Điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng

3 Thiếtlập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệmcủa bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trịcho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN TUYÊN

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN TUYÊN

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI - 2016

Lời cam đoan

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy

Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trongbất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Tác giả luận án

Nguyễn Văn Tuyên

số tính chất tôpô của tập nghiệm Chương 2 nghiên cứu về các điều kiệncực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng Chương 3 nghiên cứu tính chất

ổn định của tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối

Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tíchchi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 2) Thiết lập cácđiều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng 3) Thiếtlập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệmcủa bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trịcho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơlồi 4) Một số tính chất tôpô như tính đóng, tính trù mật của tập điểmhữu hiệu Pareto tương đối 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự hội tụtrên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữuhiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge củaánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối

The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of thenotion of generalized order optimality 2) Existence theorems in vectoroptimization with generalized order 3) Some criteria for the closednessand connectedness of the set of generalized order solutions and somesufficient optimality conditions in convex vector optimization problems.4) Some topological properties of the relative Pareto efficient set 5) Somesufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence

in the sense of Kuratowski-Painlevé of the relative Pareto efficient sets;some criteria for the lower semicontinuity in the sense of Berge of therelative Pareto efficient point multifunction

Mục lục

1 Tính chất tôpô của tập nghiệm trong tối ưu véctơ với

1.1 Khái niệm nghiệm 14

1.2 Sự tồn tại nghiệm 24

1.2.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng 24

1.2.2 Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ 28

1.3 Tính chất tôpô của tập nghiệm 31

1.3.1 Tính đóng 31

1.3.2 Tính liên thông 33

2 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 40 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 40

2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộng 47

2.3 Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng 56

2.3.1 Điều kiện cần cực trị 57

2.3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn cục 592.3.3 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương 61

3 Tính ổn định nghiệm của bài toán tối ưu véctơ 653.1 Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đối 663.2 Sự hội tụ trên của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 763.3 Sự hội tụ dưới của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 863.4 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto

tương đối 91

Một số ký hiệu

R := R ∪ {±∞} tập các số thực mở rộng

Rn không gian Euclide n-chiều

Rn+ tập các véctơ không âm của Rn

Rn− tập các véctơ không dương của Rn

X∗ không gian đối ngẫu tôpô của không gian X

hx∗, xi cặp đối ngẫu giữa X∗ và X

0X véctơ 0 trong không gian X

0 số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian cho trước

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

{xn}, (xn) dãy số thực, hoặc dãy véctơ

BX hình cầu đơn vị đóng trong X

B hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn cho

trước

Bρ(x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ

Bρ(x), B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ

N (x) tập tất cả các lân cận của điểm x

NB(x) tập tất cả các lân cận cân của điểm x

Lim sup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - KuratowskiLim inf giới hạn dưới theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯xb

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x

∇f (x) đạo hàm Fréchet của f tại x

∂f (x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của f tại xˆ

∂f (x) dưới vi phân Fréchet của f tại xb

D∗F (¯x, ¯y)(·) đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y)

DN∗ F (¯x, ¯y)(·) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, ¯y)

A × B tích Descartes của hai tập A và B

A + B tổng véctơ của hai tập A và Bint A phần trong của tập hợp A

ri A phần trong tương đối của tập hợp A

Mở đầu

Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay còn gọi là Tối ưu đa mụctiêu (Multicriteria optimization) được hình thành từ những ý tưởng vềcân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của F Edgeworth (1881) và V Pareto(1906) Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ

tự được G Cantor đưa ra năm 1897, F Hausdorff năm 1906 và nhữngánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ

tự thỏa mãn những tính chất nào đó Từ những năm 1950 trở lại đây,sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H W Kuhn

và A W Tucker năm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G.Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ mới thực sự được công nhận làmột ngành toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tớiánh xạ đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác

mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương Sau đó người

ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nónlồi bất kì Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian

có thứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựavào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệuPareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực sự Nhiều nhà toán học

có tên tuổi như J M Borwein, M I Henig, J Jahn, D T Luc đã

có những đóng góp quan trọng về sự tồn tại của các điểm hữu hiệu loạinày, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các lớp bài toán tối ưu khác

Sau đó lý thuyết này được phát triển cho những bài toán liên quantới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều Khái niệm về ánh xạ đatrị đã được nhiều người đưa ra từ những năm của nửa đầu thế kỷ 20 donhu cầu phát triển của chính bản thân toán học và nhiều lĩnh vực khoahọc khác Những định nghĩa, tính chất của ánh xạ đơn trị dần dần được

mở rộng cho ánh xạ đa trị C Berge đã đưa ra các khái niệm khác nhau

về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị Tương

tự như vậy các khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên và Lipschitzdưới cũng được đưa ra Tiếp theo là tính khả dưới vi phân của hàm số,dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phươngtheo nghĩa của F H Clarke Từ các khái niệm này người ta tìm đượcnhững điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho các lớp bài toán tối ưukhác nhau

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề quantrọng nhất khi nghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học và các bàitoán tối ưu véctơ Sự tồn nghiệm của bài toán tối ưu véctơ trong cáckhông gian vô hạn chiều đã được nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu(xem [2, 19, 26–28, 37, 41, 42, 61, 64, 71, 74] và các tài liệu trích dẫn đượctrích dẫn trong đó) Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các kết quả

về sự tồn tại nghiệm trong tối ưu véctơ đều được xét trong các khônggian véctơ tôpô với thứ tự sinh bởi một nón lồi Một kết quả cổ điển(xem, P L Yu [71]) chỉ ra rằng tập các điểm hữu hiệu Min (A | C) khácrỗng nếu C là nón lồi đóng và A là tập compact Tuy nhiên, giả thiết

về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạnchiều Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đạt được về sự tồn tại điểmhữu hiệu đã loại bỏ được hạn chế về tính compact Chẳng hạn, Định

lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C-đầy đủ (C-complete) để thay cho tínhcompact

Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việcnghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị Để đưa ra các điều kiện tối

ưu cho các bài toán tối ưu véctơ không trơn, người ta sử dụng các kháiniệm đạo hàm suy rộng Chẳng hạn, M Pappalardo và W St¨ocklin [54]

đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini – Hadamard để đưa ra một sốđiều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiềuvới thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng Với các kháiniệm cơ bản như nón pháp tuyến không lồi của các tập hợp trong khônggian Banach, dưới vi phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàmFréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm pháttriển, lý thuyết vi phân suy rộng do Giáo sư B S Mordukhovich khởixướng đã trở nên hoàn thiện và đưa đến nhiều ứng dụng quan trọng Bộsách [49, 50], gồm 2 tập, mỗi tập có 4 chương, được xuất bản năm 2006,

đã nhanh chóng trở thành một tài liệu quan trọng, được nhiều người sửdụng Bộ sách đó chứa đựng nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích khôngtrơn, Giải tích đa trị, Lý thuyết tối ưu, và ứng dụng

Bên cạnh việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện cực trị,tính ổn định cũng là một vấn đề rất quan trọng trong lý thuyết Tối ưuvéctơ và được nhiều nhà toán học quan tâm Trong các tài liệu, có haihướng tiếp cận cơ bản khi nghiên cứu tính ổn định của bài toán tối ưuvéctơ Hướng thứ nhất là khảo sát sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu củacác tập hợp có nhiễu đến một tập cho trước Hướng thứ hai khi nghiêncứu tính ổn định đó là nghiên cứu các tính chất liên tục của ánh xạnghiệm Chẳng hạn, tính nửa liên tục dưới (trên) của ánh xạ nghiệmhữu hiệu Pareto đã được khảo sát bởi Penot và Sterna-Karwat [55] Luc,Lucchetti và Malivert [44] đã nghiên cứu sự hội tụ của tập các điểm hữuhiệu Pareto và Pareto yếu trong các không gian véctơ tôpô tổng quát.Miglierina và Molho [47, 48] đã nhận được các kết quả về sự hội tụ củatập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu của các bài toán tối ưu

véctơ lồi Đối với hướng nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối

ưu véctơ lồi độc giả có thể tham khảo thêm các kết quả trong [41, 45].Ngoài ra, các kết quả nghiên cứu về tính liên tục của ánh xạ nghiệmhữu hiệu Pareto và Pareto yếu còn được trình bày trong các sách chuyênkhảo [41, 57] và các bài báo (xem [11–15, 23, 24, 55]) Bằng cách sử dụngcác tính chất như tính chất trội (domination property), tính chất bao hàm(containment property) và tính chất bao hàm liên hợp (dual containmentproperty) Bednarczuk [11–15] đã nghiên cứu các tính chất nửa liên tụctrên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục dướitheo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hiệu.Gần đây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11, 13] và đềxuất các khái niệm mới tính chất bao hàm địa phương (local containmentproperty), tính chất K- trội địa phương (K-local domination property)

và tính chất đóng địa phương đều (uniformly local closedness) của mộtánh xạ đa trị, Chuong, Yao và Yen [23] đã nhận được các kết quả vềtính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gianvéctơ tôpô Hausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk

Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối

ưu véctơ qua các tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiềukhái niệm nghiệm tối ưu (nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệmtối ưu xấp xỉ, ) dưới một quan điểm thống nhất nhờ tập hoàn thiện(xem [22, 30]) Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiện đòi hỏi khônggian ảnh phải được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường.Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưutương ứng với một tập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn

là một vấn đề mở (xem [22, Section 5])

Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điểncủa các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A Y.Kruger và B S Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài

liệu được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theothứ tự suy rộng (hay nghiệm (f ; Θ)-tối ưu địa phương), ở đó f : X → Z

là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự Θ

là một tập bất kì chứa gốc Một điểm ¯x ∈ X được gọi là một nghiệm(f ; Θ)-tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận U của ¯x và một dãy{zk} với kzkk → 0 khi k → ∞ thỏa mãn:

f (x) /∈ f (¯x) − Θ − zk với mọi x ∈ U và k ∈ N

Nếu Θ là một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, thì kháiniệm nghiệm tối ưu trên bao phủ các khái niệm nghiệm cổ điển trongtối ưu véctơ như nghiệm Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệmtối ưu theo nghĩa Slater) (xem [50, 67])

Cần nhấn mạnh rằng, tập sinh thứ tự Θ không nhất thiết là tậplồi hay là nón Điều này đáp ứng đòi hỏi ngày càng tăng trong thực tế

và cả trong lý thuyết áp dụng của tối ưu véctơ; đặc biệt là trong các môhình kinh tế (xem [62])

Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệmnghiệm, nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng còn là một công cụ hữu ích

để nghiên cứu các bài toán minimax (minimax problem) trên một tậpcompact (xem [50, Example 5.54]) Giả sử ¯x là một nghiệm tối ưu địaphương của bài toán minimax

minimize ϕ(x) := max {hz∗, f (x)i | z∗ ∈ Λ}, x ∈ X,với f : X → Z và Λ ⊂ Z∗ là một tập compact yếu∗ theo dãy (weak∗sequentially compact) của Z∗ sao cho: tồn tại z0 ∈ Z với hz∗, z0i > 0 vớimọi z∗ ∈ Λ Để cho đơn giản, ta giả sử rằng ϕ(¯x) = 0 Khi đó, ¯x là mộtnghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng của hàm f ứng với tậpsinh thứ tự

Θ := {z ∈ Z | hz∗, zi ≤ 0 ∀z∗ ∈ Λ}

Việc xem nghiệm của một bài toán minimax như là nghiệm của mộtbài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng giúp chúng ta thuận lợi hơnkhi nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán này (xem [50,Subsections 5.3.1, 5.5.19]).

