Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

MỞ ĐẦU Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán nghiên cứu về lý thuyết dao động qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp h

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời cam đoan 3

Lời cảm ơn 4

Các ký hiệu 5

Mở đầu 6

Chương 1 Các kiến thức cơ bản 7

1.1 Không gian Sobolev 7

1.1.1 Không gian k ( ) C W 7

1.1.2 Không gian p( ) L W 9

1.1.3 Không gian 1, ( ) W p W 9

1.1.4 Không gian 1( ) 0 H W và khái niệm vết của hàm 11

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm 1( ) H- W và 1 ( ) H- ¶ W 12 1.2 Phương trình elliptic 12

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 13

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên 14

1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản 16

1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp 16

1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương

pháp lặp 17

1.4 Phương pháp sai phân……… 17

1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 20

1.5.1 Bài toán biên Dirichlet 20

1.5.2 Bài toán biên Neumann 22

Chương 2 Bài toán Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 27

2.1 Giới thiệu bài toán Motz 27

2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng 28

2.2.1 Phương pháp BAMs 28

2.2.2 Phương pháp GFIFs 30

2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs 32

2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ 32

Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm với bài toán Motz 41

3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển 41

3.1.1 Phương pháp BAMs 41

3.1.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs 42

3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz 45

3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát 49

Phần kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Phần phụ lục 56

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, Tháng 12 năm 2015

Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

TS Nguyễn Thị Thu Thủy

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

TS Vũ Vinh Quang

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được

sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS Vũ Vinh Quang - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy

đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học toán K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Xin trân trọng cảm ơn!

Thái nguyên, tháng 12 năm 2015

Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung

CÁC KÝ HIỆU

W Miền giới nội trong không gian ¡ n

n

¡ Không gian Euclide n chiều

¶ W Biên trơn Lipschitz

× Chuẩn xác định trên không gian V

() ×V Tích vô hướng xác định trên không gian V

( )

C W Hằng số Poincare

MỞ ĐẦU

Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán nghiên cứu về lý thuyết dao động qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai Trong trường hợp khi môi trường là thuần nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có thể được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên khi điều kiện biên của bài toán là hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm (Neumann) thì trong thực tế điểm giao giữa 2 loại điều kiện này thường xảy

ra các hiện tượng gãy nứt vật liệu Các điểm giao này người ta thường gọi là các điểm kỳ dị Trong trường hợp khi tồn tại các điểm kỳ dị thì các phương pháp kể trên không thể thực hiện được Để giải quyết các bài toán này, người

ta thường nghiên cứu theo 2 hướng sau đây:

 Xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm

kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng Từ đó bài toán đưa về việc xác định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính

 Sử dụng các sơ đồ lặp chuyển bài toán có chứa điểm kỳ dị về các bài toán con không chứa điểm kỳ dị Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để giải quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu

Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về một mô hình bài toán Motz, đây là mô hình bài toán elliptic cấp hai có chứa 1 điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test các phương pháp xấp xỉ trên thế giới, nghiên cứu cơ sở của phương pháp khai triển tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz, đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp lặp

chuyển bài toán Motz về hai bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc So sánh kết quả thực nghiệm của hai phương pháp Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính điện tử

Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu nghiên cứu cơ sở lý thuyết của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt bằng phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung quanh các điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính toán thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:

Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về không gian hàm và lý

thuyết về phương trình elliptic, lý thuyết về các sơ đồ lặp Cơ sở phương pháp chia miền và lý thuyết sai phân

Chương 2: Trình bày mô hình của bài toán Motz và các phương pháp

tìm nghiệm xấp xỉ

Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Vũ Vinh Quang, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán Học đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn đóng góp ý kiền để đề tài được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, lý thuyết về các sơ đồ lặp và phương trình eliiptic cấp 2,

lý thuyết về phương pháp sai phân Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho viện trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn Các kiến thức được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8]

1.1 Không gian Sobolev

Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡ n và

W là bao đóng của W Ta kí hiệu Ck ( ) ( W , k = 0,1, 2 ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W Ta đưa vào k ( )

1

.

