Một vài ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRẦN THÀNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG TỐI ƯU HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN T

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TRẦN THÀNH

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH

TRONG TỐI ƯU HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TRẦN THÀNH

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH

TRONG TỐI ƯU HÓA

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng, nội dung của bản luận văn này do chính tôi đã tổng hợp từ các tài liệu được nêu trong phần tài liệu tham khảo Luận văn không phải là bản sao chép lại của bất kỳ tài liệu nào khác

Thái Ngyên, tháng 2 năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm -

Đại học Thái nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS TSKH Lê Dũng Mưu

Trước tiên, Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người

hướng dẫn khoa học của mình, GS TSKH Lê Dũng Mưu, người đã đặt bài

toán và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi Đồng thời

tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học -

Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tôi

để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn

trong lớp Cao học Toán K21, đã chia sẻ động viên và giúp đỡ tôi trong quá

trình học tập và làm luận văn

Tôi cũng vô cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình

đã cảm thông chia sẻ cùng tôi trong hơn một năm qua để tôi có thể học tập và

hoàn thành luận văn này

Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn nên bản luận văn sẽ khó

tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các

thầy cô và bạn bè, tôi xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

BẢNG KÝ HIỆU iv

DANH MỤC CÁC HÌNH v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn luận văn 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Bố cục của luận văn 1

Chương 1 ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI 2

1.1 Tập lồi 2

1.2 Định lý tách các tập lồi 17

1.3 Hàm lồi 22

Chương 2 ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU 25

2.1 Bài toán tối ưu 25

2.2 Ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa 28

KẾT LUẬN 41

a Véc-tơ hàng (chuyển vị của a)

<x,y> x y Tích vô hướng cả hai véc-tơ x và y; T

x Chuẩn Euclide của x;

[x,y] Đoạn thẳng đóng nối x và y;

(x,y) Đoạn thẳng mở nối x và y;

C Bao đóng của C;

coC Bao lồi của C;

coneC Nón sinh bởi tập C;

aff(C) Bao affine của tập C;

riC Tập hợp các điểm trong tương đối của C;

V(C) Tập các điểm cực biên (đỉnh) của C;

coC Bao lồi đóng của C;

reC Nón lùi xa (nón các hướng vô hạn) của C;

intC Tập hợp các điểm trong của C;

dimC Thứ nguyên (số chiều) của tập C;

-N C( )x Nón pháp tuyến trong của C tại x ;

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1: Hình chiếu vuông góc 13

Hình 1.2: Tách chặt nhưng không tách mạnh 18

Hình 1.3: Tách nhưng không tách mạnh 21

Hình 1.4: Bổ đề Farkas 22

Hình 1.5: Đồ thị hàm lồi (C  ) 23

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn luận văn

Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng, nghiên cứu lý thuyết và các

thuật toán giải bài toán cực trị Ngành toán học này đã và đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng Các bài toán tối ưu rất phong phú và đa dạng, chúng có nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn

Trong tối ưu hóa thì các Định lý tách đóng một vai trò hết sức quan trọng, nhờ Định lý tách mà ta có thể chứng minh được định lý Karush-Kuhn-Tucker, định lý Kuhn-Tucker đây là hai định lý quan trọng dùng để giải quyết các bài toán trong tối ưu Ngoài ra các Định lý tách còn có nhiều ứng dụng khác trong Giải tích toán học Chính vì thế mà tôi chọn đề tài “ Một vài ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là trình bày một vài ứng dụng của Định lý tách trong tối ưu hóa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:

Tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản của Giải tích lồi, một số tính chất của tập lồi, hàm lồi và các phép toán liên quan

Trình bày các Định lý tách và các ứng dụng của các Định lý này trong tối

ưu hóa

4 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: Tổng hợp các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, các tính chất của chúng, phát biểu và chứng minh Định lý tách

Chương 2: Trình bày một vài ứng dụng của Định lý tách trong tối ưu hóa, đó là sử dụng Định lý tách để chứng minh Định lý Karush-Kuhn-Tucker,

Định lý Kuhn-Tucker, Định lý đối ngẫu Lagrange Ngoài ra xét đến áp dụng Định lý tách trong kỹ thuật vô hướng hóa của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Chương 1

ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

Định lý tách hai tập lồi là một định lý trung tâm của Giải tích lồi, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là trong tối ưu hóa Trong chương này chúng ta sẽ trình bầy một số lý thuyết cơ bản của Giải tích lồi, đó là các khái niệm về tập lồi cùng các tính chất của chúng, phát biểu và chứng minh các Định lý tách, Bổ đề Farkas Các kết quả ở chương này được

a-phin của các điểm này

Ví dụ

1 Trong  thì các đa giác lồi, hình tròn, hình elíp…là các tập lồi 2

2 Trong  thì các đa diện, hình cầu,… là các tập lồi 3

1.1.2 Định nghĩa Nửa không gian là một tập hợp có dạng

là nửa không gian mở

Như vậy một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này là đóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng đó

Mệnh đề dưới đây cho thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con

1.1.4 Định nghĩa Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của một

số hữu hạn các nửa không gian đóng

Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho như sau:

nên tập nghiệm của một hệ hữu hạn các phương trình và bất phương trình cũng

là một tập lồi đa diện

1.1.5 Định nghĩa Một tập C được gọi là nón nếu

là một nón nhưng không lồi

1.1.6 Định nghĩa Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi

Một nón lồi được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Khi

đó ta nói O là đỉnh của nón Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói

nó là nón lồi đa diện Một ví dụ điển hình của nón lồi đa diện, thường được sử

dụng, là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính có dạng:

Ngược lại, giả sử có (i) và (ii) Từ (i) suy ra ngay C là một nón Giả sử

,

x y C và 0,1 Từ (i) suy ra x C và (1 ) y C Theo (ii) có

x y C Vậy C là một nón lồi 

Một số nón điển hình Dưới đây ta sẽ xét một số nón lồi điển hình

thường được sử dụng trong giải tích lồi

Tập lồi có một đặc trưng là: một tia xuất phát từ một điểm thuộc nó, thì hoặc nằm hẳn trong tập này hoặc một khi đã ra khỏi tập này thì sẽ không “trở lại”

Cho C là một tập lồi trong  Mặt khác véc-tơ n y 0 được gọi là hướng

lùi xa của C, nếu một tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều

nằm trọn trong C, tức là y là hướng lùi xa khi và chỉ khi

Một hướng lùi xa còn được gọi là hướng vô hạn Ta sẽ ký hiệu tập hợp

của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là reC Tập hợp này được

gọi là nón lùi xa của C Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn, thì reC chỉ gồm

duy nhất điểm gốc Chú ý rằng, nếu C là một tập lồi đóng, thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x C, chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x C Cụ thể

với một điểm x nào đó thuộc C

Chứng minh Giả sử x y C, 0, với x C Thế thì với mọi u C và mọi 0 do C lồi ta có

: ( ) (1 )

Cho , do C đóng, ta thấyu y C, với mọi u C và 0 

Chú ý: Trong C không đóng mệnh đề trên không đúng

Ví dụ Trong  lấy 2

Hiển nhiên véc-tơ y (0,1) có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm

0 x C theo hướng này đều nằm trọn trong C, nếu xuất phát từ x 0 thì điều này không đúng

Cho C n là một tập lồi và x C Ký hiệu

C

Hiển nhiên 0 N C( )x Dùng định nghĩa dễ kiểm tra được rằng N C( )x là

một nón lồi đóng Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x Tập

Dễ thấy rằng đây cũng là một nón lồi đóng chứa gốc

Cho C là một tập lồi khác rỗng và x C Ta nói d  n là một hướng

Tập tất cả các hướng chấp nhận được là một nón lồi (dễ kiểm tra) chứa gốc Ta

sẽ ký hiệu nón này là F x và sẽ gọi là nón các hướng chấp nhận được hoặc C( )

nói ngắn gọn là nón chấp nhận được Nón này có thể không đóng, tuy nhiên

nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón khác gọi là nón tiếp xúc của C tại x Ký

hiệu nón này là ( )T x , thì C F x C( ) T x C( ) Từ đây suy ra

Mệnh đề sau đây dễ dàng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

1.1.9 Mệnh đề Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau

Ví dụ Giả sử tập lồi C được cho bởi

Chứng minh Dễ dàng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 

1.1.11 Định nghĩa Một tập F C được gọi là một diện của tập lồi C nếu F là

tập lồi có tính chất là:

, : (1 ) ,0 1 ,

Điều này có nghĩa rằng, tập lồi F là một diện của C, nếu như khi F chứa một điểm của đoạn mở (x,y) thì F chứa toàn bộ khoảng [x,y] Do C lồi, nên bản thân C cũng là một diện của chính nó Ta sẽ nói F là một diện không tầm

thường của C nếu như F và F C

Điểm cực biên là diện có thứ nguyên bằng 0 Cạnh là diện có thứ nguyên

bằng 1 Tia cực biên là một diện nửa đường thẳng Như vậy tia cực biên là một cạnh vô hạn Hướng cực biên là hướng của tia cực biên Ta nói hướng d và h là

khác nhau nếu không thể biểu diễn được d h với 0 Dễ thấy rằng d là hướng cực biên của một tập lồi, nó không thể biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính dương của hai hướng khác thuộc tập lồi đó

Từ định nghĩa này suy ngay ra rằng 0

x C là một điểm cực biên của C khi và chỉ khi không tồn tại hai điểm x y, C sao cho x0 x (1 )y với

0 1 Ngoài ra một điểm hoặc một tia cực biên của một diện của một tập lồi C cũng là một điểm hoặc một tia cực biên của C Tập hợp các điểm cực biên của C thường được ký hiệu là V(C) Khi C là một tập lồi đa diện, thì điểm cực biên còn được gọi là đỉnh

1.1.12 Định nghĩa Siêu phẳng trong không gian  là một tập hợp các nđiểm có dạng

Như vậy siêu phẳng tựa của C tại 0

x là siêu phẳng đi qua x0 và để tập C

về một phía Nửa không gian T

a x trong định nghĩa trên, được gọi là nửa

x

1.1.14 Mệnh đề Nếu H là một siêu phẳng tựa của C thì H C là một diện

Chứng minh Gọi F C H Do C và H lồi, nên F lồi Giả sử siêu phẳng tựa

H có dạng

H x t x và t x, x C

Để chứng tỏ F là một diện của C, hãy cho a b, C x, a (1 )b với

mọi 0 1 và giả sử x F Khi đó

Như vậy a b, F và do F lồi, nên cả đoạn [ , ] a b F Do đó F là một diện

Việc chứng minh rằng F không tầm thường khi và chỉ khi H riC ,

1.1.15 Định lý (Krein-Milman) Mọi tập lồi đóng khác rỗng, không chứa

đường thẳng đều có điểm cực biên

Chứng minh Giả sử C là tập lồi nói trong định lý Ta chứng minh bằng

qui nạp theo số chiều Hiển nhiên định lý đúng khi số chiều của C là 0 Giả

x C bất kỳ Xét đường thẳng : x u với u 0 Do C đóng và không chứa đường thẳng, nên cắt C tại một điểm cực biên của C, giả sử là z Gọi H

là siêu phẳng tựa của H tại z Khi đó theo mệnh đề trên, F H C là một diện của C và dimF < dimC Hiển nhiên F là tập lồi, đóng và không chứa đường thẳng Theo giả thiết qui nạp, F có điểm cực biên Vì F là một diện của

C, nên điểm cực biên của F cũng là điểm cực biên của C 

1.1.16 Định lý (Biểu diễn tập lồi) Nếu C là một tập lồi đóng không chứa trọn

Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nạp theo số chiều Hiển nhiên định lý

đúng khi số chiều của C là 0 và 1 Giả sử x C bất kỳ xét tia : y x u, 0 với u 0 sao cho cắt biên của C tại một điểm v

Vậy v x u Ta có hai trường hợp sau:

a) Trường hợp u U C( ) Do C lồi, đóng và không chứa đường thẳng,

nên tia này phải cắt C tại ít nhất một điểm v nào đó thuộc biên của C Khi đó tồn tại một siêu phẳng tựa H của C tại v và tập F: H C là một diện của C

và dimF < dimC Hiển nhiên F lồi, đóng và cũng không chứa đường thẳng Theo giả thiết qui nạp ta có:

Do u U F( ) và x v u với 0, nên từ đây suy ra

1.1.17 Định nghĩa Cho C (không nhất thiết lồi) và y là một véc-tơ bất kỳ, đặt

Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu p C( )y của y trên C sẽ là

nghiệm của bài toán tối ưu

2

1min

Như thường lệ, sẽ ký hiệu p C( )y , hoặc đơn giản hơn là p y( ) nếu

không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C Chú ý rằng, nếu C , thì d C( )y hữu

Hình 1.1: Hình chiếu vuông góc 1.1.18 Mệnh đề Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó:

a) p C( )y ,

y  , hình chiếu của p C( )y của y trên C luôn tồn tại và duy nhất

Chứng minh (i) Giả sử có a) Lấy x C và (0,1) Đặt

Do ,x C và C lồi, nên x C Hơn nữa do là hình chiếu của y, nên

(infimum), tồn tại một dãy k

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm và 1

đều là hình chiếu của y trên C, thì

Cộng hai bất đẳng thức này ta được

1.1.19 Mệnh đề Cho C là một tập lồi khác rỗng và x0 riC Khi đó tồn tại

là siêu phẳng tựa của C tại p x và tách hẳn C và ( 0) x0

Trường hợp intC , thì dimC < n Vậy C bị chứa trong một siêu phẳng

H chứa affC Gọi w là véc-tơ pháp tuyến của H Khi đó tồn tại số thực sao cho H x n wT x Do C C H, nên suy ra H là siêu phẳng tựa của

Hình 1.2: Tách chặt nhưng không tách mạnh 1.2.2 Định lý (Định lý tách 1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong  n

Định lý vừa nêu có thể suy ra ngay từ Bổ đề 1.1 dưới đây, chính là định

lý tách một tập lồi và phần tử không thuộc nó

Chứng minh định lý 1.2.2 Do C và D là lồi, nên C-D cũng lồi Hơn nữa

0 (C D), vì C D Theo bổ đề trên áp dụng với x0 0, tồn tại véc-tơ

Chú ý Chứng minh Bổ đề liên thuộc ở trên gợi ý cho việc xác định siêu phẳng

tách Theo chứng minh Mệnh đề 1.1.19, việc xác định siêu phẳng tách điểm x0

và tập C chính là việc tìm điểm chiếu của 0

x trên C Điểm này chính là nghiệm

của bài toán

2 0

Do phạm vi sử dụng rộng rãi và vai trò quan trọng của Định lý tách trong nhiều lĩnh vực của toán học, nên việc tìm phương pháp giải cho bài toán tối ưu này luôn là một đề tài rất được quan tâm Trong nhiều trường hợp riêng của tập

C, bài toán trên đã có những phương pháp giải hiệu quả Tuy nhiên trong trường hợp chung, đây vẫn là một bài toán rất khó giải

Định lý sau đây nói về việc tách mạnh hai tập lồi:

1.2.4 Định lý (Định lý tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao

tách mạnh được bởi một siêu phẳng

Cũng như ở trên, định lý tách mạnh được dễ dàng suy ra từ bổ đề sau nói

về sự tách mạnh giữa một tập lồi đóng và một điểm bên ngoài tập này