Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học nội dung hệ phương trình trong trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRỊNH THỊ THU DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGƯỜI HỌC NỘI DUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRỊNH THỊ THU

DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGƯỜI HỌC NỘI DUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG

HÀ NỘI - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRỊNH THỊ THU

DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGƯỜI HỌC NỘI DUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số:60.14.01.11

Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm

ơn đến ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn

Vũ Lương – người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong

quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT Tống Văn Trân, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Trịnh Thị Thu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5

1.1 Khái niệm năng lực 5

1.2 Mô hình cấu trúc năng lực 5

1.2.1 Mô hình cấu trúc năng lực chung 5

1.2.2 Nhóm năng lực chuyên môn trong môn Toán 6

1.2.3 Mục tiêu cần đạt được của năng lực chung trong môn Toán ở cấp học THPT 8

1.3 Năng lực toán (Mathematical competence) 10

1.3.1 Khái niệm 10

1.3.2 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và tiếp cận năng lực toán: 10

1.4 Dạy học phát triển năng lực của người học ở trường THPT 11

1.4.1 Để dạy học phát triển năng lực cho người học ở cấp THPT chúng ta cần làm gì? 13

1.4.2 Làm thế nào để phát triển được năng lực người học thông qua nội dung HPT? 14

1.4.3 Thực tiễn dạy học nội dung HPT ở trường THPT 15

1.5 Kết luận chương 1 16

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI GIẢNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGƯỜI HỌC VỀ NỘI DUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TRƯỜNG THPT17 2.1 BÀI GIẢNG I : Phát triển năng lực thực hành với nội dung “ Hệ

phương trình cơ bản” 17

2.1.1 Bài giảng của giáo viên 18

2.1.2 Hướng dẫn học sinh thực hành 30

2.1.3 Tổng kết, đánh giá trên lớp 34

2.2 BÀI GIẢNG II : Dạy học phát triển năng lực phân tích, tổng hợp “ sử dụng hằng đẳng thức để giải hệ phương trình ” 35

2.2.1 Giáo viên chuẩn bị bài giảng và trình bày 37

2.2.2 Hướng dẫn học sinh thực hành 43

2.2.3 Tổng kết, kiểm tra, đánh giá bài học 48

2.3 BÀI GIẢNG 3: Dạy học phát triển khả năng tự học có hướng dẫn nội dung“ Sử dụng bất đẳng thức giải hệ phương trình” 49

2.3.1 Bài giảng của giáo viên 51

2.3.2 Học sinh tự học 61

2.3.3 Kiểm tra đánh giá và tổng kết giờ học 65

2.4 BÀI GIẢNG 4: Dạy học phát triển khả năng giải quyết vấn đề nội dung “ Phương pháp giải hệ phương trình” 71

2.4.1 Bài giảng của giáo viên 71

2.4.2 Học sinh viết tổng kết 77

2.5 Kết luận chương 2 81

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 82

3.1.1 Mục đích 82

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 82

3.2 Nội dung thực nghiệm sƣ phạm 82

3.3 Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 83

3.3.1 Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm 83

3.3.2 Phương pháp và tiến trình thực nghiệm 84

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 89

3.4.1 Đánh giá định tính 89

3.4.2 Đánh giá định lượng 90

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 94

KẾT LUẬN 96

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97

PHỤ LỤC 1 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN VỀ TIẾT DẠY THỰC NGHIỆM 97

PHỤ LỤC 2 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN HỌC SINH 100

và có một đóng góp nhỏ về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực được tổng kết từ hệ thống giáo dục đang rất thành công ở nước ta (các trường chuyên Việt Nam)

Kết quả của luận văn hướng tới mục tiêu sau:

1 Hiệu quả

- Học sinh được tham gia vào hoạt động dạy học nhiều nhất

- Học sinh đóng vai trò chủ động

2 Thực hành

- Học sinh phải đạt kết quả tốt khi làm các bài tập thực hành

- Giải toán tốt các bài toán lí thuyết và thực tiễn

- Viết tổng kết, dự án tốt

- Sáng tạo bài toán mới, nghiên cứu

2

3 Thành công

- Học sinh phải có thành tích khi tham gia học tập

- Có kết quả tốt trong các cuộc thi

- Có điểm cao trong các kì thi

Mục tiêu cụ thể:

- Nâng cao khả năng thực hành cơ bản

- Nâng cao khả năng (năng lực) phân tích, tổng hợp

- Nâng cao khả năng tự học

Đồng thời chú ý đến các năng lực khác như: Làm việc theo nhóm, hợp tác và trình bày, thuyết phục

Nói tóm lại dạy và học theo hướng phát triển năng lực giàu tính thực tiễn và hướng tới thành công được đánh giá cụ thể là năng lực cho mỗi người học Một các tất nhiên là mô hình này dễ thành công đối với số ít học sinh (số

cá nhân được chăm sóc) hoặc tại các trường chuyên Việt Nam vì hội tụ đủ các điều kiện đòi hỏi cuả dạy học phát triển năng lực Tuy nhiên mô hình này lại không dễ áp dụng cho giáo dục đại trà, để đạt được hiệu quả cần sự hỗ trợ và đồng tình của mọi người

Kiến thức hệ phương trình có nhiều cách tiếp cận và trình bày trong các sách giáo khoa môn toán Trong những năm qua đó có những ý kiến khác nhau trong việc trình bày nội dung hệ phương trình trong các sách giáo khoa môn toán THPT Thực tế đó có những cách trình bày khác nhau về nội dung này Mỗi cách trình bày có những ưu điểm và hạn chế riêng Việc nghiên cứu một cách toàn diện các cách tiếp cận nội dung dạy học về hệ phương trình cùng những định hướng dạy học là một việc nên làm

