bài tập tích phân nhiều dạng ôn thi THPT Quốc Gia

tài liệu hơn 100 trang word bài tập tích phân nhiều dạng ôn thi THPT Quốc Gia tham khảo

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ SỐ 08C©u 1 :

C©u 6 :

Họ nguyên hàm F(x) của hàm số

2( ) sin

y= x x−

và y = 0, ta có

e

B.

21

2 ln 1

ln 22

y= −x

, ta có

C©u 12 :

Họ nguyên hàm F(x) của hàm số

2

1( )

0

3( 1)

2

x

F x = + x− +C B. F x( )=x2+ln |x− +1| C

A. 1

149

2 2

I = + D Đáp án khác

C©u 20 : Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi ta cho miền phẳng D giới hạn bởi các

e

V = π

D. V =π2(đvtt)

độ và đường thẳng x=2 là:

A. 32

72

52 (đvdt)

C©u 5 :

Nguyên hàm F x( )

của hàm số f x( ) =2x2+ −x3 4

thỏa mãn điều kiện F( )0 =0

Nguyên hàm của hàm số f x( ) =x3

trên ¡ là

A.

4x

x C

4xC

A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=cosx

u sin x

dv cos xdx

ìï =ïïí

quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

C©u 12 :

Giá trị của

2 2 21

C©u 15 :

Tính

5 3

dx x

thỏa mãn F1(0) =0 và F2(x) là nguyên hàm

của hàm số

C©u 19 : Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi

A. ( )2

2ln 32

x

C

++ B. 2ln8x+ +3 C C. ( )4

2ln 38

x

C

++

C©u 25 : Hình phẳng D giới hạn bởi y = 2x2 và y = 2x + 4 khi quay D xung quanh trục hoành thì thể

tích khối tròn xoay tạo thành là:

A.

V =

2885

V =

45

và trục Ox tạo thành một hình phẳng Diện

tích của hình phẳng là:

C©u 27 :

Một nguyên hàm của hàm số

2

4( )

là:

A. F x( )=12e2x+ +e x x B. 1 2

( )2

F(x) = x có nghiệm là:

quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.

22

π

B.

216

1

I =∫ −x dx

O 22 4 6 x

y=f(x) y

C©u 38 : Cho đồ thị hàm số y=f(x) trên đoạn [0;6] như hình vẽ.

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất:

12 1 8

x x

1 8

x x

+

C©u 47 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số là:

A. 71

537

C©u 49 : Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và = thì

01 x

dx I

e

tuần tự như sau:

(I) Ta viết lại

Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?

bằng:

A. −2x cos x−∫x cos xdx2 B. −x cos x2 +∫2x cos xdx

C. −x cos x2 −∫2x cos xdx D. −2x cos x+∫x cos xdx2

C©u 64 : Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số và thì

C©u 69 :

Tính

1 2

dx I

2

C©u 70 :

Bằng cách đổi biến số x = 2sin t

thì tích phân

1

4

dx x

π −

(đvdt) C. S =

12 (đvdt) D S = π (đvdt)

C©u 72 : Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x2 và y = mx

bằng

43 đơn vị diện tích ?

a

x dx

a  π + 

2 4

a  π − 

12

aπ − 

24

ta được kết quả là :

A.

4cos x

ln 22

−

∫m x x

e dx A

e

Khi đó giá trị của m là:

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ SỐ 06C©u 1 :

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết

x x

f( )=tan2

A. x+C

3

tan3

B. Đáp án khác C. Tanx-1+C D. sinxcos−x xcosx +C

C©u 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và hai tiếp tuyến tại và

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi

ln

C x

x

++ 2

ln

C x

x

++ 2

ln

C x

x 2 + 1 +

D.

ln

C x

A. (I) đúng, (II) sai B. (I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai

C©u 17 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3 , trục hoành và các đường thẳng x= -1,

C©u 18 :

Hàm số nào là nguyên hàm của f(x) = . 5

2 +

x x

:

1+

3

2 5)(

3)(x = x +

F

C©u 19 :

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết x x

x f

−+

=

9

1)

2

3

272

x x

e

e − + +

2 2

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm

0 1

x dx x

A. F x( ) là hàm chẵn B. F x( ) là hàm lẻ

x

I =−∫1 +1

83

13

C©u 39 :

Cho

4 0

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?

++

(2x+ 1)e dx a b e x = +

∫

, tích ab bằng:

C©u 44 : Tính tích phân sau:

C©u 45 :

Hàm số nào là nguyên hàm của f(x) = 1 sinx

1+

C. f x e x sin2 x

1)

−

x

e e

x f

x x

2cos1)

là hàm nào ?

C©u 53 : 1

2

01

=+

A.

ln

cot2

x C

B. − x+ x +C

3

coscos

y x

=+

:

A. − +x x 11

21

x

21

x

−

11

x x

−+

C©u 67 :

Họ nguyên hàm của

2( )= cos

Nguyên hàm của hàm số

( ) 2sin cos

f x = x+ x

là:

1+

x x

là:

A.

F(x) = ln

C x

x C

x +

F(x) = ln

C x

x( + 1 ) +

C©u 72 : Tính tích phân sau:

C©u 75 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong

và hai trục tọa độ

C©u 76 :

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết 4 3

32)

++

+

=

x x

x x

f

x x

+++

+

2

234

3

B. (2x+3)lnx2 +4x+3+C

C. x x x x +C

++

+34

32

2

D. (lnx+1+3lnx+3)+C

21

− = ++

2 11

x dx x

x x

C. ∫cosxdx=sinx+C

D. ∫sinxdx=cosx C+

f x

là nguyên hàm của hàm số nào ?

2e( )2

x

f x

x B. f x( )=e2x C. f x( )=2 ex x2 D. f x( )=x2ex2- 1C©u 2 : Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

, kí hiệu là m f( )

được tính theo công

0cos

x dx x

C©u 12 :

( 2 )4

2 d9

x x

2e dx x

∫

C©u 14 : Họ nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là:

A. tg3x + C B. −cos2x + C C. 13cos3 x C+ D. 14sin4x C+C©u 15 : ∫sin cos 2 dx x x=

A. −12cos3x+12cosx C+ B. 1cos3 1cos

x dx x

−

−

∫

A. 1

1

x C x

+ +

x C

C©u 26 :

Tính

4 2 0

và hai tiếp tuyến của

92

174 (đvdt)

C©u 29 :

Tính:

2 1

(2 1) ln

K =∫ x− xdx

A. K =3ln 2+12 B. K = 12 C. K = 3ln2 D. K =3ln 2−12C©u 30 :

x

=

+khi

2 3

A.

3 41

a a

3 4

3 1

a a

3 4

6 1

a a

3 4

61

a a

1 sin cos

ln3 3

2 ln3

3 ln3 2

y x

=

− và

=+

sin 2

1 sin

x dx x

π

=+

1

x dx x

−

++

dx I

dx I

A. 2xe x −2e x +C B. 2xe x +2e x C. 2xe x −2e x D. 2xe x +2e x+C

C©u 66 : Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A.

1 2

p

p p

A. F x( )= − +1 x2 cos 1+x2 −sin 1+x2 B. F x( )= − +1 x2 cos 1+x2 +sin 1+x2

C. F x( )= 1+x2 cos 1+x2 +sin 1+x2 D. F x( )= 1+x2 cos 1+x2 −sin 1+x2

C©u 69 : Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

A. F(x) = cos6x B F(x) = sin6x C. −1 sin 62 6 +sin 44 

2

a

x dx

a xò

có giá trị là

C©u 77 : Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

A. cos6x B. 1 12 6 sin 6x+14sin 4C.x÷ sin6x D. −1 sin 62 6 x+sin 44 x÷

11 12

B. F x = x− + x− +C

11

)1(12

)1()(

11 12

C. F (x) = x− + x− +C

10

)1(11

)1

D. F x = x− − x− +C

10

)1(11

)1()

x=−1; =2; =0; = 2 −2

là:

32

C©u 6 :

Nguyên hàm của hàm số

2cos sin x x dx

∫

bằng::

+ =

quay quanh trục Ox, có kết quả bằng:

3 πb

C©u 13 :

Tìm a thỏa mãn:

04

Hãy chọn câu khẳng định đúng trong 4 câu khẳng định sau:

A. g x'( ) sin(2= x) B. g x'( ) cos= x C. g x'( ) sin= x D. '( ) cos

∫

−

=0

3)(

chọn mệnh đề đúng

3)( D. ∫0 f x dx=a

3)(

A 1 B. 12 C Một đáp số khác D. 14

4 ln 3

dx

x x= +

và

2

y x a

a

22

a

D.

24

2 3

2

842

)252(

x x x

dx x x I

A.

b

f (x ) a

f '(x).e dx 0=

b

f (x ) a

f '(x).e dx = −1

b

f (x ) a

2 3

2 0 3

A. x+C

2tan

1

2

tan41

giá trị của

)

; 0

C©u 48 : F x( ) = +x ln 2sinx−cosx

là một nguyên hàm của:

A. 3cossinx cosxx− sinx

2cos sin2sin cos

−+

C©u 49 :

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh trục Ox, biết (H) là hình phẳng

giới hạn bởi (C):

tancos

x

e y

A. Chỉ có duy nhất một mệnh đề đúng B. Có hai mệnh đề đúng

C. Không có mệnh đề nào đúng D. Cả ba mệnh đều đều đúng

C©u 51 : Khẳng định nào sau đây là đúng:

(a) Một nguyên hàm của hàm số

3(5 3)27

e

B.

3( 1)2

e

π +

C.

3( 3)27

e

π −

D.

3( 1)3

1( ) x

C©u 57 :

Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y f (x); y 0;x a;x b= = = =

có diện tích là 1

Scòn hình phẳng tạo bởi đường cong y | f (x) |; y 0; x a;x b= = = =

có diện tích là 2

S, còn hình phẳng tạo bởi đường cong y= −f (x); y 0; x a; x b= = =

có diện tích là S3 Lựa chọn phương

F( )=( 2 + + ) −

là một nguyên hàm của hàm số

x

e x x x

dx x

f x dx=

∫

Giá trị của B là

A. 11615 B Một đáp số khác C. 14615 D. 886105

C©u 72 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

V = (đvtt) Tính giá trị của a?

C©u 9 :

Tính

1 2 2

1 2

Diện tích hình giới hạn bởi ( )P y x= +3 3

, tiếp tuyến của (P) tại x=2 và trục Oy là

C©u 12 : Nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là:

B.

22

π

C.

24

π

D.

223π

C©u 15 :

Tích phân

1 3 0

C©u 22 :

Tính tích phân

1 2 0

d12

x

x - xò

x − và F(2)=1 Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:

3 ln

C©u 24 :

x 1

d

x x = +

C©u 25 :

Cho hàm số

( )

f x và

( )

g x liên tục trên [ ]a;b

12

là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a b, bằng 1)

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. 3a b− <12 B. a+2b=13 C. a b− >2 D. a2 +b2 = 41

C©u 37 :

Họ nguyên hàm F x( )

của hàm số

( ) 3sin 6

4

2 2

( ) 3sin

4

2 2

2 2

4

2 2F( ) ot

là hàm số nào trong các hàm số sau ?

A. 3sin 3x sin x+ B. sin 4x sin 2x

A. sinx+sin3x3 +C B. 2sin 4x sin 2x+ +C

C. sin 4x sin 2x8 + 4 +C D. sin 4x sin 2x

C©u 52 :

Tính:

2 1

sin

dx I

x

f x

x x

= a.ln5+ b.ln3 thì giá trị của a và b là

C©u 59 :

Nếu

2 1

( ) 2

f x =cot x

là :

A. cot x x C− + B. −cot x x C− + C. cot x x C+ + D. tan x x C+ +

C©u 61 : Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:

A. 13sin3 x−15sin5 x C+ B. sin3x + sin5x + C

C. −13sin3x+15sin5 x C+ D sin3x− sin5x + C

C©u 63 :

Cho

1 3 0

1d

Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng

sin sin 3

là

A.

23x 6 ln 12

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi ( )P y x= 2−4x+4,y=0,x=0,x=3

Thể tích V khi quay (H) quanh trục Ox là

C. xtanx+ln cosx D. xtanx−ln sinx

Khi đó sina c a+ os2

e 1

∫x e x 12 +dx

A. e x2+1+C B.

2 1 2

6 tancos 3tan 1

4

1 3

C©u 7 :

Giả sử

d5

Tính diện tích ( )S

hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

S = π+

5 2 3

S = π+

4 2 3

S = π+

1 2 3

0

1sin cos

1 ln2 1

x dx a

C©u 19 :

Tính tích phân

1 2 0

(3 1)

6 9

x dx I

−

=+ +

∫

A. 3ln4 53 6+ B. 3ln3 5

4 6 + C. 3ln4 53 6− D. 3ln4 73 6−C©u 20 :

x − +ln +2

33

2 3

x

f x

x

= + Khi đó:

A. ∫ f x dx( ) =2ln 1( +x2)+C B. ( ) ( 2)

3ln 1

f x dx= +x +C

∫

C. ∫ f x dx( ) =4ln 1( +x2)+C D. ∫ f x dx( ) =ln 1( +x2)+C

C©u 25 : Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị (C1) và (C2) liên tục trên [a;b] thì công thức tính

diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

Tính tích phân

1 2 0

( 4)

x dx I

+

=+ +

∫

A. 5ln 2 3ln 2− B. 5ln 2 2ln 3+ C. 5ln 2 2ln 3− D. 2ln 5 2ln 3−C©u 28 :

Cho hàm f x( ) =sin 24 x

Tính diện tích ( )S

hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

a

trong đó a,b là hai số thực nào dưới đây?

A a=27; b=5 B a=24; b=6 C a=27; b=6 D a=24; b=5 C©u 35 :

Cho đồ thị hàm số y= f x( )

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

−

22

e

+

( đvdt) D.

12

0cos sinx x x

0 sin 2 x

π

=∫

: một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt t=sinx⇒ =dt cosxdx

Đổi cận:

12

2 t 2

I = ∫ t e dt=

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A Bài giải trên sai từ bước 1 B Bài giải trên sai từ bước 2

Tính diện tích hình phẳng tạo bởi các đường: Parabol( )P y x: = 2−4x+5

và 2 tiếp tuyến tại các điểmA( ) ( )1; 2 ,B 4;5

C©u 50 :

Tính

d1

x x

1- x +C D. C 1- xC©u 51 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2

x ln(x 2) y

C©u 53 : Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0 Thì thể tích vật thể tròn xoay

được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox có giá trị bằng?

π

(đvtt)

C.

56

π

(đvtt)

D.

65

π

(đvtt) C©u 54 :

Khẳng định nào sau đây sai về kết quả

2

0

1 (2x 1 sin )x dx 1

f t dt x x

t + = >

ò

thì hệ số abằng :

A. 9 B. 19 C. 5 D. 29

C©u 57 :

Biết tích phân

1 0

2

x dx x

C©u 59 :

Nguyên hàm của hàm số

4 2

2x 3

y x

− +

C©u 60 :

Biết tích phân

3 2 0

Cho hàm

2

1 sin

C©u 68 : Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 –

2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox có giá trị bằng?

3

a dx cos x

π

=

∫

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a là một số chẵn B a là số lớn hơn 5

C a là số nhỏ hơn 3 D a là một số lẻ

C©u 71 :

Cho hình phẳng ( )H

được giới hạn bởi các đường:

C©u 72 : Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Nếu w t'( ) là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số

2

(2 )( )

+ +

21

x

x+

C©u 2 :

Cho đồ thị hàm số y f x= ( )

Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:

C©u 4 : Kết quả nào sai trong các kết quả sao?

1 (1 tan )

x x

t= x

thì

1 0

Cho hình phẳng ( )H

giới hạn bởi các đường

y sin x =

; x 0=

;

y 0 =và x= π

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình ( )H

quay quanh Ox bằng

22

π

C.

24

t dt I

t dt I

t

= +

2 3 2

tdt I

tdt I

t

= +

+ +

21

+ −+

C©u 19 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y x= − x+

và hai tiếp tuyến với đồ thị

hàm số tai A(1;2) và B(4;5) có kết quả dạng

a b

khi đó: a+b bằng

−

∫

là:

x x+

∫

3 0

3

3 3 2 0

2 3

cos xdx

π

∫

, hãy chỉ ra khẳng định đúng:

F x e=

là nguyên hàm của hàm số

A.

2( ) 2 x

f x = xe B. f x e( )= 2x C.

2( )2

sin

1 2 cos

x I

+ +

∫

thành

2 1

nhận hàm số nào dưới đây là nguyên hàm?

1 sin cos

khi đó a-b bằng

C©u 59 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = -x + 4x2

và các tiếp tuyến với đồ thị

hàm số biết tiếp tuyến đi qua M(5/2;6) có kết quả dạng

a b

khi đó a-b bằng

I =∫x.e dx −

là:

C©u 63 :

Tính 1

dx x

A. 32x−2s inx+14sin 2x C+ B. 3 2sinx- sin 21

23( )

C©u 74 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y =x2-2x+2 và các tiếp tuyến bới (P) biết

tiếp tuyến đi qua A(2;-2) là:

=

1 0(1+x dx)x =0

C x xdx= − +

C x dx

( 0)

ln 1

≠ + +

= +

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

a dx b

(ax b)dx= a (ax+b)+C+

C e du

u u

C u

C u udu= − +

C u du

1 Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/ a

f[u(x)]u (x)dxò

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt t = u(x) và tính

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

b a

dx I

.

Ví dụ 8 Tính tích phân

4

3 0

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt x = u(t) và tính

Bước 3

/( ) [ ( )] ( ) ( )

2 0

p

=.

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2 0

dxI

=.

Ví dụ 4 Tính tích phân

3 1 2 0

dx I

dxI

dx I

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân

p

=.

Ví dụ 14 Tính tích phân

2 0

dxI

Biểu diễn các hàm số LG theo

tan 2

t d

.

=.

Ví dụ 18 Tính tích phân

1

2 0

0

4

4p

=

+

ò

.

p -

.

Vậy

2I3

=.

f(x)dx 0-

=ò

neáu n chaün

Trong đó

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:

10!! 2.4.6.8.10 256cos xdx

2 Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b af(x)g(x)dxò

phải tính được.

Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả.

Viết lại tích phân

và sử dụng trực tiếp công thức (2).

Ví dụ 1 Tính tích phân

1 x 0

2

ìï =ï

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.

Ví dụ 7 Tính tích phân

2 4 0

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b a

I = ò f(x) dx

, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

+

0 - 0

.

Vậy

59I2

=.

Ví dụ 10 Tính tích phân

2

2 0

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 11 Tính tích phân

2 1

I = òmax f(x), g(x) dx

và

b a

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

=.

Ví dụ 13 Tính tích phân

2

x 0

x 0 1 2 h(x) – 0 +

.

(hoặc

b af(x)dx£ 0ò

Để chứng minh

b a

A £ òf(x)dx£ B

ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được

m £ f(x) £ M

.

Bước 2 Lấy tích phân

b a

2£ ò 4+x dx£ 5

.

Ví dụ 17 Chứng minh

3 4

2 4

2 4

-.

Vậy

3 4

2 4

-.