Trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị, đồ thị bắc cầu đỉnh, đồ thị Meta. Tính liên thông, chu trình Hamilton của đồ thị Meta luân hoàn bậc 4.

toˆ`n ta.i chu tr`ınhHamilton cu’a c´ac d¯oˆ` thi.. toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong c´ac d¯oˆ` thi... toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong nh˜u.ng d¯oˆ` thi.. toˆ`n ta.i c

Trang 1

L ` O . I CAM D - OAN

Toî xin cam d¯oan r˘a`ng các keˆ´t qua’ d¯u.o c tr`ınh bày trong lua.ˆn án làhoàn toàn mó.i, chu.a tù.ng d¯u.o. c coˆng boˆ´ o’ baˆ´t k`y mo.ˆt coˆng tr`ınh khoa.ho.c cu’a ai khác

H` a No .ˆi, ng` ay th´ ang n˘ am 2005

Tra ˆ`n Minh Tu ´o.c

Trang 2

MU.C LU.C

Chu.o.ng 1 C ´ AC KIE ˆ´N TH ´ U . C CO . BA ’ N 12

1.1 D - oˆ` thi 12

1.2 D - oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh và d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn 17

1.2.1 Nh´ om ho´ an vi 17

1.2.2 C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa 19

1.3 T´ınh lie ˆn tho ˆng 22

1.4 B` ai to´ an Hamilton 25

Chu.o.ng 2 T´ INH LIE ˆ N THO ˆ NG CU’A D - O ˆ` THI META LUA ˆ N HO ` AN BA ˆ C 4 . 29 2.1 Mo.ˆt soˆ´ t´ınh chaˆ´t cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn ho`an 29

2.2 Tru.` o.ng ho..p S0 = ∅ 34

2.3 Tru.` o.ng ho..p S0 =∅ 41

Chu.o.ng 3 CHU TR` INH HAMILTON TRONG D - O ˆ` THI META LUA ˆ N HO ` AN BA ˆ C 4 . 66 3.1 Mo.ˆt soˆ´ boˆ’ d¯eˆ` 66

3.2 D - ieˆ`u kie.ˆn d¯u’ cho su toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton 73

Trang 3

DANH MU.C C´AC H`INH

1.1 Bieˆ’u dieˆ˜n d¯oˆ` thi treˆn m˘a.t ph˘a’ng 13

1.2 D- oˆ` thi con ca’m sinh G v`a d¯oˆ` thi con bao tr`um G cu’a G 14

1.3 Hai d ¯oˆ` thi d¯˘a’ng caˆ´u G v`a G 15

1.4 Ba.ˆc cu’a d¯ı’nh, ba.ˆc cu’a d¯oˆ` thi 16

1.5 V´ı du d¯oˆ` thi d¯eˆ`u 16

1.6 C´ ac d ¯oˆ` thi b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh Coxeter (G1) v`a Petersen (G2) 19

1.7 D - oˆ` thi luaˆn ho`an 20

1.8 D - oˆ` thi meta luaˆn ho`an 21

1.9 D- oˆ` thi G vó.i chu tr`ınh C và d¯u.ò.ng P cu’a nó 23

1.10 D - oˆ` thi vó.i các thành phaˆ`n cu’a nó 24

1.11 D - oˆ` thi Hamilton v`a nu.’a Hamilton 25

3.1 V´ı du minh ho.a cho D - i.nh l´y 3.7 76

Trang 4

MO ’ D-Aˆ`U .

Lua.ˆn án d¯eˆ` ca.ˆp tó.i d¯ieˆù kie.ˆn lieˆn thoˆng và su toˆ`n ta.i chu tr`ınhHamilton cu’a các d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 D- ó là mo.ˆt trong nh˜u.ngló.p d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh còn ´ıt d¯u.o c quan taˆm xem xét trong khi mo.ˆt

soˆ´ ló.p d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh khác, gaˆ`n d¯aˆy, d¯ã d¯u.o c nghieˆn cú.u nhieˆù.Lý thuyeˆ´t d¯oˆ` thi d¯ã d¯u.o c h`ınh thành tù laû và có ú.ng du.ng ro.ˆngrãi trong nhieˆù l˜ınh vu. c khoa ho.c và thu. c tieˆñ Ý tu.o.’ ng co ba’n cu’alý thuyeˆ´t d¯oˆ` thi d¯ã d¯u.o c nhieˆù nhà khoa ho.c d¯eˆ` xuaˆ´t vào nu.’a d¯aˆùtheˆ´ ky’ 18 Tieû bieˆ’u là Leonhard Euler (1707 – 1783), nhà toán ho.c

noˆ’i tieˆńg ngu.ò.i Thu.y S˜ı, khi oˆng nghieˆn cú.u bài toán “Ba’y caˆy caˆù o.’Königsberg”

D- oˆ` thi là mo.ˆt caˆú trúc toán ho.c rò.i ra.c bieˆ’u dieˆñ moˆí quan he.ˆ gi˜u.acác d¯oˆí tu.o. ng Mo.ˆt cách phi h`ınh thú.c, ta có theˆ’ h`ınh dung mo.ˆt d¯oˆ` thi.bao goˆ`m các “d¯ı’nh” và các “ca.nh”, moˆ˜i ca.nh noˆí mo.ˆt c˘a.p d¯ı’nh nào d¯ó.Nhieˆù bài toán thu. c teˆ´ có theˆ’ d¯u.o. c moˆ h`ınh hoá b˘a`ng caˆú trúc d¯oˆ` thi Ch˘a’ng ha.n, khi thieˆ´t la.ˆp tuyeˆń bay gi˜u.a các thành phoˆ´ cu’a mo.ˆt quoˆćgia th`ı d¯oˆ` thi giúp chúng ta so d¯oˆ` hoá he.ˆ thoˆńg này b˘a`ng cách dùng

moˆ˜i d¯ı’nh bieˆ’u thi mo.ˆt thành phoˆ´ còn moˆ˜i ca.nh bieˆ’u dieˆñ mo.ˆt tuyeˆńbay th˘a’ng gi˜u.a hai thành phoˆ´ tu.o.ng ú.ng; mo.ˆt v´ı du khác: khi thieˆ´t keˆ´ma.ch in cho mo.ˆt “bo” ma.ch d¯ie.ˆn tu’ , nhieˆù keˆ´t qua’ veˆ` d¯oˆ` thi ph˘a’ng s˜e.giúp ta t`ım d¯u.o. c mo.ˆt so d¯oˆ` thieˆ´t keˆ´ hie.û qua’

Nhu va.ˆy, vie.ˆc nghieˆn cú.u caˆú trúc cu’a nh˜u.ng ló.p d¯oˆ` thi khác nhaucùng vó.i các ú.ng du.ng cu’a nó là h˜u.u ´ıch D- ˘a.c bie.ˆt là trong thò.i d¯a.ingày nay, khi coˆng nghe.ˆ thoˆng tin vó.i voˆ soˆ´ quá tr`ınh xu.’ lý và truyeˆ`ntin d¯ang thaˆm nha.ˆp vào mo.i l˜ınh vu c cu’a cuo.. ˆc soˆńg th`ı vie.ˆc nghieˆn cú.unày la.i càng có ý ngh˜ıa Ngu.o c la.i, nh˜u.ng nghieˆn cú.u trong lý thuyeˆ´t

Trang 5

d¯oˆ` thi s˜e d¯a.t d¯u.o c nh˜u.ng keˆ´t qua’ mó.i saû s˘ać ho.n nhò su tieˆń bo.ˆ cu’akhoa ho.c máy t´ınh.

Vó.i mo.ˆt d¯oˆ` thi cho tru.ó.c, t´ınh lieˆn thoˆng cu’a nó thu.ò.ng d¯u.o c quan

taˆm d¯aˆù tieˆn Ch˘a’ng ha.n, moˆ h`ınh cu’a mo.ˆt he.ˆ thoˆńg giao thoˆng nhaˆ´tthieˆ´t pha’i là mo.ˆt d¯oˆ` thi lieˆn thoˆng D- ã có nh˜u.ng thua.ˆt toán khá h˜u.uhie.û d¯eˆ’ kieˆ’m tra t´ınh lieˆn thoˆng cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi., nhu.ng caû tra’ lò.i o.’ d¯ómó.i chı’ là “Có” ho˘a.c “Khoˆng” lieˆn thoˆng Vó.i nhieˆù ló.p d¯oˆ` thi cu theˆ’,các nhà nghieˆn cú.u thu.ò.ng mong muoˆń có mo.ˆt kh˘a’ng d¯i.nh ma.nh ho.n

Do va.ˆy, vaˆń d¯eˆ` d¯˘a.c tru.ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a mo.ˆt ló.p d¯oˆ` thi nào d¯óc˜ung thu.ò.ng d¯u.o. c d¯u.a ra xem xét D- ieˆù này khoˆng pha’i lúc nào c˜ungnha.ˆn d¯u.o c deˆ˜ dàng Chı’ có mo.ˆt soˆ´ keˆ´t qua’ cu’a Menger (1927) và Tutte(1961) veˆ` d¯o.ˆ lieˆn thoˆng (connectivity) cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi (xem trong [13]).V`ı theˆ´, ngu.ò.i ta thu.ò.ng xem xét vaˆń d¯eˆ` này treˆn nh˜u.ng ló.p he.p ho.n.Mo.ˆt vaˆń d¯eˆ` n˜u.a mà cho tó.i nay vaˆñ d¯ang d¯u.o c coi là vaˆń d¯eˆ` trung

taˆm cu’a lý thuyeˆ´t d¯oˆ` thi là bài toán Hamilton: Vó.i mo.ˆt d¯oˆ` thi chotru.ó.c, hãy xác d¯i.nh xem có hay khoˆng mo.ˆt hành tr`ınh d¯i qua taˆ´t ca’các d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi., moˆ˜i d¯ı’nh d¯úng mo.ˆt laˆ`n, roˆì la.i quay tro’ veˆ` d¯ı’nh.xuaˆ´t phát? Hành tr`ınh tho’a mãn bài toán Hamilton d¯u.o. c go.i là chutr`ınh Hamilton Neˆú khoˆng yeû caˆù pha’i tro’ veˆ` d¯´. ung d¯ı’nh xuaˆ´t phátth`ı hành tr`ınh này s˜e d¯u.o. c go.i là d¯u.ò.ng Hamilton

Bài toán Hamilton là mo.ˆt bài toán ló.n, nhu.ng mó.i chı’ d¯u.o c gia’iquyeˆ´t cho nh˜u.ng tru.ò.ng ho. p d¯˘a.c bie.ˆt Do d¯ó, khi xem xét bài toánnày, ngu.ò.i ta thu.ò.ng d¯˘a.t ra nh˜u.ng ha.n cheˆ´ leˆn các d¯oˆ` thi d¯eˆ’ nghieˆncú.u chúng theo mo.ˆt cách tieˆ´p ca.ˆn nào d¯ó M˘a.c dù va.ˆy, d¯a phaˆ`n nh˜u.ng

coˆng tr`ınh nghieˆn cú.u c˜ung chı’ d¯u.a ra d¯u.o. c d¯ieˆù kie.ˆn d¯u’ d¯eˆ’ mo.ˆt d¯oˆ` thi.có chu tr`ınh Hamilton Ch˘a’ng ha.n, d¯i.nh lý cu’a Dirac kh˘a’ng d¯i.nh veˆ` su..

toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong các d¯oˆ` thi có soˆ´ ca.nh “d¯u’ ló.n” và

“phaˆn boˆ´ d¯eˆù treˆn các d¯ı’nh”, hay keˆ´t qua’ cu’a Tutte chı’ ra r˘a`ng trongcác d¯oˆ` thi ph˘a’ng (d¯oˆ` thi có theˆ’ bieˆ’u dieˆñ d¯u.o c treˆn m˘a.t ph˘a’ng sao cho

Trang 6

các ca.nh cu’a nó khoˆng c˘a´t nhau) và có su “lie. ˆn thoˆng ma.nh” th`ı s˜e cóchu tr`ınh Hamilton (xem chi tieˆ´t trong [13], [14], [19]).

Gaˆ`n d¯aˆy, ngu.ò.i ta quan taˆm nhieˆù d¯eˆń d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh D- aˆylà các d¯oˆ` thi có nhóm tu d. ¯˘a’ng caˆú tác d¯o.ˆng b˘ać caˆù leˆn ta.ˆp d¯ı’nh cu’achúng, tú.c là gi˜u.a 2 d¯ı’nh baˆ´t k`y luoˆn toˆ`n ta.i các tu d. ¯˘a’ng caˆú chuyeˆ’nchúng veˆ` nhau Nhu va.ˆy, d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh là ló.p d¯oˆ` thi mang t´ınh

d¯oˆí xú.ng cao neˆn có theˆ’ có nh˜u.ng t´ınh chaˆ´t lý thú V´ı du., gia’ thuyeˆ´tLovász (1968, xem [18], [21]) cho r˘a`ng: “Mo.i d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh lieˆnthoˆng d¯eˆù có d¯u.ò.ng Hamilton”, hay gia’ thuyeˆ´t Thomassen (xem [10],[18]) d¯ã neû: “Chı’ có mo.ˆt soˆ´ h˜u.u ha.n các d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh lieˆnthoˆng là khoˆng có chu tr`ınh Hamilton” Nh˜u.ng n˘am tro.’ la.i d¯aˆy, trongnghieˆn cú.u lý thuyeˆ´t, ngu.ò.i ta còn chú ý tó.i ú.ng du.ng cu’a d¯oˆ` thi b˘ać

caˆù d¯ı’nh cho moˆ h`ınh ma.ng lieˆn keˆ´t hay các he.ˆ thoˆńg xu’ l´. y song song.Ngoài ra, do có nhóm tu. d¯˘a’ng caˆú tác d¯o.ˆng b˘ać caˆù treˆn ta.ˆp d¯ı’nh,

neˆn d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh khoˆng nh˜u.ng d¯u.o c nghieˆn cú.u b˘a`ng lý thuyeˆ´t

toˆ’ ho. p mà còn có theˆ’ su.’ du.ng ca’ d¯a.i soˆ´ (cu theˆ’ là lý thuyeˆ´t nhóm) d¯eˆ’xem xét chúng theo mo.ˆt góc d¯o.ˆ khác

D- oˆí vó.i d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh, caˆú trúc cu’a nhóm các tu d¯˘a’ng caˆútreˆn d¯oˆ` thi d¯óng mo.ˆt vai trò quan tro.ng Tuy nhieˆn vie.ˆc nghieˆn cú.ud¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh vó.i nhóm các tu d¯˘a’ng caˆú tu`y ý c˜ung khoˆng pha’i

deˆ˜ dàng V`ı theˆ´, ngu.ò.i ta thu.ò.ng nghieˆn cú.u d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh vó.inhóm tu. d¯˘a’ng caˆú tù d¯o.n gia’n d¯eˆń phú.c ta.p

D- oˆ` thi luaˆn hoàn là d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh có caˆú trúc d¯o.n gia’n nhaˆ´t:nhóm tu. d¯˘a’ng caˆú cu’a chúng chú.a mo.ˆt nhóm con xyclic tác d¯o.ˆng b˘ać

caˆù leˆn ta.ˆp d¯ı’nh V`ı va.ˆy các d¯oˆ` thi này d¯ã d¯u.o c nghieˆn cú.u nhieˆù nhaˆ´ttrong soˆ´ các d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh Treˆn các d¯oˆ` thi luaˆn hoàn, bài toánHamilton và bài toán phaˆn ló.p d¯ã d¯u.o. c gia’i quyeˆ´t tro.n ve.n Trong [17],ngu.ò.i ta d¯ã chı’ ra r˘a`ng d¯oˆ` thi luaˆn hoàn n˘a`m trong ló.p d¯oˆ` thi Cayley

Trang 7

(xem d¯i.nh ngh˜ıa o’ trang 22), mo.ˆt ló. p d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh có caˆú trúckhá ch˘a.t ch˜e nhu.ng c˜ung tu.o.ng d¯oˆí ro.ˆng.

Ló.p d¯oˆ` thi mà nhóm các tu d. ¯˘a’ng caˆú cu’a nó có caˆú trúc phú.c ta.pho.n d¯ó là ló.p d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn Nhóm tu d. ¯˘a’ng caˆú cu’a nó chú.a

mo.ˆt nhóm con g, h, sinh bo’ i hai phaˆ`n tu.. ’ g, h, t´ac d¯o.ˆng b˘ać caˆù leˆn

ta.ˆp d¯ı’nh và g, h là t´ıch nu’ a tru.. c tieˆ´p cu’a g vó.i h O ’ d¯aˆy, t´ıch.

nu ’ a tru c tie ˆ´p cu’a nh´ om K v´o.i nh´om L l`a nh´om M ch´u.a c´ac nh´om con

K  v`a L sao cho K  d¯˘a’ng caˆú v´o.i K, L  d¯˘a’ng caˆú v´o.i L, K  v`a L  chı’chung nhau phaˆ`n tu.’ d¯o.n vi., K là nhóm con chuaˆ’n t˘ać cua’ M và M

d¯u.o. c sinh bo’ i K. v`a L 

D- oˆ` thi meta luaˆn hoàn d¯u.o c d¯eˆ` xuaˆ´t và nghieˆn cú.u d¯aˆù tieˆn bo.’i

B Alspach và T.D Parsons tù n˘am 1982 (xem [5]) Trong bài báo này,các tác gia’ d¯ã d¯u.a ra mo.ˆt d¯i.nh ngh˜ıa toˆ’ ho p cho d. ¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn, chú.ng minh mo.ˆt soˆ´ keˆ´t qua’ veˆ` caˆú trúc cu’a các d¯oˆ` thi này và xácd¯i.nh d¯u.o c moˆí lieˆn he.ˆ gi˜u.a ba ló.p d¯oˆ` thi luaˆn hoàn, meta luaˆn hoànvà Cayley O’ d¯aˆy, mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn d¯u.o c cho bo.’i các tham.

so ˆ´ ca ˆú tr´ uc bao goˆ`m hai soˆ´ nguyeˆn du.o.ng m, n xác d¯i.nh soˆ´ d¯ı’nh và su..phaˆn boˆ´ các d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi., soˆ´ α nguyeˆn toˆ´ vó i n và mo.ˆt soˆ´ ta.ˆp con cu’a ta.ˆp các soˆ´ nguyeˆn modulo n, d¯u o c go.i là các bieˆ’u tu.o ng cu’a d¯oˆ` thi.

meta luaˆn hoàn, xác d¯i.nh các ca.nh cu’a d¯oˆ` thi D- ˘a.c bie.ˆt, trong keˆ´t lua.ˆncu’a bài báo, Alspach và Parsons d¯ã d¯eˆ` xuaˆ´t ba hu.ó.ng nghieˆn cú.u chocác d¯oˆ` thi này, trong d¯ó có hai hu.ó.ng nghieˆn cú.u khá phoˆ’ bieˆń là vaˆń

d¯eˆ` d¯˘a’ng caˆú và bài toán Hamilton treˆn ló.p d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn.Theo các hu.ó.ng nghieˆn cú.u treˆn, vaˆń d¯eˆ` toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton

d¯u.o. c quan taˆm nhieˆù ho.n D- ã có mo.ˆt soˆ´ keˆ´t qua’ cho nh˜u.ng ló.p d¯oˆ` thi.meta luaˆn hoàn d¯u.o. c ha.n cheˆ´ bo’ i c´. ac d¯ieˆù kie.ˆn ràng buo.ˆc khác nhau.Alspach và nhóm nghieˆn cú.u d¯ã keˆ´t lua.ˆn r˘a`ng mo.i d¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn vó.i tham soˆ´ n nguyeˆn toˆ´ và khác d¯oˆ` thi Petersen (xem trang 19)

d¯eˆù có chu tr`ınh Hamilton [4] Mo.ˆt soˆ´ bài báo khác la.i d¯eˆ` ca.ˆp tó.i ló.p

Trang 8

d¯oˆ` thi Cayley Ch˘a’ng ha.n trong [8], [16], [22], các tác gia’ d¯ã chı’ ra

su. toˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong nh˜u.ng d¯oˆ` thi Cayley treˆn cácnhóm có caˆú trúc d¯˘a.c bie.ˆt

Trong khi d¯ó, t´ınh lieˆn thoˆng cu’a các d¯oˆ` thi la.i gi˜u mo.ˆt vai trò quantro.ng d¯oˆí vó.i bài toán Hamilton Bài toán này chı’ có ý ngh˜ıa treˆn các

d¯oˆ` thi lieˆn thoˆng D- ˘a.c bie.ˆt treˆn các d¯oˆ` thi cho bo.’i các tham soˆ´ caˆútrúc nhu d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn, ngu.ò.i ta muoˆń có d¯u.o c d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`nvà d¯u’ cho t´ınh lieˆn thoˆng cu’a các d¯oˆ` thi này Khi d¯ã d¯˘a.c tru.ng d¯u.o ct´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn b˘a`ng nh˜u.ng ràng buo.ˆc gi˜u.acác tham soˆ´ caˆú trúc, vie.ˆc xem xét su to. ˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trongchúng s˜e thua.ˆn lo i ho. n

Tru.ó.c thu. c teˆ´ này, lua.ˆn án nghieˆn cú.u veˆ` ló.p d¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn và d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 O’ d¯aˆy, chúng toî khoˆng su.’ du.ng.nh˜u.ng cách tieˆ´p ca.ˆn tru.ó.c d¯ó mà d¯i.nh hu.ó.ng nghieˆn cú.u theo tham soˆ´

“ba.ˆc” (xem d¯i.nh ngh˜ıa o’ trang 15) cu’a d¯oˆ` thi b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh..

Trong các moˆ h`ınh ma.ng lieˆn keˆ´t, d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh ba.ˆc nho’ cómo.ˆt ý ngh˜ıa quan tro.ng Các d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh ba.ˆc 1 và ba.ˆc 2 có theˆ’d¯u.o. c moˆ ta’ d¯aˆ`y d¯u’ mà khoˆng maˆý khó kh˘an D- oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh ba.ˆc

1 là ho. p rò.i nhau cu’a các d¯oˆ` thi K2, còn d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh ba.ˆc 2 là

ho. p cu’a các chu tr`ınh rò.i nhau và có cùng d¯o.ˆ dài Trong soˆ´ các d¯oˆ` thi.b˘ać caˆù d¯ı’nh ba.ˆc 3, d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 3 ´ıt nhieˆù d¯ã d¯u.o c xemxét và d¯a.t d¯u.o c nhieˆù keˆ´t qua’ veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng c˜ung nhu su toˆ`n ta.ichu tr`ınh Hamilton (xem trong [25] – [29], [31], [33] – [36])

Mo.ˆt cách tru c quan, ngu. ò.i ta deˆ˜ laˆ`m tu.o.’ng r˘a`ng mo.i d¯oˆ` thi metaluaˆn hoàn ba.ˆc 4 có theˆ’ chú.a các d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 3 nhu nh˜u.ng

d¯oˆ` thi con Nhu.ng thu c teˆ´ khoˆng d¯u.o c nhu ta mong muoˆń Do caˆútrúc d¯˘a.c bie.ˆt cu’a nhóm tu d. ¯˘a’ng caˆú, chı’ mo.ˆt soˆ´´ıt các d¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn ba.ˆc 3 là d¯oˆ` thi con cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 Do d¯ó nh˜u.ng

Trang 9

k˜y thua.ˆt d¯u.o c su.’ du.ng treˆn ló.p d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 3 haˆù nhu.khoˆng áp du.ng d¯u.o c d¯oˆí vó.i d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 Vó.i hy vo.ngs˜e t`ım tòi d¯u.o. c nh˜u.ng k˜y thua.ˆt mó.i có theˆ’ áp du.ng cho ca’ ló.p d¯oˆ` thi.meta luaˆn hoàn toˆ’ng quát, chúng toî d¯˘a.t mu.c tieû nghieˆn cú.u veˆ` t´ınhlieˆn thoˆng và su. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong các d¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn ba.ˆc 4.

Keˆ´t qua’ cu’a lua.ˆn án ch´ınh là vie.ˆc d¯˘a.c tru.ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ`thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 du a tre. ˆn mo.ˆt k˜y thua.ˆt d¯u.o c xaˆy du ng cho các

d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn toˆ’ng quát Tù d¯ó, su toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamiltontrong ló.p d¯oˆ` thi này d¯ã d¯u.o c xem xét và kh˘a’ng d¯i.nh d¯oˆí vó.i mo.ˆt soˆ´tru.ò.ng ho. p.

No.î dung cu’a lua.ˆn án bao goˆ`m phaˆ`n mo’ d¯aˆù, phaˆ`n keˆ´t lua.ˆn và ba.chu.o.ng:

Chu.o.ng 1 Các kieˆń thú.c co ba’n;

Chu.o.ng 2 T´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn ho`an ba.ˆc 4;

Chu.o.ng 3 Chu tr`ınh Hamilton trong d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4.Chu.o.ng 1 tr`ınh bày v˘ań t˘a´t nh˜u.ng khái nie.ˆm co ba’n cu’a lý thuyeˆ´t

d¯oˆ` thi., lý thuyeˆ´t nhóm hoán vi và mo.ˆt soˆ´ vaˆń d¯eˆ` lieˆn quan d¯eˆń d¯oˆítu.o. ng nghieˆn cú.u cu’a lua.ˆn án là d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn

Chu.o.ng 2 tr`ınh bày các keˆ´t qua’ veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi metaluaˆn hoàn ba.ˆc 4 Các d¯i.nh lý 2.5, 2.11 là d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ d¯eˆ’ mo.ˆt d¯oˆ`thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 lieˆn thoˆng D- eˆ’ chú.ng minh các d¯i.nh lý này,mu.c 2.1 d¯ã d¯u.a ra k˜y thua.ˆt toˆ’ng quát trong các me.ˆnh d¯eˆ` 2.1, 2.2 và2.3 cùng vó.i vie.ˆc áp du.ng Me.ˆnh d¯eˆ` 1.1 K˜y thua.ˆt này có theˆ’ áp du.ngcho mo.i d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn neˆn c˜ung có giá tri d¯o.ˆc la.ˆp nhaˆ´t d¯i.nh.Chu.o.ng 3 d¯eˆ` ca.ˆp tó.i su toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong các d¯oˆ` thi.meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 lieˆn thoˆng Keˆ´t qua’ ch´ınh o’ d¯a. ˆy là mo.ˆt soˆ´ d¯ieˆùkie.ˆn d¯u’ d¯eˆ’ các d¯oˆ` thi d¯ang xét có chu tr`ınh Hamilton D- oˆí vó.i các d¯oˆ`

Trang 10

thi có bieˆ’u tu.o ng thú nhaˆ´t khác roˆñg, các d¯i.nh lý 3.6, 3.7, 3.8 và 3.9 d¯ãkh˘a’ng d¯i.nh su to. ˆ`n ta.i cu’a chu tr`ınh Hamilton trong mo.ˆt soˆ´ tru.ò.ng ho p.Khi bieˆ’u tu.o. ng thú nhaˆ´t cu’a các d¯oˆ` thi này là roˆñg, D- i.nh lý 3.10 c˜ungchı’ ra d¯u.o. c mo.ˆt vài d¯ieˆù kie.ˆn d¯u’ d¯eˆ’ chúng có chu tr`ınh Hamilton neˆú

m = 2 C´ac keˆ´t qua’ d¯ã d¯óng góp phaˆ`n nào vào vie.ˆc làm sáng to’ theˆmcho gia’ thuyeˆ´t cu’a Thomassen hay gia’ thuyeˆ´t cu’a Alspach và Parsonsnói r˘a`ng: Taˆ´t ca’ các d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn khác vó.i d¯oˆ` thi Petersend¯eˆù có chu tr`ınh Hamilton

Các keˆ´t qua’ cu’a lua.ˆn án d¯u.o c coˆng boˆ´ trong các bài báo [39], [40],[41] và d¯ã d¯u.o. c báo cáo ta.i:

• Seminar “Co so.’ To´an ho.c cu’a Tin ho.c”, Vie.ˆn To´an ho.c, Vie.ˆn Khoa

ho.c và Coˆng nghe.ˆ Vie.ˆt Nam, Hà No.î;

• Ho.î nghi Quoˆć teˆ´ “Co.so.’ Toán ho.c cu’a Tin ho.c” (MFI 99), 10/1999,

H`a No.ˆi;

• Ho.î nghi Quoˆć teˆ´ “Toˆ’ ho p và Ú.ng du.ng”, 12/2001, Hà No.î;

• Ho.î nghi Toán ho.c Toàn quoˆć laˆ`n thú 6, 09/2002, Hueˆ´;

• Tru.`o.ng thu “Co so.’ To´an ho.c cu’a Tin ho.c”, 09/2003, Qui Nho.n.

