương :

Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả sẽ nhắc lại và chứng minh

hai bất đẳng thức kinh điển là bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Bunhia–Cauchy – Schwart (B – C – S), cùng với đó là các bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và một số bổ đề bất đẳng thức hay được sử dụng trong chương trình Trung học phổ thông mà tác giả đề cập tới trong các chương tiếp theo của luận văn

Chương 2 Sử dụng bất đẳng thức để sáng tác hệ phương trình Trong chương này tác giả

sẽ sử dụng các bất đẳng thức đã được nhắc lại ở chương 1 để sáng tác các bài toán hệ phương trình Mục đích chương này giúp người đọc dần được làm quen với ý tưởng của người ra đề qua đó giúp việc giải hệ bằng cách sử dụng bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn

Chương 3 Giải hệ phương trình bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cấu trúc chương này

gồm hai phần là bài tập ví dụ và bài tập tự luyện Chương này sẽ đi phân tích để tìm ra hướng giải bài toán một cách tự nhiên, cuối bài sẽ là nhận xét từ tác giả Cần nhấn mạnh rằng, có thể giải hệ phương trình bằng các phương pháp khác nhưng sẽcho lời giải không

“đẹp” được như phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Nguyễn Văn Sơn

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n x x1 2 xn  2

Với n 1, bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với n n 1, tức là với mọi x x1, 2, , xn

      

1, 2, , x ,n n 1

x x x  ta có n 1  x1 x2  x  n x n1 Nếu tất cả các số đều bằng  thì bất đẳng thức cần chứng minh đúng Xét các trường hợp còn lại, dễ thấy tồn tại ít nhất một số nhỏ hơn  và một số lớn hơn  Không mất tính tổng quát ta giả sử xn  và x n1  Khi đó ta có xnx n1  0  3

Bất đẳng thức Bunhia –Cauchy – Schwart (B – C – S)

Cho hai dãy số thực a a1, 2, ,a và n b1, b , , b2 n Khi đó ta có

b    với quy ước nếu một số b nào đó i

i 1, 2, ,n bằng không thì a tương ứng cũng bằng không i

+ Với các số thực a b, , c, x, y, zta luôn có  2  2 2 2 2 2 2

ax by cz   a  b c x y z

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c

x  y  z + Ngoài ra ta còn hay sử dụng B – C – S dạng phân số với các số dương x y, và với các

 Dấu bằng xảy ra khi aybx

Bất đẳng thức trên còn được gọi là B – C – S dạng Engel

Bất đẳng thức Minkowski

Với các số thực a b, , x, y ta luôn có 2 2 2 2   2 2

a b  x y  ax  by Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi aybx

Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

i.1  a a a Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a 0

i.2 a  b  a b Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a b  0

i.3 a b  a  b Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khia b .b  0

Các bổ đề bất đẳng thức thường dùng

i.1a2 b2 2 ;ab a b, R Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khiab

Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với 2

i.3Với số tự nhiên n và thực dương a ta luôn có  

11





Dấu bằng xảy ra khi ab hoặc ab 1 Bất đẳng thức đổi chiều khi ab 1

Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với

Dấu bằng xảy ta khi ab hoặc ab 1

i.5Với các số dương a b, ta luôn có 2

2

.2

Nên 2

1

a abb ab ab

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab

i.6 Với các số dương a b, ta luôn có

2

11

a b b

ab a

Bất đẳng thức trên còn gọi là bất đẳng thức giả B – C – S

Chứng minh Bất đẳng thức trên tương đương

CHƯƠNG 2.SÁNG TÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ

DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Phần lớn trong những người học toán thường có thói quen khi gặp một bài toán là cố gắng nhanh chóng tìm ra lời giải rồi vui mừng sau khi kết thúc xong bài toán Và lại tiếp tục tìm một bài toán khác để giải Vậy có ai đặt ra câu hỏi các bài tập đó ở đâu mà ra ? Ai

là người nghĩ ra nó ? Nghĩ như thế nào ? Để trả lời câu hỏi này, tác giả sẽ trình bày một

số quy trình để sáng tác một bài toán giải hệ phương bằng cách sử dụng kiến thức về bất đẳng thức

