Tính nén của exciton trong các bán dẫn có kích thích cao

Cơ sở vật lí để sinh ra các trạng thái nén là các tương tác phi tuyến,vào những năm đầu tiên của thập niên 1960 đã mở ra khả năng mớitrong việc tạo nên mật độ lớn các cặp điện tử - lỗ tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ QUỲNH CHÂM

TÍNH NÉN CỦA EXCITON TRONG CÁC BÁN DẪN CÓ KÍCH THÍCH

CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Xuân Hòa, năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS - Trần TháiHoa – người thầy, người hướng dẫn khoa học, người định hướng nghiêncứu cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này

Xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong khoa Vật Lýtrường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảngdạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũngnhư kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua Cuối cùng,tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, các bạn học viêncao học K18 – chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán đã tạo điềukiện thuận lợi, khích lệ, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học để tôi cóđược như ngày hôm nay

Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành, nhưng thời gian nghiên cứu

có hạn nên luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rấtmong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy , cô giáo,các bạn học viên và những người quan tâm đến đề tài này

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Quỳnh Châm

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là : Nguyễn Thị Quỳnh Châm học viên Cao học K18Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “ Tính nén của exciton trong các bándẫn có kích thích cao” , là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đề tàikhông trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu có gì không trungthực tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Tác giả

Nguyễn Thị Quỳnh Châm

KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Từ viết tắt Tên đầy đủ tiếng Anh Tên đầy đủ tiếng Việt

VB Valence band Vùng hoá trị

CB Conduction band Vùng dẫn

GS Ground state Trạng thái cơ bản 0D Zero dimension Không chiều 1D One dimension Một chiều QWs Quantum wires Dây lượng tử

QD Quantum dots Chấm lượng tử

AS Ánh sáng

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Ký hiệu viết tắt

Mục lục

Danh sách hình vẽ

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Cấu trúc đề tài 3

6 Những đóng góp mới của đề tài 3

Chương 1 Sơ lược về exciton 4 1.1 Exciton 4

1.3 Exciton Wannier–Mott 7

Chương 2 Giới thiệu phương pháp nghiên cứu tính nén của

Chương 3 Sự sinh ra các exciton nén trong chất bán dẫn

3.3 Sự sinh ra các exciton nén trong tương tác exciton-photon

DANH SÁCH HÌNH VẼ

1.1 Hình 1.1 Sơ đồ của sự hình thành không cộng hưởng exciton

tiếp giáp; b)exciton trong QW, c) exciton trong chấm

phụ thuộc vào thời gian cũng như chịu ảnh hưởng của các

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm về exciton đầu tiên được đưa ra năm 1931 bởi Frenkel,sau đó là Pieirls, Wannier, Elliot, Knox Khi chiếu chùm tia sáng vàobán dẫn thì một số điện tử ở vùng hóa trị hấp thụ ánh sáng nhảy lênvùng dẫn, để lại vùng hóa trị và điện tử ở vùng dẫn mà hình thành trạngthái liên kết cặp điện tử - lỗ trống được gọi là chuẩn hạt exciton Excitonchỉ có mặt trong chất bán dẫn hoặc điện môi, nó có thể mang một nănglượng kích thích nhưng lại trung hòa về điện Thời gian sống của exciton

là nhỏ, vì điện tử và lỗ trống có thể tái hợp bởi bức xạ photon, hoặcexciton có thể bị phân rã do những khiếm khuyết của mạng tinh thể

Cơ sở vật lí để sinh ra các trạng thái nén là các tương tác phi tuyến,vào những năm đầu tiên của thập niên 1960 đã mở ra khả năng mớitrong việc tạo nên mật độ lớn các cặp điện tử - lỗ trống trong bán dẫn.Lúc này các hiệu ứng phi tuyến mới bộc lộ bản chất của mình cho conngười nhận thức được thêm nhiều cơ chế tương tác lý thú cũng như đềxuất nhiều ứng dụng khác nhau của chúng trong khoa học kỹ thuật.Năm 1970, Stoler lần đầu tiên mô tả một trạng thái đặc biệt mà sau đó(năm 1979) được Hollenhorst gọi là "trạng thái nén" (squeezed state)

và cũng phải đến năm 1985 trạng thái nén mới được Slusher phát hiệnbằng thực nghiệm Lý thuyết đã tiên đoán trạng thái nén cho excitonvào năm 1991 Nghiên cứu hiệu ứng nén của exciton trong bán dẫn là