C W với chuẩn đã cho là

không gian Banach

. n

1.1.4.3 Định nghĩa

Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian 1 ( )

2

H ¶ W được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết g, tức là:

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm 1( )

0 1

i) Với m=1 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai

ii) Với m=2 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn

Bài toán tìm nghiệm của (1.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên Gnghiệm u x ( ) thỏa mãn một số điều kiện biên:

( ) , 0,1, , 1,

trong đó B ui( ) , i = 0,1, , m - 1 là các toán tử biên

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình

C W Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2) W

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên

1.2.2.1 Bài toán Dirichlet

ï = Î ¶ W ïî

+ Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phương trình - V u = f ,

vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm 1( )

Nhân hai vế của phương trình - V u = f với 1( )

v Î H W rồi lấy tích phân

phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ

1 1

, 0,1, 2,

k

y k

q

+ +

1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp

Lược đồ lặp (1.12) với toán tử

k

B = B , tham số qk+1 = q không đổi

( k = 0,1, 2, ) còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:

Lưới sai phân

N>1và M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là

Mỗi điểm ( , )

i j

x y gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i,j) Tập tất cả các nút

trong ký hiệu là Whk Nút ở trên biên G gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên

kí hiệu là Ghk, tập Whk = W È Ghk hk gọi là một lưới sai phân trên W

Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm

lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là ui j, Mỗi hàm u(i,j) xác định tại mọi ( , ) x y Î W tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui j,

Bài toán sai phân: Kí hiệu Lu = f là các hàm số hai biến x, y có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong W WÈ G = Giả sử bài toán có

( )

u Î C W, khi đó:

4 ( , )x y | u4 ( , ) | 1 = ,

O h + k là một vô cùng bé bậc hai Ta nói toán tử Dkh

xấp xỉ toán tử D, điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân:

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh, tìm hàm lưới u tại các nút ( , ) i jthỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.18) với các điều kiện biên (1.19) Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các phương pháp đại số

1.5 Giới thiệu thư viện RC2009

Thư viện chương trình RC2009 là sự phát triển của thư viện T2004 tìm nghiệm số của bài toán biên hỗn hợp trong trường hợp toán tử của phương trình phức tạp hơn

1.5.1 Bài toán biên Dirichlet

Xét trường hợp khi toán tử lu = u tức là điều kiện biên dạng Dirichlet,

-Trong đó Y j là các véc tơ nghiệm, F j là các véc tơ cấp (M-1), C là ma trận hệ

số cấp ( M - 1 ) ( ´ M - 1 )được xác định như sau:

2 2 2 2, 2

2 2

2, 2

2 2

j j

j j

Trên cơ sở thuật toán thứ nhất tiến hành cài đặt giải hệ phương trình

trên Thiết kế các hàm RC0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực

hiện thuật toán thu gọn

Hàm v0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.24) bắt đầu từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 )

1.5.2 Bài toán biên Neumann

Xét bài toán biên hỗn hợp

Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng Neumann

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác ( 2 2)

O h + h chuyển bài toán vi phân (1.25) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

-trong đó Y j là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp ( M - 1 ),C là ma trận

hệ số cấp ( M - 1 ) ( ´ M - 1 ) được xác định như sau:

-( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2, 2 4 2

2

2

2, 2 4 2

M N

M N

h

h b rb N d r k

r d r h

h b

r d k

d r h

h b M k

h

h b M rb N k

( )

( )

2 2

1, 1 2

2 2 2, 2

2 2 2, 2 2 2

1, 2 2

0

0 0 0

0 0 0 01,2, 1,

j

j j

M j

M j

h

rb j k

h k F

h

rb j k

j j

j j

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết véc

tơ F0, tiến hành cài đặt giải hệ phương trình véc tơ ba điểm

Thiết kế hàm RC0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện

thuật toán thu gọn

Hàm v0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.59) từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 ) Trong

trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn

RC0001(…) xây dựng các hàm v0010(…),v0100(…),v1000(…) trả lại nghiệm

bằng số của các bài toán tương ứng

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữ nhật

trong đó Y j là các véc tơ nghiệm, F j là các véc tơ cấp (M), C là ma trận hệ số

cấp ( ) ( ) M ´ M được xác định như sau

2, 2 4 2

2

2

1, 2 4 2

h

h b M k

( )