Bất đẳng thức 1.Với  x 0theo bất đẳng thức AM – GM ta luôn có x 1 2

x

  Nhưng nếu ta thay đổi điều kiện của bài toán ta sẽ có một bài bất đẳng thức mới

Ví dụ như với x 2 ta sẽ được bất đẳng thức chặt hơn là 1 5

2

x x

  Dấu bằng xảy ra khi

sẽ luôn có điều kiện của biểu thức trong căn Ví dụ như phương trìnha b 2 2 Vậy

ta có bài toán sau :

Bài toán 1 Giải hệ phương trình

    Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2;b2

Thay a2;b2 vào phương trình thứ hai của hệ thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    a b;  2; 2

Để nâng dần bài toán khó lên trước tiên ta chỉ cần thế a b, bằng các biểu thức phức tạp

Theo Bài toán 1 ta có nghiệm    a b;  2;2

Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm là x y;    3; 4

Để tránh trường hợp ở phương trình thứ nhất của hệ có sự đối xứng của hai biến, ta có thể chọn các bất đẳng thức dạng này không đối xứng với hai biến Ví dụ như với a2;b2

x  y  xy  Vậy ta có bài toán

Bài toán 3 Giải hệ phương trình  

    Dấu bằng xảy ra khi a2;b2

Thay a2;b2 vào phương trình thứ hai của hệ phương trình thấy thỏa mãn Nên hệ phương trình trên nhận nghiệm là    a b;  2; 2 Suy ra x2; y4

Vậy hệ ban đầu đã cho có nghiệm là    x y;  2; 4

Để tiếp tục nâng dần độ khó dạng bài toánta có thể “ chèn” thêm bất đẳng thức

Minkowski vào Bài toán 1như sau

a b  c d  ac  bd với mọi số thực a b c, , , d

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi adbc

Để sử dụng được bất đẳng thức này ta chọn như sau a x; b y; c 1; d 1

ban đầu của hai biến x y, thỏa mãn x2; y2 Khi đó ta có được bất đẳng thức

2 2

Bài toán 4 Giải hệ phương trình

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2; y2

Thay vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm là    x y;  2; 2

Qua các ví dụ ở trên tác giả hi vọng người đọc sẽ hiểu ra phần nào đó về ý tưởng của tác giả khi sáng tác một bài giải hệ bằng cách sử dụng bất đẳng thức Ở các bài toán trên thì công việc đó sẽ bao gồm hai công đoạn: công đoạn đầulà lựa chọn bất đẳng thức cần sử dụng, ở bước này ta cần chọn được nghiệm rõ ràng của bài toán ( nếu không thì phải thiết lập được mối quan hệ giữa các nghiệm) Sau đó là ta thiết lập một phương trình thứ hai chứa điều kiện và thỏa mãn nghiệm mà ta đã lựa chọn ban đầu Bây giờ, ta sẽ thử đi sử

dụng một bài bất đẳng thức khác và thử xây dựng giống ý tưởng của bài toán bên trên

Bất đẳng thức 2.Với số thực không âm a và số nguyên dương n , ta luôn có

1 1

2

xy  xy  x y y x  Bây giờ thiết lập phương trình thứ

hai ta cần phải đặt điều kiện cho các biến, ở đây ta chỉ cần biếnx2y không âm và nhận nghiệm đã chọn ban đầu là được Việc này hoàn toàn đơn giản.Vậy ta có bài toán sau

Bài toán 5 Giải hệ phương trình      1

22

Suy ra ta có

1

12

11

2

x xy

Thử vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm   1

Bài toán 6 Giải hệ phương trình   2  2 2 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm    x; y  2;1