cần thiết vì ngoài việc đóng góp vào tri thức chung của ngành phi tuyến,chính sự tìm hiểu các trạng thái nén này làm tiền đề cho việc tìm ra cácphương pháp nghiên cứu tính nén của exciton Như vậy việc nghiên cứutính nén của exciton trong các bán dẫn có kích thích cao là một việclàm cần thiết, hữu ích cho khoa học, kỹ thuật và đây vẫn là vấn đề thuhút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học Do đó tôi lựa chọn đềtài "Tính nén của exciton trong các bán dẫn có kích thích cao" làm đềtài nghiên cứu của mình.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết về exciton nghiên cứu tính nén của excitontrong các bán dẫn có kích thích cao, nêu được vai trò của tính phi tuyếntrong vấn đề nén Nghiên cứu hiệu ứng nén, bao gồm điều kiện xảy rahiện tượng nén, mức độ nén của các chuẩn hạt exciton trong các bándẫn có kích thích cao

3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục tiêu đã đề ra như trên, đề tài tập trung vào hai nội dungchính:

• Exciton

• Nghiên cứu tính nén của exciton

4 Phương pháp nghiên cứu

- Các phương pháp chung của vật lí lí thuyết và vật lí toán, đồngthời với kết hợp tính toán số minh họa trên máy tính sử dụng phần mềmMathematica

- Sử dụng giải tích toán học

5 Cấu trúc của đề tài

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, tài liệutham khảo và phụ lục, nội dung của luận văn được trình bày trong 3chương Nội dung cụ thể của các chương như sau:

• Chương 1: Sơ lược về exciton

• Chương 2: Giới thiệu phương pháp nghiên cứu tính nén của ton

exci-• Chương 3: Sự sinh ra các exciton nén trong chất bán dẫn khi cókích thích cao

6 Những đóng góp mới của đề tài.

Từ các trạng thái nén của exciton trong các bán dẫn có kích thíchcao và kết hợp với việc sử dụng phần mềm Mathematica, đã mô tả sựthay đổi tính nén của nó khi các thông số trong và thông số ngoài thayđổi bằng hình vẽ

Chương 1 Sơ lược về exciton

Khái niệm exciton đầu tiên được đưa ra năm 1931 bởi Frenkel, sau

đó là Pieirls, Wannier, Elliot, Knox Khi chiếu chùm tia sáng vào bándẫn thì một số điện tử ở vùng hóa trị (Valence band-VB) hấp thụ ánhsáng nhảy lên vùng dẫn (Conduction band-CB), để lại VB các lỗ trốngmang điện tích dương Do tương tác Coulomb giữa lỗ trống ở VB vàđiện tử ở CB mà hình thành trạng thái liên kết cặp điện tử - lỗ trốngđược gọi là giả hạt exciton

Exciton có thể chuyển động trong tinh thể và mang một năng lượngkích thích nhưng nó lại trung hòa về điện Thời gian sống của exciton

là ngắn, do điện tử và lỗ trống có thể dễ dàng tái hợp và phát bức

xạ photon, hoặc exciton có thể bị phân rã do những khiếm khuyết củamạng tinh thể Ví dụ như thời gian sống của exciton trong Ge chỉ cỡphần mười micro-giây Người ta có thể coi exciton như nguyên tử Hydronhưng sự khác nhau về khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trốngtrong bán dẫn không lớn bằng sự khác nhau giữa khối lượng của điện tử

và proton trong nguyên tử Hydro Bán kính Bohr của exciton rất lớn sovới khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể Bán kính này có giá

trị biến thiên trong một khoảng khá rộng ứng với các loại bán dẫn khácnhau Nếu bán kính Bohr cùng bậc với hằng số mạng, tương tác giữađiện tử và lỗ trống là mạnh, điện tử và lỗ trống liên kết chặt với nhautrong cùng một ô đơn vị hay trong các ô đơn vị lân cận gần nhất Liênkết 11 cặp mạnh này gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là exciton bánkính nhỏ Nếu bán kính Bohr của exciton lớn hơn đáng kể so với hằng sốmạng của tinh thể bán dẫn, nghĩa là khối lượng hiệu dụng của lỗ trốnghay điện tử nhỏ, hằng số điện môi lớn, thì hàm sóng ở GS của excitonbao trùm nhiều ô cơ sở của mạng tinh thể bán dẫn và thế Coulomb theo

đó biến thiên ít trong phạm vi mỗi ô cơ sở Loại trạng thái liên kết cặpyếu này gọi là exciton Wannier–Mott hay exciton bán kính lớn

Khi ánh sáng mang năng lượng cỡ tương đương với năng lượng vùngcấm trong vật liệu bán dẫn cấu trúc nanô được hấp thụ bởi các điện tử,chúng sẽ nhảy lên CB, để lại VB các lỗ trống mang điện dương Do đóhình thành cặp điện tử lỗ trống trong cấu trúc nanô lượng tử Tương

tự như vậy đối với sự hình thành exciton 1D trong QWs và exciton 0Dtrong QD

Hình 1.1: Sơ đồ của sự hình thành không cộng hưởng exciton trong giếng lượng tử hv

là năng lượng của ánh sáng kích thích, L chỉ độ rộng của giếng, PL là năng lượng phát quang, EcvàEυ lần lượt là độ lệch vùng dẫn và vùng hoá trị.

Đối với bán dẫn khối, năng lượng toàn phần của exciton là tổngnăng lượng vùng cấm và năng lượng liên kết của exciton (bởi vì nănglượng tương tác Coulomb âm nên các mức kích thích nằm dưới CB trongkhối).

Sử dụng mô hình Wannier đơn giản, các mức năng lượng của excitonđược xác định như sau:

∗ y

với n = 0, 1, và R∗y là hằng số Rydberg

R∗y = 13, 6 [eV ] µ

e là hằng số điện môi tương đối Trong các cấu trúc nanô, năng lượngtoàn phần được thêm vào các yếu tố khác do sự giam cầm điện tử và lỗtrống:

Hơn nữa, cần nhấn mạnh rằng, khi số chiều cấu trúc giảm thì nănglượng liên kết của exciton tăng lên Do đó exciton trong cấu trúc nanôbán dẫn bền vững hơn so với exciton trong khối Như vậy, tổ hợp exciton

là một đặc điểm quan trọng của sự phát quang ở nhiệt độ thấp trong cấutrúc lượng tử Biết năng lượng liên kết của exciton và năng lượng giamcầm các hạt, ta có thể tính được năng lượng toàn phần của exciton, đócũng chính là năng lượng phát quang Tùy thuộc vào sự phân bố củacặp điện tử - lỗ trống trong không gian pha mà người ta chia excitonlàm hai loại: Exciton Frenkel và exciton Wannier - Mott

1.2 Exciton Frenkel Exciton Frenkel (exciton thẳng, exciton truyền thống): được hìnhthành bởi liên kết cặp điện tử và lỗ trống, trong đó không gian pha

Ωe(pe, re) của điện tử hoàn toàn trùng với không gian pha Ωh(ph, rh)của lỗ trống, ở đây pe, re là xung lượng và toạ độ của điện tử, ph, rh làxung lượng và toạ độ của lỗ trống

1.3 Exciton Wannier–MottExciton Wannier–Mott (exciton xiên): giả hạt này được hình thànhcũng từ liên kết cặp của điện tử và lỗ trống Tuy nhiên, không gian phacủa điện tử và lỗ trống không hoàn toàn trùng nhau Chính vì vậy, người

ta còn gọi exciton Wannier–Mott là exciton xiên Sự không trùng nhautrong không gian pha có thể ở không gian (xiên theo tọa độ) (Hình 1.2),hoặc trong không gian (xiên theo xung lượng) (Hình 1.3), hoặc trong cảhai

Hình 1.2: Exciton xiên theo không gian − →r ; a) Exciton mặt tiếp giáp; b)exciton trong

QW, c) exciton trong chấm lượng tử

Hình 1.3: Exciton xiên theo không gian xung lượng k

Chương 2: Giới thiệu phương pháp nghiên cứu tính nén của exciton.

2.1 Giới thiệu.

Hệ thức bất định Heisenberg không cho phép đo chính xác đồngthời hai đại lượng vật lí bất kì, nếu các toán tử mô tả các đại lượng nàykhông giao hoán với nhau, như xung lượng và tọa độ, pha trường và sốhạt, hai thành phần vuông góc của một trường

Ở đây chúng ta sẽ nói về các trạng thái khác nhau, trong các trạngthái đó các đại lượng vật lí được quan sát có sai số Trong các trạngthái hỗn loạn (chaotic), tích các trung bình phương sai số của cặp tùy

ý các đại lượng như thế luôn luôn lớn hơn 1/16 Trạng thái kết hợp(coherent) đầu tiên được Schrodinger đề nghị, sau đó được Glauber,Klauder, Sudarshan và những người khác phát triển sau năm 1960, làtrạng thái trong đó cả hai đại lượng đã đề cập đến ở trên có sai số bằngnhau, sao cho tích các trung bình bình phương sai số (phương sai) củachúng bằng 1/16 Như Glauber, Sudarshan và Mehta đã chứng minh,các trạng thái kết hợp rất tiện lợi mô tả cơ lượng tử các nguồn sáng kếthợp Các trạng thái này cũng được dùng để mô tả tính siêu dẫn và tínhsiêu chảy và để mô tả các phonon trong các tinh thể Trạng thái kết hợpxem như là trạng thái “tốt nhất”, cho đến năm 1970 mới được Stoler gợi

ý và thuần túy toán học đưa ra một trạng thái giả định, trạng thái đócho phép “nén” một trong hai sai số của các đại lượng đã nói trong miềnbất định của chúng đến zero, hay có thể chấp nhận hơn là nó cho phépthực hiện các phép đo có độ chính xác vượt qua các giới hạn đã biết Trạng thái quan trọng này 9 năm sau mới được Hollenhorst gọi là “nén”(squeezed), và phải 15 năm sau, trạng thái này mới được quan sát bằngthực nghiệm Quan sát đầu tiên thấy độ nén yếu của ánh sáng (AS) đãđược mô tả và sau đó độ nén mạnh hơn của AS đã được quan sát.Bởi vì trạng thái nén cung cấp các khả năng tiềm tàng để tránh

và hạn chế tiếng ồn lượng tử nên nó được ứng dụng, chẳng hạn, trongcác phép đo giao thoa kế chính xác cao, thông tin quang, phổ học laser

tử ngoại nhạy, phổ học nguyên tử, và dò tìm sóng hấp dẫn, nó là đốitượng quan trọng của các nghiên cứu lý thuyết, thực nghiệm và các hoạtđộng thực tiễn Trong quang học lượng tử, vị trí của nó đã được thiếtlập vững chắc và nó đang được nghiên cứu với sự chú ý ngày càng tăng.Bây giờ ta hãy xét một ánh sáng đơn sắc theo quan điểm cổ điển.Điện trường tuần hoàn hình sin có thể biểu diễn như là tổng của hai đại

Và điện trường có thể viết như là:

Các thành phần x và p được gọi là các thành phần trực giao, vìtrong mặt phẳng phức chúng vuông góc với nhau Năng lượng trong

bị hạn chế Ánh sáng đơn sắc có thể được biểu diễn bằng cách tương tựtheo quan điểm cơ lượng tử Các đại lượng E(t), a(t), a ∗ (t), x và p cóthể chuyển thành các toán tử trong một không gian Hilbert Trong cơ

với nhau sẽ tuân theo hệ thức giao hoán cho các boson:

Từ đây có thể thấy là các toán tử x và p không giao hoán với nhau,chúng tuân theo hệ thức giao hoán:

trung bình bình phương sai số) của các đại lượng x và p Không giốngnhư các mode cổ điển, các thành phần này không thể đồng thời xác địnhchính xác với các sai số nhỏ tùy ý Năng lượng trong mode lượng tử là

ω(< n > +12), ở đây ω là năng lượng của mỗi photon và n = a+a là toán

Các độ lệch chuẩn này mang ý nghĩa như là độ bất định gắn vớimỗi thành phần trực giao của trường lượng tử việc đo đồng thời các đạilượng trực giao sẽ không cho phép nhận được các số đo chính xác, cặp số

đo (x, p) sẽ tản mạn không xác định trong một vùng gọi là miền khôngxác định quanh điểm (< x >, < p >) Điều đó chỉ ra rằng sự mô tả cổđiển đơn giản một pha nào đó không có ngẫu nhiên là không thể được

Ngoài việc biểu diễn độ bất định của a trong các tọa độ Descartesvuông góc, nó còn được biểu diễn trong các tọa độ cực

Tọa độ đó có độ lệch biên độ chuẩn (hay độ lệch xuyên tâm chuẩn)

σ|a|, độ bất định góc phương vị σΦ và độ lớn trung bình |< a >| Đối với

Nhận được

liên hệ này không chính xác hoàn toàn, tuy vậy chúng cũng cung cấpmột cách thô thiển các mối liên hệ lẫn nhau của các độ bất định khácnhau

Rõ ràng cả hai hệ tọa độ, Descartes và cực, đã cung cấp các biểudiễn thích hợp cho việc mô tả các độ bất định liên quan đến trường lượng

Độ bất định trong một thành phần trực giao có thể bị “nén” dưới 1/2,nhưng điều này đạt được chỉ khi độ bất định trong một thành phần trựcgiao kia phải “phình” ra trên 1/2 để tích của chúng có giá trị bằng hoặc

thái nén trực giao có thể xảy ra, nhưng không cần là một trạng thái cócác độ bất định nhỏ nhất

Một trạng thái khác là nén số hạt (number squeezing) được định

này cũng chỉ đạt được khi độ bất định phương vị phải “phình” ra, sao

bị nén số hạt còn được gọi với một vài tên khác, sub-Poisson, ánh sángcâm, ánh sáng lặng lẽ, Nó được gọi là ánh sáng sub-Poisson vì độ lệchchuẩn của nó bé hơn ( ở dưới) phân bố Poisson đặc trưng cho trạng tháikết hợp

Ngày nay, các trạng thái nén đã được mở rộng cho soliton, polariton,phonon, exciton, biexciton, Nói riêng, người ta đã quan tâm đến việckhảo sát sự nén trong các phần tử của đại số SU(1) và SU(2) Các đềtài này không những quan trọng cho quang học lượng tử mà còn cho cả

lý thuyết trường lượng tử, vật lý chất rắn và các lĩnh vực khác của vật

lý học.

Với quan điểm lý thuyết, các trạng thái nén gây nên bởi tính phituyến Các cơ chế vật lý của sự sinh ra chúng, do đó cũng phải tìm trongcác tương tác phi tuyến Vì trong chân không tương tác cặp AS-AS làkhông xảy ra, các trạng thái nén của ánh sáng có thể thấy rõ là phảitìm trong các môi trường vật chất, ở đó ánh sáng mới có thể tương tácvới ánh sáng nhờ các tương tác của nó với các kích thích sơ cấp củamôi trường Các môi trường vật chất như thế có thể có giản đồ 2 mứchoặc các mẫu Jaynes-Cummings nhiều mức và rất nhiều hệ phi quangtuyến có cấu hình hình học khác nhau, ở đó các trạng thái nén của ánhsáng được sinh ra nhờ sự phát sinh hòa âm bội 2 hoặc bội 3, sự trộn

4 sóng, sự khuếch đại thông số, tính lưỡng ổn định quang học và lânquang cộng hưởng tập thể Các môi trường quang sợi cũng có thể nénánh sáng nhờ tính phi tuyến kiểu Kerr Một kim loại đã được sử dụngnhư một môi trường, ở đó các photon lúc đầu là “tuyến tính” tương tácvới các plasma electron có thể trở thành “phi tuyến” và dần dần đi đếncác trạng thái nén [6] Gần đây, người ta chú ý đến các bán dẫn biểuhiện các tính chất phi tuyến quang cộng hưởng mạnh trong miền phổ ởgần vùng cấm Trong miền năng lượng ấy, exciton bán dẫn đóng vai tròthen chốt gây ra rất nhiều sự chú ý và hiện tượng mới Ánh sáng truyềnbên trong một bán dẫn có thể tương tác cộng hưởng với các exciton vàtrở thành các polariton

Vì chứa đựng sẵn những kích thích, các polariton tương tác mạnhvới nhau bên trong chất bán dẫn Ở luận văn này chúng ta hạn chế vấn

đề cho trạng thái nén biên độ trực giao Để làm việc này, chúng ta sửdụng các bức tranh polariton để ước lượng các phương sai trực giao củaexciton (hoặc photon ) như là hàm của các tương tác tuyến tính ( tỉ lệ

với g) và phi tuyến ( tỉ lệ với f và với l) của AS-giả hạt của môi trường.Ngoài ra các phương sai biên độ trực giao còn phụ thuộc vào các thông

số ngoài như thể tích của mẫu, trạng thái ban đầu của ánh sáng kíchthích, độ mất điều hưởng tần số giữa AS kích thích và exciton

