MỘT số THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH dựa TRÊN PHÉP BIẾN đổi CHARNES COOPER

Nói riêng, các tác giả [4], [5] và[6] đã sử dụng nó để đưa ra thuật toán giải các dạng qui hoạch phân tuyếntính mở rộng như: qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi, quihoạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH VĂN DŨNG

MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH VĂN DŨNG

MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1.1 Tập lồi đa diện 5

1.2 Hàm phân thức afin 8

1.3 Bài toán qui hoạch phân tuyến tính 10

1.4 Cách tiếp cận Charnes - Cooper 13

1.4.1 Phép biến đổi Charnes - Cooper 14

1.4.2 Thuật toán giải (LFP) 21

1.4.3 Ví dụ minh họa 22

2 Bài toán qui hoạch phân thức với các hệ số mục tiêu thay đổi 26 2.1 Nội dung bài toán 26

2.2 Bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương 29

2.3 Thuật toán giải 33

2.4 Ví dụ minh họa 35

mô hình cân bằng kinh tế do Von Neumann nêu ra năm 1973 (xem [5]).Charnes và Cooper [7] năm 1962 đã chỉ ra rằng qui hoạch phân tuyếntính có thể biến đổi tương đương về qui hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biếnphi tuyến, gọi là phép biến đổi Charnes - Cooper Về sau, phép biến đổi nàyđược nhiều tác giả vận dụng và mở rộng Nói riêng, các tác giả [4], [5] và[6] đã sử dụng nó để đưa ra thuật toán giải các dạng qui hoạch phân tuyếntính mở rộng như: qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi, quihoạch phân thức giá trị tuyệt đối, qui hoạch tích các phân thức tuyến tính,v.v Các thuật toán này đáng được chú ý tham khảo.

Sau khi học được các chuyên đề về giải tích lồi, tối ưu hóa và các kiếnthức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đãhọc, các kiến thức mở rộng và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi

chọn đề tài luận văn: "Một số thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính dựa

trên phép biến đổi Charnes - Cooper"

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày về bài toán quihoạch phân tuyến tính và một số bài toán mở rộng, phép biến đổi Charnes

- Cooper đưa br qui hoạch phân tuyến tính về bài toán qui hoạch tuyến tínhtương đương và giới thiệu các thuật toán dựa trên phép biến đổi này để giảimột số bài toán qui hoạch phân tuyến tính mở rộng Cụ thể là bài toán quihoạch phân tuyến tính với các hệ số mục tiêu thay đổi và bài toán qui hoạchphân tuyến tính với giá trị tuyệt đối

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [2] - [4] và[6]

Nội dung của luận văn gồm hai chương

Chương 1: Chương 1 “Phép biến đổi Charnes - Cooper” nhắc lại kiến

thức về tập lồi đa diện và các tính chất đặc trưng của tập này; nhắc lại kháiniệm hàm afin và các tính chất đáng chú ý của hàm afin, giới thiệu bài toánqui hoạch phân tuyến tính và cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa bài toánphân tuyến tính về bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương Cuối chương,nêu thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính và đưa ra hai ví dụ minh họacho hai tình huống tiêu biểu thường gặp của bài toán: Có nghiệm tối ưu hữuhạn và có nghiệm tối ưu tiệm cận với infimum hữu hạn đối với hàm mục tiêucủa bài toán

Chương 2: Chương 2 "Bài toán qui hoạch phân thức với các hệ số mục

tiêu thay đổi" trình bày một mở rộng cách tiếp cận đưa ra trong [4] tìmnghiệm tối ưu cho bài toán qui hoạch phân tuyến với các hệ số mục tiêu thayđổi trong một khoảng Thuật toán giải dùng phép biến đổi Charnes - Cooper

và đưa bài toán về một qui hoạch tuyến tính với nhiều hơn một biến và hairàng buộc so với bài toán ban đầu Cuối chương dẫn ra các ví dụ số minh

hoạ cho thuật toán giải trình bày.