Lua.ˆn án d¯u.o c hoàn thành ta.i Vie.ˆn Toán ho.c, Vie.ˆn Khoa ho.c và

Coˆng nghe.ˆ Vie.ˆt Nam, du.ó.i su hu.ó.ng daˆñ khoa ho.c cu’a PGS TS NgoˆD

- ˘ać Taˆn, Vie.ˆn Toán ho.c và TS Kieˆù D- ú.c Thành, Bo.ˆ Giáo du.c và D- àota.o Toî xin bày to’ lòng bieˆ´t o.n chaˆn thành và saû s˘ać tó.i các thaˆ`yhu.ó.ng daˆñ, nh˜u.ng ngu.ò.i d¯ã ta.o ra trong toî nieˆ`m say meˆ khoa ho.c,tinh thaˆ`n làm vie.ˆc nghieˆm túc và d¯ã dành cho toî su hu. ó.ng daˆñ chı’ba’o có d¯oî chút kh˘a´t khe nhu.ng voˆ cùng qu´ı báu Rieˆng vó.i thaˆ`y KieˆùD

- ú.c Thành, toî muoˆń d¯u.o c bày to’ nieˆ`m thu.o.ng tieˆć chaˆn thành Mo.ˆttai na.n trong chuyeˆń coˆng tác d¯ã cu.ó.p d¯i sinh ma.ng cu’a thaˆ`y, ngu.ò.i

d¯ã d`ıu d˘a´t toî tù.ng bu.ó.c, tù.ng bu.ó.c khi toî mó.i cha.ˆp ch˜u.ng bu.ó.c vàocon d¯u.ò.ng nghieˆn cú.u Toán ho.c

Trang 11

Toî xin bày to’ lò.i ca’m o.n saû s˘ać tó.i GS TSKH D- oˆ˜ Long Vaˆn,PGS TS Pha.m Trà Aˆ n và TS Nguyeˆñ Quý Khang, nh˜u.ng taˆ´m gu.o.ng

maˆ˜u mu. c veˆ` tinh thaˆ`n làm vie.ˆc heˆ´t m`ınh cùng nh˜u.ng lò.i d¯o.ˆng vieˆn, su giúp d¯õ ta.ˆn t`ınh, voˆ tu giúp toî vu.o t qua mo.i khó kh˘an trong ho.c ta.ˆpvà nghieˆn cú.u

Toî xin ca’m o.n các cán bo.ˆ nghieˆn cú.u thuo.ˆc Phòng Co so.’ Toán ho.ccu’a Tin ho.c, Vie.ˆn Toán ho.c d¯˘a.c bie.ˆt là TS Leˆ Coˆng Thành cùng vó.icác ba.n d¯oˆ`ng nghie.ˆp trong seminar “Co so.’ Toán ho.c cu’a Tin ho.c” d¯ãcó nh˜u.ng ý kieˆń d¯óng góp qu´ı báu khi tha’o lua.ˆn veˆ` keˆ´t qua’ nghieˆn cú.uvà thu.ò.ng xuyeˆn d¯o.ˆng vieˆn khuyeˆń kh´ıch toî trong suoˆ´t quá tr`ınh ho.cta.ˆp, nghieˆn cú.u ta.i phòng, ta.o cho toî d¯u.o c làm vie.ˆc trong mo.ˆt moîtru.ò.ng khoa ho.c nghieˆm túc nhu.ng c˜ung tha.ˆt d¯aˆ`m aˆ´m

Toî c˜ung xin chaˆn thành ca’m o.n Ban lãnh d¯a.o Vie.ˆn Toán ho.c,Trung taˆm D- ào ta.o sau d¯a.i ho.c và toàn theˆ’ cán bo.ˆ coˆng nhaˆn vieˆn Vie.ˆnToán ho.c d¯ã quan taˆm giúp d¯õ toî mo.ˆt cách voˆ tu trong suoˆ´t nh˜u.ngn˘am toî ho.c ta.ˆp, nghieˆn cú.u ta.i Vie.ˆn

Toî c˜ung xin chaˆn thành ca’m o.n ta.ˆp theˆ’ khoa Toán và tru.ò.ng D- a.iho.c Su pha.m Hà No.î 2 d¯ã luoˆn ta.o d¯ieˆù kie.ˆn và d¯o.ˆng vieˆn kh´ıch le.ˆ ki.pthò.i d¯eˆ’ toî có theˆ’ vu.o. t qua nh˜u.ng khó kh˘an, vaˆ´t va’ trong quá tr`ınhthu. c hie.ˆn lua.ˆn án

Cuoˆí cùng, toî xin d¯u.o. c bày to’ lò.i ca’m o.n và su. chia se’ vó.i ba.n bè,ngu.ò.i thaˆn d¯ã ngày ngày beˆn toî vó.i su. d¯o.ˆng vieˆn, giúp d¯õ ca’ veˆ` va.ˆtchaˆ´t laˆñ tinh thaˆ`n d¯eˆ’ toî có d¯u.o c keˆ´t qua’ nhu ngày hoˆm nay

Trang 12

Chu.o.ng 1

C ´ AC KIEˆ´N TH ´ U . C CO . BA’N

Trong chu.o.ng này, chúng ta s˜e tr`ınh bày mo.ˆt soˆ´ khái nie.ˆm cu’a lýthuyeˆ´t d¯oˆ` thi., lý thuyeˆ´t nhóm hoán vi cùng vó.i nh˜u.ng keˆ´t qua’ co ba’ncó lieˆn quan tó.i d¯eˆ` tài lua.ˆn án Khái nie.ˆm d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh, d¯oˆ` thi.meta luaˆn hoàn và mo.ˆt soˆ´ ló.p d¯oˆ` thi khác caˆ`n su.’ du.ng trong các chú.ngminh sau này c˜ung d¯u.o. c gió.i thie.û o’ d¯a. ˆy

Tru.ó.c heˆ´t, chúng ta qui u.ó.c mo.ˆt soˆ´ ký hie.û s˜e d¯u.o c dùng o.’ các phaˆ`ntieˆ´p theo Ký hie.û N là ta.ˆp soˆ´ tu nhie. ˆn; Z, Zn, Z∗

n theo thú tu. là vành

soˆ´ nguyeˆn, vành các soˆ´ nguyeˆn modulo n và nhóm nhaˆn các phaˆ`n tu’ kha’.nghi.ch thuo.ˆc Zn V´o.i z1, z2, , z k ∈ Z, ta ký hie.û gcd(z1, z2, , z k),

lcm(z1, z2, , z k) laˆ`n lu.o. t là u.ó.c chung ló.n nhaˆ´t, bo.î chung nho’ nhaˆ´tcu’a chúng Vó.i mo.ˆt soˆ´ thu c x, k´. y hie.û x là soˆ´ nguyeˆn ló.n nhaˆ´t khoˆngvu.o. t qu´a x Soˆ´ c´ac ta.ˆp con k phaˆ`n tu ’ cu’a ta.ˆp n phaˆ`n tu. ’ d¯u.o.. c ký hie.û

bo.’ i n

k

1.1 D - o ˆ` thi.

D- i.nh ngh˜ıa 1.1 D - oˆ` thi l`a mo.ˆt c˘a.p G = (V, E) goˆ`m hai ta.ˆp ho p h˜u.u

ha n V v` a E tho’a m˜ an d ¯ie ˆ`u kie.ˆn E ⊆ {{x, y}| x, y ∈ V ; x = y}.

Pha ˆ`n tu ’ cu’a V d¯u.o . c go i l` a d ¯ı’nh, pha ˆ`n tu ’ cu’a E d¯u.o . c go i l` a ca nh cu’a d ¯o ˆ` thi G.

Trong d¯i.nh ngh˜ıa n`ay, moˆ˜i phaˆ`n tu’ cu’a E l`. a mo.ˆt ta.ˆp goˆ`m hai phaˆ`n

tu.’ kh´ac nhau thuo.ˆc V Nhu va.ˆy, các d¯oˆ` thi d¯u.o c xét o.’ d¯aˆy là các d¯oˆ`thi h˜u.u ha.n voˆ hu.ó.ng, khoˆng có khuyeˆn và khoˆng có ca.nh bo.î

Trang 13

Ngu.ò.i ta thu.ò.ng bieˆ’u dieˆñ d¯oˆ` thi treˆn m˘a.t ph˘a’ng nhu sau: cácvòng tròn nho’ (roˆñg ho˘a.c d¯˘a.c) bieˆ’u thi các d¯ı’nh và noˆí hai d¯ı’nh b˘a`ngmo.ˆt d¯u.ò.ng lieˆn tu.c neˆú hai d¯ı’nh d¯ó ta.o thành mo.ˆt ca.nh trong G.

V´ı du D- oˆ` thi G = (V, E) v´o.i V = {a1, , a5}, E = {{a1, a2}, {a1, a3}, {a1, a4}, {a1, a5}, {a2, a4}, {a3, a5}} v`a G = (V , E ) v´o.i V  = {1, , 7},

E  = {{1, 5}, {2, 3}, {2, 6}, {2, 7}, {6, 7}} d¯u.o c bieˆ’u dieˆ˜n trong h`ınh1.1.

H`ınh 1.1: Bie ˆ’u die ˆ ˜n d¯oˆ` thi treˆn m˘a.t ph˘a’ng

Ta n´oi G = (V, E) l` a mo.ˆt d¯oˆ` thi treˆn V ; ta.ˆp d¯ı’nh cu’a G d¯u.o c ký hie.ûl`a V (G), ta.ˆp ca.nh là E(G) D - eˆ’ d¯o.n gia’n, ta có theˆ’ vieˆ´t “d¯ı’nh v ∈ G”

hay “ca.nh e ∈ G” ch´u khoˆng nhaˆ´t thieˆ´t pha’i vieˆ´t “d¯ı’nh v ∈ V (G)” hay

“ca.nh e ∈ E(G)”.

Soˆ´ d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi G d¯u o c go.i là caˆ´p (order) cu’a G và d¯u.o c ký hie.û b˘a`ng |G| Soˆ´ ca.nh cu’a nó d¯u o c go.i là cõ (size) cu’a G và ký hie.û

là G Nhu va.ˆy |G| = |V | còn G = |E| Mo.ˆt d¯oˆ` thi có caˆ´p 0 ho˘a.c 1

d¯u.o. c go.i l`a ta ˆ`m thu ò.ng Hieˆ’n nhieˆn là neˆú mo.ˆt d¯oˆ` thi có caˆ´p n th`ı cõ.

m cu’a n´o tho’a m˜an 0 ≤ m ≤ n

2

Ta n´oi d¯ı’nh v lie ˆn thuo .ˆc v´ o.i ca.nh e (hay ca.nh e lieˆn thuo.ˆc v´o.i d¯ı’nh

v) ne ˆú v ∈ e Các d¯ı’nh lieˆn thuo.ˆc vó.i mo.ˆt ca.nh d¯u.o c go.i là các d¯aˆù m´ ut cu’a ca.nh d¯ó Neˆú khoˆng có su nha. ˆ`m laˆñ, ca.nh {x, y} có theˆ’ d¯u.o cvieˆ´t go.n thành xy (ho˘a.c yx).

Hai d¯ı’nh x, y cu’a G d¯u.o. c go.i l`a ke ˆ` nhau ho˘ a.c là hàng xóm (cu’a

Trang 14

nhau) neˆú xy l` a mo.ˆt ca.nh trong G Hai ca.nh khác nhau e và f cu’a G

d¯u.o. c go.i l`a lie ˆ`n nhau neˆú chúng có chung mo.ˆt d¯aˆù mút

Neˆ´u V ⊆ V v`a E ⊆ E th`ı d¯oˆ` thi G = (V , E ) d¯u.o.

c go.i l`a d ¯o ˆ` thi con cu’a G v`a vieˆ´t l`a G ⊆ G Neˆ´u V = V th`ı ta n´ oi G  l`a d¯oˆ` thi con

bao tr` um cu’a G Ne ˆú G ⊆ G và G  chú.a taˆ´t ca’ nh˜u.ng ca.nh xy cu’a G

H`ınh 1.2: D- oˆ` thi con ca’m sinh G v`a d¯oˆ` thi con bao tr`um G cu’a G

Trong thu. c teˆ´, có nh˜u.ng d¯oˆ` thi “khác nhau” nhu.ng sau khi d¯oˆ’i teˆncác d¯ı’nh th`ı chúng la.i “gioˆńg nhau” Nh˜u.ng d¯oˆ` thi nhu theˆ´ d¯u.o c go.i là

d¯˘a’ng caˆú và ngu.ò.i ta thu.ò.ng d¯oˆ`ng nhaˆ´t chúng vó.i nhau

D- i.nh ngh˜ıa 1.2 Gia’ su.’ G = (V, E) và G = (V , E ) l` a hai d ¯o ˆ` thi Ta n´ oi r˘ a `ng G d¯˘a’ng caˆú vó.i G ho˘ a c G v` a G d ¯˘ a’ng ca ˆú v´ o.i nhau v` a vie ˆ´t

G ∼ = G ne ˆ´u to ˆ`n ta i song ´ anh ϕ : V → V sao cho xy ∈ E khi v`a chı’ khi ϕ(x)ϕ(y) ∈ E v´ o.i mo

i x, y ∈ V

Song ´anh ϕ d¯u.o. c go.i l`a mo.ˆt d¯˘a’ng caˆú gi˜u a G và G  Neˆú G = G th`ı

ϕ s˜e d¯u.o. c go.i l`a mo.ˆt tu d . ¯˘ a’ng ca ˆú tre ˆn G C´ac tu. d¯˘a’ng caˆú treˆn G cùngvó.i phép ho. p thành cu’a hai ´anh xa ta.o neˆn mo.ˆt nhóm, go.i là nhóm các

tu d ¯˘ a’ng ca ˆú tre ˆn G v`a ký hie.û bo’ i Aut(G) Thoˆng thu.`. o.ng, ta khoˆngphaˆn bie.ˆt hai d¯oˆ` thi d¯˘a’ng caˆú, có ngh˜ıa là ta có theˆ’ vieˆ´t G = G thay

cho G ∼ = G 

Trang 15

H`ınh 1.3: Hai d ¯oˆ` thi d¯˘a’ng caˆ´u G v`a G

Khi làm vie.ˆc vó.i d¯oˆ` thi., ta thu.ò.ng pha’i thu c hie.ˆn các thao tác xoá

d¯i ho˘a.c boˆ’ sung vào mo.ˆt soˆ´ d¯ı’nh ho˘a.c ca.nh nào d¯ó Sau d¯aˆy là nh˜u.ngqui u.ó.c veˆ` thua.ˆt ng˜u và ký hie.û d¯eˆ’ moˆ ta’ các thao tác này

Cho hai d¯oˆ` thi G = (V, E) v`a G = (V , E ) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ho p cu’a .

G v` a G  l`a d¯oˆ` thi G ∪ G = (V ∪ V , E ∪ E ) v`a giao cu’a ch´ung l`a d¯oˆ`

thi G ∩ G = (V ∩ V , E ∩ E ) Neˆ´u V ∩ V = ∅, th`ı G v`a G  d¯u.o.

c go.il`a r` o.i nhau.

Gia’ su.’ U ⊆ V là ta.ˆp nào d¯ó các d¯ı’nh cu’a G = (V, E) Ta d¯i.nh ngh˜ıa

G − U là d¯oˆ` thi G[V \ U] Nói cách khác, G − U là d¯oˆ` thi nha.ˆn d¯u.o c

t`u G b˘a`ng cách xoá d¯i taˆ´t ca’ các d¯ı’nh thuo.ˆc U và các ca.nh lieˆn thuo.ˆc

vó.i chúng Neˆú F ⊆ E th`ı ta d¯i.nh ngh˜ıa d¯oˆ` thi G − F = (V, E \ F).

Neˆú U = {u} ho˘a.c F = {f} th`ı ta có theˆ’ vieˆ´t go.n là G − u ho˘a.c G − f.

Neˆú x v` a y là hai d¯ı’nh khoˆng keˆ` nhau trong G th`ı G + xy là d¯oˆ` thi.nha.ˆn d¯u.o c tù G b˘a`ng cách boˆ’ sung ca.nh xy vào ta.ˆp ca.nh cu’a G.

Tieˆ´p theo, chúng ta nói veˆ` ba.ˆc cu’a d¯oˆ` thi Gia’ su’ G = (V, E).l`a mo.ˆt d¯oˆ` thi khoˆng roˆñg, v là mo.ˆt d¯ı’nh cu’a G Ta ký hie.û E(v) là

ta.ˆp các ca.nh lieˆn thuo.ˆc vó.i v, N(v) là ta.ˆp các d¯ı’nh keˆ` vó.i v, tú.c là

E(v) = {e ∈ E | v ∈ e}, N(v) = {u ∈ V | uv ∈ E} Trong tru.`o.ng

ho. p muoˆń nhaˆń ma.nh r˘a`ng d¯oˆ` thi neˆ`n là G, ta có theˆ’ ký hie.û E G (v) và

N G (v) V´o.i các ký hie.û này, chúng ta có d¯i.nh ngh˜ıa sau:

Trang 16

D- i.nh ngh˜ıa 1.3 Ba.ˆc cu’a v, ký hie.û bo.’i deg(v), là soˆ´ ca.nh lieˆn thuo.ˆc

v´ o.i v, ngh˜ıa l` a deg(v) = |E(v)| D - ı’nh ba.ˆc 0 d¯u.o c go.i l`a d¯ı’nh coˆ la.ˆp.

Ba .ˆc nho’ nha ˆ´t cu’a G l` a so ˆ´ δ(G) = min {deg(v) | v ∈ V }; ba.ˆc l´o.n nha ˆ´t cu’a G l` a so ˆ´ ∆(G) = max {deg(v) | v ∈ V }.

V´ı du Trong h`ınh 1.4, ba.ˆc cu’a các d¯ı’nh và cu’a d¯oˆ` thi G d¯u.o c chı’ rõ

H`ınh 1.4: Ba.ˆc cu’a d¯ı’nh, ba.ˆc cu’a d¯oˆ` thi.

Deˆ˜ thaˆý r˘a`ng δ(G) = ∆(G) = k khi và chı’ khi deg(v) = k vó.i mo.i

d¯ı’nh v ∈ G Khi d¯ó d¯oˆ` thi G d¯u.o c go.i là d¯eˆù ba.ˆc k D- oˆ` thi d¯eˆù ba.ˆc

3 d¯u.o. c go.i là d¯oˆ` thi ba.ˆc 3 (cubic), d¯oˆ` thi d¯eˆù ba.ˆc 4 d¯u.o c go.i là d¯oˆ` thi

ba .ˆc 4 (tetravalent) D - oˆ` thi d¯u.o c go.i là d¯eˆù neˆú nó là d¯oˆ` thi d¯eˆù ba.ˆc k

v´o.i k n`ao d¯´o

V´ı du .

s s

H`ınh 1.5: V´ı du d¯oˆ` thi d¯eˆ`u

Ta chú ý r˘a`ng theo d¯i.nh ngh˜ıa d¯oˆ` thi., ba.ˆc cu’a d¯ı’nh c˜ung ch´ınhb˘a`ng |N(v)| Neˆú t´ınh toˆ’ng soˆ´ ba.ˆc cu’a các d¯ı’nh trong d¯oˆ` thi., ta s˜e

pha’i d¯eˆ´m moˆ˜i ca.nh d¯úng hai laˆ`n Do d¯ó vó.i mo.i d¯oˆ` thi ta luoˆn có

Trang 17

v∈V deg(v) = 2 |E| = 2G Ho.n theˆ´ n˜u.a soˆ´ d¯ı’nh ba.ˆc le’ trong d¯oˆ` thi.

pha’i l`a mo.ˆt soˆ´ ch˘a˜n

Trong nh˜u.ng nghieˆn cú.u veˆ` d¯oˆ` thi., lý thuyeˆ´t nhóm và nhóm hoán

vi có nh˜u.ng ú.ng du.ng d¯˘a.c bie.ˆt quan tro.ng Lý thuyeˆ´t d¯oˆ` thi d¯a.i soˆ´

d¯ã d¯u.o. c h`ınh thành và phát trieˆ’n, mo.ˆt phaˆ`n, là nhò ý tu.o.’ng d¯ó D- oˆ`thi b˘ać caˆù d¯ı’nh là mo.ˆt trong nh˜u.ng d¯oˆí tu.o ng d¯u.o c quan taˆm nhieˆù o.’l˜ınh vu. c này Trong mu.c tieˆ´p theo, các khái nie.ˆm co ba’n veˆ` nhóm hoánvi., d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh và mo.ˆt vài ló.p con cu’a d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh, s˜ed¯u.o. c gió.i thie.û chi tieˆ´t ho.n

1.2 D - o ˆ` thi b˘ a ´c ca ˆ`u d ¯ı’nh v` a d ¯o ˆ` thi meta lua ˆn ho` an

Tru.ó.c heˆ´t, ta nói d¯eˆń các khái nie.ˆm hoán vi., nhóm hoán vi và tác

d¯o.ˆng cu’a mo.ˆt nh´om leˆn mo.ˆt ta.ˆp ho p..

1.2.1 Nh´ om ho´ an vi.

Gia’ su.’ Ω là mo.ˆt ta.ˆp h˜u.u ha.n tùy ý mà phaˆ`n tu.’ cu’a nó d¯u.o c go.ilà các d¯ieˆ’m Mo.ˆt hoán vi., hay phép theˆ´ treˆn Ω là mo.ˆt song ánh tù Ω

leˆn ch´ınh n´o Gia’ su.’ Ω = {1, 2, , n} Ph´ep theˆ´ p treˆn Ω s˜e d¯u.o c vieˆ´t

du.´o.i da.ng

.

Trong d¯´o, a’nh cu’a α ∈ Ω qua hoán vi p d¯u.o c ký hie.û là p(α) T´ıch

cu’a hai phép theˆ´ p v` a q tre ˆn Ω, k´ y hie.û là pq, d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa bo.’i

pq(α) = p(q(α)) c˜ung l`a mo.ˆt phép theˆ´ treˆn Ω Ta.ˆp taˆ´t ca’ các hoán vi.

treˆn Ω ta.o thành mo.ˆt nhóm d¯oˆí vó i t´ıch nói treˆn, ta go.i là nhóm d¯oˆí

x´ u.ng treˆn Ω và ký hie.û bo’ i S. Ω Nh´om con Γ cu’a S Ω d¯u.o. c go.i l`a nh´ om ho´ an vi treˆn Ω.

Trang 18

Phép theˆ´ p tre ˆn Ω còn d¯u.o. c bieˆ’u dieˆñ du.ó.i da.ng khác, da.ng tuaˆ`n

ho` an cu’a p Gia’ su ’ Ω = {1, 2, , 7} v`a ph´ep theˆ´

Khi d¯ó ta có theˆ’ vieˆ´t p = (1 2 3)(4 5)(6)(7) Cách vieˆ´t này d¯u.o. c go.i là

su pha ˆn t´ıch th` anh c´ ac chu tr`ınh r` o.i nhau (1 2 3), (4 5), (6) v` a (7) (hay

c`on go.i là các vòng x´ıch d¯o.ˆc la.ˆp) cu’a p Su pha. ˆn t´ıch này là duy nhaˆ´t(neˆú khoˆng keˆ’ d¯eˆń thú tu. cu’a các chu tr`ınh) d¯oˆí vó.i moˆ˜i phép hoán vi.treˆn Ω.

Khái nie.ˆm phép theˆ´ nu’ a ch´ınh qui d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯aˆy s˜e caˆ`nd¯eˆń khi chú.ng minh các keˆ´t qua’ trong Chu.o.ng 3 Ta nói phép theˆ´ p là

nu ’ a ch´ınh qui (semiregular) neˆú taˆ´t ca’ các chu tr`ınh trong phép phaˆn

t´ıch thành các chu tr`ınh rò.i nhau cu’a nó d¯eˆù có cùng d¯o.ˆ dài

Gia’ su.’ Γ là nhóm ho´an vi treˆn Ω Khi d¯ó ta s˜e nói r˘a`ng nhóm Γ

t´ ac d ¯o .ˆng le ˆn Ω Nh´om ho´an vi Γ treˆn Ω d¯u o c go.i là b˘ać caˆù treˆn Ω

neˆ´u v´o.i mo.i x, y ∈ Ω, luoˆn toˆ`n ta.i γ ∈ Γ d¯eˆ’ y = γ(x), tr´ai la.i Γ d¯u.o c

go.i là khoˆng b˘ać caˆù.

V´o.i mo.ˆt nhóm Γ tác d¯o.ˆng leˆn Ω và d¯ieˆ’m x ∈ Ω, ta.ˆp Γ x =

{γ(x) | γ ∈ Γ } d¯u.o c go.i là mo.ˆt qu˜ı d¯a.o cu’a Γ , |Γ x| là d¯o.ˆ dài cu’a

qu˜ı d¯a.o này Nhu va.ˆy, mo.ˆt ta.ˆp con ∆ ⊆ Ω là qu˜ı d¯a.o cu’a Γ khi và chı’

khi toˆ`n ta.i x ∈ ∆ sao cho ∆ = Γ x Có theˆ’ thaˆý r˘a`ng ta.ˆp các qu˜ı d¯a.o cu’a Γ ta.o neˆn mo.ˆt phaˆn hoa.ch cu’a Ω.

Sau d¯aˆy chúng ta s˜e d¯i.nh ngh˜ıa d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh, d¯oˆ` thi luaˆnhoàn, d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn và d¯oˆ` thi Cayley

Trang 19

1.2.2 C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa

Gia’ su.’ G = (V, E) là mo.ˆt d¯oˆ` thi Ta có theˆ’ coi moˆ˜i tu d. ¯˘a’ng caˆú ϕ

cu’a G l` a mo.ˆt phép theˆ´ treˆn V , và v`ı va.ˆy nhóm Aut(G) các tu d. ¯˘a’ng caˆú

cu’a G l` a mo.ˆt nhóm hoán vi treˆn V Baˆy giò ta d¯ã có theˆ’ d¯i.nh ngh˜ıakhái nie.ˆm d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh

D- i.nh ngh˜ıa 1.4 D - oˆ` thi G = (V, E) d¯u.o c go.i là d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh

(vertex-transitive) ne ˆú Aut(G) t´ ac d ¯o .ˆng b˘ a ć caˆù leˆn ta.ˆp d¯ı’nh V cu’a n´ o N´ oi c´ ach kh´ ac, d ¯o ˆ` thi G là b˘ać caˆù d¯ı’nh neˆú vó i hai d¯ı’nh baˆ´t k`y

u, v ∈ G, luoˆn toˆ`n mo.ˆt ta.i tu d¯˘a’ng caˆ´u ϕ ∈ Aut(G) sao cho v = ϕ(u).

V´ı du D- oˆ` thi Coxeter và d¯oˆ` thi Petersen là các d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh(xem h`ınh 1.6)

s

s s s s

s

s s

s s s s s s

s

s s

H`ınh 1.6: C´ ac d ¯oˆ` thi b˘a´c caˆ`u d¯ı’nh Coxeter (G1) v`a Petersen (G2)

Trong v´ı du treˆn, có theˆ’ thaˆý r˘a`ng d¯oˆ` thi Petersen (G2) ch´ınh là

d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn G = MC(2, 5, 2, {1, 4}, {0}) (vó.i cách gán teˆncác d¯ı’nh th´ıch ho. p, ch˘a’ng ha.n nhu trong h`ınh 1.6) Khi d¯ó nhóm tu

d¯˘a’ng caˆú cu’a nó chú.a nhóm con b˘ać caˆùρ, τ, vó.i ρ và τ xác d¯i.nh bo.’i ρ(v j i ) = v j+1 i , τ (v j i ) = v 2j i+1 (i ∈ Z2, j ∈ Z5) D- oˆí vó.i d¯oˆ` thi Coxeter (G1),

vie.ˆc chú.ng minh nó là b˘ać caˆù d¯ı’nh la.i khoˆng d¯o.n gia’n, N Biggs d¯ãchú.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh này trong [11]

Trang 20

Hieˆ’n nhieˆn r˘a`ng các d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh là nh˜u.ng d¯oˆ` thi d¯eˆù, nhu.ngcó nh˜u.ng d¯oˆ` thi d¯eˆù nhu.ng khoˆng pha’i là d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh.

Nhu d¯ã d¯eˆ` ca.ˆp o’ phaˆ`n mo.’ d¯aˆù, trong soˆ´ các d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh,.d¯oˆ` thi luaˆn hoàn là ló.p d¯oˆ` thi có caˆú trúc d¯o.n gia’n nhaˆ´t và d¯u.o c nghieˆncú.u nhieˆù Mo.ˆt vài keˆ´t qua’ nghieˆn cú.u veˆ` d¯oˆ` thi luaˆn hoàn c˜ung d¯u.o c

su.’ du.ng trong các chú.ng minh cu’a lua.ˆn án Theo truyeˆ`n thoˆńg, d¯oˆ` thi.luaˆn hoàn d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa du.ó.i da.ng co.ˆng t´ınh nhu sau:

D- i.nh ngh˜ıa 1.5 Gia’ su.’ n là mo.ˆt soˆ´ nguyeˆn du.o.ng và S là ta.ˆp con cu’a

Zn thoa’ m˜ an 0 / ∈ S và S = −S, o.’ d¯aˆy −S = {−s| s ∈ S} Khi d¯ó d¯oˆ` thi luaˆn hoàn C(n, S) là d¯oˆ` thi có ta.ˆp d¯ı’nh V (C(n, S)) = {v i | i ∈ Z n } v` a ta .ˆp ca nh E(C(n, S)) = {v i v j | i, j ∈ Z n , (j − i) ∈ S}, o.’ d¯aˆy các chı’

so ˆ´ du ó.i luoˆn d¯u.o c laˆý theo modulo n Ta.ˆp S d¯u.o c go.i là bieˆ’u tu.o ng cu’a d ¯o ˆ` thi luaˆn hoàn C(n, S).

V´ı du Trong h`ınh 1.7 l`a mo.ˆt soˆ´ d¯oˆ` thi luaˆn hoàn vó.i n = 6, n = 7 và

n = 8

s

s s s

s s

H`ınh 1.7: D - oˆ` thi luaˆn ho`an

Deˆ˜ kieˆ’m tra d¯u.o c r˘a`ng nhóm tu d. ¯˘a’ng caˆú cu’a C(n, S) có chú.anhóm con ρ vó.i tu d¯˘a’ng caˆú ρ xác d¯i.nh bo.’i ρ(v i ) = v i+1 tác d¯o.ˆng b˘ać

caˆù leˆn ta.ˆp d¯ı’nh cu’a nó V`ı va.ˆy C(n, S) là d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh Ta

c˜ung thaˆý r˘a`ng d¯i.nh ngh˜ıa này tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i d¯i.nh ngh˜ıa trù.u tu.o ngcu’a d¯oˆ` thi luaˆn hoàn

Trang 21

Baˆy giò chúng ta phát bieˆ’u d¯i.nh ngh˜ıa d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn theocách tieˆ´p ca.ˆn cu’a toˆ’ ho p..

D- i.nh ngh˜ıa 1.6 Gia’ su.’ m, n l`a c´ac soˆ´ nguyeˆn du.o.ng, α ∈ Z ∗ n , µ =

Khi d ¯´ o, ta d ¯i.nh ngh˜ıa d¯oˆ` thi meta luaˆn ho`an G = MC(m, n, α, S0, ,

S µ ) l` a d ¯o ˆ` thi c´o ta.ˆp d¯ı’nh V (G) = {v j i | i ∈ Z m ; j ∈ Z n } v`a ta.ˆp ca.nh E(G) = {v i

j v h i+r | 0 ≤ r ≤ µ; i ∈ Z m ; j, h ∈ Z n ; (h − j) ∈ α i S r },

o ’ d¯a ˆy c´ ac chı’ so ˆ´ tre ˆn luo ˆn d ¯u.o c la ˆý theo modulo m, chı’ so ˆ´ du ó.i theo modulo n Ta .ˆp S r d ¯u.o c go i l` a bie ˆ’u tu o ng thú r + 1, V i = {v i

j | j ∈ Z n }

(i ∈ Z m ) l` a c´ ac kho ˆí, m l` a so ˆ´ kho ˆí, n l` a d ¯o .ˆ d` ai kho ˆí cu’a G.

V´ı du H`ınh 1.8 l`a mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn ho`an v´o.i m = 3, n = 7.

s

s s

H`ınh 1.8: D - oˆ` thi meta luaˆn ho`an

Trong [5], Alspach và Parsons d¯ã chú.ng minh r˘a`ng d¯i.nh ngh˜ıa nàytu.o.ng d¯u.o.ng vó.i d¯i.nh ngh˜ıa trù.u tu.o ng: “D-oˆ` thi meta luaˆn hoàn là d¯oˆ`

Trang 22

thi có nhóm tu d. ¯˘a’ng caˆú chú.a mo.ˆt nhóm con sinh bo’ i hai phaˆ`n tu.. ’ ρ, τ

là t´ıch nu.’ a tru. c tieˆ´p cu’a ρ vó.i τ tác d¯o.ˆng b˘ać caˆù leˆn ta.ˆp d¯ı’nh cu’a

nó” Hai tu. d¯˘a’ng caˆú ρ, τ d¯u.o. c xác d¯i.nh bo’ i ρ(v. i

j ) = v j+1 i , τ (v j i ) = v αj i+1.Nhu va.ˆy, các d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn c˜ung là d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh.Mo.ˆt ló.p con khác cu’a d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh là d¯oˆ` thi Cayley s˜e d¯u.o c

d¯i.nh ngh˜ıa ngay sau d¯aˆy

D- i.nh ngh˜ıa 1.7 Gia’ su.’ Γ là mo.ˆt nhóm h˜u.u ha.n vieˆ´t theo loˆí nhaˆn,

S l` a mo .ˆt ta .ˆp con cu’a Γ tho’a m˜ an d ¯ie ˆ`u kie.ˆn 1 / ∈ S v`a S = S −1 , trong

d ¯´ o S −1 = {s −1 | s ∈ S Khi d¯ó d¯oˆ` thi Cayley treˆn Γ ú.ng vó.i S, ký hie.û

bo ’ i Cay(Γ, S), l` a d ¯o ˆ` thi c´o ta.ˆp d¯ı’nh V (Cay(Γ, S)) = Γ v`a hai d¯ı’nh

x, y ∈ Γ là keˆ` nhau trong Cay(Γ, S) neˆú và chı’ neˆú x −1 y ∈ S.

Moˆ˜i phaˆ`n tu.’ γ ∈ Γ ca’m sinh treˆn Γ mo.ˆt ho´an vi γ ∗ = x

xγ

Cótheˆ’ kieˆ’m tra d¯u.o. c r˘a`ng γ ∗ là mo.ˆt tu d¯˘. a’ng caˆú cu’a Cay(Γ, S) v` a Γ ∗ =

{γ ∗ | γ ∈ Γ } là mo.ˆt nhóm con cu’a Aut(Cay(Γ, S)) Ho.n n˜u.a Γ ∗ tác

d¯o.ˆng b˘ać caˆù treˆn Γ V`ı va.ˆy d¯oˆ` thi Cayley là d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh.

Có theˆ’ chı’ ra r˘a`ng, d¯oˆ` thi luaˆn hoàn là tru.ò.ng ho p d¯˘a.c bie.ˆt cu’a d¯oˆ`

thi Cayley khi Γ là nhóm xyclic caˆ´p n Nhu.ng d¯oˆ` thi meta luaˆn hoànth`ı chu.a ch˘ać d¯ã là Cayley Trong [5], các tác gia’ còn chı’ rõ các t´ınhchaˆ´t co ba’n cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn và moˆí lieˆn he.ˆ gi˜u.a chúng vó.imo.ˆt soˆ´ ló.p d¯oˆ` thi b˘ać caˆù d¯ı’nh khác Trong khuoˆn khoˆ’ cu’a lua.ˆn án,chúng toî khoˆng tr`ınh bày chi tieˆ´t nh˜u.ng no.î dung này

D- i.nh ngh˜ıa 1.8 Gia’ su.’ G(V, E) l`a mo.ˆt d¯oˆ` thi H`anh tr`ınh W trong

G l` a mo .ˆt d˜ ay c´ ac d ¯ı’nh x0, x1, x2, , x , o ’ d¯a ˆy x i−1 x i

So ¯u.o c go i l` a d ¯o .ˆ d` ai cu’a h` anh tr`ınh W

Trang 23

Khi d¯ó ta n´oi W l`a mo.ˆt hành tr`ınh tù x0 d¯eˆń x ho˘a.c W noˆí x0 vó.i

x ho˘a.c W là mo.ˆt x0 − x hành tr`ınh và thu.ò.ng vieˆ´t W = x0x1 x .H`anh tr`ınh W = x0x1 x vó.i các d¯ı’nh d¯oî mo.ˆt khác nhau d¯u.o c

go.i l`a mo.ˆt d¯u

H`anh tr`ınh W = x0x1 x x0, trong d¯´o W = x0x1 x l`a mo.ˆt

d¯u.`o.ng, d¯u.o. c go.i l` .o c go.i l`a d¯o.ˆ

H`ınh 1.9: D- oˆ` thi G vó.i chu tr`ınh C và d¯u.ò.ng P cu’a nó

D- i.nh ngh˜ıa 1.9 D - oˆ` thi khoˆng roˆñg G d¯u.o c go.i là lieˆn thoˆng neˆú hai

d ¯ı’nh ba ˆ´t k` y cu’a n´ o luo ˆn d ¯u.o c no ˆ´i v´ o.i nhau bo ’ i mo.ˆt d¯u `o.ng trong G.

D- oˆ` thi con ca’m sinh lieˆn thoˆng cu c d¯a.i cu’a G d¯u.o c go.i l`a th`anh

pha ˆ`n lie ˆn tho ˆng (go.i t˘a´t là thành phaˆ`n) cu’a G O’ d¯aˆy, mo.ˆt d¯oˆ` thi con.ca’m sinh lieˆn thoˆng H cu’a G d¯u.o. c xem là cu. c d¯a.i neˆú G[V (H) ∪ {v}]

v´o.i mo.i v ∈ V (G) \ V (H) là d¯oˆ` thi khoˆng lieˆn thoˆng Nhu va.ˆy, mo.ˆt d¯oˆ`thi khoˆng roˆñg có theˆ’ có mo.ˆt hay nhieˆù thành phaˆ`n lieˆn thoˆng Cácthành phaˆ`n cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi có theˆ’ có soˆ´ d¯ı’nh, soˆ´ ca.nh khác nhau D- ı’nh

coˆ la.ˆp d¯u.o c coi l`a mo.ˆt th`anh phaˆ`n cu’a d¯oˆ` thi

V´ı du Trong h`ınh 1.10, d¯oˆ` thi G có ba thành phaˆ`n và d¯oˆ` thi G c˜ungcó ba thành phaˆ`n.

Vie.ˆc d¯˘a.c tru.ng t´ınh lieˆn thoˆng cu’a c´ac d¯oˆ` thi trong tru.`o.ng ho p

toˆ’ng quát là khoˆng d¯o.n gia’n Do va.ˆy, ngu.ò.i ta thu.ò.ng t`ım d¯ieˆù kie.ˆn

Trang 24

H`ınh 1.10: D - oˆ` thi vó.i các thành phaˆ`n cu’a nó

caˆ`n và d¯u’ cho t´ınh lieˆn thoˆng cu’a nh˜u.ng ló.p d¯oˆ` thi he.p ho.n, d¯u.o c theˆ’hie.ˆn qua các tham soˆ´ caˆú trúc cu’a nó V´ı du., trong soˆ´ các d¯oˆ` thi b˘ać

caˆù d¯ı’nh, t´ınh lieˆn thoˆng cu’a ló.p d¯oˆ` thi Cayley d¯ã d¯u.o c d¯˘a.c tru.ng theomo.ˆt moˆí lieˆn he.ˆ d¯a.i soˆ´ ([17])

Lieˆn quan tó.i d¯eˆ` tài lua.ˆn án, d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ d¯eˆ’ d¯oˆ` thi luaˆnhoàn lieˆn thoˆng d¯u.o. c chı’ ra trong [27] s˜e góp phaˆ`n khoˆng nho’ vào các

keˆ´t qua’ nghieˆn cú.u trong lua.ˆn án này

Me.ˆnh d¯eˆ` 1.1 ([27]) Gia’ su ’ G = C(n, S) l` . a d ¯o ˆ` thi luaˆn ho`an v´o i

Trong [27], tác gia’ còn chı’ ra d¯u.o. c d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ d¯eˆ’ d¯oˆ` thi.meta luaˆn hoàn ba.ˆc 3 là lieˆn thoˆng Keˆ´t qua’ này có theˆ’ coi là su kho. ’ i.nguoˆ`n và c˜ung là d¯i.nh hu.ó.ng cho vie.ˆc nghieˆn cú.u t´ınh lieˆn thoˆng cu’a

d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4, mu.c tieû thú nhaˆ´t cu’a lua.ˆn án

Mo.ˆt trong nh˜u.ng keˆ´t qua’ cu’a lua.ˆn án ch´ınh là vie.ˆc d¯˘a.c tru.ng t´ınhlieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 b˘a`ng nh˜u.ng he.ˆ thú.c soˆ´ ho.cs˜e d¯u.o. c tr`ınh bày chi tieˆ´t o.’ Chu.o.ng 2

Trang 25

1.4 B` ai to´ an Hamilton

Bài toán Hamilton là mo.ˆt trong nh˜u.ng vaˆń d¯eˆ` trung taˆm cu’a lýthuyeˆ´t d¯oˆ` thi Bài toán này có theˆ’ d¯u.o c phát bieˆ’u nhu sau: có haykhoˆng mo.ˆt chu tr`ınh chú.a taˆ´t ca’ các d¯ı’nh cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi G cho tru.ó.c?

Cu theˆ’ ho.n, ta c´o d¯i.nh ngh˜ıa:

D- i.nh ngh˜ıa 1.10 Mo.ˆt chu tr`ınh (d¯u.`o.ng) trong d¯oˆ` thi G ch´u.a taˆ´t ca’

c´ ac d ¯ı’nh cu’a G d ¯u.o c go i l` a chu tr`ınh (t.u d ¯u.` o.ng) Hamilton D - oˆ` thi G c´ o chu tr`ınh (t.u d ¯u.` o.ng) Hamilton d ¯u.o c go i l` a d ¯o ˆ` thi Hamilton (t.u

nu ’ a Hamilton).