Có một số chương trình nghiên cứu về nội dung hệ phương trình Tuy nhiên chưa có công trình nào đề cập đến vấn đề dạy học theo hướng phát triển nội dung hệ phương trình Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài luận

văn thạc sĩ của môn là: “Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học nội dung “hệ phương trình” trong trường trung học phổ thông”

3

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn về phương pháp giảng dạy theo hướng phát triển năng lực từ đó đề xuất các bài giảng trong nội dung hệ phương trình nhằm phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tự học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn về hướng năng lực

- Nghiên cứu về nhiệm vụ và chức năng của việc dạy học theo hướng phát triển năng lực

- Thiết kế một số tình huống dạy học theo hướng phát triển năng lực nội dung hệ phương trình

- Thiết kế một số giáo án giảng dạy nội dung hệ phương trình theo hướng phát triển năng lực

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm về tính khả thi và hiệu quả của đề tài

- Xử lí kết quả thực nghiệm bằng toán thống kê

4 Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học ở trường trung học phổ thông

- Đối tượng nghiên cứu: Hệ thống bài giảng về hệ phương trình theo hướng phát triển năng lực

5 Vấn đề nghiên cứu

Dạy học nội dung hệ phương trình theo hướng phát triển năng lực như thế nào để nâng cao năng lực tư duy, giải quyết vấn đề và năng lực tự học của học sinh?

6 Giả thuyết khoa học

Dạy học nội dung hệ phương trình theo hướng phát triển năng lực sẽ tạo cơ hội cho học sinh rèn luyện và phát triển khả năng tư duy, giải quyết vấn đề và chủ động tự học

4

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên trường Trung học phổ thông

Ý Yên

- Số liệu sử dụng nghiên cứu đề tài được thu thập trong khoảng thời gian từ năm 2014-2015

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn đề tài

- Ý nghĩa lý luận của đề tài: Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lí luận những vấn đề cơ bản về dạy học theo hướng phát triển năng lực

- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài: Kết quả nghiên cứu góp phần đưa ra phương pháp giảng dạy nội dung hệ phương trình theo hướng phát triển năng lực tạo

cơ hội cho học sinh rèn luyện và phát triển năng lực tư duy,giải quyết vấn đề

và năng lực tự học

9 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

+ Nghiên cứu về tâm lí học, giáo dục học , lí luận và phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu có liên quan

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa lớp 10

+ Tiến hành dự giờ các giờ giảng dạy theo hướng phát triển năng lực + Trao đổi ý kiến với các giáo viên và học sinh sau giờ học

+ Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tình huống và giáo án đã thiết kế

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục , luận văn dự kiến được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn dạy học nội dung hệ phương trình

theo hướng phát triển năng lực

Chương 2: Một số bài giảng phát triển năng lực người học nội dung hệ

phương trình trong trường trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

xử phù hợp trong bối cảnh phức tạp của cuộc sống luôn thay đổi

Năng lực của học sinh trung học phổ thông là khả năng làm chủ hệ

thống kiến thức, kĩ năng, thái độ,…phù hợp với lứa tuổi và vận hành chúng một cách hợp lý và thực hiện thành công nhiệm vụ học tập, giải quyết hiệu quả những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống ( Nguyễn Công Khanh, 2002)

Đặc điểm của năng lực:

- Năng lực là tổ hợp các thuộc tính của cá nhân: Năng lực không phải chỉ

là một thuộc tính, đặc biệt nào đó của cá nhân mà nó bao gồm những thuộc tính tâm lý và sinh lý Tuy nhiên, sự tổ hợp này không phải tất cả những thuộc tính tâm lý và sinh lý mà chỉ bao gồm những thuộc tính tương ứng với những đòi hỏi của một hoạt động nhất định nào đó và làm cho hoạt động đó đạt được hiểu quả Tổ hợp các thuộc tính không phải là sự cộng gộp đơn thuần các thuộc tính đó mà là sự tương tác lẫn nhau giữa các thuộc tính làm thành một

hệ thống, một cấu trúc nhất định Khi chúng ta tiến hành một hoạt động cần

có những thuộc tính A, B, C… cấu trúc này rất đa dạng và nếu thiếu một thuộc tính tâm lý thì thuộc tính khác sẽ bù trừ

1.2 Mô hình cấu trúc năng lực

1.2.1 Mô hình cấu trúc năng lực chung

6

- Năng lực giải quyết vấn đề

- Năng lực tư duy

- Năng lực tự quản lý

* Nhóm năng lực về quan hệ xã hội

- Năng lực giao tiếp

1.2.2.2 Năng lực chuyên biệt

Là sử thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao như năng lực toán học, văn học, hội họa,âm nhạc,… Hai loại năng lực này bổ sung và hỗ trợ cho nhau [ 3, tr 3 ]

1.2.2 Nhóm năng lực chuyên môn trong môn Toán

1.2.2.1 Tư duy Toán học

- Đặt ra các câu hỏi toán học và biết phân loại các câu trả lời

- Hiểu biết và xử lý về phạm vi và giới hạn của một số khái niệm Toán học

- Phân biệt giữa các loại mệnh đề:

+ Khẳng định có điều kiện: “ Nếu – thì”