Với những ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu các tính chất định tínhcủa nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng của các bài toán tối ưu véctơ

có một ý nghĩa rất quan trọng Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôimới chỉ có một vài nghiên cứu về các điều kiện cần cực trị (xem [9, 50]

và các tài liệu được trích dẫn trong đó) và độ nhạy nghiệm (xem [34])của lớp bài toán này

Luận án này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm, cáctính chất tôpô của tập nghiệm, các điều kiện cực trị và tính ổn định củacác bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Luận án bao gồm phần

mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.1phân tích khái niệm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tự suyrộng Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theothứ tự suy rộng Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng vàtính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo thứ tựsuy rộng

Chương 2 nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơvới thứ tự suy rộng Mục 2.1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giảitích biến phân Các kiến thức này là cơ sở để đưa ra các điều kiện tối ưutrong các mục tiếp theo của chương này Trong Mục 2.2, bằng cách tiếpcận trên không gian ảnh chúng tôi đã đạt được một số điều kiện cần,điều kiện đủ cho một điểm hữu hiệu suy rộng Các kết quả về điều kiệncần có thể coi là trường hợp đặc biệt của các kết quả trong [9, 50] Tuynhiên kết quả về điều kiện đủ là mới Trong mục cuối của chương này,

chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho điểm là nghiệm tối ưu theothứ tự suy rộng dưới các giả thiết về tính lồi.

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định củabài toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối Bằngcách sử dụng cách tiếp cận của Luc [44] chúng tôi nhận được các kếtquả về sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Các kết quảnày mở rộng kết quả của [44, Theorem 2.1] và [45, Proposition 3.1] từtập điểm hữu hiệu Pareto yếu sang tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối

Để nhận được kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữuhiệu Pareto tương đối của bài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tựđược sinh bởi một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, chúng tôi

đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao hàm tương đối(relative containment property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối(relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đốitheo nghĩa Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của mộtánh xạ đa trị Các kết quả nhận được mở rộng và làm mạnh hơn các kếtquả tương ứng trong [11, 12] Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày một

số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.2 trình bàycác kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tậpđiểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội

tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Paretotương đối Trong mục cuối chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ chotính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

- Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2)

- Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (ViệnToán học)

- Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu

cao cấp về toán).

- The 8th Vietnam-Korea Workshop “Mathematical optimizationtheory and applications” (University of Dalat, 8-10/12/2011, Dalat, Viet-nam)

- Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Khoa Toán (Trường ĐHSP Hà Nội

Luận án này được hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 Tácgiả xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Quang Huy đã tận tìnhhướng dẫn để có được những kết quả trong luận án

Xin chân thành cám ơn GS TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS TS.Nguyễn Năng Tâm, PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng vàcác thành viên của Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Giáo sư trong hội đồng chấmluận án cấp cơ sở về các ý kiến đóng góp quí báu cho Luận án

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP HàNội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, và cán bộ công nhân viên củaTrường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn động viên giúp đỡ tác giả

Xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh, gia đình và bạn bè đã luônkhuyến khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu

Chương 1

Tính chất tôpô của tập nghiệm

trong tối ưu véctơ với thứ tự suy

xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự Θ là một tậpbất kì chứa gốc Mục đích của chương này là trình bày một số đặc trưngcủa nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng

Mục 1.1 trình bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tựsuy rộng và mối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệmnghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ Mục 1.2 trình bày một số kết quả về

sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.3 khảo sát một

số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bàitoán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng

Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35, 68]

1.1 Khái niệm nghiệm

Cho Z là một không gian Banach Với mỗi tập Θ ⊂ Z, kí hiệul(Θ) là tập hợp Θ ∩ (−Θ)

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong Z và Θ ⊂ Z

là một tập chứa 0Z Một điểm ¯z ∈ A được gọi là một điểm hữu hiệusuy rộng (generalized efficient point) của A tương ứng với Θ, nếu tồn tạimột dãy {zk} ⊂ Z với kzkk → 0 khi k → ∞ thỏa mãn

A ∩ (¯z − Θ − zk) = ∅ ∀k ∈ N (1.1)

Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với

Θ được kí hiệu là GMin (A | Θ)

Nhận xét 1.1 (i) (1.1) ⇔ ¯z − zk ∈ A + Θ/ ∀k ∈ N

(ii) Nếu tồn tại một lân cận U của ¯z và một dãy {zk} ⊂ Z với

||zk|| → 0 khi k → ∞ thỏa mãn

U ∩ A ∩ (¯z − Θ − zk) = ∅ ∀k ∈ N, (1.2)thì ¯z được gọi là một điểm hữu hiệu địa phương suy rộng (local general-ized efficient point) của A tương ứng với Θ

Định lý 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong Z và Θ ⊂ Z chứa

0Z Khi đó

GMin (A | Θ) = A ∩ bd (A + Θ) (1.3)Hơn nữa, GMin (A | Θ) là đóng nếu A đóng trong Z

