Một số khía cạnh trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên

25 2.3 Mở rộng các định lý cơ bản của giải tích hàm cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.. N Tập các số tự nhiênQ Tập các số hữu tỷ R Tập các số thực LX 0 Ω Không gian các biến ngẫu nhiên X

Trần Thị Hương Giang

MỘT SỐ KHÍA CẠNH TRONG

LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Hương Giang

MỘT SỐ KHÍA CẠNH TRONG

LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60460106

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thịnh

Hà Nội - 2016

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iii

1.1 Toán tử tuyến tính liên tục 10

1.2 Toán tử tuyến tính tự liên hợp, chuẩn tắc 12

1.3 Không gian các biến ngẫu nhiên 14

1.4 Ánh xạ đa trị 14

1.5 Một số kết quả về điểm bất động và phương trình toán tử tất định 16

2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 19 2.1 Các khái niệm và ví dụ 19

2.2 Tiêu chuẩn bị chặn hầu chắc chắn 25

2.3 Mở rộng các định lý cơ bản của giải tích hàm cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 32

2.4 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 37

3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 48 3.1 Các khái niệm và ví dụ 48

3.2 Biểu diễn phổ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng chuẩn tắc 52

3.3 Biểu diễn phổ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng tự liên hợp 58

3.4 Quỹ đạo mẫu của ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng 64 3.4.1 Các khái niệm về quỹ đạo mẫu của ánh xạ ngẫu

nhiên tuyến tính suy rộng 65

3.4.2 Quỹ đạo mẫu của ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn, đóng và tự liên hợp 66

4 Toán tử ngẫu nhiên phi tuyến 69 4.1 Các khái niệm về toán tử ngẫu nhiên phi tuyến 69

4.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên 71

4.2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị 71

4.2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị 79

4.3 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 82

4.3.1 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị 82

4.3.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị 85

5 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 90 5.1 Các khái niệm về toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 90

5.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 93

5.3 Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 112

5.4 Ứng dụng vào toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 122

5.4.1 Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau 122

5.4.2 Ứng dụng của các định lý điểm bất động 127

6 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng giữa các không gian Hibert xác suất 131 6.1 Không gian unitary xác suất và không gian Hibert xác suất 131 6.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng 139

6.3 Liên hợp của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng 146

N Tập các số tự nhiên

Q Tập các số hữu tỷ

R Tập các số thực

LX

0 (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X - giá trị

LX0 (Ω) Không gian tất cả các lớp tương đương của LX0 (Ω)

LXp (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp pC[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

L2[a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

p-lim Hội tụ theo xác suất

Xn −→ X XP n hội tụ theo xác suất đến X

B(X) σ−đại số Borel của X

2X Họ các tập con khác rỗng của X

C(X) Họ các tập hợp con đóng, khác rỗng của X

CB(X) Họ các tập hợp con đóng, khác rỗng và bị chặn của X

A ⊗ B σ−đại số tích của các σ−đại số của A và B

d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B

d(A, B) Khoảng cách giữa hai tập hợp khác rỗng A và B

H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A và B

Gr(F ) Đồ thị của ánh xạ F

h.c.c Hầu chắc chắn

L(X, Y ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

Mở đầu

Lý thuyết toán tử tất định là một lý thuyết lớn, một lâu đài đồ sộtrong toán học nói chung và giải tích nói riêng, có ý nghĩa lớn về cả mặt lýthuyết lẫn ứng dụng Tuy nhiên môi trường ta sống không phải tất định

mà là một môi trường ngẫu nhiên, các phần tử trong môi trường đó luôn

bị can thiệp, tác động bởi các yếu tố ngẫu nhiên Vì vậy, một nhu cầu tấtyếu đặt ra là cần có các mô hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đúngđắn, sinh động hơn Giải tích ngẫu nhiên ra đời từ nhu cầu đó Một trongnhững hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích ngẫu nhiên là lý thuyếttoán tử ngẫu nhiên