+ Các giả định

+ Các định nghĩa, định lý

+ Các phỏng đoán

+ Các trường hợp

7

1.2.2.2 Đặt ra và giải quyết vấn đề Toán học

- Xác định và đặt ra các vấn đề có thể là lý thuyết hoặc vấn đề mang tính thực tế

- Các vấn đề Toán học được đặt ra bởi những người khác hoặc chính bản thân

- Khám phá những ý tưởng từ những cái cho trước

- Việc đưa ra những lập luận Toán học chính thức và không chính thức, dùng lập luận để chứng minh các mệnh đề

1.2.2.4 Xử lý các kí hiệu và công thức toán học

- Giải thích được ký hiệu và ngôn ngữ toán học chính thức và hiểu được mối liên hệ của chúng với ngôn ngữ tự nhiên

- Hiểu được nguyên tắc của hệ thống toán học tự nhiên và chính thức( về cả

cú pháp và ngữ nghĩa)

- Dịch được ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ chính thức/ kí hiệu

- Xử lý các báo cáo và biểu thức có chứa ký hiệu và công thức toán học

1.2.2.4 Giao tiếp với toán học

- Hiểu được các văn bản, hình ảnh, lời nói có nội dung toán học

- Thể hiện chính xác các cấp độ khác nhau về lý thuyết và kĩ thuật của lời nói, hình ảnh và văn bản có nội dung toán học

1.2.2.5 Sử dụng các phương tiện, công cụ hỗ trợ bao gồm công nghệ thông tin

- Biết đến sự tồn tại và các tính năng của các phương tiện và công cụ hỗ trợ cho toán học, cũng như những hạn chế của chúng

- Có thể sử dụng thành thạo các phương tiện và công cụ hỗ trợ này

1.2.3.1 Năng lực tư duy

- Đặt câu hỏi để làm rõ vấn đề và nảy sinh những ý tưởng trừu tượng; làm rõ thông tin và ý tưởng phức tạp từ các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy; khả năng vận dụng thành thạo các bài toán tương tự

- Tổng hợp các ý tưởng để từ đó định hướng tiến trình giải toán, đánh giá lời giải, xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau khi tìm kiếm lời giải

- Nhận xét những mặt mạnh và hạn chế trong lời giải từ đó xây dựng kế hoạch, phương pháp mới để áp dụng vào bài toán mới

12.3.2 Năng lực giải quyết vấn đề

Phân tích được tình huống trong học tập, trong cuộc sống; phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống

Thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề; đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề; lựa chọn được giải pháp phù hợp nhất

Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề; suy ngẫm về cách thức

và tiến trình giải quyết vấn đề để điều chỉnh và vận dụng trong bối cảnh mới

1.2.3.3 Năng lực tự học

Xác định nhiệm vụ học tập có tính đến kết quả học tập trước đây và định hướng phấn đấu tiếp; mục tiêu học được đặt ra chi tiết, cụ thể, đặc biệt tập trung nâng cao hơn những khía cạnh còn yếu kém

Đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; hình thành cách học tập riêng của bản thân mình; tìm được nguồn tài liệu phù hợp với các mục đích , nhiệm vụ học tập khác nhau; thành thạo sử dụng thư viện, chọn tài liệu và làm

9

thư mục phù hợp với từng chủ đề học tập của các bài tập khác nhau; ghi chép thông tin đọc được bằng các hình thức phù hợp thuận lợi cho việc ghi nhớ, sử dụng , bổ sung khi cần thiết; tự đặt được vấn đề học tập

Tự nhận ra và điều chỉnh những sai sót, hạn chế của bản thân trong quá trình học tập; suy ngẫm cách học của mình , đúc kết kinh nghiệm để có thể chia sẻ, vận dụng vào các tình huống khác; trên cơ sở các thông tin phản hồi vạch kế hoạch điều chỉnh cách học để nâng cao chất lượng học tập

1.2.3.4 Năng lực về quan hệ xã hội

* Năng lực giao tiếp

- Xác định được mục đích giao tiếp phù hợp với từng đối tượng HS, dự kiến được thuận lợi và khó khăn để đạt được mục đích trong giao tiếp

- Chủ động trong giao tiếp; tôn trọng lắng nghe những ý kiến, phản ứng tích cực trong giao tiếp

- Lựa chọn nội dung, ngôn ngữ phù hợp với ngữ cảnh và đối tượng giao tiếp; biết tự tin khi nói trước mọi người

* Năng lực hợp tác

- Chủ động đề xuất mục đích hợp tác để giải quyết vấn đề do bản thân và người thay thế.; lựa chọn hính thức làm việc theo nhóm với quy mô phù hợp với yêu cầu và nhiệm

- Tự nhận trách nhiệm và vai trò của mình trong hoạt động chung của nhóm; phân tích được các công việc cần thực hiện để hoàn thành nhiệm vụ đáp ứng được mục đích chung, đánh giá khả năng của mình có thể đóng góp thúc đẩy hoạt động của nhóm

- Phân tích được khả năng của từng thành viên để tham gia đề xuất phương án phân công công việc; dự kiến phương án phân công, tổ chức hoạt động hợp tác

- Theo dõi tiến độ hoàn thành công việc của từng thành viên và cả nhóm để điều hòa hoạt động phối hợp ; khiếm tốn tiếp thu sự góp ý và nhiệt tình chia

sẻ, hỗ trợ các thành viên khác

10

- Căn cứ vào mục đích hoạt động của nhóm để tổng kết kết quả đạt được; đánh giá mức độ đạt mục đích của cá nhân và của nhóm và rút kinh nghiệm cho bản thân và góp ý cho từng người trong nhóm