Chứng minh Giả sử ¯z là một điểm hữu hiệu suy rộng bất kì của A tươngứng với Θ Khi đó, tồn tại một dãy {zk} ⊂ Z với kzkk → 0 khi k → ∞sao cho ¯z − zk ∈ (A + Θ) với mọi k ∈ N Vì vậy, ¯z − z/ k ∈ (A + Θ)c vớimọi k ∈ N Lấy U là một lân cận tùy ý của ¯z Vì ¯z ∈ A và 0Z ∈ Θ nên

ta suy ra ¯z ∈ (A + Θ) Do đó, U ∩ (A + Θ) 6= ∅ Từ lim

k→∞(¯z − zk) = ¯z

ta có ¯z − zk ∈ U với k đủ lớn Vì vậy, ¯z − zk ∈ U ∩ (A + Θ)c với k đủlớn Suy ra U ∩ (A + Θ)c 6= ∅ Vì vậy ¯z ∈ bd (A + Θ) Điều này kéo theoGMin (A | Θ) ⊂ A ∩ bd (A + Θ) Để chứng minh bao hàm thức ngược lạilấy ¯z ∈ A ∩ bd (A + Θ) tùy ý Từ ¯z ∈ bd (A + Θ) ta có

B



¯

z, 1k



∩ (A + Θ)c 6= ∅ ∀k ∈ N

Với mỗi k ∈ N, chọn xk ∈ B ¯z,k1
∩ (A + Θ)c Ta có lim

k→∞xk = ¯z và{xk} ⊂ (A + Θ)c Đặt zk = ¯z − xk, với k = 1, 2, Suy ra

lim

k→∞zk = 0 và ¯z − zk = xk ∈ (A + Θ)c ∀k ∈ N,hay là

Cuối cùng, nếu A là một tập con đóng của Z, từ tính đóng của bd (A+Θ),

ta suy ra GMin (A | Θ) đóng Định lý được chứng minh

Nhận xét 1.2 (i) Từ Định lý 1.1, ta có GMin (A | Θ) ⊂ bd A Thậtvậy, giả sử tồn tại một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với Θkhông là điểm biên của A Từ ¯z ∈ A ta suy ra ¯z ∈ int A Vì vậy, tồn tạimột lân cận U của ¯z sao cho U ⊂ A Từ A ⊂ A + Θ ta có U ⊂ A + Θ

Do đó, ¯z ∈ int (A + Θ), mâu thuẫn với (1.3)

(ii) Nếu A mở hoặc A+Θ mở thì GMin (A | Θ) = ∅ Thật vậy, nếu A

mở, thì từ A ⊂ A+Θ ta suy ra A ⊂ int (A+Θ) Do đó, A∩bd (A+Θ) = ∅,hay là GMin (A | Θ) = ∅ Nếu A + Θ mở, thì bd (A + Θ) = ∅ Theo Định

lý 1.1 ta cũng suy ra GMin (A | Θ) = ∅

Ví dụ 1.1 Lấy Z = R2, A = {x = (x1, x2) ∈ R2 | x2 = −x1, 0 ≤ x1 ≤1}, và Θ = {x ∈ R2 | x2 = x1} ∪ {x ∈ R2 | x2 = −x1} ∪ {x ∈ R2 | x2 >

|x1|} Dễ thấy rằng Θ là một nón không lồi và

hz∗, ¯zi = sup{hz∗, zi | z ∈ A}

Khi đó, z∗ được gọi là một hàm tựa (supporting functional) của A tại ¯z

Kí hiệu Θ∗ là tập cực (polar set) của Θ:

Θ∗ = {z∗ ∈ Z∗| hz∗, θi ≤ 0 ∀ θ ∈ Θ}

Mệnh đề 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach

Z và Θ ⊂ Z chứa 0Z Nếu ¯z ∈ A là một điểm tựa của A tương ứng vớihàm tựa z∗ ∈ Θ∗, thì ¯z ∈ GMin (A | Θ) Do đó, ta có

[{A0(z∗) | z∗ ∈ Θ∗, z∗ 6= 0} ⊂ GMin (A | Θ),

ở đó A0(z∗) = {z0 ∈ A | hz∗, z0i = suphz∗, zi, z ∈ A}

Chứng minh Giả sử phản chứng, ¯z /∈ GMin (A | Θ) Theo Định lý 1.1,

Mệnh đề sau chỉ ra rằng, nếu A + Θ là một tập lồi với phần trongkhác rỗng, thì mọi điểm hữu hiệu suy rộng của tập A cũng là điểm tựacủa tập hợp này

Mệnh đề 1.2 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach

Z, và Θ ⊂ Z chứa 0Z Giả sử rằng, A + Θ là một tập lồi và có phầntrong khác rỗng Khi đó,

cl (A + Θ) cũng có các tính chất này Vì vậy, tồn tại một hàm tựa z∗ của

cl (A + Θ) tại ¯z (xem [18]) Từ hz∗, ¯zi ≥ hz∗, zi với mọi z ∈ cl (A + Θ),

ta suy ra

hz∗, ¯zi ≥ hz∗, ¯z + θi

với mọi θ ∈ Θ Do đó, hz∗, θi ≤ 0 với mọi θ ∈ Θ Điều này có nghĩa là

z∗ ∈ Θ∗ Từ A ⊂ A + Θ ⊂ cl (A + Θ) ta suy ra z∗ là một hàm tựa của

A tại ¯z, hay là ¯z ∈ A0(z∗) Do đó, ta có

GMin (A | Θ) ⊂ [{A0(z∗) | z∗ ∈ Θ∗, z∗ 6= 0}

Chứng minh kết thúc

Nếu Z là một không gian Banach hữu hạn chiều, thì điều kiện

“A + Θ có phần trong khác rỗng” trong Mệnh đề 1.2 có thể bỏ được

Hệ quả 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong Rm và Θ ⊂ Rm làmột tập bất kì chứa gốc Nếu A + Θ lồi, thì