Khái niệm về toán tử ngẫu nhiên được đề cập và được nghiên cứu mộtcách có hệ thống đầu tiên bởi Skorokhod năm 1984 [24] Toán tử ngẫunhiên có thể coi là khái niệm mở rộng, ngẫu nhiên hóa của khái niệm toán

tử tất định Tuy nhiên trong khi lý thuyết toán tử tất định đã được pháttriển khá đầy đủ và tròn trĩnh thì lý thuyết toán tử ngẫu nhiên vẫn còn

ở giai đoạn bắt đầu, rất nhiều bài toán bỏ ngỏ cần giải quyết Trong luậnvăn này tôi trình bày một số vấn đề của toán tử ngẫu nhiên đã được nhiềutác giả nghiên cứu trong thời gian gần đây Luận văn gồm 6 chương.Chương 1 nhắc lại một số khái niệm và kết quả quan trọng đối với toán

tử tất định, không gian các biến ngẫu nhiên

Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả về toán tử ngẫu nhiêntuyến tính, bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Chương 3 trình bày khái niệm toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng.Hai kết quả quan trọng trong chương này là định lý biểu diễn phổ cho toán

tử ngẫu nhiên suy rộng chuẩn tắc và và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suyrộng tự liên hợp Chương này cũng giới thiệu một số kết quả gần đây vềquỹ đạo mẫu của ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng

Chương 4 liên quan đến toán tử ngẫu nhiên phi tuyến, phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên và các định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên, bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên

Chương 5 trình bày định lý về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thànhtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài toán về điểm bấtđộng, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và phươngtrình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Chương 6 giới thiệu một số khái niệm và kết quả nghiên cứu gần đây

về toán tử ngẫu nhiên trìu tượng giữa các không gian Hibert xác suất.Các định nghĩa, định lý, bổ đề, mệnh đề, công thức được đánh số thứ

tự tăng dần có kèm theo chỉ số cho từng chương, mục

Luận văn được hoàn thành dưới sự quan tâm, động viên và hướng dẫntận tình của TS Nguyễn Thịnh Thầy cũng là người Thầy chỉ dạy, hướngdẫn học viên trong công việc và cuộc sống trong suốt nhiều năm qua Nhândịp này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới Thầy.

Tôi cũng muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng HùngThắng, người Thầy có ảnh hưởng lớn về nhân cách, truyền cho tôi ngọnlửa trong học tập và nghiên cứu, quan tâm hướng dẫn và định hướng chotôi trong con đường nghiên cứu khoa học

Cuối cùng tôi xin được cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Xác suấtThống kê và các Thầy, Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học đã giúp đỡ vàtạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc tại Khoa

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 06 tháng 4 năm 2016

Học viên

Trần Thị Hương Giang

Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả đối với toán tửtất định đơn trị và đa trị Một số kết quả về tập ngẫu nhiên cũng đượctrình bày để sử dụng cho các chương sau

1.1 Toán tử tuyến tính liên tục

Giả sử H1 và H2 là hai không gian vectơ trên trường K Một toán tử tuyếntính T từ H1 vào H2 là một ánh xạ tuyến tính từ D(T ) ⊂ H1 vào H2 D(T )được gọi là miền xác định của T và ảnh R(T ) = {T x : x ∈ D(T )} đượcgọi là miền giá trị của T Vì trong chương này chỉ xét toán tử tuyến tínhnên để đơn giản, ta gọi là toán tử thay cho toán tử tuyến tính

Nếu H1 = H2 = H thì T được gọi là toán tử trên H.Toán tử từ H vào Kđược gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Cho H1 và H2 là hai không gian định chuẩn

1 Toán tử T từ H1 vào H2 được gọi là liên tục tại x ∈ D(T ) nếu với mọidãy (xn) ∈ D(T ) thỏa mãn limnxn = x thì ta có limnT xn = T x Toán

tử T được gọi là liên tục nếu nó liên tục với mọi x ∈ D(T )

2 Toán tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại C ≥ 0 sao cho ||T x|| ≤ C||x||với mọi x ∈ D(T )

Định lý 1.1.2 Cho T là một toán tử từ H1 vào H2 Khi đó các khẳngđịnh sau là tương đương:

Định lý 1.1.3 (Định lý biểu diễn Riesz)

Cho H là không gian Hibert Với mỗi a cố định thuộc H, hệ thức

Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn và (Aα,α∈Λ)

là họ toán tử thuộc L(X, Y ), tức là với mỗi α ∈ Λ,

Định lý 1.1.5 (Định lý Banach-Steinhauss)

Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn và An, (n =

1, 2, ) là dãy các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y sao cho với mọi

x ∈ X đều tồn tại giới hạn

Ta nhắc lại một số định nghĩa về toán tử

Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian Hibert H và toán tử T : D(T ) ⊂ H →H

1 T được gọi là đối xứng nếu hT x, yi = hx, T yi với mọi x, y ∈ D(T );

2 T được gọi là tự liên hợp nếu T∗ = T ;

3 T được gọi là chuẩn tắc nếu T bị chặn, D(T ) = H và T∗T = T T∗;

4 T được gọi là một phép chiếu nếu T bị chặn, D(T ) = H, T∗ = T và

T T = T

Ta cũng nhắc lại định nghĩa về độ đo phổ, một khái niệm rất quantrọng trong giải tích hàm và định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc.Kết quả ngẫu nhiên hóa vấn đề này được trình bày trong chương ba.Xét H là không gian Hilbert, M là tập con đóng của H Khi đó với

x ∈ H có biểu diễn duy nhất dưới dạng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M⊥.Xét ánh xạ P với D(P ) = H và P x = u thì P là một toán tử tuyến tínhtrên H và được gọi là toán tử chiếu trực giao trên M Để đơn giản, ta gọitoán tử chiếu trực giao là toán tử chiếu Ta nhắc lại định nghĩa về độ đophổ như sau.

Định nghĩa 1.2.2 Cho (S, A) là một không gian đo và H là một khônggian Hilbert phức Độ đo phổ E trên (S, A, H) là ánh xạ E : A → L(H, H)thỏa mãn các tính chất sau

1 Với mỗi M ∈ A, ánh xạ E(M ) là một toán tử chiếu

ở đó chuỗi hội tụ trong H

Định lý phổ của toán tử tuyến tính chuẩn tắc phát biểu như sau.Định lý 1.2.3 1 Nếu E là độ đo phổ trên (S, A, H) và f : S → C làhàm đo được bị chặn thì ánh xạ T : H → H cho bởi

T x =

Z

S

f (s)E(ds)x

là một toán tử tuyến tính chuẩn tắc

2 Ngược lại, cho T ∈ L(H, H) là toán tử tuyến tính chuẩn tắc và σ(T ) ⊂

C là phổ của T Khi đó σ(T ) là tập compact và tồn tại độ đo phổ Etrên (σ(T ), B(σ(T )), H) sao cho

T x =

Z

σ(T )

zE(dz)x ∀x ∈ H

1.3 Không gian các biến ngẫu nhiên

Cho (Ω, F , P ) là một không gian xác suất đầy đủ X là không gian metricvới σ−đại số Borel B(X) của X là σ−đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập

mở của X Ký hiệu 2X là họ tất cả các tập con khác rỗng của X; C(X) là

họ tất cả các tập con đóng, khác rỗng của X; CB(X) là họ tất cả các tậpcon đóng, khác rỗng, bị chặn của X Một không gian metric khả ly và đầy

đủ được gọi là không gian Polish

Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được Khi đó σ−đại số trên

X × Y , ký hiệu bởi A ⊗ B, là σ− đại số nhỏ nhất chứa các tập A × B,trong đó A ∈ A, B ∈ B Với hai không gian tôpô bất kỳ ta có B(X × Y )chứa B(X) ⊗ B(Y ) Tuy nhiên, nếu X và Y là các không gian Polish thìB(X × Y ) = B(X) ⊗ B(Y )

Ánh xạ ξ : Ω → X, với X là một không gian metric, được gọi biếnngẫu nhiên nhận giá trị trên X hay biến ngẫu nhiên X−giá trị nếu