Nếu phương pháp giảng dạy có sự tương tác giữa thầy với trò và có sự bắt trước thấy giáo và bạn bè khi đó HS có năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực xã hội….Phương pháp giảng dạy đòi hỏi viết nhiều tạo cho người học tư duy lãnh đạo và hoàn thiện vấn đề

1.2.3.5 Năng lực tính toán

Khả năng vận dụng thành thạo các phép tính trong học tập và trong cuộc sống; sử dụng hiệu quả các kiến thức về đo lường, ước tính được các tình huống trong nhà trường và trong cuộc sống

Sử dụng hiệu quả các thuật ngữ, kí hiệu toán học, tính chất các số và tính chất các hình học; sử dụng được thống kê toán để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong đời sống thực

Vận dụng được các bài toán tối ưu trong toán học vào cuộc sống

1.3 Năng lực toán (Mathematical competence)

1.3.1 Khái niệm

Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các

hoạt động toán học.Các kỹ năng của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có) Các hoạt động toán học

đó là các thao tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng minh,…) với các đối tượng, nội dung toán học [2, tr 32 ]

1.3.2 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và tiếp cận năng lực toán:

1.3.2.1 Yếu tố tự nhiên – sinh học

Năng lực toán của học sinh được di truyền từ cha mẹ, mà chúng ta hay

gọi là năng khiếu toán Thực tế có nhiều học sinh được thừa hưởng những

thuộc tính sinh học (gen), những phẩm chất toán học từ cha mẹ là những

11

người có năng lực toán học tốt Di truyền tạo ra những điều kiện ban đầu để học sinh có triển vọng phát triển năng lực toán tốt [ 2, tr 32 ]

1.3.2.2 Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục

Mỗi học sinh đều sống (hoạt động) trong một môi trường xã hội nhất định.Môi trường góp phần tạo nên động cơ, mục đích, phương tiện, hành động của cá nhân, trong đó giáo dục đóng vai trò chủ đạo.Chính vì thế, trên thế giới có những nước toán học rất phát triển, là môi trường ươm mầm cho những tài năng toán học xuất chúng Hay trong một quốc gia, có những địa phương có phong trào học toán vượt trội so với những nơi khác, mà người ta

hay gọi là đất học toán

1.3.2.3 Yếu tố nội dung của toán học

Chính trong bản thân môn toán học với nội dung có đặc tính trừu tượng, logic đã góp phần hình thành và phát triển các năng lực toán học cho học sinh.Việc học tập toán một cách có hệ thống, phương pháp phù hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển năng lực toán một cách bền vững

1.3.2.4 Yếu tố hoạt động của học sinh

Hoạt động của học sinh đóng vai trò quyết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán Muốn hình thành và phát triển năng lực toán, học sinh cần phải được trực tiếp thao tác, hoạt động với các đối tượng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê, cộng với ý chí, nghị lực và sự kiên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần chiếm lĩnh các tri thức toán học Trong quá trình hoạt động đó, tùy vào sự nỗ lực của bản thân mà năng lực toán học sẽ được hình thành và phát triển ở các mức độ khác nhau ở mỗi học sinh

1.4 Dạy học phát triển năng lực của người học ở trường THPT

Trong dạy học truyền thống tại các trường THPT ở Việt Nam vẫn còn xem nặng về hình thức, tức là xem GV dạy nội dung gì? HS học được gì? Mà chưa chú trọng tới thành quả của người học sẽ làm được gì sau khi ra cuộc

12

sống hiện tại Chính vì vậy chúng ta có 2 yêu cầu chính đối với mỗi HS sau khi ra trường:

* Có kiến thức đầy đủ, phù hợp với thực tiễn cuộc sống

* Có đủ năng lực để tham gia và thành công các hoạt động xã hội

Hiện nay giáo dục Việt Nam đang hướng tới việc tiếp cận và phát triển năng lực người học, không chạy theo khối lượng tri thức mà chú ý tới khả năng vận dụng tổng hợp các kiến thức, kĩ năng, thái độ, tình cảm, động cơ,…vào giải quyết các tình huống trong cuộc sống hàng ngày Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học luôn đòi hỏi HS làm / vận dụng được gì hơn là HS biết những gì Tránh được tình trạng biết rất nhiều nhưng làm / vận dụng không được bao nhiêu; biết những điều rất cao siêu, nhưng không làm được những việc rất đơn giản trong cuộc sống hàng ngày.Có nhiều yếu tố mang đến thuận lợi cho hoạt động giáo dục như sự hội nhập toàn cầu, sự bùng

nổ của công nghệ thông tin….Các kiến thức luôn được cập nhật nên chúng ta

dễ nhận biết được cần học những nội dung gì từ thế giới

Tuy nhiên cũng có nhiều thách thức với hoạt động dạy và học khiến mọi người cần phải xây dựng lại mô hình giáo dục sao cho phù hợp

* Có nhiều công cụ có thể thay thế cho người dạy như công nghệ truyền thông, đòi hỏi của khoa học công nghệ khiến cho những người làm giáo dục phải thay đổi và xây dựng mô hình giáo dục sao cho người học chủ động, đóng vai trò chính trong hoạt động dạy và học

* Khi chúng ta sử dụng một thành công (sản phẩm mới của khoa học công nghệ) chúng ta không có thời gian quan tâm đến cấu tạo, nội dung của chúng

mà chỉ quan tâm đến việc trả lời câu hỏi “ làm thế nào sử dụng sản phẩm hiệu quả nhất”

Chính vì vậy mô hình giáo dục cần tạo ra những cá nhân có năng lực tốt đáp ứng cho xã hội Những bài giảng như những trải nghiệm thực tiễn giúp cho người học rèn luyện năng lực

13

Mô hình này sẽ dễ thành công đối với một số ít học sinh khá giỏi còn với giáo dục đại trà để thành công không phải là đơn giản Điều này khiến chúng ta phải suy nghĩ và tìm ra được hướng đi thành công

1.4.1 Để dạy học phát triển năng lực cho người học ở cấp THPT chúng ta cần làm gì?

