Giải số hệ phương trình vi phân đại số bằng phương pháp runge kutta

Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp RUNGER-KUTTA .... GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP 1 BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA .... Giải số hệ phương trình v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn này là trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đào Thị Liên Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - TS Đào Thị Liên, người hướng dẫn khoa học, người đã gợi ý đề tài, định hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo công tác tại Viện Toán học Việt Nam; khoa Toán, Phòng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học) Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tạo mọi điều kiện trang bị cho tác giả về kiến thức, về học liệu và kinh nghiệm nghiên cứu cũng như mọi thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bè bạn gần xa đặc và các bạn trong lớp Cao học Toán K21A, đã luôn động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn

Do thời gian nghiên cứu và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu, sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Thái Nguyên, tháng 03 năm 2015

Tác giả

Trần Đức Đoàn

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC BẢNG iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 2

1.1 Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số 2

1.1.1 Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số 2

1.1.2 Hệ với chỉ số 1 3

1.1.3 Hệ với chỉ số 2 5

1.1.4 Hệ với chỉ số 3 10

1.1.5 Con lắc 11

1.1.6 Các bài toán nhiễu suy biến 11

1.1.7 Hệ nhiễu suy biến đơn 13

1.1.8 Các định nghĩa khác về chỉ số 14

1.2 Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp RUNGER-KUTTA 17

Chương 2 GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP 1 BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA 22

2.1 Giải số hệ phương trình vi phân -đại số cấp 1 bằng phương pháp RUNGE-KUTTA 22

2.2 Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số 23

2.3 Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn 24

2.4 Tóm tắt kết quả hội tụ 27

2.5 Bài toán nhiễu suy biến 29

2.6 Phương pháp nửa hiện 30

2.7 Ví dụ về hệ chỉ số 2 khi phương pháp số không áp dụng được 31

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Phương pháp Radau IIA bậc 1 và 3 26

Bảng 2.2 Phương pháp Radau IIA bậc 5 26

Bảng 2.3 Bậc hội tụ 27

Bảng 2.4 Cấp hội tụ cho bài toán chỉ số 3 (1.17-18) 28

Bảng 2.5 Cấp của sai số đối với bài toán nhiễu suy biến 30

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về giải số của các hệ phương trình vi phân-đại số trong các ứng dụng của nhóm tác giả Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche về giải số hệ phương trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Nội dung chính là giới thiệu chung về hệ phương trình vi phân-đại số và trình bày ngắn gọn về cách giải số hệ phương trình vi phân thường cấp 1 bằng phương pháp Runge-Kutta

Chương 2 Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp 1 bằng phương pháp Runge-Kutta

Trong chương này, tác giả trình bày về giải số hệ phương trình, phương trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta, các nhóm phương pháp Runge-Kutta ẩn, kết quả hội tụ, bài toán nhiễu, phương pháp ẩn và ví dụ về chỉ

số 2 khi phương pháp số không áp dụng được

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số

Ta xét phương trình vi phân-đại số dạng tổng quát



F(Y ', Y ) 0 ( 1.1)

trong đó F và Y có cùng chiều, F được giả thiết là có đạo hàm bị chặn Hệ không

ôtônôm F(Y ', Y , x) 0 được sinh ra từ hệ (1.1) nhờ việc đưa vào một biến độc

lập x mà x' 1 Giá trị ban đầu Y ( 0 ) được giả thiết là đã biết và nghiệm Y (x)

được tìm trên một đoạn bị chặn 0; x Nếu F / Y '  là khả nghịch thì ta có thể

giải được 'Y từ (1.1) khi đó ta được một hệ phương trình vi phân thường Nếu

F / Y '

  là suy biến ta có hệ phương trình vi phân-đại số Một trong những cách

để phân loại lớp phương trình vi phân này là dùng khái niệm chỉ số

1.1.1 Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số

Chúng ta giới thiệu khái niệm chỉ số như một cách để đo độ nhạy của

nhiễu đối với nghiệm trong phương trình Có những nhóm nghiên cứu khác

đưa ra một số định nghĩa khác về chỉ số cho hệ phương trình vi phân-đại số

Mối liên hệ của định nghĩa này với các định nghĩa khác về chỉ số sẽ được

trình bày ở mục 1.1.8

Định nghĩa Phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm Y

trên đoạn ;0 x, nếu m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho mọi hàm Y có

F Y ', Y (x), ( 1.2 ) thì tồn tại đánh giá

với mỗi một số hạng trong vế phải là đủ nhỏ Ở đây C là một hằng số chỉ phụ

thuộc vào F và độ dài của đoạn 0, x 

Trong nghiệm số của phương trình (1.1), ảnh hưởng của nhiễu lên

phương trình rời rạc có vai trò quan trọng trong việc phân tích sự hội tụ và sai

số làm tròn Việc xuất hiện đạo hàm cấp (m-1) trong (1.3) sẽ biến đổi nghiệm

số thành phép chia nhiễu rời rạc cho m 1

h , trong đó h là tham số rời rạc (nhỏ) Cần lưu ý rằng có thể có các ước lượng lớn hơn (1.3) đối với một vài

hiệu số của chênh lệch nghiệm

Ta gọi một phương trình là phương trình chỉ số m nếu phương trình đó

có chỉ số m dọc theo mọi nghiệm Theo định nghĩa ở trên, chỉ số nhiễu không

Theo Bổ đề Gronwall, điều này luôn được thoả mãn đối với phương trình

vi phân thường 'Y  f Y( ) Bây giờ ta xem xét các lớp của hệ với chỉ số 1, 2 và

3, đây là các nhóm hệ thường xuất hiện trong các ứng dụng

Giá trị ban đầu (y , z ) 0 0 cần phải tương thích, nghĩa là g(y , z ) 0 0 0

Theo Định lý hàm ẩn, z có thể được rút ra từ phương trình (1.4.b) như là một hàm số của y Sau khi chèn z vào phương trình (1.4.a) ta có phương trình vi

phân thường Điều này cho thấy tồn tại nghiệm đơn trị và đều

e(x) y(x) y(x)

Sau khi chèn bất đẳng thức trên vào ước lượng z(x) z(x) , ta có ước

lượng (1.3) không phụ thuộc vào đạo hàm của nhiễu Do đó, hệ có chỉ số 1

Bài toán có dạng

với ma trận hằng số B có thể được đưa về dạng (1.4) nhờ việc phân tích (như

bằng phép khử Gaussian) như sau

S và sử dụng các biến

y TY

trong đó  22 chỉ số dưới bên phải của ma trận (chiều không gian nghiệm của

B), theo như phân tích (1.7) Giá trị ban đầu Y 0 là tương thích khi a Y nằm  0

trong miền giá trị của B (1.9)

Đạo hàm hai vế phương trình (1.10.b) và thế y' từ phương trình (1.10.a)

ta thấy nghiệm cũng thoả mãn phương trình

y

0  g (y) f(y, z) ( 1.10.c)

để nghiệm có thể nằm trên giao của đa tạp xác định bởi phương trình (1.10.b) và

(1.10.c) Một giá trị ban đầu tương thích (y 0 , z 0 ) phải thoả mãn (1.10.b) cho thành

phần y và điều kiện (1.10.c), khi đó (1.11) xác định duy nhất thành phần z

Các phương trình (1.10.a) và (1.10.c) đều có điều kiện (1.11) ở dạng chỉ

số 1 (1.4) với (1.5) Vì ta đã lấy đạo hàm một lần để có được dạng này, ước lượng (1.3) có chứa đạo hàm nhiễu trong phương trình (1.10.b) và do đó hệ có

chỉ số 2 Bây giờ ta xét hệ nhiễu

trong lân cận nghiệm, ta có thể chuyển về dạng (1.10) - dạng này không thay

đổi chỉ số và thậm chí quan trọng hơn trong dạng đó các phương pháp số nghiên cứu là bất biến Phép biến đổi này có thể được mô tả như là quan điểm

phi tuyến tính của phép khử Gaussian: Ta kí hiệu phần tử đầu tiên của z là z 1.Từ

giả thiết rằng g z có hạng không đổi đồng thời cũng tồn tại một thành phần của g

thỏa mãn g / z i  1 0 hoặc g / z 1 đồng nhất bằng 0, tức là g độc lập với z 1

Trong trường hợp đầu, theo định lý hàm ẩn ta có thể biểu diễn z 1 là hàm số của

y và các thành phần còn lại của z và bằng cách ấy khử z 1 trong các phương trình

khác Lặp lại các bước này với z 2 , z 3 ,…, cuối cùng ta được hệ có dạng (1.10)

trong đó z gồm các thành phần z chưa bị khử như trong (1.4)

Mục tiêu tiếp theo của ta là mô tả hai lớp phương trình có dạng (1.10),

(1.11) hoặc gần với dạng đó Hai lớp này gồm:

a) Hệ với ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm nhân với đạo hàm nghiệm, xuất hiện trong phân tích mạch điện và động lực phản ứng hoá học

b) Phương trình chuyển động của hệ thống cơ khí có ràng buộc

Xét lớp a) Ta thu được hệ dạng (1.10), chỉ số 2, một cách hình thức từ

một biến đổi (sẽ được miêu tả ở phần dưới đây) của hệ

B(y) y' a(y) ( 1.13 )

trong đó B(y) là ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm thoả mãn (1.7) và (1.8) Do

các phương pháp số sẽ nghiên cứu ở đây là bất biến theo phép biến đổi đó,

đánh giá sự hội tụ đối với y của (1.10) sẽ được áp dụng trực tiếp để thu được nghiệm của hệ (1.13)

Đầu tiên ta viết lại (1.13) thành một hệ bổ sung

0 0

với S và T là khả nghịch

Chọn S và T đồng thời là trơn trong mỗi lân cận của y thì rõ ràng B khả

vi Nhân phương trình thứ hai của hệ mở rộng đó với S –1 (y) được

11 12 -1

T T f(y)

0 f (y) T (y) z T (y) z

hoán vị các cột) Khi đó ta có thể loại trừ hàng thứ ba của hệ trên bằng việc tính z 1

và thế z 1 vào hàng đầu tiên Từ đó hệ có dạng (1.10), với (y, z 2 ) đóng vai trò (y, z)

của (1.10) Điều kiện (1.11) trở thành

1

y 11 12 y ( g T T  g ) là khả nghịch, thực hiện

kiểm tra bằng tính toán dễ dàng chỉ ra rằng nó tương đương với (1.8)

Nhờ phép biến đổi trên, ta có thể suy ra hiệu số giữa nghiệm của (1.13)

và nghiệm của hệ nhiễu B y y  'a y (x) bị chặn bởi

ước lượng ' không thể bị loại bỏ cho nghiệm phụ thuộc B(y) Điều này có thể

thấy qua ví dụ sau

   ta thấy rằng không thể loại bỏ số hạng  ' trong (1.3)

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không có sự phụ thuộc vào  ' với các hệ có dạng đặc biệt

b , g trong đó b y  b / y đối với một số hàm

b(y) nào đó Điều này được suy ra từ nhận xét rằng hệ có được sau khi bổ sung

phương trình 0b(y) v và thay b (y) y' y bằng v' là hệ có dạng chỉ số 1 trong

(1.4), (1.5) với (v, y) đóng vai trò của (y, z) Phương pháp số là không bất biến

trong phép biến đổi này do v' và b (y) y' y được rời rạc hoá khác nhau đối với b y

không là hằng

Xét lớp b) Các bài toán có dạng (1.10) xuất hiện trong quá trình mô hình

hoá cơ khí các hệ ràng buộc Một hệ có nhiều thành phần được miêu tả bởi tọa

độ q và vận tốc u q' có thể chịu ràng buộc hình học g(q)0 và ràng buộc động lực học K(q)uk(q)0. Xét về động năng T(q, u), phương trình chuyển

động Lagrange được viết như sau

trong đó Q(q, u) là các lực hiệu dụng,  là nhân tử Lagrange và H T = (G T , K T )

với G  g q Lấy đạo hàm và nhóm các phương trình lại, ta có hệ dạng

Đầu tiên ta xét trường hợp không có ràng buộc (1.15.c) Hệ (1.15.a, b,

d) có dạng (1.10) (ngoại trừ việc giải ra u' trong (1.15.b)) với (q, u) và 

trong vai trò của y và z Nếu các ràng buộc trong (1.15.d) là độc lập để

H = K có hạng đầy đủ theo hàng thì KM -1 K T là khả nghịch, điều kiện (1.11)

được thoả mãn

Trong trường hợp có các ràng buộc hình học (1.15.c), hệ (1.15) không

quá chỉ số 2 Việc giảm xuống chỉ số 2 có đạt được bằng việc sử dụng ràng buộc đã được lấy đạo hàm G(q)u0 , có dạng (1.15.d), thay vì (1.15.c) (hoặc

sử dụng kết hợp cả hai) Cách này gặp phải một khó khăn trong khi lấy tích

phân, ta có thể bỏ qua ràng buộc ban đầu (1.15.c) Để tránh điều này, Gear,

Gupta & Leimkuhler (1985) đề xuất sử dụng ràng buộc đã được lấy đạo hàm và

cộng (1.15.c) thông qua một nhân tử Lagrange  (triệt tiêu trên nghiệm đúng):





là dạng có chỉ số 3, nếu g f k y z u có nghịch đảo bị chặn (1.18) trong lân cận

nghiệm Điều này có được bằng việc lấy đạo hàm (1.17.c) hai lần, cho kết quả

Một ví dụ của bài toán chỉ số 3 là hệ cơ khí ôtônom, tại đó các phương

trình (1.15) có thể được lập mà không có ràng buộc (1.15.d) Ở đây (q, u, )đóng vai trò (y, z, u) trong (1.17) Điều kiện (1.18) được thoả mãn nếu

H = G có các dòng độc lập tuyến tính Khi không có các ràng buộc (1.15.d)

bài toán (1.15) vẫn có chỉ số 3 nếu H có hạng đầy đủ (do lấy đạo hàm

(1.15.c) cho hệ với chỉ số 2 có dạng (1.10)) Tuy nhiên, dạng này yếu hơn

dạng tổng quát trong (1.17)

1.1.5 Con lắc

Ta sử dụng con lắc để minh hoạ cho những lập luận ở trên Các phương

trình chuyển động của một vật nặng m treo trên một sợi dây có trọng lượng không đáng kể với độ dài l, dưới tác động của trọng lực g, trong hệ toạ độ

vuông góc (p, q), như sau:

Ở đây (u, v) là vận tốc và  là độ căng của dây Trong công thức này, hệ

có chỉ số 3 dạng (1.17.a-c) Lấy đạo hàm (1.19.c) ta có

tương ứng hình học với thực tế rằng vận tốc là tiếp tuyến của đa tạp cho bởi

(1.19.c), nghĩa là vuông góc với độ dốc 2(p, q) Hệ (1.19.a, b, d) có chỉ số 2

dạng (1.10.a, b) Lấy đạo hàm một lần nữa và kết hợp (1.19.c) ta được

0m(u v )gq l  ( 1.19.e)

Hệ (1.19.a, b, e) có chỉ số 1 dạng (1.4.a, b) Lập lại phương trình chỉ số 2

của Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) áp dụng vào trường hợp hiện tại

2 2 2

p' u p q' v q

1.1.6 Các bài toán nhiễu suy biến

Một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số với chỉ số cao tùy ý trong nghiên cứu vấn đề nhiễu đơn

trong đó giả sử g v, v z   v 2 (với mọi véctơ v) (1.22)

là đúng với một tích vô hướng trong lân cận của nghiệm Trên bất cứ đoạn bị chặn nào kể từ 0 (bên ngoài pha chuyển tiếp ban đầu), nghiệm có một є -mở rộng

với hệ số є độc lập và trơn y k , z k Chèn (1.23) vào (1.21) và so sánh luỹ thừa

của є ta thấy các hệ số mở rộng là nghiệm của một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số

thì (1.24.1) là hệ chỉ số 1 với y 1 , z 1 Tuy nhiên, các phương trình (1.24.0) và

(1.24.1) có chỉ số 2 bởi vì nhiễu trong z 0 được đưa vào phép lấy đạo hàm (1.24.1) (Để ý rằng hệ kết hợp (1.24.0), (1.24.1) thật ra có dạng (1.10), (1.11) với (y 0 , z 0 ,

y 1 ) và z 1 đóng vai trò y và z) Tương tự, hệ (1.24.0)-(1.24.k) có chỉ số k+1

Ta quan tâm đến hệ (1.24) bởi nghiệm số trong bài toán (1.21) có mở rộng є mà các hệ số là nghiệm của hệ phương trình vi phân-đại số (1.24) Điều này cho phép sai số bị chặn đối với nghiệm số của (1.21) Ta sẽ trở lại vấn đề

này ở cuối Chương 2

1.1.7 Hệ nhiễu suy biến đơn

Như là một ví dụ cho hệ cơ khí cứng, ta xét con lắc treo trên một lò xo cứng có trọng lượng không đáng kể với hằng số Hooke 2

1 /є ,0 є 1 Với việc chuẩn hoá m1, l 1, g 1 phương trình chuyển động được viết như sau

Chèn (1.26) và (1.27) vào (1.25) và so sánh các hệ số của є0 cho ta

phương trình con lắc trong chỉ số 3 dạng (1.19.a, b, c):

Nếu các biến có chỉ số 0 được xem là đã biết thì (1.29) là hệ có chỉ

số 3 cho p , q , u , v , 1 1 1 1 1 Tuy nhiên, hệ (1.28) và (1.29) lại có chỉ số 5 Giờ ta có thể tiếp tục xây dựng các hệ số còn lại trong (1.26) và (1.27)

Điều này đưa ra một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số mà chỉ số tăng hai lần ở mỗi bước

Phân tích ở trên áp dụng với các phương trình chuyển động của hệ

cơ khí cứng trong đó thế năng lớn khiến chuyển động ở gần với biểu thức.

trong đó ma trận M(y) là xác định dương và thế năng U là cực tiểu trên đa tạp 

và lồi lớn dọc theo chiều ngang với  Trong mở rộng є của nghiệm trơn, các 2

hệ số của є0 thoả mãn các phương trình chuyển động của hệ ràng buộc chỉ số 3

Điều ta quan tâm trong công thức trên là nghiệm số của bài toán cứng

(1.30) đồng thời cũng có є2-mở rộng mà hệ số của mở rộng là nghiệm số của các phương trình vi phân-đại số liên quan có chỉ số 3, 5, 7…

1.1.8 Các định nghĩa khác về chỉ số