ξ−1(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ F

với mọi B ∈ B(X) Tập tất cả các biến ngẫu nhiên X−giá trị được ký hiệu

là LX0 (Ω) và tập tất cả các lớp tương đương trong LX0 (Ω) được ký hiệu là

LX0 (Ω) LX0 (Ω) có thể hiểu như tập tất cả các biến ngẫu nhiên X−giá trị

và hai biến ngẫu nhiên bằng nhau hầu chắc chắn trong tập này được coi

là trùng nhau

Sự hội tụ trong không gian LX0 (Ω) là sự hội tụ theo xác suất Nếu một dãy(un) hội tụ đến u theo xác suất thì ta ký hiệu p-lim un = u Để đơn giản,không gian L0(Ω, C) được ký hiệu là L0(Ω) và L0(Ω, C) được ký hiệu là

1 F được gọi là đo được mạnh nếu với mọi tập con đóng C của E ta có

3 F được gọi là đồ thị đo được nếu Gr(F ) = {(ω, x) ∈ Ω × E : x ∈

Định lý 1.4.3 Cho E là không gian Polish và F : Ω → 2E là ánh xạ

đa trị Nếu F là đồ thị đo được thì tồn tại biến ngẫu nhiên X−giá trị

ξ : Ω → E sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c

1.5 Một số kết quả về điểm bất động và

phương trình toán tử tất định

Trong phần này trình bày một số khái niệm và định lý điểm bất động chotoán tử tất định và phương trình toán tử tất định mà ta sẽ sử dụng ở cácchương sau của luận văn

Định nghĩa 1.5.1 Cho X là không gian metric, C là tập con đóng củaX

1 Ánh xạ f : C → X được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần tử

x ∈ C sao cho f (x) = x Ta gọi x là điểm bất động của f

2 Hai ánh xạ f, g : C → X được gọi là có điểm bất động chung nếu tồntại phần tử x ∈ C sao cho f (x) = g(x) = x Ta gọi x là điểm bất độngchung của f và g

3 Ánh xạ đa trị F : C → 2X được gọi là có điểm bất động nếu tồn tạiphần tử x ∈ C sao cho x ∈ F (x) Ta gọi x là điểm bất động của F

4 Hai ánh xạ đa trị S, F : C → 2X được gọi là có điểm bất động chungnếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho x ∈ S(x) và x ∈ F (x) Ta gọi x làđiểm bất động chung của S và F

5 Ánh xạ đơn trị f : C → X và ánh xạ đa trị F : C → 2X được gọi là

có điểm trùng nhau nếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho f (x) ∈ F (x)

Ta gọi x là điểm trùng nhau của f và F

Định lý 1.5.2 Cho (X, d) là không gian metric đủ và f : X → X là ánh

xạ thỏa mãn

d(f (x),f (y)) ≤ a max{d(x, f (x)) + d(y, f (y))}

+ b max{d(x, y), d(x, f (x)), d(y, f (y)), 1

2{d(x, f (y)) + d(y, f (x))}}+ c.[d(x, f (y)) + d(y, f (x))]

với mọi x, y ∈ X, trong đó a > 0, b ≥ 0, c > 0 và a + b + 2c = 1 Khi đó f

Định nghĩa 1.5.5 Cho (X, d) là không gian metric Các ánh xạ f : X →

X và F : X → CB(X) được gọi là tương thích nếu với mọi x ∈ X ta có

f (F (x)) ∈ CB(X), đồng thời, với mọi dãy (xn) trong X sao cho F (xn) →

M ∈ CB(X) và f (xn) → x0 ∈ M , ta có H(F (f (xn)), f (F (xn))) → 0.Định lý 1.5.6 Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, f : X → X, F :

X → CB(X) là các ánh xạ liên tục, tương thích thỏa mãn F (X) ⊂ f (X)và

H(F (x), F (y)) ≤ λ max{d(f (x), f (y)), d(f (x), F (x)), d(f (y), F (y)),

1

2[d(f (x), F (y)) + d(f (y), F (x))]}

với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 ≤ λ < 1 và F (X) = ∪x∈XF (x) Khi đó f và