- Xây dựng chương trình(nội dung) cốt lõi: chương trình áp dụng cho tất

cả học sinh phải học ( kể cả HS vùng sâu, vùng xa, miền núi), biên soạn dưới dạng đơn giản nhất

- Từ đó tùy theo đối tượng học, các trường học cụ thể mà nhà trường và giáo viên xây dựng và phát triển chương trình cho cá nhân mình

- Đào tạo và bồi dưỡng trình độ giáo viên về kiến thức, kĩ năng, để có thể biên soạn bài giảng, sử dụng các phương pháp dạy học mới

- Xây dựng hệ thống bài kiểm tra đánh giá theo nhiều cấp độ để đánh giá đúng hiệu quả của hoạt động và khuyến khích giáo viên và học sinh trong hoạt động dạy và học

- Nhà nước cần thường xuyên kiểm tra đánh giá các hoạt động của nhà trường và khả năng sáng tạo của các cá nhân, có chế độ khen thưởng thích đáng đối với các tập thể và cá nhân có thành tích tốt Thành công của các trường và các cá nhân được đánh giá theo các tiêu chí cụ thể sau:

+ Thành tích trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp thành phố, cấp quốc gia, quốc tế

+ Tỷ lệ học sinh đỗ đại học đạt thành tích cao

+ Sự thành đạt của học sinh sau khi ra trường và trưởng thành

+ Uy tín với xã hội, quốc tế

* Theo định hướng đổi mới chương trình giáo dục Việt Nam sau năm 2015 là xây dựng và phát triển theo hướng phát triển năng lực người học Chính vì vậy tất cả các hoạt động dạy và học ở trường đều nhằm mục đích cuối cùng là phát triển năng lực cho mỗi cá nhân học sinh Muốn vậy chúng ta cấn phải:

+ Mỗi bài giảng có nhiều bài tập thực hành tạo cơ hội cho HS rèn luyện

tư duy bậc cao

+ Nhà trường tổ chức nhiều hoạt động ngoại khóa để tạo cơ hội cho các

em được làm việc theo nhóm, tự chủ, tự lãnh đạo bản thân và sáng tạo ra kết quả, kỹ năng mới

1.4.2 Làm thế nào để phát triển được năng lực người học thông qua nội dung HPT?

Nội dung HPT học sinh đã được nghiên cứu ở chương trình cấp THCS, lên tới cấp THPT học sinh sẽ được đi sâu hơn với các dạng HPT và có nhiều

kĩ năng thực hành hơn Trong chương trình Đại số 10 cơ bản mới chỉ dừng lại

ở việc đưa ra một số kĩ năng giải HPT thông qua các ví dụ và một số bài tập thực hành Trong chương trình Đại số 10 Nâng cao phần HPT có mở rộng thêm phần biện luận nghiệm của hệ và giải các bài toán thực tế bằng cách thiết lập hệ phương trình

Đối với mỗi giáo viên làm thế nào để bài giảng của bản thân mình thực

sự phát triển được năng lực của học sinh khi giảng dạy nội dung HPT tác giả mạnh dạn đề xuất một số ý kiến sau:

+ GV cần biên soạn các bài giảng của mình một cách chi tiết theo từng dạng bài cụ thể và có sự thách thức với HS

+ GV cần tạo ra nhiều công việc cho HS vượt qua thách thức: Bài toán hay, đáp án, tổng kết và kiểm tra đánh giá

Trong chương 2 tác giả sẽ đi sâu vào từng năng lực cụ thể với từng dạng toán giải HPT cụ thể

15

1.4.3 Thực tiễn dạy học nội dung HPT ở trường THPT

Bức tranh về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực người học hiện nay các nhà khoa học còn đang tranh luận, tuy nhiên thực tế phương pháp dạy học theo hướng này đã và đang được thực hiện ở một số trường chuyên trên cả nước và đã có kết quả khả quan Kết quả đó được đánh giá qua các tiêu chí sau:

+ Thành tích trong các kì thi quốc gia, khu vực, quốc tế

+ Tỷ lệ đỗ cao khi thi vào đại học

+ Sự thành đạt của HS sau khi ra trường và trưởng thành

+ Uy tín lớn đối với xã hội, quốc tế

Các thành tích tại các trường chuyên thực sự là mơ ước đạt đến của dạy học phát triển năng lực Hoạt động dạy và học tại các trường chuyên được áp dụng cho một số lượng ít học sinh giỏi và có năng lực tốt; mục tiêu đào tạo tại các trường chuyên là đào tạo mũi nhọn nên các hoạt động dạy và học thường tập trung và chuyên sâu; HS chuyên thường dành hết thời gian của mình vào môn học mà mình có năng khiếu; các hoạt động ngoại khóa tại các trường chuyên thường gắn liền với nghiên cứu, phát triển năng lực còn ít quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng sống, kĩ năng mềm