GMin (A | Θ) = [{A0(z∗) | z∗ ∈ Θ∗, z∗ 6= 0}

Chú ý rằng các kết quả trên không đòi hỏi rằng Θ phải là một nónvới Θ \ l(Θ) 6= ∅ Hệ quả 1.1 là một mở rộng của [71, Lemma 4.5] từđiểm hữu hiệu (xem Định nghĩa 1.3 ở bên dưới) sang điểm hữu hiệu suyrộng

GMin (A | Θ) = A ∩ GMin ((A + Θ) | Θ) (1.6)Chứng minh Theo Định lý 1.1, ta có

GMin (A | Θ) = A ∩ bd (A + Θ), (1.7)và

GMin ((A + Θ) | Θ) = (A + Θ) ∩ bd [(A + Θ) + Θ] (1.8)

Trong Định nghĩa 1.1 chúng ta không đòi hỏi Θ là một nón lồi vàcũng không đòi hỏi Θ phải có phần trong khác rỗng Nếu Θ là một nónlồi với với ri Θ 6= ∅, thì khái niệm điểm hữu hiệu suy rộng bao phủ cáckhái niệm điểm hữu hiệu cổ điển trong tối ưu véctơ.

Định nghĩa 1.2 Giả sử Θ là một nón lồi với riΘ 6= ∅ Một điểm ¯z ∈ Ađược gọi là một điểm hữu hiệu Pareto tương đối/điểm hữu hiệu Slater(relative Pareto efficient point/Slater efficient point) của A tương ứngvới Θ, nếu

A ∩ (¯z − ri Θ) = ∅ (1.10)Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu tương đối của A tương ứng với Θ được

kí hiệu bởi RMin (A | Θ)

Nếu Θ là một nón lồi trong Z, thì Θ sinh ra một quan hệ thứ tựtrên Z như sau: z1, z2 ∈ Z, z2 ≥ z1 nếu z2 − z1 ∈ Θ Ta viết x > y nếu

x ≥ y và không có y ≥ x, hoặc là, x ∈ y + Θ \ l(Θ) Một nón Θ được gọi

Tập hợp tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với Θ được

kí hiệu bởi Min (A | Θ)

Mệnh đề 1.5 Nếu Θ là một nón lồi thì các phát biểu sau đây đúng(i) Nếu int Θ 6= ∅, thì GMin (A | Θ) ⊂ WMin (A | Θ).

(ii) Nếu int Θ 6= ∅, thì WMin (A | Θ) ⊂ RMin (A | Θ)

(iii) Nếu ri Θ 6= ∅, thì RMin (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ)

Vì vậy, nếu Θ là một nón lồi với phần trong khác rỗng, thì

WMin (A | Θ) = RMin (A | Θ) = GMin (A | Θ) (1.11)

Chứng minh (i) Giả sử, int Θ 6= ∅ Lấy ¯z ∈ GMin (A | Θ) tùy ý Theođịnh nghĩa của điểm hữu hiệu suy rộng, tồn tại một dãy {zk} ⊂ Z với

A ∩ (¯z − int Θ) = ∅

Suy ra ¯z ∈ WMin (A | Θ)

(ii) Nếu int Θ 6= ∅, thì ri Θ = int Θ và (ii) là hiển nhiên

(iii) Giả sử ri Θ 6= ∅ Lấy ¯z ∈ RMin (A | Θ) tùy ý Suy ra

A ∩ (¯z − ri Θ) = ∅ (1.16)

Mệnh đề 1.6 (xem [41, Proposition 2.3]) Một điểm ¯z ∈ Min (A | Θ)khi và chỉ khi A ∩ (¯z − Θ) ⊂ ¯z + l(Θ), hoặc là, không có y ∈ A nào thỏamãn ¯z > y Đặc biệt, khi Θ là một nón nhọn, ¯z ∈ Min (A | Θ) khi và chỉkhi A ∩ (¯z − Θ) = {¯z}.

Mệnh đề 1.7 Giả sử Θ ⊂ Z là một nón lồi thỏa mãn Θ \ l(Θ) khácrỗng và A là một tập con khác rỗng trong Z Nếu ¯z là một điểm hữuhiệu Pareto của A tương ứng với Θ, thì ¯z là một điểm hữu hiệu suy rộngcủa A tương ứng với Θ, hay là

tức là

U ⊂ A + Θ

Hơn nữa, ta có U ∩ (¯z − Θ \ l(Θ)) 6= ∅ Thực vậy, từ Θ \ l(Θ) 6= ∅ chọn

v ∈ Θ \ l(Θ) Dễ thấy, ¯z − k+11 v ∈ (¯z − Θ \ l(Θ)) với mọi k ∈ N Từ

¯

z > a,điều này mâu thuẫn với ¯z ∈ Min (A | Θ) Mệnh đề được chứng minh.Nhận xét 1.3 Nếu Θ \ l(Θ) = ∅, thì bao hàm thức (1.17) trong Mệnh

đề 1.7 không đúng Điều này có nghĩa là điều kiện Θ \ l(Θ) 6= ∅ là cầnthiết cho mệnh đề này Ví dụ sau chứng tỏ điều này

Ví dụ 1.3 Lấy A = {x = (x1, x2) ∈ R2| x2

1 + x22 ≤ 1}, Θ = {x =(x1, x2) ∈ R2| x2 = 0} Ta có Θ là một nón lồi và Θ \ l(Θ) = ∅ Bằngcách tính toán trực tiếp, ta có

A + Θ = {x = (x1, x2) ∈ R2| |x2| ≤ 1},

1.2.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng

Giả sử Θ là một nón lồi Z Một lưới {xα | α ∈ I} trong Z đượcgọi là giảm (tương ứng với Θ) nếu xα > xβ với mỗi α, β ∈ I, β > α Vớimỗi x ∈ Z, đặt Ax := A ∩ (x − Θ) Tập Ax được gọi là một lát cắt của