F có duy nhất điểm trùng nhau

Định lý 1.5.7 Cho (X, d) là không gian metric, f : X → X và F : X →C(X) là các ánh xạ thỏa mãn F (X) ⊂ f (X), trong đó F (X) = ∪x∈XF (x).Nếu F (X) hoặc f (X) là tập hợp đầy đủ đồng thời thỏa mãn

H(F (x), F (y)) ≤ λ max{d(f (x), f (y)), d(f (x), F (x)), d(f (y), F (y)),

Toán tử ngẫu nhiên

tuyến tính

Trong giải tích tất định, ánh xạ T từ X vào Y là một quy tắc cho tươngứng mỗi đầu vào x ∈ X một và chỉ một đầu ra y ∈ Y Trong môi trườngngẫu nhiên, thay vì một đầu ra hoàn toàn xác định y ∈ Y như vậy thì ta

có thể thu được một đầu ra ngẫu nhiên nhận giá trị trên Y Do đó ta cóthể xét ánh xạ

A : X → LY0 (Ω)

và A được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y Khi đó các khái niệmtuyến tính, liên tục, bị chặn phải được hiểu theo nghĩa khác Ta có cáckhái niệm sau

2.1 Các khái niệm và ví dụ

Định nghĩa 2.1.1 Cho X, Y là các không gian Banach khả ly, ánh xạ

A : X → LY0 (Ω)

1 A được gọi là tuyến tính ngẫu nhiên nếu ∀x1, x2 ∈ X, λ1, λ2 ∈ R, ta có

A(λ1x1 + λ2x2) = λ1A(x1) + λ2A(x2) h.c.c

2 A được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu

p − lim

x→x 0

Ax = Ax0tức là A liên tục theo xác suất trong LY0(Ω)

3 A được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu A vừa tuyến tínhngẫu nhiên vừa liên tục ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.2 1 Họ (ui, i ∈ I) các biến ngẫu nhiên Y -giá trị đượcgọi là bị chặn theo xác suất hay bị chặn ngẫu nhiên nếu

||ui(ω)|| ≤ C(ω) h.c.c.,chú ý rằng tập bỏ qua được D = {ω : ||ui(ω)|| > C(ω)} có thể phụthuộc vào i ∈ I

3 A được gọi là bị chặn theo xác suất hay bị chặn ngẫu nhiên nếu họ(Ax, x ∈ B) bị chặn ngẫu nhiên với B = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1}

4 A được gọi là bị chặn hầu chắc chắn hay bị chặn nếu họ (Ax, x ∈ B)

bị chặn với B = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1}

Mệnh đề 2.1.3 Ánh xạ ngẫu nhiên A liên tục ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu

A bị chặn ngẫu nhiên

Chứng minh - Điều kiện cần: Giả sử A liên tục ngẫu nhiên Cho trước

 > 0, khi đó tồn tại δ > 0 sao cho ∀x : ||x|| < δ thì P (||Ax|| > 1) <  Khi

đó ∀t > 1δ, ∀x ∈ B ⇒ ||xt|| ≤ 1t ≤ δ nên

P (||Ax|| > t) = P



||Axt



|| > 1 < ,

tức là Ax, x ∈ B bị chặn ngẫu nhiên

- Điều kiện đủ: Giả sử họ (Ax, x ∈ B) bị chặn theo ngẫu nhiên Ta cầnchứng minh A liên tục ngẫu nhiên Do A tuyến tính nên ta chỉ cần chứngminh A liên tục ngẫu nhiên tại 0, tức là

lim

x→0P (||Ax|| > c) = 0với c > 0 cho trước Do A bị chặn ngẫu nhiên nên ∀ > 0, ∃T > 0:

k ||αk(ω)|| là biến ngẫu nhiên Vậy A là toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn

Tương tự, cho f1, , fn là các hàm tuyến tính liên tục trên X và Z1, , Zn ∈

LY0 (Ω) Khi đó ánh xạ ngẫu nhiên A định nghĩa bởi

là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn

Ví dụ 2.1.5 Cho K(t, s) là hàm ngẫu nhiên xác định trên [0, 1]×[0, 1], liêntục mẫu Với mỗi hàm x(t) ∈ C[0, 1], ta định nghĩa A : C[0, 1] → C[0, 1]xác định bởi

