Giải pháp hữu ích về BĐT tam giác

GIỚI THIỆU:Bất đẳng thức tam giác là một trong những bất đẳng thức quan trọng trong toán học nói chung và hình học nói riêng.. Nó không những được ứng dụng rộng rãi vào việc giải quyết n

Trường Đại Học Đà Lạt Khoa Tại Chức

Tiểu luận:

Đề tài:

" VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ

DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP"

Người thực hiện: Đỗ Thừa Trí Lớp : Toán chuyên tu 2006

Đà Lạt, tháng 08, năm 2007

I

A

B

d B'

I1

I GIỚI THIỆU:

Bất đẳng thức tam giác là một trong những bất đẳng thức quan trọng trong toán học nói chung và hình học nói riêng Nó không những được ứng dụng rộng rãi vào việc giải quyết nhiều bài toán hình học mà nó còn được sử dụng như một công cụ hữu hiệu nhằm giải quyết một số bài toán số học và đại số Không những thế, bất đẳng thức tam giác còn được vận dụng nhằm giải quyết nhanh và chính xác một số bài toán mang tính chất thực tế

Để hiểu sâu hơn về nó, chúng ta hãy cùng khám phá trong phần tiếp theo

II NỘI DUNG:

1 Định lý 1: Trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh thứ ba.

Chứng minh: AC + BC > AB

Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho BC = DC

Rõ ràng CAD nên tia BC ở giữa hai tia BA và BD  ABD > CBD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: ABD > CDB  ABD > ADB

Xét ABD ta có: ABD > ADB  AD > AB

AC + CD > AB

AC + BC > AB (vì CD = BC)  đpcm

Vì vai trò của ba cạnh AB, AC, BC là như nhau nên tương tự như trên, ta cũng chứng minh được: BC + AB > AC và AB + AC > BC

GT ABC

AC + BC > AB

KL BC + AB > AC

AB + AC > BC

A

C B

D

2 Định lý 2: Trong một tam giác, hiệu hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh thứ ba.

Chứng minh:

Ta có: AC + BC > AB (định lý 1) AB – BC < AC

BC + AB > AC (định lý 1) AC – AB < BC

AB + AC > BC (định lý 1) BC – AC < AB

3 Một số dạng toán thường gặp giải bằng phương pháp bất đẳng thức tam giác:

Bài 1: Một tam giác cân có độ dài cạnh thứ nhất bằng 5,7 cm và cạnh thứ hai bằng

2,7 cm Tính chu vi của tam giác cân nói trên

Giải:

Gọi x (cm) là độ dài cạnh thứ ba của tam giác cân trên

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

5,7 – 2,7 < x < 5,7 + 2,7 Suy ra: 3 < x < 8,4

Vì tam giác trên là tam giác cân nên ta có: x = 5,7 cm ( x không thể là 2,7 vì điều kiện x > 3)

Do đó: chu vi của tam giác cân là: 5,7 + 5,7 + 2,7 = 14,1 cm

Bài 2: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là:

AB = 4a + 5b; AC = 2a + 5b và BC = a + b Hãy so sánh a và b

Giải:

Rõ ràng ta thấy: AB là cạnh lớn nhất

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 4a + 5b < (2a + 5b) + (a + b)

 4a + 5b < 3a + 6b  a < b

GT ABC

AB – BC < AC

KL AC – AB < BC

BC – AC < AB

A

C B

D

Bài 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a + b  3c.

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c thì c là số nhỏ nhất

Giải:

Giả sử c  b Vì a < b + c  a + b < 2b + c

Vì c  b nên  a + b < 2b + c  3c

Hay a + b < 3c (trái với giả thiết)

Vai trò của a và b là như nhau nên tương tự ta chứng minh được: c < a (2) Từ (1) và (2)  đpcm

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

CMR có các số dương x, y, z sao cho: a = x + y; b = y + z; c = z + x Giải:















c x

z

b z

y

a y

x





















c x z

b a z

x

a y

x





















c x z

b c a x

a y

x

2























x c z

x a y

b c a x

2



































2 2 2

a c

b x

c b a

y

b c

a x

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

a + c > b  a + c – b > 0  0



c b a

Hay x > 0 Tương tự, ta cũng chứng minh được: y > 0; z > 0 Bài toán được chứng minh Bài 5: Có hai làng A và B ở gần một con sông Người ta dự định xây dựng một nhà

máy nước sạch ở ngay bờ sông để cung cấp cho hai làng trên Nếu bạn là kĩ

sư phụ trách thiết kế xây dựng nhà máy thì bạn sẽ dự định đặt nhà máy ở vị trí nào sao cho đường ống dẫn nước từ nhà máy đến hai làng A và B là ngắn nhất? Hãy giải thích sự lựa chọn của bạn!

Giải:

Giả sử hai làng được thể hiện là hai điểm A và B, bờ sông là đường thẳng d như trong hình vẽ.A

B

d B'

I

I1

Gọi B' là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d.

Gọi I là giao điểm của AB' và đường thẳng d Ta có: IB = IB' Gọi I1 d, I1I Ta có: I1B = I1B' Vì I1I  AI1B'

Do đó: AI1 + I1B' > AB'

AI1 + I1B' > AI + IB'

AI1 + I1B > AI + IB

Như vây: với điểm I1 d, I1I thì khoảng cách từ I1 đến A và B đều lớn hơn khoảng cách từ I đến A và B Do đó, I là vị trí cần đặt nhà máy

Bài 6: Có ba thành phố A, B, C tạo thành một tam giác A cách B là 90 km, A

cách C là 30 km

a) Nếu đặt ở thành phố C một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động là 60 km thì ở thành phố B có nhận được tín hiệu hay không?

b) Nếu đặt ở thành phố C một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động là 120 km thì ở thành phố B có nhận được tín hiệu hay không?

Giải:

A

B C

30 km 90 km

Xét tam giác ABC ta có: 90 – 30 < BC < 90 + 30

Do đó:

a) Ở thành phố B không nhận được tín hiệu

b) Ở thành phố B nhận được tín hiệu

III KẾT LUẬN:

Qua một số bài tập thường gặp ở trên, chúng ta có thể hiểu sâu hơn và nắm chắc hơn về bất đẳng thức tam giác Ta thấy rõ được tầm quan trọng của nó trong toán học và trong thực tế, góp phần khẳng định tầm quan trọng của hình học trong đời sống và cho ta biết hình học là công cụ hữu hiệu nhất để mô tả các hiện tượng trong đời sống của con người.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trương Đức Hinh, Đào Tam: Giáo trình cơ sở hình học và hình học sơ cấp, NXBGD năm 2004.

2 Sách Toán 7 tập 2 của NXBGD, năm 2006.