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn

có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ýkiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này

Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.Trần Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giảchân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệViệt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giảhọc tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2016

Học viên

Đinh Văn Dũng

Chương 1

Phép biến đổi Charnes - Cooper

Chương này nhắc lại một số kiến thức cần thiết về tập lồi đa diện và cáctính chất đáng chú ý của hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tínhafin), giới thiệu bài toán qui hoạch phân tuyến tính và phép biến đổi Charnes

- Cooper đưa bài toán qui hoạch phân tuyến tính về bài toán qui hoạch tuyếntính Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2],[3] và [6]

1.1 Tập lồi đa diện

Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay gặptrong lý thuyết tối ưu tuyến tính

Định nghĩa 1.1 Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa không

gian đóng gọi là một tập lồi đa diện Nói cách khác, đó là tập nghiệm của

một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:

ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m, (1.1)nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với

a = (aij ∈ Rm×n), b = (b1, , bm)T

Nhận xét 1.1 Do một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương

bằng hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn)phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện:

ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi, i = 1, 2, , k,

ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn ≤ bi, i = k + 1, , m,Một tập lồi đa diện có thể bị chặn hoặc không bị chặn (không giới nội)

Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi Các đa giác lồi

theo nghĩa thông thường trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông,hình tròn, v.v ) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi trong R2

Cho D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính(1.1) Sau đây để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng nào (tức

là @a, b ∈ D sao cho λa + (1 − λ)b ∈ D với mọi λ ∈ R)

Hai yếu tố chính cấu tạo nên tập lồi đa diện D là các đỉnh và các cạnh vôhạn của D Theo giải tích lồi [1, Hệ quả 2.6], có thể hiểu các khái niệm nàynhư sau

Định nghĩa 1.2 Điểm x0 ∈ D được gọi là một đỉnh của D nếu

rank {ai : i, x0 = bi} = n (với ai = (ai1, , ain), i = 1, , m).Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D là một đỉnh của D nếu @x1, x2 ∈ D,

x1 6= x0 hoặc x2 6= x0, và @λ ∈ (0, 1) sao cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2, nóimột cách khác: x0 không thể là điểm nằm ở trong một đoạn thẳng nào đónối hai điểm thuộc D

Định nghĩa 1.3 Đoạn thẳng [x1, x2], x1 6= x2, được gọi là một cạnh hữu

hạn của D nếu x1, x2 là các đỉnh của D và

rank {ai

: i, x1 i, x2 = bi} = n − 1

Định nghĩa 1.4 Tia Γ = {x0+ λd : λ ≥ 0} ⊆ D, trong đó x0

Định nghĩa 1.5 Véctơ d ∈ Rn, d 6= 0, được gọi là một hướng lùi xa của D

nếu ∃x ∈ D sao cho {x + λd : λ ≥ 0} ⊆ D Tập hợp các hướng lùi xa của

D cộng với gốc 0 tạo thành một nón lồi đóng, gọi là nón lùi xa của D, ký

hiệu rec D

Định nghĩa 1.6 Hướng lùi xa d của D được gọi là một hướng cực biên

nếu không tồn tại hai hướng lùi xa khác d1, d2 sao cho d = λd1 + λ2d2 với

λ1, λ2 > 0

Có thể chứng minh được rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉkhi rec D 6= {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất một hướng lùi xa

Hình 1.1: Đỉnh, cạnh vô hạn của tập lồi đa diện

Trong các bài toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng

S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}với A ∈ Rm×n

, b ∈ Rm},

tức S là tập nghiệm không âm của một hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyếntính.

Tập này không chứa đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên S có đỉnh [1, tr.59] Từ các định nghĩa nêu trên cho thấy:

a) Điểm x0 ∈ S là một đỉnh của S khi và chỉ khi hệ véctơ

mẫu số q(x) của hàm f(x) với (- 1) sẽ có q(x) > 0 với mọi x ∈ S.

Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phân thức afin

p(a) p(b)q(a) q(b)

= q(a)q(b) − p(b)q(a)

q2(x) .

Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b) − p(b)q(a)] Vìthế, khi λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f(x) hoặc tăng hoặc giảm hoặcđồng nhất bằng hằng số trên [a, b]

Ta nhắc lại rằng hàm khả vi f : Rn

→ R được gọi là giả lồi nếu với mọi

x, y ∈ S ta có ∇f(x)T(y − x) ≥ 0 kéo theo f(y) ≥ f(x), nghĩa là nếu

f (y) < f (x)thì ∇f(x)T(y − x) < 0 Hàm f được gọi là giả lõm nếu −f làgiả lồi

Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phân thức afin

Định lí 1.2 ([3, tr 703]) Giả sử f(x) = (pTx + α)

(qTx + β) và S là tập lồi sao cho(qTx + β) 6= 0 trên S Khi đó, hàm f (x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S.

Chứng minh. Ta để ý rằng hoặc qTx + β > 0với mọi x ∈ S hoặc

qTx + β < 0 với mọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có a ∈ S, b ∈ S sao cho

qTa + β > 0và qTb + β < 0, do đó sẽ có qTz + β = 0 với z là một tổ hợp

lồi của a và b, trái với giả thiết định lý.

Trước hết ta chứng minh f giả lồi Thật vậy, giả sử x, y ∈ S thỏa mãn

∇f (x)T(y − x) ≥ 0 Ta cần chỉ rõ f(y) ≥ f(x) Ta có

∇f (x) = (q

Tx + β)p − (pTx + α)q(qTx + β)2

Vì thế, f giả lồi Tương tự, có thể chứng minh được rằng

∇f (x)T(y − x) ≤ 0 kéo theo f(y) ≤ f(x)

Vì thế, f giả lõm và định lý được chứng minh

1.3 Bài toán qui hoạch phân tuyến tính

Một cách tổng quát có thể phát biểu bài toán như sau Cho tập lồi C ⊆ Rn

và các hàm f, g, hj: Rn → R (j = 1, , m) Xét bài toán tối ưu với hàmmục tiêu phân thức (tỉ số của hai hàm số), ký hiệu bài toán (FP)

x∈S

f (x)g(x),

trong đó S = {x ∈ C : hj(x) ≤ 0, j = 1, , m} Ta phân biệt các loại bàitoán sau:

• Khi f, g và hj là các hàm tuyến tính afin thì (FP) gọi là bài toánqui hoạch phân tuyến tính

•Khi f và g là các hàm toàn phương và hj là các hàm tuyến tính afin thì

(FP) gọi là bài toán qui hoạch phân thức toàn phương.

•Khi f ≥ 0 là hàm lồi, g > 0 là hàm lõm và hj là các hàm lồi thì (FP)gọi là bài toán qui hoạch phân thức lồi

Trong bài toán (FP) chỉ xét một hàm phân thức Tuy nhiên, trong nhiềuứng dụng ta còn có thể xét nhiều hàm phân thức Chẳng hạn,

• Qui hoạch phân thức suy rộng:

• Qui hoạch tổng các hàm phân thức:

Luận văn này chủ yếu tập trung xét bài toán qui hoạch phân tuyến tính:

Tương tự, có thể xét bài toán tìm cực đại: max {f(x) : x ∈ S}.

Như vậy, qui hoạch phân tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại)của một hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin) trên một tậplồi đa diện (xác định bởi một hệ phương trình hay bất phương trình tuyếntính)

Qui hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của qui hoạch phân tuyếntính khi q = 0 và β = 1 Trong [2] phân tích một số trường hợp riêng kháccho phép đưa bài toán qui hoạch phân tuyến tính về bài toán tuyến tính thíchhợp