( )

2 2

1, 1 2

2 2 2, 2

2 2 1, 2 2 2

h k F

h

rh b j k

j j

j j

Thiết kế hàm RC0002(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện

thuật toán thu gọn

Hàm v0101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.26) từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 ) Trong

trường hợp khi điều kiện biên trên hai cạnh khác là dạng Neumann, sử dụng

phương pháp biến đổi tọa đọ trên cơ sở của hàm chuẩn RC0002(…) xây dựng các hàm v1010(…),v1001(…),v0110(…) trả lại nghiệm bằng số của các bài

Trong đó Y j là các véc tơ nghiệm, F j là các véc tơ cấp (M+1), C là ma trận hệ

số cấp ( M + 1 ) ( ´ M + 1 )được xác định như sau:

( 0, , 1, , , , ) , 0,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j j

0, 1 2

2 2 1, 2

2 2 1, 2 2 2 , 1 2 2

2

j

j j

M j

M j

h

rb j k

h k F

h k h

rh b j k

j j

j j

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp tổng quát,

thiết kế hàm RC0004(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện thuật toán thu gọn, hàm v1111(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (121) từ tọa độ (p 1 ,q 1 ) đến (p 2 ,q 2 )

Các hàm mẫu trên đã được xây dựng trong thư viện RC2009 cho phép giải số bài toán biên elliptic tổng quát với điều kiện biên hỗn hợp Các kết quả

đã được đưa ra trong tài liệu [ 2 ]

Kết luận

Nội dung chương 1 đã đưa ra một số khái niệm về các không gian hàm, lý thuyết về các sơ đồ lặp và đặc biệt là hệ thống thư viện giải bài toán elliptic cấp hai Đây là các kiến thức cơ bản sử dụng để nghiên cứu các chương sau

của luận văn

XẤP XỈ

Nội dung chính của chương 2 trình bày mô hình bài toán Motz và một

số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dựa trên ý tưởng khai triển tiệm cận thông qua các hệ hàm trực giao dạng tọa độ cực xung quanh lân cận điểm kỳ dị, một phương pháp khác là dựa trên các thuật toán chia miền Các kết quả được tham khảo trong các tài liệu [1, 3, 4, 9]

2.1 Giới thiệu bài toán Motz

Bài toán Motz là một bài toán Laplace chuẩn được các tác giả đưa ra trong tài liệu [3], nó thường được sử dụng để kiểm tra các phương pháp số với các điều kiện biên kỳ dị

Chúng ta xét bài toán elliptic cấp hai với hệ điều kiện biên được biểu hiện trong hình 2.1

Nhận xét: Khó khăn của bài toán là trên biên tồn tại điểm kỳ dị Vì vậy

phương pháp sai phân thông thường sẽ gặp khó khăn Sau đây chúng ta sẽ

nghiên cứu một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán này

2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng

2.2.1 Phương pháp BAMs

Phương pháp được đưa ra bởi các tác giả Z C Li và Y L Chan (2006)

áp dụng đối với các bài toán có các điểm biên kỳ dị [6]

Xét bài toán tổng quát sau đây:

Theo lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng thì vì trên biên của bài

toán tồn tại điểm biên kỳ dị (là điểm phân cách giữa 2 loại điều kiện biên

Dirichlet và Rôbin) nên bài toán tồn tại nghiệm yếu

y

2

G

Một số dạng khác nhau của phương pháp BAMs

Nếu ta đưa vào tham số w ³ 0 và a Î ê ú é ë 0, 1 ù û thì nghiệm xấp xỉ

Trong phương pháp Hybrid BAM chọn w = o và a = 1.

Trong phương pháp Penalty/Hybrid BAM chọn w ³ o và 0 £ a £ 1 với

2.2.2 Phương pháp GFIFs

Phương pháp được đưa ra bởi các tác giả M Arad, Z Yosibash, G Ben-Dor, A Yakhot (2005) áp dụng đối với các bài toán có miền hình học phức tạp [3]

Cho W là một miền trong không gian 2 chiều với biên ¶ W= È Gi i Xét bài toán biên