V´ı du Trong h`ınh 1.11, G l`a d¯oˆ` thi Hamilton, G l`a nu.’ a Hamilton

s s

G

s s

G

H`ınh 1.11: D - oˆ` thi Hamilton v`a nu.’a Hamilton

Vie.ˆc xác d¯i.nh xem mo.ˆt d¯oˆ` thi G cho tru.ó.c có chu tr`ınh Hamiltonhay khoˆng là raˆ´t khó kh˘an Cho tó.i nay, ngu.ò.i ta vaˆñ chu.a theˆ’ d¯˘a.ctru.ng d¯u.o. c các d¯oˆ` thi Hamilton b˘a`ng mo.ˆt d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ trongtru.ò.ng ho. p toˆ’ng quát Bài toán này d¯ã tro.’ thành mo.ˆt trong các vaˆńd¯eˆ` d¯u.o. c nhieˆù ngu.ò.i quan taˆm cu’a lý thuyeˆ´t d¯oˆ` thi

Hai d¯i.nh lý sau d¯u.o c coi là nh˜u.ng keˆ´t qua’ só.m nhaˆ´t cho bài toánHamilton (xem [14], [18], [19] và [24])

D- i.nh lý 1.2 (Dirac, 1952) Neˆú G = (V, E) có n ≥ 3 d¯ı’nh và vó.i

mo i d ¯ı’nh v ∈ V , deg(v) ≥ n/2 th`ı G l`a d¯oˆ` thi Hamilton.

D- i.nh lý 1.3 (Ore, 1960) Neˆú G = (V, E) có n ≥ 3 d¯ı’nh và vó.i mo.i

c˘ a p d ¯ı’nh u, v kho ˆng ke ˆ` nhau trong G ta c´ o deg(u) + deg(v) ≥ n th`ı G l`a

Trang 26

O’ các d¯i.nh lý treˆn, chúng ta thaˆý d¯eˆ’ G là Hamilton, nó pha’i có.

“soˆ´ ca.nh d¯u’ ló.n” Cu theˆ’ là D-i.nh lý 1.2 d¯òi ho’i taˆ´t ca’ các d¯ı’nh cu’a d¯oˆ`thi d¯eˆù pha’i có ba.ˆc ló.n ho.n hay b˘a`ng nu.’a soˆ´ d¯ı’nh D- i.nh lý 1.3 là toˆ’ngquát hóa cu’a D- i.nh lý 1.2 Tuy nhieˆn, trong nhieˆù ló.p d¯oˆ` thi có caˆú trúc

d¯˘a.c bie.ˆt, nh˜u.ng d¯ieˆù kie.ˆn này khoˆng d¯u.o c tho’a mãn nhu.ng ta vaˆñ cótheˆ’ t`ım d¯u.o. c nh˜u.ng d¯ieˆù kie.ˆn d¯u’ khác d¯eˆ’ chúng có chu tr`ınh Hamilton.Ló.p d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn d¯u.o c d¯eˆ` ca.ˆp tó.i o.’ d¯aˆy là mo.ˆt trong nh˜u.ngló.p d¯ó Ngu.ò.i ta d¯ã chú.ng minh d¯u.o. c r˘a`ng mo.i d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàncó tham soˆ´ n nguyeˆn toˆ´ và khác vó.i d¯oˆ` thi Petersen d¯eˆù có chu tr`ınhHamilton [4] Mo.ˆt soˆ´ nghieˆn cú.u gaˆ`n d¯aˆy treˆn d¯oˆ` thi meta luaˆn hoànba.ˆc 3 veˆ` vaˆń d¯eˆ` này c˜ung d¯ã có nhieˆù keˆ´t qua’ (xem trong [25], [26],[28], [29], [31], [35], [36])

Tieˆ´p theo hu.ó.ng nghieˆn cú.u này, chúng toî d¯˘a.t ra mu.c tieû thú hailà xem xét su. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong các d¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn ba.ˆc 4 lieˆn thoˆng Chu.o.ng 3 s˜e tr`ınh bày chi tieˆ´t các keˆ´t qua’ thud¯u.o. c cu’a lua.ˆn án

Nh˜u.ng keˆ´t qua’ sau d¯aˆy veˆ` su to. ˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong mo.ˆt

soˆ´ ló.p d¯oˆ` thi s˜e d¯u.o c su.’ du.ng cho các chú.ng minh o.’ Chu.o.ng 3 Tru.ó.c

heˆ´t là d¯oˆí vó.i d¯oˆ` thi Cayley He.ˆ qua’ 3 [6] d¯ã kh˘a’ng d¯i.nh trong các d¯oˆ`

thi Cayley lieˆn thoˆng treˆn nhóm giao hoán có caˆ´p ≥ 3, moˆ˜i ca.nh d¯eˆù

n˘a`m treˆn mo.ˆt chu tr`ınh Hamilton Do va.ˆy mo.i d¯oˆ` thi luaˆn hoàn lieˆnthoˆng d¯eˆù chú.a chu tr`ınh Hamilton Theˆm n˜u.a, các d¯oˆ` thi Cayley ba.ˆc

3 treˆn nhóm nhi die.ˆn còn d¯u.o c nói d¯eˆń trong d¯i.nh lý sau

D- i.nh l´y 1.4 ([8]) Mo.i d¯oˆ` thi Cayley ba.ˆc 3 lieˆn thoˆng treˆn nh´om nhi.

Trong d¯´o, nh´ om nhi die.ˆn D n l`a nh´om caˆ´p 2n (n > 1) sinh bo.’ i hai phaˆ`n

tu.’ α, β tho’a m˜ an α n = β2 = 1 v`a βαβ −1 = α −1

Trang 27

Gia’ su.’ G =M C(m, n, α, S0, S1, , S µ) là mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆnhoàn v´o.i ta.ˆp d¯ı’nh V = {v j i | i ∈ Z m , j ∈ Z n }, tu d¯˘a’ng caˆú ρ cu’a G xác

d¯i.nh bo’ i ρ : v. i

j → v i

j+1 l`a t´ıch cu’a m chu tr`ınh r`o.i nhau c´o d¯o.ˆ d`ai n:

ρ = (v00 v10 v n−10 )(v10 v11 v n−11 ) (v0m−1 v1m−1 v n−1 m−1 ) V`ı va.ˆy ρ là nu’ a ch´ınh qui Khi d¯´. o chúng ta có khái nie.ˆm d¯oˆ` thi thu.o.ng

D- i.nh ngh˜ıa 1.11 Gia’ su.’ nhóm các tu d¯˘a’ng caˆú cu’a d¯oˆ` thi G có phaˆ`n

tu ’ nu ’ a ch´ınh qui ρ Khi d¯´ o d ¯o ˆ` thi thu o.ng G/ρ d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa là d¯oˆ` thi vó i các d¯ı’nh là các qu˜ı d¯a.o cu’a ρ và hai d¯ı’nh là keˆ` nhau trong G/ρ

ne ˆ´u c´ o mo .ˆt ca nh trong G no ˆ´i hai d ¯ı’nh tu.o.ng ´ u.ng thuo .ˆc hai qu˜ı d ¯a o d ¯´ o.

Keˆ´t qua’ sau d¯aˆy veˆ` chu tr`ınh Hamilton trong d¯oˆ` thi thu.o.ng d¯˜ad¯u.o. c t´ac gia’ Alspach d¯u.a ra n˘am 1989

D- i.nh lý 1.5 ([2]) Gia’ su.’ d¯oˆ` thi G có mo.ˆt tu d¯˘a’ng caˆú ρ là nu.’a ch´ınh

qui v` a ρ c´ o ca ˆ´p t ≥ 3, G1, G2, , G k l` a c´ ac d ¯o ˆ` thi con ca’m sinh bo ’ i .

G tre ˆn c´ ac qu˜ı d ¯a o cu’a ρ Gia’ su ’ c´ . ac d ¯o ˆ` thi G i d ¯e ˆ`u lie ˆn tho ˆng v` a 2-ch´ınh qui Khi d ¯´ o G c´ o chu tr`ınh Hamilton ne ˆ´u mo .ˆt trong c´ ac kh˘ a’ng

d ¯i.nh sau l`a d¯´ung:

1 G r v` a G s c´ o c` ung bie ˆ’u tu o ng và có mo.ˆt d¯u.ò.ng Hamilton trong G/ρ

no ˆ´i ch´ ung v´ o.i nhau;

Ngo`ai ra, kh´ai nie.ˆm d¯oˆ` thi Petersen toˆ’ng qu´at GP (n, k) c˜ung caˆ`n

su.’ du.ng trong lua.ˆn án D- aˆy là mo.ˆt ló.p d¯oˆ` thi khá d¯˘a.c bie.ˆt Ngu.ò.i ta

d¯ã có d¯u.o. c d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ cho su to. ˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trongcác d¯oˆ` thi này M˘a.c dù khoˆng pha’i taˆ´t ca’ các d¯oˆ` thi GP (n, k) d¯eˆù là

d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn, nhu.ng keˆ´t qua’ d¯ó c˜ung có theˆ’ hoˆ˜ tro cho nh˜u.ngchú.ng minh o.’ Chu.o.ng 3 Ta có d¯i.nh ngh˜ıa sau:

Trang 28

D- i.nh ngh˜ıa 1.12 Cho tru.´o.c soˆ´ nguyeˆn n > 1 Khi d¯´o d¯oˆ` thi

Pe-tersen to ˆ’ng qu´ at GP (n, k), 1 ≤ k ≤ n − 1, l`a d¯oˆ` thi c´o ta.ˆp d¯ı’nh

V (GP (n, k)) = {u i , v i | 0 ≤ i ≤ n − 1} và ta.ˆp ca.nh E(GP(n, k)) = {u i u i+1 , u i v i , v i v i+k | 0 ≤ i ≤ n − 1}, o.’ d¯aˆy các chı’ soˆ´ du.ó.i luoˆn d¯u.o c

la ˆ´y theo modulo n.

D- ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ sau d¯aˆy cho su toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamiltontrong d¯oˆ` thi Petersen toˆ’ng quát c˜ung là keˆ´t qua’ cu’a Alspach

D- i.nh lý 1.6 ([1]) D - oˆ` thi Petersen toˆ’ng quát GP (n, k) là Hamilton khi v` a chı’ khi n´ o kho ˆng pha’i l` a mo .ˆt trong c´ ac d ¯o ˆ` thi sau:

keˆ´t qua’ thu. c su ca. ˆ`n thieˆ´t

Trang 29

Chu.o.ng 2

Chu.o.ng này tr`ınh bày các keˆ´t qua’ veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a các d¯oˆ`thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 O’ d¯aˆy, d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ d¯eˆ’ các d¯oˆ` thi..này là lieˆn thoˆng s˜e d¯u.o. c chú.ng minh Tù d¯ó chúng ta có theˆ’ kieˆ’m trat´ınh lieˆn thoˆng cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 cho bo’ i c´. ac tham

soˆ´ caˆú trúc b˘a`ng thu’ tu.c d¯u.o c gió.i thie.û o.’ cuoˆí chu.o.ng Keˆ´t qua’ nàynha.ˆn d¯u.o c tù các keˆ´t qua’ toˆ’ng quát veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi metaluaˆn hoàn d¯u.o. c xaˆy du. ng trong Mu.c 2.1 và vie.ˆc xem xét tù.ng kha’ n˘angcó theˆ’ cu’a d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 D- ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ nói treˆnc˜ung s˜e d¯u.o. c áp du.ng trong Chu.o.ng 3

Trong mu.c này, chúng ta s˜e chú.ng minh mo.ˆt soˆ´ keˆ´t qua’ toˆ’ng quát

veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a c´ac d¯oˆ` thi meta luaˆn ho`an

Gia’ su.’ G = M C(m, n, α, S0, , S µ) l`a mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn ho`an.D

p v j q ∈ E(G) vó.i p, q nào d¯ó ∈ Z n }.

• D - oˆ` thi G i , i ∈ {0, 1, , m − 1}, c´o ta.ˆp d¯ı’nh V (G i ) = V i v`a ta.ˆp

ca.nh E(G i ) = E i = {v i

Trang 30

Ta s˜e laˆ`n lu.o. t ch´u.ng minh c´ac me.ˆnh d¯eˆ` sau.

Me.ˆnh d¯eˆ` 2.1 Gia’ su ’ G = M C(m, n, α, S . 0, S1, , S µ ) l` a mo .ˆt d ¯o ˆ` thi meta lua ˆn ho` an Khi d ¯´ o:

Ch´ u.ng minh. 1 D- ˘a.t S = h ∈ Z m | V0V h ∈ E Khi d¯´o, 0 / ∈ S.

Neˆ´u h ∈ S th`ı s˜e c´o mo.ˆt ca.nh v0

p v h q, v´o.i p, q n`ao d¯´o thuo.ˆc Zn M˘a.tkh´ac, do ´anh xa τ : V (G) → V (G), v j i → v i+1

αj l`a mo.ˆt tu d. ¯˘a’ng caˆ´u cu’a

G ne ˆn τ −h ∈ Aut(G) Do d¯´o, τ −h (v0

p v q h ) = τ −h (v0p )τ −h (v h q ) = v p −h v q0,v´o.i p ≡ α −h p (mod n) v` a q ≡ α −h q (mod n), c˜ung l`a mo.ˆt ca.nh cu’a

G V`ı the ˆ´ V −h V0 ∈ E Va.ˆy −h ∈ S hay S = −S X´et ´anh xa.

ϕ : V (G) → V (C(m, S)), V i → v i D- aˆy s˜e là mo.ˆt song ánh, ho.n theˆń˜u.a V i V j ∈ E khi và chı’ khi v i v j ∈ E(C(m, S)) Do va.ˆy ϕ là mo.ˆt d¯˘a’ng

caˆ´u gi˜u.a G v`a d¯oˆ` thi luaˆn ho`an C(m, S).