Bây giờ trong bài toán (1.2) ta giả thiết q(x) ≡ qTx + β 6= 0 với mọi

x ∈ S Nếu q(x) có dấu khác nhau, tức có x1, x2 ∈ S sao cho qTx1+ β > 0

và qTx2+ β < 0thì do hàm q(x) liên tục nên tồn tại x ∈ [x1, x2], tức x ∈ S,sao cho q(x) = 0, trái với giả thiết Vì thế, không mất tổng quát, ta có thểgiả thiết q(x) > 0 với mọi x ∈ S (trường hợp q(x) < 0, nhân cả tử số p(x)

và mẫu số q(x) của hàm mục tiêu f(x) với (- 1), sẽ có q(x) > 0) Hơn nữa,

ta giả thiết m ≤ n và rank A = m

Sau đây là một số khái niệm và định nghĩa cần thiết, tương tự như trong

lý thuyết qui hoạch tuyến tính

Trong bài toán (LFP), f(x) gọi là hàm mục tiêu Tập S gọi là tập ràng

buộc hay miền chấp nhận được Véctơ x ∈ S gọi là một phương án hay

nghiệm chấp nhận được, một phương án mà đồng thời là đỉnh của tập ràng

buộc S gọi là một phương án cực biên hay nghiệm cơ sở Phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối ưu hay nghiệm

tối ưu

Ta nói bài toán (1.2) là bất khả thi hay không chấp nhận được nếu tập

S = ∅, bài toán gọi là giải được nếu tập S 6= ∅ và hàm f (x) có infimum hữu hạn (đối với bài toán min) trên S Nếu hàm mục tiêu f(x) không bị chặn

dướitrên S thì bài toán được gọi là không bị chặn dưới (inf

x∈Sf (x) = −∞).Với bài toán qui hoạch phân tuyến tính, có thể xảy ra các trường hợp sau:a) Tập ràng buộc S = ∅ (bài toán bất khả thi)

b) Nghiệm tối ưu duy nhất (đạt tại một đỉnh của S)

c) Vô số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt tại một diện bị chặn của S)

d) Có nghiệm tối ưu hữu hạn và vô cực (đạt tại một diện vô hạn của S)

e) Nghiệm tối ưu tiệm cận (f∗ = inf

x∈Sf (x) > −∞và

@x∗ ∈ S : f (x∗) = f∗)

f) Không có nghiệm tối ưu (inf

x∈Sf (x) = −∞- bài toán không bị chặn dưới)

1.4 Cách tiếp cận Charnes - Cooper

A Charnes và W Cooper (1962) đã chỉ ra rằng bài toán qui hoạch phântuyến tính với tập ràng buộc khác rỗng có thể đưa được về bài toán qui hoạch

tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi là biến đổi Charnes - Cooper.

Ta nhắc lại, bài toán qui hoạch phân tuyến tính có dạng:

m × n, b là véctơ trong Rm(p, q, α, β, A, bcho trước), x ∈ Rn là véctơ biếncần tìm

Ký hiệu S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta giả thiết tập S 6= ∅

Nhận xét 1.2 Bài toán sẽ không có nghĩa (không xác định) nếu

∃x0 ∈ S, qTx0 + β = 0

Do S là tập lồi và qTx + β là hàm liên tục nên nếu

∃x1, x2 ∈ S với qT

x1 + β > 0và qT

x2 + β < 0

thì sẽ tìm được x0 ∈ [x1, x2] ⊆ S sao cho qTx0 + β = 0

Vì thế để bài toán được hoàn toàn xác định ta phải có

hoặc qT

x + β > 0 ∀x ∈ S hoặc qT

x + β < 0 ∀x ∈ S

Có thể kiểm tra điều này bằng cách giải qui hoạch tuyến tính

qmin := min {qTx + β : x ∈ S}hoặc qmax := max {qTx + β : x ∈ S}.(qmin > 0 ⇒ qTx + β > 0 ∀x ∈ S hoặc qmax < 0 ⇒ qTx + β < 0 ∀x ∈ S).Không giảm tổng quát, từ đây về sau ta luôn giả thiết qTx + β > 0

∀x ∈ S (nếu cần, có thể đổi dấu tử số và mẫu số của hàm f(x))

