Phép biến đổi tích phân kiểu tích phân kiểu tích chập Kontorovich - Lebedev fourier cosine và ứng dụng

10 2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, 2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tíchphân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược... Vũ K

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRỊNH TUÂN

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ và hướng dẫn tậntình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúptác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạnhọc viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bèđồng nghiệp trường PTDT Nội Trú THCS-THPT Bắc Hà, Lào Cai đã quantâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ vàhoàn thành luận văn này !

Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016

Tác giả

Trần Hữu Hải

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng vàbiết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016

Tác giả

Trần Hữu Hải

Danh mục kí hiệu

F Phép biến đổi Fourier;

Fs Phép biến đổi Fourier sine;

Fs
1 Phép biến đổi Fourier sine ngược;

Fc Phép biến đổi Fourier cosine;

Fc
1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược;

K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev;

K
1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược;

C0pR q Là không gian các hàm số liên tục trên R ;

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản 41.1.1 Một số không gian hàm dùng trong luận văn 41.1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine 61.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev 61.2 Một số kiến thức về tích chập 71.2.1 Định nghĩa tích chập 71.2.2 Ví dụ 81.3 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích

phân 101.3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa 10

2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine,

2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tíchphân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược 12

2.2 Các bất đẳng thức chuẩn 162.3 Định lý kiểu Watson 22

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi tích chập ph  fq của hai hàm h và f, nếu ta cố định một tronghai hàm, chẳng hạn cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trên không gianhàm xác định Ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chậpdạng D : f ÞÑ g  Dph  fq trong đó: g pxq  D ph  fq pxq và D là mộttoán tử nào đó Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được xây dựngtheo kiểu này nổi tiếng nhất là phép biến đổi liên quan đến tích chập của phépbiến đổi tích phân Mellin ([4])

gpxq 

8

»

0

kpxyq f pyq dy, x ¡ 0

Tiếp nối ý tưởng này, những năm (1999-2003) GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đạihọc West Georgia, Mỹ) và các đồng nghiệp đã xây dựng được một lớp phépbiến đổi tích phân dạng trên đối với tích chập Fourier cosine



f 

F c

h và tíchchập suy rộng Fourier cosine và Fourier sine

Năm 2013 tác giả N.T.Hồng, Trịnh Tuân, N.X.Thảo ([6]) đã xây dựng phépbiến đổi tích phân cho tích chập suy rộng với hàm trọng γ đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngược (Fc, K
1) từ

đó chỉ ra được tính Unita của phép biến đổi này và nghiên cứu ứng dụng củaphép biến đổi trong trường hợp bậc của toán tử D là hữu hạn Với mong muốn

được tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân kiểutích chập, được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài

“Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich- Lebedev Fourier cosine và ứng dụng”để nghiên cứu

Đề tài luận văn Thạc sỹ được trình bày trong 35 trang A4, ngoài phần lờinói đầu và tài liệu tham khảo luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1 Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho cácchương sau

Chương 2 Trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phépbiến đổi tích phân Fc, K
1 (2.1) Nghiên cứu sự tồn tại của chúng trên cáckhông gian hàm, nhận được đẳng thức nhân tử hóa và các bất đẳng thức dạngchuẩn của chúng Từ đó đi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chậpsuy rộng (2.1) Nội dung chính của chương này là các định lý: Định lý 2.1,Định lý 2.4 và Định lý 2.6

Chương 3 Sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đốivới hai phép biến đổi Fc, K
1 (2.1) ở chương II Trong trường hợp phép biếnđổi này có bậc của toán tử D là hữu hạn để giải đóng một lớp bài toán dạngCauchy mà phương trình của nó là phương trình vi-tích phân Kết quả chínhcủa chương này là Định lý 3.1

Để tiện theo dõi trong quá trình viết luận văn Chúng tôi đã đưa vào danhmục các kí hiệu toán học ở trang đầu

toán tử D và ứng dụng để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phươngtrình của nó là phương trình vi-tích phân.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn trình bày 3 vấn đề chínhVấn đề 1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tíchphânpFc, K
1q

Vấn đề 2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng pFc, K
1q vớihàm trọng

Vấn đề 3 Ứng dụng giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fc, K
1 vớihàm trọng trên không gian L2pR q và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Chương 1

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân

Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản vềmột số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập dùng để nghiêncứu cho hai chương chính của luận văn là chương 2 và chương 3

Tài liệu chính để viết chương này là ([1, 2, 3, 6])

1.1.1 Một số không gian hàm dùng trong luận văn

• L1pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p
8, 8q sao cho

và L1pR q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

1.1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine

Định nghĩa 1.1 ([4]) Cho hàm fpxq P L1pRq Khi đó phép biến đổi tíchphân Fourier (F ) đối với hàm f được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2 ([4]) Phép biến đổi Fourier cosinepFcq của một hàm

f P L1pR q là một hàm được xác định bởi công thức

pFcfqpxq 

c2π

8

»

0cos xyfpyqdy, x ¡ 0 (1.3)

Phép biến đổi Fourier cosine ngược pF
1

c q của hàm f được xác định nhưsau

Nhận xét 1.2 Vì | cos xy| ¤ 1, | sin xy| ¤ 1 và fpxq P L1pR q nên các tíchphân (1.3), (1.4) đều hội tụ với mỗi x P R

1.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev

Định nghĩa 1.3 ([6]) Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev được

nghiên cứu đầu tiên bởi M J Kontorovich và N N Lebedev trong khoảng

nó bao hàm các hạt nhân và hàm Macdonald Kvpxq của chỉ số ảo thuần túy

ν  iy Hàm Kνpzq thỏa mãn phương trình Bessel

zνKνpzq  2ν
1Γpνq op1q, z Ñ 0, ν  0 (1.8)K0pzq 
log z Op1q, z Ñ 0 (1.9)Ngoài ra hàm Macdonald còn có dạng biểu diễn sau đây

Định nghĩa 1.4 ([4,10]) Cho U1pX1q, U2pX2q là các không gian tuyến tính,

VpY q là một đại số Khi đó,

pq : U1pX1q  U2pX2q Ñ V pY q

pf, gq ÞÑ pf  gqpyqđược gọi là phép toán tích chập Ký hiệupq

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính UpXq vào đại

số VpY q : K : UpXq Ñ V pY q

Tích chập của hai hàm f P U1pX1q; g P U2pX2q đối với phép biến đổi tíchphân K là một hàm, ký hiệu pf  gq sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đâyđược thỏa mãn

Kpf  gqpyq  pKfqpyq.pKgqpyq (1.12)Khi đó không gian UpXq cùng với phép toán chập p  q trên xác định mộtđạị số

Trong phần này chúng ta trình bày một số các kết quả về tích chập đối vớicác phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev

để minh họa cho Định nghĩa 1.4, ngoài ra các tích chập này còn dùng đểnghiên cứu các chương sau của luận văn

Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đốivới phép biến đổi tích phân K với hàm trọng γpyq, ký hiệu pf γ gqpxq và thỏamãn đẳng thức nhân tử hóa

Kpf  gqpyq  γpyqpKfqpyqpKgqpyq (1.15)Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng vànghiên cứu

fpyqrgp|x
y|q gpx yqsdy; x ¡ 0 (1.16)Tích chập này thuộc không gian L1pR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

»80exp



12

xuv

xvu

uvx

fpuqgpvq

dudv, x ¡ 0.(1.18)Tích chập này thuộc không gian L1pR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Kpf 

Kgqpyq  pKfqpyq.pKgqpyq, @y ¡ 0 (1.19)

1.3 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi

tích phân

1.3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa

Trong phần này chúng tôi trình bày tóm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suyrộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân như sau Xét các phépbiến đổi tích phân

Định nghĩa 1.5 ([8]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân

K1, K2, K3 với hàm trọng γ1 của hai hàm f và g là một biểu thức

f γ g1 sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

K1

f γ g1 pyq  γ1pyqpK2fqpyqpK3gqpyq, @y P Y (1.20)

Ví dụ 4 ([10])

Cho f, g P L1pR q Tích chập với hàm trọng γpyq  sin y của hai hàm số

f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.4) được xác định như sau



f γ

Fsg pxq  1

2?2π

» 80

fpxq

signpx y
1qg|x y
1|

signpx
y 1qg|x
y 1|
gpx y 1q

signpx
y
1qgp|x
y
1|q



dy (1.21)Tích chập

Chương 2

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

suy rộng Fourier cosine,

Kontorovich-Lebedev ngược

Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng đối với phépbiến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược (2.1) Nghiêncứu sự tồn tại của toán tử tích chập này cũng như đẳng thức nhân tử hóa, đẳngthức Parseval và các bất đẳng thức chuẩn trên lớp các không gian hàm khácnhau Sau đó, chúng tôi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suyrộng này bằng kỹ thuật cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trong khônggian hàm xác định và xây dựng toán tử D8 tác động vào

2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi

tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược

Định nghĩa 2.1 ([8]) Tích chập suy rộng với hàm trọng γpyq  1

y sinhpπyqcủa hàm h và f với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phép biến đổitích phân Kontorovich-Lebedev ngược được định nghĩa như sau

phγ fqpxq  1

π2

» 80

» 80

Fcphγ fqpyq  γpyqpK
1hqpyqpFcfqpyq, @y ¡ 0, (2.2)

trong đó K
1 là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược được xác định ở (1.12) Fc là phép biến đổi Fourier cosine được xác định ở (1.4)

Nhận xét: Như vậy ta thấy trong đẳng thức nhân tử hóa (2.2) của tích chậpsuy rộng (2.1) có hai phép biến đổi khác nhau tham gia là Fc, K
1

» 80

1

u|e
u coshpx vq e
u coshpx
vq||hpuq||fpvq|dudv

¤

» 80

» 80

1

u| sinhpx vq||e
u coshpx vq||hpuq|| sinhpx vq||fpvq| dudv

» 80

» 80

» 80

1u

1

| sinhpx vq||hpuq||fpvq|dudv

M2

» 80

» 80

|hpuq|

u

|fpvq|

| sinhpx
vq|dudv   8.

Lưu ý rằng

» 80

sinhpx αqe
u coshpx αqdx  1

ue

u cosh α (2.3)

và

» 80

| sinhpx
vq|e
u coshpx
vqdx 

» 8vsinhpx
vqe
u coshpx
vqdx

»v 0sinhpx
vqe
u coshpx
vqdx

» 80

» 80

e
u coshpx vq|hpuq||fpvq|dudvdx



» 80

» 80

» 80

| sinhpx vq|e
u coshpx vq|hpuq||fpvq|

sinhpx vqdudvdx

¤

» 80

» 80

» 80

| sinhpx vq|e
u coshpx vq|hpuq||fpvq|

sinhpvq dudvdx



» 80

» 80

» 80

» 80

» 80

e
u coshpx
vq|hpuq||fpvq|dudvdx



» 80

» 80

» 80

| sinhpx
vq|e
u coshpx
vq|hpuq||fpvq|

sinhpx
vqdudvdx



» 80

» 80

» 80

| sinhpx
vq|e
u coshpx
vq|hpuq| |fpvq|

sinhpx
vqdudvdx

¤

» 80

» 80

2

» 80

|hpuq|

u

|fpvq|

Từ (2.1), (2.5) và (2.6) ta suy ra

» 80

|phγ fqpxq|dx

¤ 1

π2

» 80

» 80

» 80

» 80

» 80

1u

2

π2y cospyvq sinhpπyqKiypuqhpuqfpvqdudv

 2

π2

c2π

» 80

» 80

» 80

» 80

1

u cospyvqhpuqfpvq

 » 80cospyαqe
u cosh αdα

dudv(2.7)

 1

π2

c2π

» 80

» 80

1

uhpuqfpvq

" » 80rcos ypα vqcos ypα
vqse
u cosh αdα

*dudv

Ngoài ra

» 80cos ypα vqe
u cosh αdα 

» 8v

cospytqe
u coshpt
vqdt, (2.8)

» 80cos ypα
vqe
u cosh αdα 

» 8

vcospytqe
u coshpt vqdt (2.9)

Tương tự, sử dụng (2.8) và (2.9), ta có

» 80rcos ypα vq cos ypα
vqse
u cosh αdα

» 8vcospytqe
u coshpt
vqdt

» 0

v

cospytqe
u coshpt vqdt

» 80cospytqe
u coshpt vqdt



» 80cospytqe
u coshpt vqdt

» 8v

cospytqe
u coshpt
vqdt

»v 0cospytqe
u coshpt
vqdt



» 80cospytqre
u coshpt vq e
u coshpt
vqsdt (2.10)Ngoài ra, kết hợp tất cả (2.7)-(2.10) ta có

γpyqpK
1hqpyqpFcfqpyq

 1

π2

c2π

» 80

» 80

1

uhpuqfpvq

" » 80cospytqre
u coshpt vq

e
u coshpt
vqsdt

*dudv



c2π

» 80cospytq

"

1

π2

» 80

» 80

1

uhpuqfpvqre
u coshpt vq

e
u coshpt
vqsdudv

*dt

 Fcphγ fqpyq

Do đó, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) được chứng minh 

Nhận xét 2.1 Toán tử tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến

đổi tích phân Fc, K
1 (2.1) không có phần tử đơn vị

Thật vậy dùng phản chứng Giả sử tồn tại e P LpR , 1

xq là phần tử đơn vịtrái của toán tử tích chập suy rộng (2.1) tức là

Theo Định lý (2.1), ta có

Fcpeγ fqpxq  γpyqpK
1eqpxqpFcfqpxq, @x ¡ 0,Suy ra:

γpyqq  Kpy sinhpπyqq, @x ¡ 0, (2.12)

Do Kpy sinh pπyqq không tồn tại theo công thức 9.7.4 ([7]) Suy ra khôngtồn tại epxq phần tử đơn vị trái Suy ra không tồn tại phần tử đơn vị cho tíchchập (2.1)

Trong phần này chúng tôi trình bày một số các bất đẳng thức dạng chuẩnđối với tích chập suy rộng (2.1) trên một số các không gian hàm khác nhau.Chẳng hạn L1pR q, Lα,β

r pR q Đặc biệt trong phần này chúng tôi nhận đượcđịnh lý dạng Young’s đối với tích chập suy rộng (2.1)

Định lý sau đây cho ta đánh giá bất đẳng thức chuẩn của tích chập suyrộng (2.1) trên không gian L1pR q và còn nhận được đẳng thức Parseval

Định lý 2.2 ([6]) Cho h P L
1,β

p pR q và g P L1pR q, 0   β ¤ 1 Khi đó tích chập suy rộng (2.1) tồn tại với hầu hết x ¡ 0, thuộc L1pR q và đánh giá sau là đúng

Hơn thế, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) là đúng Hơn nữa, nếu 0   β   1 thì tích chập (2.1) thuộc C0 pR q và đẳng thức Parseval xảy ra với mọi x ¡ 0

h fγ pxq 

c2π

c2π

1rhspyqpFcfqpyq cospxyqdy

Từ đó ta nhận được đẳng thức Parseval (2.14), và định lý đã được chứng minh.Trên không gian Lα,γp pR q chúng ta cũng có đánh giá bất đẳng thức chuẩncho tích chập suy rộng (2.1)

Định lý 2.3 ([6]) Cho 1   p   8 là một số thực và q là số mũ liên hợp của

nó, nghĩa là 1p 1q  1 Khi đó với h P L
p,β

p pR q và f P LqpR q, tích chập suy rộng

Sử dụng biểu diễn tích phân (2.15) cho hàm K0puq, bất đẳng thức Holder,

và hiển nhiên eu coshpx vq eu coshpx
vq ¤ 2e
u với tất cả u, x, v dương, ta có

1 p

1 q

}f}LqpRq (2.17)

Do đó, tích chập suy rộng được xác định rõ ràng là một toán tử bị chặn vàđánh giá (2.17) đúng Hơn nữa, ta có

 2

π2p2γq
1

r

γ2

α r

Γ2rpα 1

2 q}h}L
p,β

p pRq}f}LqpRq, α ¡
1.Suy ra (2.16) Định lý đã được chứng minh

Định lý Young’s đã được phát biểu cho tích chập Fourier, chúng tôi xinnhắc lại như sau:

Định lý Young’s ([9]) Cho p, q, r là các số thực trong p1; 8q sao cho 1

p 1





 ¤ }h}LppRq}f}LqpRq}k}LrpRqtrong đó

Định lý 2.4 (Định lý dạng Young’s) ([6]) Cho p, q, r là các số thực trong

p1; 8q sao cho 1

p

1 q

1p1  1

q

1q1  1r1r1  1

Ta có

pF  G  Hqpx, u, vq  |fpuq

u ||gpvq||hpxq|eu coshpx vq eu coshpx
vq

.(2.19)Mặt khác, trong không gian Lp1pR q ta có

π2 }f}L
p,β

p pR q}g}LqpR q}h}LrpRq Định lý đã được chứng minh

Bất đẳng thức Young’s được suy ra từ định lý trên

Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức Young’s) ([6]) Cho 1   p   8,

π2 }f}L
p,β

p pR q}g}LqpR q (2.24)

Do đó, tích chập suy rộng xác định rõ ràng toán tử bị chặn và? ?ánh giá (2.17) Hơn nữa, ta có

 2

π2p2γq
... pRq}f}LqpRq, α ¡
1.Suy (2.16) Định lý chứng minh

Định lý Young’s phát biểu cho tích chập Fourier, xinnhắc lại sau:

Định lý Young’s ([9]) Cho p, q, r số... class="page_container" data-page="28">

π2 }f}L
p,β

p pR q}g}LqpR q}h}LrpRq Định lý chứng minh

Bất