Điều đó dẫn đến việc phân tích dễ dàng các điều kiện để nhiều nhất

cho exciton và photon, bị nén và có thể tính toán các điều kiện tối ưu choviệc ghi nhận các photon nén đi ra khỏi mẫu Trong nhiều công trình,bằng con đường tương tự người ta đã tính toán các điều kiện nén biên

độ trực giao cho photon, ở đây chúng ta sẽ tính toán cho exciton, ápdụng các kết quả giải tích đã tính được cho các mẫu bán dẫn thực vớicác đặc trưng đã biết rõ và sẽ minh họa bởi các đồ thị cần thiết để biểuhiện khả năng sinh ra các trạng thái exciton nén qua các cơ chế tươngtác khác nhau gây ra do exciton

2.2 Hamiltonian bosonic hiệu dụng.

Để đơn giản việc mô tả và tính toán, ta xét một bán dẫn hai miềnvới vùng cấm thẳng và cho phép chuyển giữa hai miền Nếu như bándẫn được kích thích bởi bơm quang học, ở miền dẫn sẽ xuất hiện một

số eclectron chuyển lên từ miền hóa trị và để lại ở phía dưới các lỗtrống Coi ánh sáng trong bán dẫn là các photon, Hamiltonian của hệphoton-elcectron-lỗ trống có dạng:

cv[∈0ω (k) V ]−1/2

lượng, V là thể tích của mẫu, U (k) = 4πe2/ ∈0k2
; c (c+) , e (e+) , h (h+)tương ứng là các toán tử lượng tử hóa lần thứ hai của photon, electron

và lỗ trống Nếu những kích thích quang học không quá cao, sao chotrạng thái cuối cùng của miền phổ tương tác Coulomb electron-lỗ trống

ở gần, nhưng ở phía dưới mép vùng, cặp electron-lỗ trống ấy được gọivới một cái tên là exciton Ở mật độ hạn chế, các exciton không phải

là các boson lý tưởng vì tương tác Coulomb dư, cũng như hiêu lực củanguyên lý cấm Pauli, ở trong một exciton sẽ tác động tới các excitonkhác Một trong những cách tiếp cận khả dĩ hệ nhiều exciton là đưa vàomột Hamiltonian hiệu dụng, trong đó các exciton xuất hiện như là cácboson lý tưởng và lúc đó các đặc tính không bosonic nêu trên có thểđược tính đến một cách thích hợp

Để xây dựng một Hamiltonian như vậy, chúng ta đưa ra các vectortrạng thái một hai exciton đồng thời dưới dạng, một dạng coi các exciton

lỗ trống là các fermion.

|ex; vk i = a+vk|0i = √1

VX

là hàm sóng mô tả chuyển động tương đối electron-lỗ trống trong không

P

ϕv(k − βp)e+k−ph+pc+k0 |0i (2.14)

các phần tử ma trận (2.17)-(2.19) của H giữa các trạng thái fermionicban đầu và cuối cùng tương ứng.

VX

Coulomb trực tiếp giữa các hạt cấu thành của các exciton phân biệt,

Q = −→p − −→q

và mô tả tích phân trao đổi gây ra bởi nguyên lý loại trừ Pauli (Lưu ý

ở hiệu trên chúng ta đã điền dấu các vector, trong các công thức ở trêncũng như cả sau này các vector sẽ không điền dấu, tuy vậy việc đó sẽkhông đưa đến các lầm lẫn nào)

fvµξζ(1)(k) = U (k)

VX

k 1

ϕv(k1 − βk) ϕ∗ξ(k1) 1

VX

k 1

ϕµ(k2 − βk) ϕ∗ζ(k2)

(2.22)

Ảnh hưởng của spin các hạt đã được xét, về mặt giải tích và cả tính

exciton với ánh sáng, một photon có thể bị hấp thụ (phát xạ) để sinh(hủy) một exciton với sự trợ giúp của một exciton khác cùng tồn tạitrong một môi trường với exciton cũ (hình 2.1) Các quá trình này cóthể xảy ra nhờ sự trao đổi hiệu dụng giữa các hạt fermionic cấu thànhcủa hai exciton tham gia đồng thời trong cùng một sự kiện với mộtphoton Loại này của quá trình cho phép các exciton ở các trạng thái cómomen quỹ đạo khác nhau (không phải chỉ trạng thái S) tương tác vớiánh sáng Các biểu thức của chúng là: