Đây là một tài liệu quý, được biên soạn chuyên nghiệp. Tác giả hi vọng mang lại sự hài lòng cho bạn đọc thông qua tài liệu này. Chúc các bạn học sinh và các thầy cô tìm thấy niềm yêu thích toán. Chân thành cảm ơn.
Trang 1ðề 58:Thi Chuyên Nguyễn Trãi(2001- 2002)
Câu 1: Chứng minh rằng biểu thức:
A xy + x xy + y
Không phụ thuộc vào x và y
Câu 2:
1) Giải phương trình: ( 2 )2 ( )2 ( )2
x − + x− = x+ 2) Xác ñịnh các giá trị của m ñể phương trình:
2
2
x mx m
x x
x m
−
Có một nghiệm duy nhất
Câu 3:
1) Cho hai ñường tròn ( )01 và ( )02 tiếp xúc trong tại M ( ñường tròn có tâm 0 nằm 2 trong), N là một ñiểm trên ñường tròn ( )02 (N ≠M ); qua N kẻ một tiếp tuyến với ñường tròn ( )02 cắt ( )01 tại A, B; ñường thẳng MN cắt ( )01 tại E, gọi I là tiếp ñiểm của tiếp tuyến với ñường tròn ( )02 kẻ từ E ðường thẳng EI cắt ( )01
tại C CMR: I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC
2) Gọi a,b,c là ñộ dài ba cạnh tam giác và r,R là ñộ dài bán kính ñường tròn nội, ngoịa tiếp tam giác Chứng minh rằng ñiều kiện ñể tam giác là ñều khi và chỉ khi:
2
a+b+c= Rr
Câu 4: Cho n là số tự nhiên lẻ và n có thể biểu diễn không ít hơn hai cách là tổng của hai
số chính phương Chứng minh rằng n là hợp số
Hướng dẫn giải:
Câu 1: ðiều kiện: xy ≥0
+) Nếu x+y<0, vì xy ≥0 nên x và y cùng dấu ⇒ , x y ≤0
2
x y
x y xy
+
Suy ra:
x y
x y
x y
xy− + = + + xy
0
A + xy x + xy y
+) Nếu x+y≥0, vì xy ≥0 nên x và y cùng dấu ⇒x y, ≥0
Lập luận tương tự trên ta có:
Trang 2A xy + x + xy y
Vậy A =0 không phụ thuộc vào x và y
Câu 2:
1) Dễ thấy x = −1 không phải là nghiệm
Chia hai vé của phương trình cho (x +1)2ta ñược:
2
( )2
2
1 1
x x
x
−
−
( 1)2 2 ( 1)2
(*)
ðặt ( 1)2
1
x
t x
−
=
+
Khi ñó (*) trở thành:
6
t
t
=
+) Nếu t = −6 ta có ( 1)2
6 1
x x
−
= − + ( vô nghiệm) +) Nếu t =2 ta có ( 1)2
2 1
x x
−
= + ⇔ x=2± 5 Phuơng trình ñã cho có nghiệm x ∈{2+ 5; 2− 5}
2) ðiều kiện x≠2m
Ta có:
x mx m
x m
Lại có:
( )2
2
x − x+ = x− − ≥ −
Do ñó:
2
2
x mx m
x x
x m
−
2 3
3
m
x m
m x
x
=
=
Trang 3Với 1
2
m
m
=
=
phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x =3
Vậy với m =1 hoặc m =2
Câu 3:
C
E
B A
D
O 1
M
O2
N
I
1) Từ M kẻ tiếp tuyến với hai ñường tròn, cắt AB tại D
DM DN
Mà DME=DMA+AME=12(sd MA+sd AE)
Có: DNM =12(sd MA+sd BE)
AE BE
AEN MEA
AE NE
AE ME NE
ME EA
Tương tự: ∆ENI ∆EIM (g.g) ⇒EI2 =EN EM
EI EA BE AIE IAE
Có: CAI =AIE−ACI =IAE−ABE =IAE−BAE=IAB
Vậy I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC
2) Ta có: 1 1 1 3
2
a+b+c = Rr
2
2
a b c Rr
4
abc
S p r
R
= = ( p là nửa chu vi)
Trang 4Do ñó (1) 2 ( ) 2 ( )
0
a b c abc a b c abc
0
a b b c c a
⇔ − + − + − =
a b
a b c
b c
c a
=
=
Vậy ta có ñiều phải chứng minh
Câu 4: Theo bài ra ta có:
+) n có thể biểu diễn khôgn ít hơn hai cách là tổng của hai số chính phương, suy ra n >2
Giả sử n=a2+b2 =c2+d2 ( , , ,a b c d∈ℕ;a≠c a, ≠d b, ≠c b, ≠d)
Nếu một trong các số a,b,c,d có một số nhận giá trị 0, ta có ngay n là số chính phương,
2
n> ⇒n là hợp số
Vậy ta xét , , ,a b c d >0
+) Ta có n lẻ Vì vaỵa ta có thể giải sử a,d chẵn; b,c lẻ
Không giảm tính tổng quát, giả sử a>d⇒ <b c
a−d a+d c+b c b−
• Bổ ñề: Cho , , ,a b c d ∈ℕ và ab=cd CMR: a2+b2+c2+d2là hợp số
• Chứng minh:
Gọi (a c, )= ≥t 1
a ta c tc a c a c
Gọi (b d, )= ≥l 1
b lb d ld b d b d
Vì:
ab=cd⇒a b =c d ⇒a b c⋮ mà (a b1, 1)=1 ⇒ ⋮ b c1 1
b k c k
a k d a kl d l d
a b c
⇒ + + 2 2 2 2 2 2 ( )2 2 2 ( )2 ( 2 2)( 2 2 2)
a b c d a t kc l t c a kl a c t l k
⇒ + + + là hợp số ( ñpcm)
Trở lại bài toán
n=a +b =c +d
a −d c −b a−d a+d c b c b− +
Trang 5Từ (1) và (2) áp dụng bổ ñề ta có:
a−d a+d c b− c b+
Có:
a−d a+d c b− c b+
2
n
Vậy ta có ñpcm
* Nhận xét: ðây là một bài tóan hay, xuất phát từ bài toán quen thuộc ( bổ ñề nói ở trên), chúng ta ñã có một lời giải rất ñẹp