1.4.1 Phép biến đổi Charnes - Cooper

Mệnh đề 1.1 Với các ký hiệu trên, ta có các kết luận sau đây:

a) Nếu x0 là một nghiệm chấp nhận được của (LFP) thì (y0, t0) là một

nghiệm chấp nhận được của (LP) với

là (y0, t0)là một nghiệm chấp nhận được của (LP) Hơn nữa, ta có hệ thức

0(pTx0 + α) = pTy0 + αt0 = g(y0, t0)

Mệnh đề 1.2 a) Nếu (y∗, t∗) là nghiệm tối ưu của (LP) và t∗ > 0 thì x∗ = y

∗

t∗

là nghiệm tối ưu của (LFP)

b) Giả sử (LFP) chấp nhận được Khi đó, (LP) không bị chặn dưới khi và chỉ

khi (LFP) không bị chặn dưới.

Chứng minh. a) Do (y∗, t∗)là một nghiệm chấp nhận được của (LP) và

t∗ > 0 nên theo kết luận b) của Mệnh đề 1.1, x∗ = y

∗

t∗ là một nghiệm chấpnhận được của (LFP) Ta chứng minh x∗ là nghiệm tối ưu của (LFP)

Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ S, tức Ax ≤ b, x ≥ 0 Do giả thiết qTx + β > 0nên (y, t) với y = x

(qTx + β), t =

1(qTx + β) sẽ là một nghiệm chấp nhậnđược của (LP) Mặt khác, (y∗, t∗) là nghiệm tối ưu của (LP) nên

Nếu hàm mục tiêu của (LP) không bị chặn dưới thì tồn tại (y0, t0) saocho

nghĩa là (LFP) không bị chặn dưới.

Ngược lại, nếu hàm mục tiêu của (LFP) không bị chặn dưới thì

∀θ > 0, ∃x(θ)sao cho Ax(θ) ≤ b, x(θ) ≥ 0 và pTx(θ) + α

qTx(θ) + β < − θ.

Xét dãy (y(θ), t(θ)), trong đó t(θ) = 1

(qTx(θ) + β và y(θ) = x(θ)t(θ).Mỗi phần tử thuộc dãy này là một nghiệm chấp nhận được của (LP) và

pTy(θ) + αt(θ) = p

Tx(θ) + α

qTx(θ) + β < − θ.

Vì thế, hàm mục tiêu của (LP) cũng không bị chặn dưới

Mệnh đề 1.3 Nếu (LFP) có nghiệm chấp nhận được, (LP) có nghiệm tối

ưu và mọi nghiệm tối ưu đều có t = 0 thì giá trị mục tiêu của (LFP) có

infimum (cận dưới đúng) hữu hạn, nhưng infimum đó không đạt tới được.

Đó là trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận Trong trường hợp này,

có thể tạo ra các nghiệm ε - tối ưu với bất kỳ ε > 0, nghĩa là trong S tồn tại một cạnh vô hạn mà dọc theo cạnh đó giá trị mục tiêu của (LFP) tiến dần về

cận dưới đúng nói trên.

Chứng minh. Do (LFP) chấp nhận được và (LP) có nghiệm tối ưu nên theokết luận ở phần b) của Mệnh đề 1.2, (LFP) không thể là bài toán không bịchặn (tức là phải có inf

x∈Sf (x) > −∞) Nếu (LFP) có nghiệm tối ưu x∗ thì

(qTx∗ + β), y

∗ = x∗t∗ là một nghiệm tối ưu của (LP) với t∗ > 0,điều này trái với giả thiết Do vậy (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận và giá trịmục tiêu của (LFP) có infimum hữu hạn, ký hiệu là w∗, và (LFP) không cónghiệm chấp nhận được nào có giá trị mục tiêu bằng w∗

Bây giờ giả sử (y∗, 0)là một nghiệm tối ưu của (LP) Khi đó

Ay∗ ≤ 0, qTy∗ = 1, y∗ ≥ 0

Ta sẽ chứng minh pTy∗ = w∗ Thật vậy, trước hết ta chỉ ra

(i) pTy∗ ≤ w∗: Giả sử xk là một nghiệm εk - tối ưu của (LFP) với

(ii) Bây giờ ta chỉ ra pTy∗ ≥ w∗: Giả sử trái lại pTy∗ < w∗ Xét

x(θ) = x0 + θy∗ với θ ≥ 0 và x0 ∈ S Kiểm tra cho thấy x(θ) ∈ S với mọi

Mệnh đề 1.4 Nếu S 6= ∅ và qTx + β = 0 với mọi x ∈ S thì (LP) không có

nghiệm chấp nhận được (bài toán (LP) là bất khả thi).

Chứng minh. Theo kết luận b) của Mệnh đề 1.1, nếu (LP) có nghiệm chấpnhận được (y, t) với t > 0 thì x = y

t ∈ S và từ qTy + βt = 1 suy ra

qTx + β = 1

t 6= 0, trái với giả thiết của mệnh đề Còn nếu (LP) có nghiệmchấp nhận được (y, 0) thì Ay ≤ 0, y ≥ 0 và qTy = 1 Khi đó, lấy bất

Định lí 1.3 Các đỉnh của tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} tương

ứng một - một với các đỉnh của tập lồi đa diện

T ≡ {(y, t) : Ay − bt ≤ 0, qTy + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0} với t > 0 (Ta giả

t1 hoặc t2 phải dương Xét hai trường hợp:

+ 12



x2 + 3γ2(1 − γ)t2 y1



Điều này lại mâu thuẫn với giả thiết x0 là đỉnh của tập lồi đa diện S Do

đó, một đỉnh của S tương ứng với một đỉnh của tập lồi đa diện T

Để chỉ ra điều ngược lại, ta giả sử rằng (y0, t0)là một đỉnh của tập lồi đa

diện T với t0 > 0 Khi đó, x0 = y

Định lí 1.4 Các đỉnh của tập lồi đa diện T với t = 0 tương ứng một - một

với các cạnh vô hạn Γ của tập lồi đa diện S với qTd > 0, trong đó d là véctơ

chỉ phương của cạnh Γ.

Chứng minh. Giả sử (y, 0) là một đỉnh của tập lồi đa diện T Rõ ràng,

qTy = 1, do dó y 6= 0 và eTy > 0 (eT = (1, , 1) ∈ Rn) Đặt d = y

eTy.[Ay ≤ 0, y ≥ 0, qTy = 1, (y, 0)là đỉnh của T

⇒ [Ad ≤ 0, d ≥ 0, qTd > 0, eTd = 1],

dlà một đỉnh của tập lồi đa diện, xác định bởi hệ bất đẳng thức này và do đó

dlà véctơ chỉ phương của một cạnh vô hạn của tập lồi đa diện S

Một cạnh vô hạn của S tương ứng với một đỉnh của tập lồi đa diện

S0 ≡ {x : Ax ≤ 0, x ≥ 0, eTx = 1}

Nếu qTx > 0 thì y = x

qTx sẽ là một đỉnh của tập lồi đa diện T với t = 0

và qTy = 1 > 0

Định lí 1.5 Mỗi cạnh vô hạn của tập lồi đa diện T tương ứng với một cạnh

vô hạn Γ của tập lồi đa diện S với qTd = 0, trong đó d là véctơ chỉ phương

của cạnh Γ.

Qui hoạch tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phân tuyếntính q = β = Trong [2] phân tích số trường hợp riêng kháccho phép đưa toán qui hoạch phân tuyến tính tốn tuyến tính thíchhợp... cận Charnes - Cooper< /b>

A Charnes W Cooper (1962) tốn qui hoạch phântuyến tính với tập ràng buộc khác rỗng đưa tốn qui hoạch

tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi biến đổi. .. nhiều hàm phân thức Chẳng hạn,

• Qui hoạch phân thức suy rộng:

• Qui hoạch tổng hàm phân thức:

Luận văn chủ yếu tập trung xét tốn qui hoạch phân tuyến tính: