Nghiên cứu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng

Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng.. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử biến dạng - Tìm hiểu sự dịch chuyển phổ năn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHƯƠNG THỊ HOA

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô công tác tại phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội,ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Khương Thị Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan rằng các sổ liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận

văn là trung thực, và không trùng với các luận văn khác

Hà Nội,ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Khương Thị Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài) 2

Chương 1 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ 3

1.1.Dao động tử 3

1.1.1 Dao động tử Boson 3

1.1.2 Dao động tử Fermion 6

1.2 Phổ năng lượng của dao động tử 8

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử Boson 8

1.2.2 Phổ năng lượng của dao động tử Fermion 11

Chương 2 SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNGCỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG -q 14

2.1 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson 14 2.1.1 Dao động tử biến dạng - q Boson 14

2.1.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson 16

2.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Fermion 20 2.2.1 Dao động tử biến dạng - q Fermion 20

2.2.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Fermion……… 21

Chương 3 SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA CÁC DAO

ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG (q, R) 25

3.1 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – R 26

3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng – R 26

3.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – R 27

3.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)29 3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng (q, R) 28

3.2.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R) 32

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật

lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác

Để giải thích một số hiện tượng và hiệu ứng mới được phát hiện vào những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học cổ điển không thể giải thích được, các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như Max Planck, Albert Einstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giả thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn của năng lượng của một số loại hệ vi mô Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sở của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ điển sang vật lý học lượng tử

       6 , 11 , 12 , 13

Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trong vật

lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường lực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị gián đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của hạt vi mô không thể có Với dao động tử điều hoà phổ năng lượng chỉ gồm các giá trị gián đoạn, các mức năng lượng cách đều nhau, với các dao động tử biến dạng các mức năng lượng không cách đều nhau nữa, nghĩa là phổ năng lượng đã bị dịch chuyển đi Sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động

tử biến dạng vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học Với lý do

đó tôi chọn đề tài nghiên cứu: “SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ CỦA CÁC DAO

ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử biến dạng

- Tìm hiểu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng

4 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động biến dạng

- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hoà

- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử biến dạng và sự dịch chuyển phổ của các dao động biến dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết

6 Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài)

Sử dụng phương pháp lý thuyết biến dạng để tìm phổ năng lượng của dao động tử biến dạng, kết quả cho thấy phổ năng lượng của dao động tử biến dạng là gián đoạn và khoảng cách giữa các vạch phổ là không bằng nhau Điều này gợi ý rằng có thể sử dụng lý thuyết biến dạng để nghiên cứu các hệ vật lý sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn dùng phương pháp lý thuyết thông

thường tương ứng

Chương 1 PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản

về một số dao động tử lượng tử và phổ năng lượng của chúng, bao gồm dao động tử Boson và dao động tử Fermion Những kết quả nghiên cứu này là cơ

sở có thể mở rộng để xác định phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng

1.1.Dao động tử    1 , 2

1.1.1 Dao động tử Boson

Dao động tử Boson là dao động của các hạt có spin nguyên

Với các toán tử hủy, sinh a aˆ ˆ, dao động tử Boson đơn mode tuân hệ thức giao hoán sau:

a aˆ ˆ,   aaˆ ˆ a aˆ ˆ 1

(1.1) Toán tử số dao động N có dạng:

Không gian Fock là không gian mà véc tơ cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định

Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 , được xác định là trạng thái thỏa mãn điều kiện:

aˆ 0 0

(1.5) Gọi n là các véctơ cơ sở trong không gian Fock, mà là các vector riêng của toán tử số dao động N có dạng:

ˆ( )

0

!

n

a n

n



 n=0,1 (1.6) trong đó, toán tử số N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

N n n n

(1.7) Thật vậy, chúng ta có:





 ˆ 0

!

n

n a n

Dao động tử Fermion là dao động của các hạt có spin bán nguyên

Dao động tử Fermion đơn mode tuân theo hệ thức phản giao hoán sau:

 