2 D- ˘a.t G i = (V i , E i) v`a S i =

s ∈ Z n | v i

0v i s ∈ E i

Khi d¯´o, 0 / ∈ S i

Neˆú s ∈ S i th`ı s˜e c´o mo.ˆt hành tr`ınh W = v0i v i j11 v j i f f v s i trong G no ˆí v0i

v´o.i v s i Do ´anh xa ρ : V (G) → V (G), v i j → v i

j+1, c˜ung l`a mo.ˆt tu d. ¯˘a’ng

caˆú cu’a G ne ˆn ρ −s ∈ Aut(G) Tù d¯ó

c˜ung l`a mo.ˆt hành tr`ınh trong G D - ieˆù d¯ó chú.ng to’ v0i v −s i ∈ E i hay

−s ∈ S i Xét ´anh xa ψ : V (G i) → V (C(n, S i )), v j i → v j D- aˆy s˜e là mo.ˆtsong ánh Ho.n theˆ´ n˜u.a, v j i v h i ∈ E i khi v`a chı’ khi v j v h ∈ E(C(n, S i))

Va.ˆy ψ là mo.ˆt d¯˘a’ng caˆú gi˜u a G i và d¯oˆ` thi luaˆn hoàn C(n, S i)

Trang 31

3 Xét các d¯oˆ` thi G h v`a G k, v´o.i h = k baˆ´t k`y và tu d¯˘a’ng caˆú

τ n´oi treˆn cu’a G Ta c´ o τ k−h (v x h ) = v α k k−h x Nhu.ng do α ∈ Z ∗

n, neˆn

α k−h ∈ Z ∗

n V`ı va.ˆy, neˆ´u cho x cha.y qua taˆ´t ca’ c´ac phaˆ`n tu’ cu’a. Zn th`ı

α k−h x c˜ung pha’i cha.y qua taˆ´t ca’ các phaˆ`n tu’ cu’a. Zn D- ieˆù này chú.ngto’ r˘a`ng τ k−h

V h : V h → V k l`a mo.ˆt song ´anh

tu. Va.ˆy ha.n cheˆ´ cu’a τ k−h treˆn G h ch´ınh l`a d¯˘a’ng caˆ´u caˆ`n t`ım gi˜u.a G h

v`a G k Me.ˆnh d¯eˆ` 2.1 d¯˜a d¯u.o c ch´u.ng minh

Me.ˆnh d¯eˆ` 2.2 Gia’ su ’ G = M C(m, n, α, S . 0, S1, , S µ ) l` a mo .ˆt d ¯o ˆ` thi meta lua ˆn ho` an Khi d ¯´ o G l` a lie ˆn tho ˆng khi v` a chı’ khi ca’ hai d ¯o ˆ` thi G v` a G0 d ¯e ˆ`u lie ˆn tho ˆng.

Ch´ u.ng minh. Tru.ó.c heˆ´t ta thaˆý ngay r˘a`ng neˆú G lieˆn thoˆng th`ı ca’ hai

d¯oˆ` thi G và G0 d¯eˆù lieˆn thoˆng Ngu.o. c la.i, ta pha’i chú.ng minh neˆú ca’hai d¯oˆ` thi G và G0 cùng lieˆn thoˆng th`ı d¯oˆ` thi G c˜ung lieˆn thoˆng.

Tha.ˆt va.ˆy, x´et mo.ˆt d¯ı’nh v k (= v0

0) baˆ´t k`y cu’a G Do t´ınh lieˆn thoˆngcu’a d¯oˆ` thi G, ta c´o theˆ’ t`ım d¯u o c c´ac ca.nh v0

G1, G2, , G m−1 c˜ung lieˆn thoˆng Do d¯ó, ta có theˆ’ t`ım d¯u.o. c các hành

tr`ınh W i1, W i2, , W i f trong G, tu.o.ng ´u.ng noˆ´i v i j11 v´o.i v i1

j1 , v i2

j2 v´o.i v i2

j2,

Trang 32

, v i f

j f v´o.i v i f

j f Cuoˆí cùng ta c´o mo.ˆt hành tr`ınh W k, c˜ung trong d¯oˆ` thi

G, no ˆ´i v j k

k v´o.i v k Nhu va.ˆy, t`u d¯ı’nh v0

0 cu’a G ta luoˆn c´o theˆ’ t`ım d¯u.o. cmo.ˆt h`anh tr`ınh

thoˆng Me.ˆnh d¯eˆ` 2.2 d¯u.o c ch´u.ng minh

Vó.i hai keˆ´t qua’ treˆn, chúng ta d¯ã d¯u.a d¯u.o. c bài toán t`ım d¯ieˆù kie.ˆnlieˆn thoˆng cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn veˆ` da.ng d¯o.n gia’n ho.n là t`ımd¯ieˆù kie.ˆn lieˆn thoˆng cu’a hai d¯oˆ` thi luaˆn hoàn tu.o.ng ú.ng vó.i d¯oˆ` thi.meta luaˆn hoàn d¯ã cho D- eˆ’ d¯i d¯eˆń các keˆ´t qua’ cu theˆ’ khi xét xem mo.ˆtd¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn cho tru.ó.c có lieˆn thoˆng hay khoˆng, chúng ta s˜edùng d¯eˆń Me.ˆnh d¯eˆ` 1.1 và Me.ˆnh d¯eˆ` 2.3 du.ó.i d¯aˆy

Gia’ su.’ G = C(n, S) l` a mo.ˆt d¯oˆ` thi luaˆn hoàn và R là mo.ˆt ta.ˆp con cu’a S tho’a mãn hai d¯ieˆù kie.ˆn:

(i) R = −R;

(ii) V´o.i moˆ˜i s ∈ S, ta c´o s = h

i=1 t i r i, o.’ d¯aˆy t i ∈ Z, r i ∈ R.

Khi d¯ó ta nói r˘a`ng bieˆ’u tu.o ng S cu’a d¯oˆ` thi G sinh bo.’i R và ký hie.û

b˘a`ng S = R.

Me.ˆnh d¯eˆ` 2.3 Gia’ su ’ d¯o . ˆ` thi luaˆn ho`an G = C(n, S) c´o S = R Khi d ¯´ o G l` a lie ˆn tho ˆng khi v` a chı’ khi G = C(n, R) l` a lie ˆn tho ˆng.

Ch´ u.ng minh Tru.´o.c heˆ´t, do R ⊆ S neˆn t´ınh lieˆn thoˆng cu’a G s˜e suy ra

d¯u.o. c t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi G Ngu o c la.i, ta gia’ su.’ d¯oˆ` thi G l`a lieˆn

thoˆng v`a v k l`a mo.ˆt d¯ı’nh cu’a G Khi d¯´o, toˆ`n ta.i s1, s2, , s q ∈ S sao cho

v0v s1, v s1v s1+s2, , v s1+s2+···+s q−1 v k, o.’ d¯aˆy k = s1+s2+· · ·+s q là các ca.nhtrong d¯oˆ` thi G Nhu ng theo d¯ieˆù kie.ˆn (ii) nói treˆn, s i = h i

j=1 t i j r i j, o.’

d¯aˆy t i j ∈ Z, r i j ∈ R, i = 1, 2, , q Do d¯´o k =h

j=1 α j r j vó.i các giá tri

Trang 33

th´ıch ho. p cu’a h, α j ∈ Z v`a r j ∈ R, j = 1, 2, , h Baˆy gi`o ta xaˆy du ng

mo.ˆt hành tr`ınh trong G  nhu sau: Xuaˆ´t phát t`u v0 ta d¯i theo hành tr`ınh

v0v r1v 2r1 v α1r1 d¯eˆ’ t´o.i v α1r1, tieˆ´p theo t`u v α1r1 la.i d¯i theo h`anh tr`ınh

v α1r1v α1r1+r2v α1r1+2r2 v α1r1+α2r2 d¯eˆ’ t´o.i v α1r1+α2r2 Tieˆ´p tu.c nhu va.ˆy, tacó theˆ’ d¯i tó.i d¯u.o. c d¯ı’nh v k Nhu va.ˆy, tù v0 ta d¯ã có theˆ’ d¯i tó.i d¯ı’nh v k

baˆ´t k`y b˘a`ng mo.ˆt hành tr`ınh trong G Nhò kh˘a’ng d¯i.nh này và t´ınh b˘ać

caˆù cu’a d¯oˆ` thi luaˆn hoàn G , ta có theˆ’ keˆ´t lua.ˆn G c˜ung lieˆn thoˆng

B˘a`ng các d¯oˆ` thi G, G i và các me.ˆnh d¯eˆ` 1.1, 2.1, 2.2, 2.3, chúng tas˜e có coˆng cu d¯eˆ’ xác d¯i.nh d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ cho t´ınh lieˆn thoˆng cu’amo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn trong nh˜u.ng tru.ò.ng ho p cu theˆ’

D- eˆ’ tr`ınh bày các keˆ´t qua’ o.’ các mu.c sau, chúng ta qui u.ó.c mo.ˆt soˆ´thua.ˆt ng˜u và ký hie.û

j t+ l`a mo.ˆt h`anh tr`ınh kh´ac W trong G

vó.i d¯ı’nh d¯aˆù cu’a U trùng vó.i d¯ı’nh cuoˆí cu’a W th`ı h` anh tr`ınh P =

j t+ d¯u.o. c go.i l`a gh´ ep (concatenation) cu’a W v´ o.i U

và d¯u.o. c ký hie.û bo’ i W. ∗U Có theˆ’ thaˆý r˘a`ng phép ghép các hành tr`ınh

c´o t´ınh chaˆ´t keˆ´t ho. p, t´u.c l`a (W1∗W2)∗W3 = W1∗(W2∗W3) Ho.n theˆ´ n˜u.a,

ta c´o ch(W −1) ≡ −ch(W ) (mod n), ch(W ∗ U) ≡ ch(W ) + ch(U) (mod n) v`a neˆ´u W c´ o da.ng W = W1∗ Q ∗ Q −1 ∗ W2 th`ı ch(W ) = ch(W1∗ W2).

Gia’ su.’ G = M C(m, n, α, S0, , S µ) là mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn hoànv`a s l`a mo.ˆt phaˆ`n tu’ thuo.ˆc S. i Khi d¯´o mo.ˆt ca.nh cu’a G d¯u.o c go.i là

s+-ca nh neˆú nó c´o da.ng v y x v y+α x+i x s và d¯u.o. c go.i l`a s − -ca nh neˆú nó có

da.ng v y x v x−i

y−α x−i s Mo.ˆt ca.nh d¯u.o c go.i là s-ca.nh neˆú nó là s+-ca.nh ho˘a.c

s − -ca.nh Mo.ˆt ca.nh trong G d¯u o c go.i l`a S+

i -ca nh (tu o.ng ´u.ng, S −

i -ca nh,

Trang 34

S i -ca nh) neˆú nó l`a s+-ca.nh (tu.o.ng ú.ng, s − -ca.nh, s-ca.nh) vó i s nào d¯ó thuo.ˆc S i Neˆú taˆ´t ca’ c´ac ca.nh cu’a hành tr`ınh W d¯eˆù là s+-ca.nh (tu.o.ng

´

u.ng, s − -ca.nh, s-ca.nh, S i+-ca.nh, S i − -ca.nh, S i -ca.nh) th`ı W d¯u.o c go.i l`a

s+-h` anh tr`ınh (tu.o.ng ´ u.ng, s − -h` anh tr`ınh, s-h` anh tr`ınh, S i+-h` anh tr`ınh,

S i − -h` anh tr`ınh, S i -h` anh tr`ınh) Mo.ˆt s+-h`anh tr`ınh con (tu.o.ng ´u.ng, s −h`anh tr`ınh con, s-h` anh tr`ınh con, S i+-h`anh tr`ınh con, S i −-h`anh tr`ınh

-con, S i-h`anh tr`ınh con) l´o.n nhaˆ´t cu’a W d¯u.o. c go.i l`a s+-d ¯oa n (tu.o.ng

´

u.ng, s − -d ¯oa n, s-d ¯oa n, S i+-d ¯oa n , S i − -d ¯oa n, S i -d ¯oa n) cu’a W Mo.ˆt h`anh

tr`ınh con W cu’a W d¯u.o. c go.i l`a d ¯oa n cu’a W neˆú nó l`a mo.ˆt S i-d¯oa.nv´o.i i n`ao d¯´o thuo.ˆc vào {0, 1, , µ} Nhu va.ˆy, moˆ˜i hành tr`ınh W trong

G c´o theˆ’ bieˆ’u dieˆ˜n d¯u.o. c du.´o.i da.ng W = W1 ∗ W2 ∗ · · · ∗ W k, o.’ d¯aˆy

W1, W2, , W k l`a c´ac d¯oa.n cu’a W

Neˆú G = M C(m, n, α, S0, S1, , S µ) là mo.ˆt d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn,

ta thaˆ´y ngay r˘a`ng v´o.i d¯ı’nh v baˆ´t k`y cu’a G

Trong mu.c này, ta s˜e d¯i t`ım d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ cho t´ınh lieˆn thoˆngcu’a các d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 có bieˆ’u tu.o ng thú nhaˆ´t S0 = ∅.

Theo Coˆng th´u.c (2.1), boˆ’ d¯eˆ` sau d¯aˆy d¯˜a d¯u.o. c chı’ ra.

Bo ˆ’ d ¯eˆ` 2.4 ([32]) Gia’ su. ’ G = M C(m, n, α, S0, , S µ ) l` a mo .ˆt d ¯o ˆ` thi meta lua ˆn ho` an v´ o.i S0 = ∅ Khi d¯ó G là d¯oˆ` thi ba.ˆc 4 neˆú và chı’ neˆú

mo .ˆt trong c´ ac d ¯ie ˆ`u kie.ˆn sau d¯u o c tho’a m˜an:

Trang 35

1 |S0| = 4 v`a S1 = · · · = S µ = ∅;

2 m v` a n d ¯e ˆù ch˘ a ñ, |S0| = 3, S j = ∅ vó.i mo.i j ∈ {1, 2, , µ − 1} và

|S µ | = 1;

3 m ch˘ a ñ, |S0| = 2, S j = ∅ vó.i mo.i j ∈ {1, 2, , µ − 1} và |S µ | = 2;

4 m > 2, |S0| = 2, |S i | = 1 vó.i i nào d¯ó thuo.ˆc {1, 2, , µ} neˆú

m le’ ho˘ a c thuo .ˆc {1, 2, , µ − 1} ne ˆú m ch˘ a ñ và S j = ∅ cho mo.i

D- i.nh lý 2.5 Gia’ su.’ G = MC(m, n, α, S0, , S µ ) l` a mo .ˆt d ¯o ˆ` thi meta lua ˆn ho` an ba .ˆc 4 v´ o.i S0 = ∅ Khi d¯ó d¯oˆ` thi G là lieˆn thoˆng khi và chı’ khi G tho’a m˜ an mo .ˆt trong c´ ac d ¯ie ˆù kie.ˆn sau:

4 m > 2, S0 = {±s}, S i = {k} vó.i i nào d¯ó thuo.ˆc {1, 2, , µ} neˆú

m le’ ho˘ a c thuo .ˆc {1, 2, , µ − 1} ne ˆú m ch˘ a ñ và gcd(i, m) = 1,

S j = ∅ cho mo.i j ∈ {1, 2, , µ} \ {i} v`a gcd(s, r, n) = 1, o.’ d¯aˆy

r = k(1 + α i +· · · + α (m−1)i );

5 m = 2, n ch˘ a ˜n, S0 = { n

Trang 36

6 m > 2 ch˘ a ˜n, n ch˘a˜n, S0 = { n

2}, S i = {s} v´o.i gcd(i, m) = 1, S j = ∅ cho mo i j ∈ {1, 2, , µ − 1} \ {i}, S µ = {r} v`a gcd(p, n

r(1 + α i + α 2i +

· · · + α(2t −1)i

)− s(1 + α i + α 2i +· · · + α (µ−1)i

) la ˆ´y theo modulo n.