Tuy nhiên việc áp dụng phương pháp giảng dạy theo hướng phát triển năng lực của người học ở các trường chuyên không thể áp dụng đại trà cho các trường THPT trên cả nước

Hiện nay ở các trường phổ thông chất lượng dạy học nội dung HPT chưa cao, HS nắm kiến thức một cách sơ sài, thiếu tư duy, không có sự liên kết giữa các kiến thức với nhau

Phần lớn GV khi dạy nội dung này chỉ đưa ra các công thức, các phép biến đổi cơ bản sau đó đưa ra các bài tập áp dụng để chuẩn bị cho các kì thi không chú trọng phát triển khả năng phân tích, khả năng thực hành, giải quyết vấn đề, khả năng tổng hợp đánh giá làm cho người học khi gặp các bài toán

1.5 Kết luận chương 1

Trên cơ sở lí luận và thực tiễn dạy học toán ở trường THPT đối chiếu với những quan điểm đổi mới phương pháp dạy Toán trong giai đoạn hiện nay, chúng tôi cho rằng:

1 Để giáo dục Toán cho HS ở trường THPT qua việc dạy học cần quan tâm tới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực để từ đó thông qua việc tổ chức hoạt động toán học, HS kiểm tra tính chính xác của kiến thức được truyền thụ và tự giác tìm tòi kiến thức mới

2 Do cách giải hệ phương trình rất đa dạng, phong phú, gắn liền với nhiều bài toán thực tiễn nên việc tăng cường sử dụng dạy học theo hướng phát triển năng lực là cách thức hợp lí trong việc cung cấp những kiến thức bền vững, chính xác và có hiệu quả cho HS, tạo điều kiện cho HS luyện tập, vận dụng kiến thức vào giải toán và các ứng dụng thực tiễn đa dạng

Việc nghiên cứu những cơ sở lí luận nói trên là cơ sở quan trọng để tác giả xây dựng nên các bài giảng với mục đích phát triển năng lực của người học sinh trong nội dung HPT

17

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI GIẢNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGƯỜI HỌC VỀ NỘI DUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TRƯỜNG THPT

Trong chương này tác giả đi xây dựng các bài giảng cụ thể hướng tới

sự phát triển năng lực của học sinh Mục tiêu mà các bài giảng cần đạt được là tạo ra nhiều cơ hội để học sinh vượt qua thách thức, phát triển năng lực Mặt khác các bài giảng tác giả nêu dưới đây là các ví dụ minh họa trả lời cho câu hỏi “ Xây dựng các bài giảng cụ thể như thế nào để dạy học phát triển năng lực hiệu quả nhất”

2.1 BÀI GIẢNG I : Phát triển năng lực thực hành với nội dung “ Hệ phương trình cơ bản”

Theo phương pháp dạy học truyền thống, trong quá trình giảng dạy người giáo viên truyền thụ kiến thức dưới hình thức một chiều, chỉ quan tâm học sinh học được những nội dung nào mà chưa quan tâm tới việc học sinh sẽ làm được những gì sau khi kết thúc bài học Hiện nay giáo dục Việt Nam đang hướng tới dạy học theo phương pháp phát triển năng lực người học Với phương pháp giảng dạy này giáo viên chỉ dạy rất ít, nhưng đưa ra được nhiều câu hỏi thách thức, và có các hình thức kiểm tra đánh giá năng lực người học sau mỗi bài học Chính vì vậy cần đòi hỏi người giáo viên phải soạn bài rất công phu

Năng lực của học sinh được hình thành và phát triển từ thấp đến cao, do vậy chúng ta nên chọn các nội dung cơ bản, đơn giản trước để bước đầu học sinh có thể rèn luyện và phát triển năng lực thực hành một cách thuần thục và

hiệu quả Chính vì vậy tác giả đã chọn nội dung “ Hệ phương trình cơ bản”

để phát triển năng lực thực hành của người học

Để hình thành và phát triển được năng lực thực hành của người học ở nội dung này tác giả đã lựa chọn các phương pháp dạy học: Làm việc theo nhóm, giải quyết vấn đề để học sinh tham gia chủ động vào các hoạt động mà

18

giáo viên là người tổ chức, hướng dẫn trong lớp học Học sinh chủ động nêu

ra ý tưởng của mình, học sinh được trao đổi với nhóm học tập của mình, học sinh được tự đánh giá công việc của mình và của nhóm bạn

Bài giảng nội dung có thể đơn giản nhưng với cách tổ chức học tập kết hợp với giờ học trên lớp và học nhóm tác giả tin rằng giờ học có hiệu quả hơn nhiều

Với bài giảng này giáo viên là người trực tiếp trình bày bài giảng của mình cùng với các ví dụ minh họa, sau đó giáo viên tổng kết các ví dụ đó thành các kĩ năng giải Về phía học sinh, giáo viên chia lớp thành các nhóm học tập, mỗi nhóm gồm 5 học sinh thực hiện theo nhiệm vụ:

- Làm bài tập thực hành do giáo viên đưa ra

- Các nhóm dựa trên các kĩ năng làm bài tập sáng tạo ra các bài toán mới Giáo viên tạo cơ hội cho học sinh tự đánh giá năng lực của bản thân bằng việc đưa ra biểu điểm để các em tự cho điểm giữa các nhóm với nhau Cuối cùng giáo viên tổng kết quá trình học trên lớp của học sinh theo tiêu chí:

- Khả năng thực hành của các nhóm

- Khả năng sáng tạo ra các bài toán hay giữa các nhóm

- Tổng kết đưa ra các bài toán hay sáng tạo

Sau đây tác giả sẽ đi vào từng hoạt động cụ thể của bài giảng

2.1.1 Bài giảng của giáo viên

2.1.1.1 Tóm tắt lý thuyết hệ phương trình cơ bản

Các bài toán về hệ phương trình rất đa dạng, gồm rất nhiều dạng bài khác nhau Nếu học sinh đòi hỏi đưa ra phương pháp giải chung cho mọi hệ phương trình là điều không thể Mà cái đích cần đạt đến của người đam mê học toán là khi gặp một hệ phương trình nào cũng muốn tìm ra được lời giải hay cho bài toán đó Nhưng điều đầu tiên mà một người học toán đều phải làm được là phải giải được các hệ phương trình dạng cơ bản Hệ phương trình

cơ bản bao gồm các hệ sau:

- Hệ đưa về một ẩn

Bài toán 1: giải hệ phương trình sau

1

(

y x

xy

y x

1 (

5 3

3

y x

y x xy

y x xy

x y xy

3

12

241

3

b) HPT đã cho tương đương với23xyxy 42x yx2

Bài toán 2: giải hệ phương trình sau

22

42

2

2 2

y x

y x

y x y x

2

y

y y

y x

4 1

1

y x y x

y x y x

Lời giải:

HPT đã cho tương đương với:

10

120

2

112

24

2          x   x2  x   x

x y

y y

x x

Nghiệm của hệ là: ( x=1 ; y = 1)

Nhận xét 1: Chúng ta nên tìm các biểu thức giống nhau xuất hiện ở 2 phương

trình trong hệ để nối các phương trình với nhau tạo nên phương trình một ẩn

Bài toán 4: giải hệ phương trình

3

1

y x xy

y x xy

Thay vào PT :xyx y 1ta được:4y2  y4  2  0( vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Bài toán 5: giải hệ phương trình sau

2

42

2

2 2

y x x y y x

y x x y y x

1 (

4 ) )(

1 (

y x xy

y x xy

y x y

Thay vào PT thứ nhất ta được:x3 x 2  0  (x 1 )(x2 x 2 )  0  x 1

21

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( x =1 ; y = 1)

Nhận xét 2: Có những hệ phương trình chúng ta tìm được biểu thức biểu thị

mối quan hệ giữa ẩn x và ẩn y Sau đó thế vào 1 trong hai PT chúng ta sẽ đưa

về PT có một ẩn đơn giản

2.1.1.3 Hệ phương trình đặt ẩn phụ là các biểu thức đối xứng

Là hệ mà cả 2 phương trình có xuất hiện các biểu thức đối xứng giữa x và

y Từ đó dùng phép đặt các biểu thức đối xứng làm ẩn đưa hệ đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn

Bài toán 1: giải hệ phương trình sau

2 2

2 2

y x

y x x

Lời giải:

Ta có:

) (

2 ) ( ) (

2 ) ( ) (

) )(

(

2 2 2

2

2 2

y x y

x y

x

x y x y x

y x y x y x

2 v u

uv v u

Bài toán 2: giải hệ phương trình sau

2

212 3

2 2

x y x

y x

1 3 3

2 2

v

u v

u

v u

0

v u

Nhận xét 1: Khi giải hệ phương trình chúng ta chú ý tới việc đặt ẩn phụ là

y x u

Bài toán 3: giải hệ phương trình sau

2

3 3

xy y x

y x y x

3 )

(

2

2

xy y

x y x

xy y

3 3

2

u uv u

v u

Bài toán 4: giải hệ phương trình sau

x

y x y

x

31

2 2 2 2

v v v

0 1 8 7 2

v u

Nhận xét 2: Khi giải hệ phương trình chúng ta chú ý tới việc đặt biểu thức đối

xứng làm ẩn phụ đưa hệ về HPT đơn giản: Đặt:

y x u

Bài toán 5: giải hệ phương trình sau

2 y x

xy y x

2 2

1 2

v u v u v

u v u

y x u

1 1

1

2

2 y x

xy y x

1 2

u

v u

Nhận xét 4: Khi giải hệ phương trình chúng ta chú ý đặt biểu thức đối xứng

3

2 2

yx xy

xy y x

3 2 2

2 2

y x xy

xy y x

3

uv

v u

Nhận xét 5: Khi giải hệ phương trình chúng ta có thể đặt:

y x

làm ẩn phụ

Bài toán 8: giải hệ phương trình sau

2

2 2 2

y x xy y x

y x xy y x

24

Hướng dẫn giải

* Nhận thấy: x = y = 0 là nghiệm của hệ

* Xétx  y0 ; 0 Khi đó HPT tương đương với:

3 1 1 1

2 2

2 2

xy y x

xy y x

Đặt:

xy

v y x

3

v

u v

u

v u

Bài toán 9: giải hệ phương trình sau:

2 3

4 ) 1

1 (

1 ) 1 (

y y

x xy y x

y y x

1 (

4 )

1 ( )

1 (

2 2 3 3

2 2

y

x y

x y

x

y

x y

1 )(

1 (

4 )

1 ( )

1 (

2 2

2 2

y

x y x

y

x y

y x u

1

1 2 2

v u

Nhận xét 6: Khi giải các hệ phương trình phức tạp chúng ta nên đặt ẩn phụ

như sau:

xy

v y x

y x u

1

1 2 2

đưa hệ đã cho về hệ đơn giản

13

3

2 2

y x y x xy y x

xy y x

)2)(

(

0)()(203

x y

x y

y x

y x y y

y x xy x y y x

y y x y

xy y x

3

2 22

x x

y x

1

; 1

0

; 0

y x

y x

y x

Bài toán 3: giải HPT sau

(2

14 4 5

2 2

xy y x y x x

xy y x

Lời giải:

Từ (2) 2x5  (x y)(x4 y4 xy)(x2  y2 xy)  2x5  x5 y5 x y

1 1

2    

Vậy HPT có nghiệm là: ( x = 1; y = 1) , ( x= -1 ; y = -1)

Nhận xét 1: Khi giải hệ phương trình chúng ta có thể làm cho hệ đồng bậc

bằng cách kết hợp 2 phương trình của hệ tạo nên một đẳng thức đồng bậc

Bài toán 4: Giải HPT sau

2

2 2

xy y x

xy y

2

y x

y

x x y

3

011

)1(

3)

1(

1

3

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

2

k k k

k y

k k y

k k

y k k ky

y

y

k

ky y

4 2 2

1 3

3

k

k k

k k

k k

1

; 1 1

2

x y

x y y

2

; 1 1

2

x y

x y y

y x

Đặt: x = ky Khi đó HPT đã cho tương đương với:

(

2 )

1 (

k y

k k y y

Từ HPT ta có:

6

371

;12

4

33

1

22

2 ) 1 (

2 2

2

2 2

x xy y x

y x

1 2

1 3

2 1

2 2

2 2

2 2

2 2

x y y x

y x x

x

y y

x y

2 2

2 2

yu y

u

y u

Đặt u = ky

1 (

1 ) 1 2 ( 3

1

2

2 2

2 2

2 2

y k

ky y

2 1

0 1

2 2

2 2

k k k

y

k k

5

4

;13

1

;11

2

u y

u y y

Vì u > 0 nên nghiệm u = -1 ( loại)

; 7

7 5

7

7 4

; 7

7 5 7

25

2

u y

u y

y

Vì u > 0 nên

7

7 4

7 4 1 7

7

x u

7

7 5

; 4

7 (

);

1

; 1

4 1 1 2 2 2 2

y x y x

y x y x

Lời giải:

Với x = y = 0 không là nghiệm của hệ

1 ( )

1 (

8 )

1 ( )

1

y

y x x

y

y x

x

y y u x

44

82 2

v

u v

u

uv v

u

v u

2 1

2 1 2

y

x x v

x

y x xy y

x

62

2

2 2

x y xy x y

)2

(

)(

2 2 2

2 2

(5205

2)2(3

y xy

y x y

x y x xy

2 2 2

2

y

x y x

y

x y xy x

30

Khi đó ta được:

0)

(2102

y xy

y x

y x y

Nhận xét 4: Khi giải hệ phương trình chúng ta nên kết hợp hai phương trình

của hệ để thu được một đẳng thức đồng bậc Đối với đẳng thức đồng bậc ta khi chia cho bậc cao nhất ta sẽ thu được phương trình một ẩn

x

y

t 

2.1.2 Hướng dẫn học sinh thực hành

2.1.2.1 Bài kiểm tra khảo sát năng lực học sinh trong lớp

Sau khi được giáo viên hướng dẫn các kĩ năng giải các hệ phương trình cơ bản, học sinh sẽ được làm bài kiểm tra năng lực tiếp thu bài trong thời gian 15 phút Qua bài kiểm tra này giáo viên sẽ một phần nào nhận ra được năng lực học tập của mỗi cá nhân học sinh, và dựa vào kết quả đó giáo viên sẽ sắp xếp lớp thành các nhóm nhỏ gồm 5 học sinh có đủ các đối tượng học sinh giỏi, khá, trung bình

Đề bài: giải các hệ phương trình sau (15’)

3

8 ) 2 )(

3

(

y x

xy

y x

1 1

1

2

2 y x

xy y x

32

2

3

3

x y

xy y x

22

33

3

2 2

2

2

2

xy y

x

xy y

3 3 4 2

3

y x

1

;1

02

2

1

u v

u v

u v

x y

2 ) 1 ( 1

2

3 2

3 2 2

2 2 3

2 2 2 3

k k

y

k k

y ky

y y k

ky y y k

2.1.2.2 Học sinh làm bài tập thực hành

Giáo viên đưa ra bài tập cho các nhóm gồm 2 phần:

- Phần 1: giáo viên cho 5 bài toán giải hệ phương trình dựa theo kĩ năng giải ở trên, yêu cầu các nhóm tự làm

- Phần 2: Để kích thích sáng tạo của học sinh, thỏa sức tò mò, không ép buộc học sinh theo một khuôn mẫu giáo viên yêu cầu mỗi nhóm tự sáng tạo ra

5 bài toán giải hệ dựa trên các kĩ năng giải ở trên

Sau đây sẽ là một số bài tập từ đơn giản đến phức tạp mà khi giải chúng ta

sẽ cần những nhận xét mà chúng ta vừa nêu ở mục trên

Bài 1: giải hệ phương trình sau   





x y x

x y

x

3 3

3 32

2

3 5

5

2 2

y x xy y

x

xy y x

2

2 2

31

2)1(

x xy y x

y x

42

2

2 2

y x y

x

y x y x

3

3 3

y x y x

y x y x

Hướng dẫn giải:

23 3 3

3 3 3

k

k ky y y k

ky y

y k

1 2

2 2

2 2

x

y y x

y x

2 2

2 2

uy y u

y u

Bài 4: Hệ đã cho tương đương với:

x y y

x y

x y

x

y x y

x

34

443

42

2

y x y

x y x

y x y

x