Giờ ta sẽ xây dựng theo cách mới như sau: Giả sử bây giờ ta xây dựng được bất đẳng thức x2y2 2xyvà kết hợp với bất đẳng thức trên là 2 2

2

xy

xy x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Giờ ta sẽ đi lập hệ phương trình sao cho khi giải sẽ thu được phương trình

hai vế của hai phương trình trong hệ Ta sẽ lập hai phương trình của hệ, (có thể) là khi cộng đại số vào thì chúng triệt tiêu cho nhau Đặc biệt chú ý khi lựa chọn phương trình cần phải nhận nghiệm x y 1 nếu không sẽ làm phương trình vô nghiệm Vậy ta có bài toán

Bài toán 7 Giải hệ phương trình

x y  xy Để đẳng thức xảy ra thì x y 1.Thử lại, thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y;  1;1

Giờ ta vẫn tiếp tục sử dụng Bấtđẳng thức 3, ta sẽ lần lượt có được hai bất đẳng thức là

2a 1 avà 3

3b 2 b Suy ra ta có được 2a 1 33b  2 a b

Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1

Ta sẽ sáng tác một bài hệ phương trình từ bất đẳng thức trên Trước tiên ta vẫn chọn hai

như sau3 x y 4 x y 1 Vậy ta có bài toán sau

Bài toán 8 Giải hệ phương trình   3

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b 1

Suy ra 2a 1 33b   2 a b VP Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 1

x y vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   1 1

2 2

   Thay đổi một chút về cách sáng tác hệ phương trình bằng cách sử dụng Bất đẳng thức 3,

muốn lập một hệ gồm hai phương trình mà phải sử dụng cả hai phương trình chứ không phải là đơn thuần giải từng phương trình,ta có thể làm theo cách hướng người giảiphải cộng đại số cả hai vế của hai phương trình đó

Trước tiên, ta vẫn chọn hai nghiệm trước, giả sử x2;y1 Với các nghiệm vừa chọn ta lập được các cặp số 2

5y x y   1 1;3y x 1;x  1 1mục đích để thỏa mãn dấu bằng khi

Giải Điều kiện 5y x y   2 1 0,3y x 0,x1

Cộng hai vế hai phương trình ta được 5y x y2   1 3y x 2 x  1 3y 1  *

Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;    2;1

Lưu ý : Ý tưởng của bài toán trên có thể bị đổ vỡ nếu trong quá trình cân bằng ta lại để

xuất hiện một phương trình của hệ có denta chính phương khi biến đổi tương đương bằng

cách bình phương hai vế

Tiếp theo ta sẽ đi xây dựng bài toán giải hệ phương trình theo hướng mới là khi sử dụng bất đẳng thức thì ta sẽ được tìm ra mối liên hệ giữa các nghiệm Ví dụ muốn có được mối liên hệxy khi giải phương trình, khi đó ta có được các cặp đại lượng bằng nhau là

3 y 2xyy  x 5y  4x bằng giá trị 4 y (giá trị này có được là khi ta thay điều 2

kiện x y vào) Giờ muốn có một hệ ta chỉ cần lập thêm một phương trình nữa, phương trình này giúp ta tính ra chính xác nghiệm Giờ ta chọn nghiệm trước, ví dụ chọn nghiệm

5

x , ta lấy phương trìnhx311x2  36 18 4 274 x54 Vậy ta có được bài toán sau

Bài toán 10 Giải hệ phương trình 3  2 2 2 2

3 y 2xyy  x 5y  4x  4y Theo bất đẳng thức AM – GM ta có các đánh giá sau

Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;    5;5

Để kết thúc việc sử dụng Bất đẳng thức 3 để sáng tác hệ phương trình, tác giả sẽ làm khó

bài toán dạng này như sau:trước tiên ta vẫn chọn trước một mối liên hệ giữa hai biến tùy thích, ví dụ là 2

3

y  x Trong trường hợp ta chọn hai cặp số mà không đưa cùng về một mối liên hệ ban đầu thì với hai mối liên hệ đó ta sẽ tìm luôn ra được nghiệm của phương trình đó Đó là điều mà ta đã làm từ trước nên ta sẽ không sử dụng ý tưởng đó.Ta sẽ biến đổi để hai biểu thức này đều phải biểu thị mối liên hệ 2

3

y  x Để làm được điều này ta cần phải tìm các cặp số bằng nhau, chả hạn như cặp số

ta chọn trước nghiệm y2 Ta có thể dễ dàng lập được phương trình chứa căn thức thỏa

y   y  y   Vậy ta có bài toán sau

Bài toán 11 Giải hệ phương trình    2  2

3 4 3

Giải Điều kiện    2 

4 1 0, 0, 2

x y   x y  Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

Cho a 1 và b 1ta có được bất đẳng thức  2 2  2

2 x y  xy Dấu bằng xảy ra khi xy

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy

Muốn sáng tác một hệ phương trình bằng cách sử dụng Bất đẳng thức 5 ta cho xuất hiện

phương trình căn thức bậc lẻ như 3 3

x    x x

Ta có bài toán sau

Bài toán 12 Giải hệ phương trình

Giải Điều kiện x y 0

Xét phương trình thứ nhất của hệ, ta lần lượt có các đánh giá sau

Dấu bằng của hai bất đẳng thức xảy ra khi x y 0

Thay xy vào phương trình thứ hai ta được

   y 3 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y;    3;3

Quay trở lại Bất đẳng thức 5 ta muốn sáng tác một bài giải hệ phương trình sử dụng bất

đẳng thức trên ta sẽ chọn đánh giá kiểu đơn lẻ từng biến chứ không đi đánh giá cả hai biến như trên, ta làm như sau

Trước tiên tachọn trước hai nghiệm là x1;y1 Khi đósử dụng Bất đẳng thức 5 ta có

x x  và 1 2 5 12 5

y  y 

có bài toán giải hệ phương trình

Bài toán 13 Giải hệ phương trình

Thay x1;y1 vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm    x y;  1;1

Cũng với hai nghiệm làx1;y1 và bất đẳng thức 2

     Với hai phương trình này ta lập được hệ

phương trình thỏa mãn các điều kiện đã chọn ban đầu là

ta có bài toán sau

Bài toán 14 Giải hệ phương trình

Để đẳng thức  * xảy ra khi và chỉ khi x1;y1.Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y;  1;1

Cũng với ý tưởng sử dụng Bất đẳng thức 5để sáng tạo bài toán và dùng cách giải cho hệ

này là phương pháp cộng đại số Ta chọn lấy hai nghiệm đẹp trước, ví dụ là x2;y 2

Để áp dụng được bất đẳng thức này cần phải lưu ý tới điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức , nên ta ưu tiên chọn sử dụng các cặp số bằng nhau khi x 2, y 2, ta tìm

Khi đó ta có bài toán giải hệ phương trình sau

Giải Điều kiện 1 2 y x 2 0,1 2 x y 2 0,x2  y2 2 0,y2   x2 2 0

Cộng vế với vế của hai phương trình ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;   2; 2  .

Bất đẳng thức 6.Ta có A B  AB Dấu "  " xảy ra khi A B  0

Để sáng tác bài giải hệ phương trình trước tiên ta đi chọn hai nghiệm trước, ví dụ là

Để ta có sử dụng bất đẳng thức x  y 2 2 dùng trong đánh giá phương trình trên ta cần phải lập phương trình thứ hai của hệ cần phải có điểu kiện x y 0 Ta có thể nghĩ tới việc cho biểu thức x y 0 bằng cách gán xybằng một hàm căn thức Ta cũng có thể nghĩ tới dạng phương trình thứ hai như xy f x y   ;  0 với f x y ;  0 Do đó ta có thể lập phương trình 3 3  

Bài toán 16 Giải hệ phương trình