 2 2

Ta có, toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

N n n n

n=0,1 Khi ấy tác dụng của toán tử ˆ ˆb b,  lên trạng thái n :

1.2 Phổ năng lƣợng của dao động tử      8 , 9 , 10

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử Boson

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson có dạng:

m là khối lượng của dao động tử  là tần số dao động

là hằng số PlankCác toán tử tọa độ ˆx và toán tử xung lượng ˆp có thể biểu diễn qua toán

tử sinh, hủy a aˆ ˆ, như sau:

n

H n E n

(1.19) với toán tử năng lượng được xác định bởi (1.18):

Thayvào (1.19),chúng ta được:

Từ kết quả tính toán ở hệ thức (1.20) và (1.25), chúng ta thấy rằng phổ năng lượng của dao động tử Boson là gián đoạn, các vạch phổ phân bố cách đều nhau,khoảng cách giữa hai vạch phổ kế tiếp bằng 

1.2.2 Phổ năng lượng của dao động tử Fermion

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Fermion có dạng:

m là khối lượng của dao động tử

w là tần số dao động

là hằng số PlankCác toán tử tọa độ và xung lượng được biểu diễn qua các toán tử sinh, hủy ˆb b,ˆnhư sau:

Thay p xˆ ˆ, từ (1.27) vào biểu thức (1.26), chúng ta được:

H  (1.28) Phổ năng lượng của dao động tử được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H:

ˆ

n

H n E n (1.29) với toán tử năng lượng được xác định bởi (1.28)

Thay vào (1.29), chúng ta được:

w

2 n  E n n

w2

n

E

  (1.30)

Kết quả tính toán ở công thức (1.30) phù hợp với nguyên lý loại trừ Pauli:

“Không tồn tại hai Fermion có cùng các trạng thái lượng tử” Mỗi dao động tử

Fermon ở trạng thái xác định có năng lượng w

2

n

Kết luận chương 1

Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một cách logic, đầy đủ về hình thức luận của các dao động tử Boson, dao động tử Fermion Trình bày được các hệ thức giao hoán của các dao động tử tương ứng, xác định được biểu thức tính năng lượng và phổ năng lượng của chúng

Có thể mở rộng những kết quả trên cho trường hợp của dao động biến dạng để xác định phổ năng lượng và sự dịch chuyển phổ của các dao động tử biến dạng trong các chương tiếp theo

Chương 2

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG -q 2.1 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson

2.1.1 Dao động tử biến dạng - q Boson  7

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và toán tử sinh dao động tử a aˆ ˆ, 

theo hệ thức giao hoán sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ N

aa qa a q (2.1)

Trong đó: q là thông số biến dạng

N là toán tử số dao động tử Toán tử số dao động biến dạng N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

q q n

Trong đó 0 là trạng thái nền (trạng thái chân không),

2.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson

Hamiltonian của dao động tử biến dạng - q Boson được biểu diễn qua toán tử tọa độ ˆx và toán tử xung lượng ˆp có dạng:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

n n q

q

q q n

 

,những mức tiếp theo không cách đều nhau tức là các vạch phổ bị dịch

chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông thường,

và khi 0<q<1 thì n càng lớn các mức càng sít nhau hơn

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

2 12

n

  n=0,1,2…

2.2 Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng - q Fermion

2.2.1 Dao động tử biến dạng - q Fermion  7

Các toán tử sinh dao động tử ˆb

và hủy dao động tử ˆb của dao động tử

Fermion biến dạng - q tuân theo các hệ thức giao hoán sau:

 2 2

(2.18) Khi q = 1 thì ta có dao động tử Fermion thông thường (1.10)

 

ˆ ˆˆ

w ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

2  , những mức tiếp theo không cách đều nhau tức là các vạch phổ bị dịch chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông thường, và khi 0<q<1 thì n càng lớn các mức càng sít nhau hơn

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

Kết luận chương 2

Trong chương 2 chúng ta đã khảo sát hệ các dao động tử Boson và Fermion biến dạng q: Đưa ra hệ thức giao hoán cơ bản của các dao động tử biến dạng, xây dựng toán tử năng lượng và giải phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của các dao động tử Boson và Fermion biến dạng q, so sánh kết quả với các dao động tử điều hòa Boson và Fermion thông thường

Từ đó ta có kết luận: Phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng – q

là gián đoạn, các mức năng lượng không cách đều nhau tức là các vạch phổ

đã bị dịch chuyển đi so với các dao động tử điều hòa thông thường

Chương3

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG (q, R)

Dao động biến dạng là sự mở rộng của dao động thông thường Khi thông

số biến dạng tiến tới 1 thì các kết quả của dao động biến dạng trở về các kết quả của dao động thông thường Dao động tử Boson biến dạng R (mà R là toán

tử phản xạ) tỏ ra có hiệu quả khi đưa vào nghiên cứu các hạt có spin cao

Dao động tử Boson biến dạng q là dao động biến dạng có thông số biến dạng q để mô tả các hạt có spin nguyên

Dao động tử Boson biến dạng (q, R) là tổ hợp của dao động biến dạng q

và biến dạng R Ở chương này chúng tôi nghiên cứu dao động biến dạng R, biến dạng (q, R) và tìm phổ năng lượng của chúng, đồng thời nghiên cứu sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)

3.1 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng R  3

3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng R

Dao động tử Boson biến dạng R được đề xuất dưới hệ thức sau:

ˆ ˆ, 1

a a R

   

  (3.1) Trong đó  : thông số biến dạng

R : toán tử Hermit thỏa mãn điều kiện:

21

R R R





 (3.2)

Bên cạnh đó R cũng thỏa mãn:

 R a,ˆ 0 tức là R phản giao hoán với toán tử hủy dao động tử ˆa

Xét không gian Fock với cơ sở là các véc tơ trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N

3.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng R

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson biến dạng R được biểu diễn qua toán tử tọa độ và xung lượng có dạng:

    (3.11) Đặc biệt khi  0 thì phổ năng lượng của dao động tử biến dạng R sẽ trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều

Khi  1 thì E n  n1suy ra 0 1 

2

3.2 Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)

3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng (q, R)

Trong dao động tử Boson biến dạng (q, R), đại số Heiseinberg được tổng quát từ đại số biến dạng q và đại số biến dạng R

Đại số biến dạng (q, R) được định nghĩa thông qua các hệ thức:

aa qa a q R (3.12)

21

tử số dao động N được xác định như sau:

 ˆ n 0

n

n C a

(3.17) Với C n là hệ số chuẩn hóa,

0 là trạng thái chân không

Trạng thái 0 thỏa mãn các điều kiện sau:

1

n n

và được xây dựng từ các véc tơ đã chuẩn hóa:

 

 

ˆ0

!

n

q

a n

như sau:

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson biến dạng (q, R) được biểu diễn như sau:

Trong đó q, là thông số biến dạng thực

Thay toán tử tọa độ và xung lượng từ (3,27) vào biểu thức của toán tử năng lượng, chúng ta thu được:

Phổ năng lượng E q n cho trường hợp một chiều được xác định:

Trong trường hợp tới hạn:

Đối với trường hợp tổng quát N chiều, bằng việc tổng quát hóa kết quả một chiều (3.20), Hamiltonian được biểu diễn như sau:

ˆ 1, 2, 1, 2,

H m m m  E m m m

(3.34) Hay chúng ta viết được:

m m

Kết luận chương 3

Trong chương 3 chúng ta đã khảo sát phổ năng lượng của các dao động

tử Boson biến dạng R và dao động tử Boson biến dạng (q, R) Kết quả cho thấy phổ năng lượng của chúng là gián đoạn,khoảng cách giữa các mức năng lượng liên tiếp không bằng nhau tức là các vạch phổ bị dịch chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông thường

Từ đó ta có nhận xét: Khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao động

tử biến dạng sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao động tử điều hòa thông thường