A tại x

Định nghĩa 1.4 (xem [41, Definition 3.2, p 46]) Một tập A ⊂ Z đượcgọi là Θ-đầy đủ (Θ-complete) nếu không có phủ nào có dạng {(xα −

cl Θ)c | α ∈ I} với {xα} là một lưới giảm trong A

Định nghĩa 1.5 Một nón lồi Θ trong Z được gọi là nón đúng (correctcone) nếu

cl Θ + Θ \ l(Θ) ⊂ Θ,hay là

cl Θ + Θ \ l(Θ) ⊂ Θ \ l(Θ)

Mệnh đề 1.8 (xem [41, Theorem 3.3]) Giả sử rằng Θ là một nón lồiđúng và A là một tập con khác rỗng trong Z Khi đó, Min (A | Θ) khácrỗng khi và chỉ khi A có lát cắt Θ-đầy đủ

Định lý 1.2 Giả sử rằng Θ là một nón lồi đúng thỏa mãn Θ \ l(Θ) khácrỗng và A là một tập con khác rỗng trong Z Nếu A có lát cắt Θ-đầy đủ,thì

GMin (A | Θ)khác rỗng

Chứng minh Dưới các giả thiết của định lý, theo Mệnh đề 1.8, ta cóMin (A | Θ) khác rỗng Mệnh đề 1.7 suy ra GMin (A | Θ) 6= ∅

Ví dụ sau chứng tỏ rằng điều kiện về sự tồn tại lát cắt Θ-đầy đủtrong Định lý 1.2 chỉ là điều kiện đủ cho GMin (A | Θ) 6= ∅ mà không làđiều kiện cần

Ví dụ 1.4 Cho A = {x = (x1, x2) ∈ R2| x2 ≥ 0} và Θ = R2

+ Dễthấy Θ là một nón lồi, đóng, nhọn và Θ \ l(Θ) = R2+ \ {0} 6= ∅ Dễthấy Min (A | Θ) = ∅ Theo Mệnh đề 1.8, tập A không có lát cắt Θ-đầy đủ Tuy nhiên, bằng các tính toán trực tiếp ta có A + Θ = A

và A ∩ bd (A + Θ) = bd (A) = {x = (x1, x2) ∈ R2| x2 = 0} Vì vậyGMin (A | Θ) khác rỗng

Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng điều kiện Θ \ l(Θ) 6= ∅ trong Định lý1.2 là cần thiết

Ví dụ 1.5 Cho A = {x = (x1, x2) ∈ R2| x1x2 = 0} và Θ = {θ =(θ1, θ2) ∈ R2| θ2 = −θ1} Ta có Θ là nón đúng và A là Θ-đầy đủ Bằngcác tính toán đơn giản ta có

Min (A | Θ) = A

Dễ thấy tất cả các giả thiết trong Định lý 1.2 đều thỏa mãn trừ điềukiện Θ \ l(Θ) 6= ∅ Bằng các tính toán trực tiếp ta có

GMin (A | Θ) = A ∩ bd (A + Θ) = ∅

Vì vậy, điều kiện Θ \ l(Θ) 6= ∅ trong Định lý 1.2 là không thể bỏ được.Định lý 1.3 Giả sử rằng A là một tập con khác rỗng trong Z và Θ ⊂ Z

là một tập bất kì chứa 0Z Nếu nón lồi đóng eΘ := cl conv cone Θ thỏamãn

Kết quả sau đảm bảo sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng của mộttập compact khác rỗng A trong một không gian vô hạn chiều

Hệ quả 1.2 Cho A là một tập compact khác rỗng trong Z và Θ ⊂ Z

là một tập chứa 0Z Nếu eΘ := cl conv cone Θ thỏa mãn điều kiện (1.18),thì GMin (A | Θ) khác rỗng

Chứng minh Từ tính compact của A và [41, Lemma 3.5 (1)] ta suy ra

A là tập eΘ-đầy đủ Dễ thấy rằng eΘ là một nón đúng Theo Định lý 1.3,tập GMin (A | Θ) khác rỗng

Nhận xét 1.4 Trong [41], D T Luc đã chỉ ra rằng “Nếu Z là một khônggian hữu hạn chiều, thì Min (A | Θ) khác rỗng với mọi tập compact khácrỗng A và nón lồi Θ” Tuy nhiên, A Sterna-Karwat [64] đã đưa ra một

ví dụ chứng tỏ rằng khẳng định trên không còn đúng trong trường hợpkhông gian được xét là vô hạn chiều Cần nhấn mạnh rằng, Hệ quả 1.2chứng tỏ rằng mọi tập compact khác rỗng A trong một không gian vô

hạn chiều đều có ít nhất một điểm hữu hiệu suy rộng miễn là tập sinhthứ tự Θ thỏa mãn điều kiện (1.18).

Ví dụ 1.6 (xem [41, Example 3.13] và [64]) Cho Z là không gian véctơgồm tất cả các dãy số thực x = {xn} sao cho xn = 0 với mọi n trừ một sốhữu hạn chỉ số Không gian Z là một không gian định chuẩn với chuẩn

kxk = max{|xn| | n = 1, 2, · · · }

Lấy Θ ⊂ Z là nón hợp của véctơ không và các dãy có số hạng cuối cùngkhác không là số dương Khi đó, Θ là một nón lồi nhọn Nón này đượcgọi là nón hầu khắp (ubiquitous cone) vì bao tuyến tính của Θ là toàn

bộ không gian Z Lấy en là các véctơ đơn vị với phần tử khác không duynhất bằng 1 tại vị trí thứ n Xét tập hợp

e

Θ := cl conv cone Θ = {z = (zn) ∈ Z | zn ≥ 0}

Rõ ràng eΘ là đóng Vì vậy, eΘ là nón đúng Dễ thấy điều kiện (1.18) thỏamãn Theo Hệ quả 1.2, tập GMin (A | Θ) khác rỗng

1.2.2 Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ

Giả sử rằng X và Z là hai không gian Banach và Θ ⊂ Z là mộttập chứa gốc Cho F là một ánh xạ đa trị từ X tới Z Các kí hiệu sau

sẽ được sử dụng cho các ánh xạ đa trị

dom F = {x ∈ X | F (x) 6= ∅},gph F = {(x, y) ∈ X × Z | y ∈ F (x), x ∈ dom F }

Định nghĩa 1.6 (xem [41,42]) Giả sử rằng Ω là một tập con của dom F

và Θ ⊂ Z là một tập chứa 0Z

(i) F được gọi là Θ-liên tục trên (upper Θ-continuous) tại ¯x ∈ Ω nếu vớimỗi lân cận V của F (¯x) trong Z, tồn tại một lân cận U của ¯x trong Xsao cho

F (x) ⊂ V + F (¯x) + Θ ∀x ∈ U ∩ dom F

Nếu điều này đúng với mọi x ∈ Ω, thì ta nói rằng F là Θ-nửa liên tụctrên trên tập Ω

(iii) F là Θ-liên tục dưới (lower Θ-continuous) tại ¯x nếu với mỗi y ∈ F (¯x)

và với mỗi lân cận V của y trong Z, tồn tại một lân cận U của ¯x trong

X sao cho

F (x) ∩ (V + Θ) 6= ∅ với mỗi x ∈ U ∩ dom F

Ta nói rằng F là Θ-liên tục dưới trên tập Ω nếu nó là Θ-liên tục dướitại mọi điểm thuộc Ω

(iv) F được gọi là Θ-liên tục (Θ-continuous) tại ¯x nếu nó là Θ-liên tụctrên và Θ-liên tục dưới tại điểm này.

Trong định nghĩa trên, nếu Θ = {0} thì ta nói một cách đơn giản

F là liên tục trên thay cho F là {0}-liên tục trên Dễ thấy rằng nếu F làΘ-liên tục trên tại ¯x ∈ Ω, thì F là Θ-nửa liên tục trên tại ¯x Điều ngượclại nói chung không đúng

Định nghĩa 1.7 Cho F : X ⇒ Z là một ánh xạ đa trị giữa các khônggian Banach, Θ ⊂ Z là một tập chứa gốc, và tập ràng buộc Ω ⊂ X Tanói rằng cặp (¯x, ¯z) ∈ gph F là một nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tựsuy rộng (locally generalized optimal solution) của F tương ứng với tậpsinh thứ tự Θ trên Ω, nếu ¯z ∈ GMin (F (Ω ∩ U ) | Θ), với U là một lâncận nào đó của ¯x

Nếu trong Định nghĩa 1.7 có thể lấy U = X, thì (¯x, ¯z) được gọi lànghiệm tối ưu toàn cục (hay nghiệm tối ưu) theo thứ tự suy rộng Tậptất cả các nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng của F tương ứng với Θtrên Ω được kí hiệu là GS (Ω, F )

Khi F = f : X → Z là một ánh xạ đơn trị, chúng ta bỏ qua ¯ztrong nghiệm hữu hiệu suy rộng và ¯x được gọi là một nghiệm tối ưu theothứ tự suy rộng của f tương ứng với Θ trên Ω (hay nghiệm (f, Θ)-tối

ưu, xem [50, Definition 5.53])

Mệnh đề 1.9 Giả sử rằng Θ là một nón lồi đúng với Θ \ l(Θ) khácrỗng, Ω ⊂ X là một tập compact khác rỗng và F là Θ-nửa liên tục trêntrên Ω với F (x) + Θ đóng và Θ-đầy đủ với mọi x ∈ Ω Khi đó, GS (Ω, F )khác rỗng

Chứng minh Theo [42, Lemma 3.2], F (Ω) là Θ-đầy đủ Áp dụng Định

lý 1.2 cho tập F (Ω) ta có điều cần phải chứng minh

Nhận xét 1.5 Nếu Θ không lồi, thì Mệnh đề 1.9 không đúng Điều này

có nghĩa là tính lồi của Θ là điều kiện thiết yếu của mệnh đề này

Ví dụ sau được thiết kế cho điều ta vừa khẳng định trong Nhậnxét 1.5

A + Θ = {z = (z1, z2) ∈ R2| z2 ≥ z1} ∪ {z = (z1, z2) ∈ R2| z2 ≥ −z1 − 32},và

A ⊂ int(A + Θ)

Vì vậy

A ∩ bd (A + Θ) = ∅,hay là

GMin (A | Θ) = ∅

Mệnh đề 1.10 Giả sử rằng Ω ⊂ Z là một tập compact, F là nửa liên tụctrên trên tập Ω và Θ ⊂ Z là một tập chứa gốc Nếu eΘ := cl conv cone Θthỏa mãn điều kiện (1.18), thì GS (Ω, F ) khác rỗng

Chứng minh Từ F nửa liên tục trên trên Ω và Ω là một tập compact,theo [17, Theorem 6.3], ta có F (Ω) là một tập compact Theo Hệ quả1.2, ta có

GMin (F (Ω) | Θ) 6= ∅,hay là

GS (Ω, F ) 6= ∅

Mệnh đề được chứng minh

1.3 Tính chất tôpô của tập nghiệm

1.3.1 Tính đóng

Giả sử rằng X, Z là hai không gian Banach Cho f : X → Z làmột ánh xạ đơn trị, Ω là một tập con khác rỗng trong X, và Θ ⊂ Z làmột tập chứa 0Z Xét bài toán tối ưu véctơ

Vì vậy tồn tại θ1 ∈ Θ sao cho

f (xn0) − θ1 ∈ V,hay là

f (xn0) − θ1 ∈ int (f (Ω) + Θ) (1.21)

Ta chỉ ra rằng f (xn0) /∈ GMin (f (Ω) | Θ) Thực vậy, lấy {zk} là một dãytùy ý với kzkk → 0 khi k → ∞ Từ (1.21) và kzkk → 0 khi k → ∞ tasuy ra

f (xn0) − θ1 − zk0 ∈ (f (Ω) + Θ)với k0 đủ lớn Vì vậy, tồn tại θ2 ∈ Θ sao cho

f (xn0) − θ1 − θ2 − zk0 ∈ f (Ω) (1.22)với k0 đủ lớn Từ điều này và θ1 + θ2 ∈ Θ ta có

f (Ω) ∩ [f (xn0) − Θ − zk0] 6= ∅,với k0 đủ lớn Vì vậy, f (xn0) /∈ GMin (f (Ω) | Θ) Điều này có nghĩa là

xn0 ∈ GS (Ω, f ), mâu thuẫn với cách lập dãy {x/ n} Định lý được chứngminh

Hệ quả 1.3 Giả sử Θ là một nón lồi với phần trong khác rỗng Nếu

Ω đóng, f là Θ-liên tục trên Ω, thì tập nghiệm yếu của bài toán (V OP )đóng

Nhận xét 1.6 (i) Một tập Θ chứa gốc và thỏa mãn điều kiện (1.20)không nhất thiết phải là một nón Chẳng hạn, lấy Z = R2 và tập

Θ = {θ = (θ1, θ2) ∈ R2| θ1 ∈ Q, θ2 ∈ Q, θ1 ≥ 0, θ2 ≥ 0}

Dễ thấy rằng Θ là một tập chứa gốc và thỏa mãn điều kiện (1.20) nhưngkhông là một nón

(ii) Điều kiện (1.20) trong Định lý 1.4 là thiết yếu, có nghĩa là nếu ta

bỏ đi giả thiết này thì kết luận của Định lý 1.4 sẽ không còn giá trị Ví

dụ sau đây chứng tỏ điều này

Ví dụ 1.8 Cho X = Z = R2, Θ = {x = (x1, x2) ∈ R2| x1 ≥ |x2|}∪{x =(x1, x2) ∈ R2| x1 ≤ 0, x2 = 0}, Ω = {0} × [−1, 1] và f : X → Z đượcđịnh nghĩa như sau

Tập sinh thứ tự Θ là một nón không lồi Vì vậy, điều kiện (1.20) khôngđược thỏa mãn Dễ thấy f là Θ-liên tục trên R2 nhưng không liên tụctrên Ω Bằng các tính toán đơn giản ta được

có thể chứng minh được GS (Ω, f ) đóng với bất kì tập sinh thứ tự Θ với

0Z ∈ Θ Các lập luận để chứng minh điều này tương tự như chứng minhcủa Định lý 1.4

Định lý 1.5 Giả sử Θ là một tập con của Z với 0Z ∈ Θ Nếu Ω là mộttập đóng và f liên tục trên A, thì GS (Ω, f ) đóng

1.3.2 Tính liên thông

Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach Z,

B ⊂ A Kí hiệu N (0Z) là tập tất cả các lân cận của điểm 0Z Trong mụcnày, chúng ta giả sử rằng Θ là một nón lồi

Định nghĩa 1.8 (xem [41, Definition 4.1, p 54]) Ta nói rằng tính chấttrội (the domination property), kí hiệu là (DP ), đúng cho cặp (A, B) ⊂

Z × Z, nếu

Định nghĩa 1.9 (xem [11]) Ta nói rằng tính chất bao hàm (the tainment property), kí hiệu là (CP ), đúng cho (A, B) ⊂ Z × Z, nếu vớimỗi W ∈ N (0Z), tồn tại V ∈ N (0Z) sao cho

con-[A \ (B + W )] + V ⊂ B + Θ (1.24)Mệnh đề 1.11 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gianBanach Z, Θ là một nón lồi với Θ \ l(Θ) 6= ∅ Nếu (CP ) đúng cho(A, Min (A | Θ)), thì

Min (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ) ⊂ cl Min (A | Θ) (1.25)Chứng minh Theo Mệnh đề 1.7, ta có

Min (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ)

Chúng ta còn phải chỉ ra rằng

GMin (A | Θ) ⊂ cl Min (A | Θ) (1.26)Giả sử phản chứng, tồn tại ¯z ∈ GMin (A | Θ) \ cl Min (A | Θ) Do ¯z làmột điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với Θ, nên tồn tại mộtdãy {zk} ⊂ Z với kzkk → 0 khi k → ∞ sao cho

Do (CP ) đúng cho cặp (A, Min (A | Θ)), nên tồn tại V ∈ N (0Z) sao cho

(¯z − Θ − zk) ∩ (Min (A | Θ) + Θ) 6= ∅,với k đủ lớn Do đó

(¯z − Θ − zk) ∩ (A + Θ) 6= ∅,với k đủ lớn, mâu thuẫn với (1.28) Chứng minh kết thúc

Hệ quả 1.4 Cho A là một tập con đóng khác rỗng trong không gianBanach Z, Θ là một nón lồi thỏa mãn Θ \ l(Θ) 6= ∅ Nếu (CP ) đúng cho(A, Min (A | Θ)) thì

GMin (A | Θ) = cl Min (A | Θ) (1.32)Chứng minh Từ tính đóng của A và Định lý 1.1, ta có GMin (A | Θ)đóng Theo Mệnh đề 1.11, ta có GMin (A | Θ) = cl Min (A | Θ) Chứngminh kết thúc