Ch´ u.ng minh. Gia’ su.’ d¯oˆ` thi G = MC(m, n, α, S0, , S µ) c´o ba.ˆc b˘a`ng

4 v`a S0 = ∅ Theo Boˆ’ d¯eˆ` 2.4, chı’ có theˆ’ xa’y ra mo.ˆt trong soˆ´ sáu tru.ò.ng

ho. p cu’a boˆ’ d¯eˆ` này Vó.i tù.ng tru.ò.ng ho. p d¯ó, chúng ta s˜e xem xét các

d¯oˆ` thi G = C(n, S) v`a G0 = C(n, S0) d¯u.o. c xaˆy du. ng t`u G Tieˆ´p theo,

´

ap du.ng Me.ˆnh d¯eˆ` 2.2, vie.ˆc t`ım d¯ieˆ`u kie.ˆn caˆ`n v`a d¯u’ d¯eˆ’ d¯oˆ` thi G lieˆn

thoˆng s˜e d¯u.o. c d¯u.a veˆ` bài toán cùng loa.i treˆn hai d¯oˆ` thi G và G0 Theo

Me.ˆnh d¯eˆ` 2.1, G và G0 d¯eˆù là các d¯oˆ` thi luaˆn hoàn V`ı va.ˆy ta có theˆ’ ápdu.ng các me.ˆnh d¯eˆ` 1.1 và 2.3 d¯eˆ’ chı’ ra d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n t`ım

Tru.ó.c heˆ´t ta pha’i xaˆy du. ng các d¯oˆ` thi G và G0 cho tù.ng tru.ò.ng

ho. p. Có theˆ’ thaˆý r˘a`ng vó.i d¯oˆ` thi G = MC(m, n, α, S0, S1, , S µ)cho tru.´o.c, vie.ˆc xác d¯i.nh d¯oˆ` thi G là khá d¯o n gia’n: G = C(m, S) vó.i

S = {±i | i ∈ Z m v`a S i = ∅} D - oˆí vó.i G0, vaˆń d¯eˆ` khoˆng còn d¯o.ngia’n nhu va.ˆy D- eˆ’ xaˆy du ng G0 = C(n, S0), ta caˆ`n t`ım ta.ˆp R sao cho S0 = R b˘a`ng cách chı’ ra r˘a`ng vó.i mo.ˆt hành tr`ınh P baˆ´t k`y

trong G noˆí hai d¯ı’nh v x0 v`a v y0 cu’a V0, ta luoˆn c´o ch(P ) ∈ R V`ı ch(W1 ∗ W2) = ch(W1) + ch(W2) v`a ch(W ∗ W −1) = 0 vó.i mo.i hành

tr`ınh W, W1, W2 baˆ´t k`y, neˆn khoˆng làm gia’m t´ınh toˆ’ng quát, ta có theˆ’gia’ thieˆ´t r˘a`ng hành tr`ınh P d¯ang xét chı’ có các d¯aˆù mút là thuo.ˆc V0

v` a P kho ˆng ch´ u.a h` anh tr`ınh con da ng W ∗ W −1 (*)

D- eˆ’ chú.ng minh d¯i.nh lý này, chúng ta s˜e laˆ`n lu.o t xét các tru.ò.ng

ho. p 1 – 6 trong Boˆ’ d¯eˆ` 2.4

Trang 37

1 |S0| = 4 v`a S1 = · · · = S µ = ∅.

Gia’ su.’ S0 = {±s, ±r} Khi d¯ó ta thaˆý r˘a`ng G = C(m, S) vó.i S = ∅

c`on G0 = C(n, S0) v´o.i S0 = S0 Theo c´ac me.ˆnh d¯eˆ` 2.2, 1.1 v`a 2.3, G

lieˆn thoˆng khi và chı’ khi tru.ò.ng ho. p 1 cu’a D- i.nh lý 2.5 xa’y ra

2 m v` a n d ¯e ˆù ch˘ a ñ, |S0| = 3, S j = ∅ vó.i mo.i j ∈ {1, 2, , µ − 1} và

v´o.i z ∈ S0 V`ı va.ˆy ch(P ) ∈ S0 Neˆ´u P c´o nh˜u.ng d¯ı’nh khoˆng thuo.ˆc

V0 th`ı P pha’i c´ o da.ng v x0v x+k µ Qv y+k µ v y0, o.’ d¯aˆy Q l`a mo.ˆt h`anh tr`ınh trong

G[V µ] Ta c´o ch(Q) ∈ S0 do G[V µ] d¯˘a’ng caˆ´u v´o.i C(n, α µ S0) Do d¯´o

ch(P ) = k + ch(Q) − k = ch(Q) ∈ S0 Va.ˆy S0 = S0 La.i theo c´ac

me.ˆnh d¯eˆ` 2.2, 1.1 và 2.3, ta có theˆ’ keˆ´t lua.ˆn r˘a`ng G lieˆn thoˆng khi và chı’

khi d¯ieˆù kie.ˆn 2 cu’a d¯i.nh lý d¯u.o c thoa’ mãn

3 m ch˘ a ñ, |S0| = 2, S j = ∅ vó.i mo.i j ∈ {1, 2, , µ − 1} còn |S µ | = 2.

Gia’ su.’ S0 = {±s}, S µ =B˘a`ng la.ˆp lua.ˆn tu.o.ng tu nhu tru.`o.ng ho p 2, ta c˜ung c´o G0 = C(n, S0)v´o.i S0 =

chúng ta keˆ´t lua.ˆn r˘a`ng G lieˆn thoˆng khi và chı’ khi d¯ieˆù kie.ˆn 3 cu’a d¯i.nh

l´y d¯u.o. c thoa’ m˜an

4 m > 2, |S0| = 2, |S i | = 1 vó.i i nào d¯ó thuo.ˆc {1, 2, , µ} neˆú m le’ ho˘ a c thuo .ˆc {1, 2, , µ − 1} ne ˆú m ch˘ a ñ và S j = ∅ vó.i mo.i j ∈ {1, 2, , µ} \ {i}.

Trong tru.`o.ng ho. p n`ay, G = C(m, S) v´ o.i S = {±i} Ta c`on pha’i

Trang 38

x´ac d¯i.nh G0 Gia’ su.’ S0 = {±s}, S i = {k}, d l`a soˆ´ nguyeˆn du.o.ng nho’

nhaˆ´t thoa’ m˜an di ≡ 0 (mod m) v`a r = k(1 + α i +· · · + α (d−1)i) Ta s˜e

chı’ ra r˘a`ng G0 = C(n, S0) o.’ d¯aˆy S0 = R v´o.i R = {±s, ±r}.

Gia’ su.’ P l` a mo.ˆt hành tr`ınh nào d¯ó trong G noˆí 2 d¯ı’nh v x0 v`a v y0cu’a V0 v`a P thoa’ m˜an gia’ thieˆ´t (*) Chúng ta s˜e chú.ng minh r˘a`ng

ch(P ) ∈ R b˘a`ng qui na.p theo soˆ´ c´ac S0-d¯oa.n cu’a P

Neˆú P khoˆng ch´u.a S0-d¯oa.n th`ı P pha’i là mo.ˆt S i-hành tr`ınh V`ı va.ˆy

P l` a mo.ˆt S i+-h`anh tr`ınh ho˘a.c mo.ˆt S i −-h`anh tr`ınh Khi P l` a mo.ˆt S i+-h`anh

tr`ınh, P s˜e c´o da.ng v x0v i x+k v 2i

x+k+α i k v x+r0 Do va.ˆy ch(P ) = r ∈ R.

Còn neˆú P l` a mo.ˆt S i −-h`anh tr`ınh th`ı P −1 c˜ung s˜e có da.ng treˆn neˆn

ch(P −1) ∈ R v`a do d¯´o ch(P ) = −ch(P −1) c˜ung thuo.ˆc R.

Neˆú P c´ o mo.ˆt S0-d¯oa.n th`ı P pha’i thuo.ˆc mo.ˆt trong các da.ng sau: (a) P l` a mo.ˆt S0-hành tr`ınh;

(b) P = Q1 ∗ Q2 ∗ Q3, o.’ d¯aˆy Q1 v`a Q3 là c´ac S i -d¯oa.n còn Q2 là

Trang 39

Neˆ´u ca’ Q1 v`a Q3 d¯eˆ`u l`a S i −-h`anh tr`ınh th`ı P −1 = Q −13 ∗ Q −1

2 ∗ Q −1

1

là hành tr`ınh vù.a d¯u.o. c xét o.’ treˆn V`ı va.ˆy ch(P −1) ∈ R Do d¯ó ch(P ) = −ch(P −1) c˜ung pha’i thuo.ˆc vào R.

(b2) Q1 l`a mo.ˆt S i+-h`anh tr`ınh, c`on Q3 l`a S i −-h`anh tr`ınh ho˘a.c ngu.o c

la.i Q1 l`a S i −-h`anh tr`ınh c`on Q3 l`a S i+-h`anh tr`ınh.

Neˆú Q1 l`a mo.ˆt S i+-hành tr`ınh c`on Q3 l`a S i −-hành tr`ınh th`ı ta có theˆ’gia’ thieˆ´t r˘a`ng Q1 c´o da.ng (2.2), khi d¯ó Q3 s˜e pha’i có da.ng

Va.ˆy ch(P ) ∈ R neˆ´u P ch´u a mo.ˆt S0-d¯oa.n

Gia’ su.’ ta d¯ã chú.ng minh d¯u.o. c ch(P ) ∈ R vó.i mo.i hành tr`ınh

P trong G c´ o ´ıt ho.n t S0-d¯oa.n vó.i t ≥ 2 Gia’ su.’ P là mo.ˆt hành tr`ınh trong G c´ o t S0-d¯oa.n Ta pha’i chú.ng minh ch(P) ∈ R.

Tha.ˆt va.ˆy, ta d¯ã bieˆ´t hành tr`ınh P luoˆn có theˆ’ vieˆ´t d¯u.o c du.ó.i da.ng

P = P1 ∗ P2 ∗ · · · ∗ P z o.’ d¯aˆy P1, P2, , P z l`a c´ac d¯oa.n cu’a P Theo gia’

thieˆ´t (*) v`a t ≥ 2, P1 khoˆng theˆ’ l`a mo.ˆt S0-d¯oa.n Nhu va.ˆy P2 pha’i l`a

S0-d¯oa.n thú nhaˆ´t cu’a P mà ta g˘a.p khi d¯i do.c theo P Ký hie.û v a

b l`a

d¯ı’nh chung cu’a P2 v`a P3, c`on W l` a mo.ˆt S i-h`anh tr`ınh trong G no ˆ´i v b a

v´o.i mo.ˆt d¯ı’nh nào d¯ó cu’a V0 Deˆ˜ thaˆý r˘a`ng hành tr`ınh W nhu treˆn luoˆn

toˆ`n ta.i X´et h`anh tr`ınh P = P1 ∗ P2 ∗ W ∗ W −1 ∗ P3 ∗ · · · ∗ P z Khi

d¯´o ca’ hai h`anh tr`ınh con cu’a P  l`a P1 ∗ P2 ∗ W v`a W −1 ∗ P3 ∗ · · · ∗ P z

d¯eˆù thoa’ mãn các d¯ieˆù kie.ˆn cu’a gia’ thieˆ´t qui na.p Do d¯ó ta có ngay

ch(P1 ∗ P2 ∗ W ) ∈ R và ch(W −1 ∗ P3 ∗ · · · ∗ P z) ∈ R Tù d¯ó suy ra ch(P ) = ch(P ) = ch(P1 ∗ P2∗ W ) + ch(W −1 ∗ P3 ∗ · · · ∗ P z) ∈ R.

Nhu va.ˆy, ta d¯ã chı’ ra d¯u.o c r˘a`ng vó.i mo.i hành tr`ınh P trong G noˆí

Trang 40

2 d¯ı’nh v x0 v`a v y0 cu’a V0, ch(P ) ∈ R Va.ˆy S0 = R.

La.i áp du.ng các me.ˆnh d¯eˆ` 2.2, 1.1 và 2.3, chúng ta keˆ´t lua.ˆn r˘a`ng G

lieˆn thoˆng khi và chı’ khi d¯ieˆù kie.ˆn 4 cu’a D- i.nh lý 2.5 d¯u.o c thoa’ mãn

5 m v` a n d ¯e ˆù ch˘ a ñ, |S0| = 1, S j = ∅ ∀j ∈ {1, 2, , µ − 1} và |S µ | = 3.

Tru.ò.ng ho. p này d¯u.o. c chú.ng minh tu.o.ng tu. nhu các tru.ò.ng ho p 2

v`a 3 Ta khoˆng tr`ınh b`ay chi tieˆ´t o’ d¯a. ˆy

6 m > 2, m v` a n d ¯e ˆù ch˘ a ñ, |S0| = 1, |S i | = 1 vó.i i nào d¯ó thuo.ˆc v` ao {1, 2, , µ − 1} còn S j = ∅ vó.i mo.i j ∈ {1, 2, , µ − 1} \ {i} và

|S µ | = 1.

Gioˆńg nhu trong tru.ò.ng ho p 4, b˘a`ng qui na.p có theˆ’ chú.ng minh

các d¯ieˆù kie.ˆn 6 và 7 cu’a D- i.nh lý 2.5 O’ d¯aˆy chúng toî xin tr`ınh bày.cách khác ng˘ań go.n ho.n

sao cho uv ∈ E(G) C´o theˆ’ kieˆ’m tra d¯u.o c r˘a`ng

G  d¯˘a’ng caˆú vó.i d¯oˆ` thi meta luaˆn hoàn MC(m, n2, α , S0 , , S µ ), trong

0 = ∅ M˘a.t kh´ac, deˆ˜ chı’ ra d¯u.o c r˘a`ng G lieˆn thoˆng

khi v`a chı’ khi G  lieˆn thoˆng Theo D- i.nh lý 2 trong [27], G lieˆn thoˆngkhi và chı’ khi xa’y ra mo.ˆt trong hai d¯ieˆù kie.ˆn sau:

(a) S i  = {s } o.’ d¯aˆy i le’ thoa’ m˜an gcd(i, m) = 1, S 

Định dạng
Số trang	87
Dung lượng	1,18 MB