2

= 1

r2||x||2

2 ln ln(1/h) → 0 khi h → 0

(2.1)Mặt khác

||Axh|| = sup

t

||Axh(t)|| ≥ ||Axh(1)|| =

p2h ln ln(1/h).Theo luật logarit lặp địa phương của quá trình Wiener thì

Nếu A bị chặn thì tồn tại một biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho

||Axh(ω)|| ≤ k(ω)||xh|| h.c.c

Do đó, tồn tại tập D có xác suất bằng một sao cho với mỗi ω ∈ D và h ∈ Q

ta có

||Axh(ω)|| ≤ k(ω)||xh|| → 0 khi h → 0 (2.3)

Từ (2.1), (2.2), (2.3) suy ra mâu thuẫn Vậy A không bị chặn.

Ví dụ 2.1.7 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên từ L2[0, 1] vào

2(1 − h) ln ln(1/h) → 0 khi h → 0 (2.6)Tuy nhiên,

lim sup

h→0

||Axh(ω)|| = 1 h.c.c (2.7)Nếu A bị chặn thì tồn tại biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho

||Axh(ω)|| ≤ k(ω)||xh|| h.c.c (2.8)

Từ (2.5), (2.7), (2.8) suy ra mâu thuẫn Vậy A không bị chặn

2.2 Tiêu chuẩn bị chặn hầu chắc chắn

Định lý 2.2.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A bị chặn khi và chỉ khitồn tại ánh xạ

T : Ω → L(X, Y )sao cho

Ax(ω) = T (ω)x h.c.c

Chứng minh - Điều kiện cần:

Do X khả ly ⇒ tồn tại tập M đếm được trù mật trong X Gọi Z là tậptất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng

tụ theo xác suất là duy nhất theo nghĩa h.c.c nên

hay A bị chặn.

Hệ quả 2.2.2 Cho X là không gian Banach với cơ sở Schauder (en) và

A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y Khi đó A bị chặn khi vàchỉ khi tồn tại tập D với xác suất 1 sao cho ∀ω ∈ D và ∀x ∈ X chuỗi

∞

X

k=1

(x, e∗k)Aek(ω)hội tụ trong Y

Chứng minh - Điều kiện cần:

Nếu A bị chặn, theo định lý 2.2.1 tồn tại ánh xạ

Nếu dim Y < ∞ thì (2.11) cũng là điều kiện cần Nói chung (2.11) không

phải là điều kiện cần.

3 Với p = 1 thì (2.10) cũng là điều kiện đủ để A bị chặn

Chứng minh 1 Hiển nhiên

Nếu k > 1, gọi h1, , hk là hệ cơ sở trực chuẩn trong Rk Với mỗi hj toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính Φj xác định bởi

Φjx = (Ax, hj), j = 1, k

(x, en)Aen(ω) hội tụ h.c.c Theo định lý 2.2.2 A bị chặn.

2.3 Mở rộng các định lý cơ bản của giải tích

hàm cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Một câu hỏi tự nhiên là các định lý cở bản của giải tích hàm có còn đúngcho ánh xạ ngẫu nhiên Ta có các định lý sau

Định lý 2.3.1 (Định lý đồ thị đóng) Giả sử A là ánh xạ tuyến tính ngẫunhiên từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Nếu A là ánh

xạ đóng tức là nếu xn → x, Axn −→ y thì y = Ax Khi đó A liên tục ngẫuPnhiên

Nguyên lý bị chặn đều vẫn đúng cho trường hợp bị chặn ngẫu nhiên

Ta có định lý sau

Định lý 2.3.2 Cho (Ai, i ∈ I) là họ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Giả

sử rằng với mỗi i ∈ I, họ (Aix, x ∈ B) bị chặn ngẫu nhiên, tức là

Bài toán

Cho (Ai, i ∈ I) là họ các ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên Giả sử rằng với mỗi

i ∈ I, Ai là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn, tức là họ (Aix, x ∈ B)

∞

X

n=1

|(yn, y∗)|p < ∞ ∀y∗ ∈ Y∗ (2.12)

Ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi y∗ ∈ Y∗ cố định họ (Axy∗, x ∈ B) bị chặn, nóicách khác, ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên

x 7→ (Φx, y∗) bị chặn

Ta thừa nhận kết quả sau

Gọi q là liên hợp của p ⇒ q > p do 1 < p < 2 Từ (2.12) suy ra

Định lý 2.3.5 (Định lý Banach - Steinhauss) Cho (An) là dãy các toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y Giả sử rằng với mỗi x ∈ X thì

Anx → Ax khi n → ∞

Áp dụng định lý Banach - Steinhauss ta có A ∈ L(X, LY0) hay A là toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính

Như vậy giới hạn của dãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính lại là toán

tử ngẫu nhiên tuyến tính Một câu hỏi tự nhiên là: phải chăng giới hạn củadãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn h.c.c là một toán tử ngẫunhiên tuyến tính bị chặn h.c.c? Ví dụ sau đây cho thấy điều này khôngđúng

Ví dụ 2.3.6 Giả sử H là không gian Hilbert khả ly với cơ sở trực chuẩn(en) Gọi (αn) là dãy các b.n.n độc lập cùng phân bố chuẩn tắc N (0, 1).Với mỗi n dễ thấy ánh xạ An : H → L0(Ω) cho bởi

2.4 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến

Ánh xạ eA được gọi là thác triển của A

Định lý 2.4.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A : X → LY0 (Ω) thác triểnđược khi và chỉ khi A bị chặn h.c.c

Chứng minh 1 Điều kiện đủ Giả sử A bị chặn h.c.c Ta cần chứng minh

Bổ đề 2.4.4 1 Nếu u ∈ LX0 (Ω), thì tồn tại một dãy các biến ngẫu nhiênđơn giản X- giá trị (gn) hội tụ đến u theo xác suất.

2 Nếu p − lim

n gn = u thì tồn tại p − lim

n Age n và giới hạn này không phụthuộc vào việc chọn dãy xấp xỉ (gn) Ta kí hiệu giới hạn này là eAu.Chứng minh 1) Gọi (xn) là tập đếm được trù mật trong X Với mỗi  > 0,đặt Bn = {ω : ||u(ω − xn|| < )} và An = Bn\{Sn−1

i=1 Bn.} Dãy (An) lậpthành một phân hoạch đếm được của X Cho n đủ lớn để

∞

P

k=n+1

P (Ak) < .Đặt g(ω) =

⇒ eAgn hội tụ theo xác suất

Ta chứng minh giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy gn

P

−→ u

Giả sử (hn) là dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản khác hội tụ theo xác suấttới u Đặt

P (||ξ − η|| > t) = 0 ∀t > 0,chứng tỏ rằng ξ = η h.c.c

Bổ đề 2.4.5 (Mở rộng của bổ đề 2.4.3) Với mỗi t > 0, r > 0 và với mỗibiến ngẫu nhiên X-giá trị u ta có

Trở lại chứng minh điều kiện đủ của định lý: Ta chứng minh eA là toán

tử hoàn toàn ngẫu nhiên mở rộng của A

- Chứng minh eA liên tục: Giả sử p − lim

A suy ra với các biến ngẫu nhiên đơn giản thì

eA(un + vn) = eAun+ eAvn

tử ngẫu nhiên tuyến tính

Như giới hạn dãy tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính lại tốn

tử ngẫu nhiên tuyến tính Một câu hỏi tự nhiên là: phải giới hạn củadãy toán tử ngẫu nhiên tuyến... class="page_container" data-page="36">

2.4 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến

Ánh xạ eA gọi thác triển A

Định lý 2.4.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A : X → LY0... hội tụ h.c.c Theo định lý 2.2.2 A bị chặn.

2.3 Mở rộng định lý giải tích

hàm cho tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính

Một câu hỏi tự nhiên định lý cở giải tích hàm