Bài toán stick slip và một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng

X¡c nhªn X¡c nhªncõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS.. Rn Khæng gian Euclid n chi·u.. Ω Mi·n giîi nëi trong khæng gian Rn.. ∂Ω Bi¶n trìn Lipschitz.. W1,pΩ Khæng gi

X¡c nhªn X¡c nhªn

cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc

TS Vô Vinh Quang

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn

÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS Vô Vinh Quang(Tr÷íng ¤i håc Khoa Håc) Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥us­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y

¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc, quþ th¦y

cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K7C (2014- 2016) Tr÷íng ¤i håc Khoa Håc

- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡ucông nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n Xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i nguy¶n, th¡ng 12 n«m 2015

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Nguy¹n Thà Khuy¶n

51.1.2 Khæng gian Lp(Ω) 61.1.3 Khæng gian W 1,p(Ω) 61.1.4 Khæng gian H1

0 (Ω) v  kh¡i ni»m v¸t cõa h m 71.1.5 Cæng thùc Green, b§t ¯ng thùc Poincare 91.1.6 Khæng gian Sobolev vîi ch¿ sè ¥m H−1(Ω)v  H− 1

2 (∂Ω) 101.2 Ph÷ìng tr¼nh Elliptic 111.2.1 Kh¡i ni»m nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh 111.2.2 ành ngh¾a 12

1.2.3 M»nh · 12

1.3 Ki¸n thùc v· c¡c sì ç l°p cì b£n 12

1.3.1 L÷ñc ç l°p hai lîp 12

1.3.2 L÷ñc ç døng, c¡c ành lþ cì b£n v· sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p 13

1.4 Lþ thuy¸t v· sai ph¥n 14

1.4.1 Ph÷ìng ph¡p l÷îi 14

1.4.2 B i to¡n sai ph¥n 15

1.4.3 K¸t luªn 16

2 B i to¡n stick-slip v  ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m d¤ng ti»m cªn 17 2.1 Mæ h¼nh b i to¡n 17

2.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m d¤ng khai triºn 19

2.3 Ph÷ìng ph¡p SFBIM 20

2.3.1 K¸t luªn 26

3 Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n stick  slip têng qu¡t 27 3.1 Cì sð lþ thuy¸t 27

3.1.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p chia mi·n 27

3.1.2 Sì ç l°p cõa to¡n tû bi¶n mi·n 30

3.2 Sì ç l°p k¸t hñp 32

3.3 Mët sè k¸t qu£ thüc nghi»m 34

T i li»u tham kh£o 38

i·u ki»n ¤o h m ¥y l  mët mæ h¼nh mæ t£ sü dao ëng cõa c¡c t§m

 n hçi câ li¶n quan ¸n c¡c i·u ki»n bi¶n d¤ng ng m, gèi tüa v  bi¶n

tü do hén hñp ¥y l  mët mæ h¼nh b i to¡n ÷ñc c¡c t¡c gi£ tr¶n th¸giîi r§t quan t¥m, câ t½nh ùng döng c¡o V¼ t½nh ch§t k¼ dà n¶n vi»c t¼mnghi»m cõa b i to¡n khæng thº thüc hi»n b¬ng c¡c ph÷ìng ph¡p thængth÷íng Hi»n nay c¡c t¡c gi£ tr¶n th¸ giîi th÷íng ti¸p cªn vi»c gi£i b ito¡n theo c¡c h÷îng sau ¥y:

1 Xu§t ph¡t tø c¡c iºm k¼ dà l  iºm giao giúa c¡c lo¤i i·n ki»nbi¶n, ng÷íi ta t¼m c¡ch x¥y düng c¡c h» h m ri¶ng d÷îi d¤ng h»tåa cüc thäa m¢n i·u ki»n cõa b i to¡n v  tø â nghi»m x§p x¿ cõa

b i to¡n ÷ñc x¡c ành b¬ng c¡c cæng thùc khai triºn d¤ng chuéi

h m thæng qua c¡c h» h m ri¶ng Tø â b i to¡n ÷a v· vi»c x¡c

ành c¡c h» sè cõa khai triºn b¬ng c¡c ph÷ìng ph¡p ¤i sè

2 Sû döng lþ thuy¸t c¡c to¡n tû bi¶n º x¥y düng c¡c sì ç l°p x¡c

ành c¡c gi¡ trà thi¸u tr¶n bi¶n º chuyºn b i to¡n câ chùa c¡c iºmk¼ dà v· c¡c b i to¡n con khæng chùa iºm k¼ dà, k¸t hñp vîi ph÷ìng

Nëi dung cõa b£n luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong 3 ch÷ìng.

Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð v· c¡c khæng gian h m,l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh song i·u háa, lþ thuy¸t to¡n tû bi¶n mi·n, sì çcõa to¡n tû bi¶n mi·n, ành l½ v· sü hëi tö, l½ thuy¸t v· sai ph¥n, khænggian l÷îi, c¡c ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ¤o h m, h» ph÷ìng tr¼nh l÷îi.Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y mæ h¼nh b i to¡n Stick-Slip, ph÷ìng ph¡p khaitriºn thæng qua c¡c h» h m ri¶ng, ph÷ìng ph¡p l°p t¼m nghi»m x§p x¿.Ch÷ìng 3 Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ thüc nghi»m èi vîi b i to¡nStick-Slip

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa TS

Vô Vinh Quang, em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh cõa m¼nh èivîi th¦y Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o ¤i håc Khoa håc

- ¤i håc Th¡i nguy¶n ¢ tham gia gi£ng d¤y, gióp ï em trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp n¥ng cao tr¼nh ë ki¸n thùc Tuy nhi¶n v¼ i·u ki»nthíi gian v  kh£ n«ng câ h¤n n¶n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât Em k½nh mong c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n âng gâp þ ki¸n

º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn.

Mët sè k½ hi»u vi¸t t­t

L To¡n tû elliptic

Rn Khæng gian Euclid n chi·u

Ω Mi·n giîi nëi trong khæng gian Rn

∂Ω Bi¶n trìn Lipschitz

Ck(Ω) Khæng gian c¡c h m câ ¤o h m c§p k li¶n töc

L2(Ω) Khæng gian c¡c h m o ÷ñc b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch

W1,p(Ω) Khæng gian Sobolev vîi ch¿ sè p

H1/2(∂Ω) Khæng gian Sobolev c¡c h m câ v¸t b¬ng khæng tr¶n ∂Ω

Ch֓ng 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y luªn v«n tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· c¡ckhæng gian h m, l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh song i·u háa, l½ thuy¸t to¡n tûbi¶n mi·n, lþ thuy¸t v· c¡c sì ç l°p v  ph÷ìng ph¡p sai ph¥n C¡c ki¸nthùc cì b£n ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [2], [6], [7]

1.1 Khæng gian Sobolev.

1.1.1 Khæng gian Ck Ω¯

Gi£ sû Ω l  mët mi·n bà ch°n trong khæng gian Euclid n chi·u Rn v  ¯Ω

l  bao âng cõa Ω Ta k½ hi»u Ck Ω¯

Sü hëi tö theo chu©n ¢ cho l  sü hëi tö ·u trong ¯Ω cõa c¡c h m v t§t c£ ¤o h m cõa chóng ¸n c§p k Rã r ng tªp Ck Ω¯

vîi chu©n ¢cho l  khæng gian Banach

1.1.3 Khæng gian W 1,p(Ω)

ành ngh¾a 1.1.1 Cho Ω l  mët mi·n trong Rn H m u(x)÷ñc gåi l kh£ t½ch àa ph÷ìng trong Ω n¸u u(x) l  mët h m trong Ω v  vîi méi

x0 ∈ Ω ·u tçn t¤i mët l¥n cªn ω cõa x0 º u(x) kh£ t½ch trong ω

ành ngh¾a 1.1.2 Cho Ω l  mët mi·n trong Rn H m u(x), v(x)÷ñc

gåi l  kh£ t½ch àa ph÷ìng trong Ω sao cho ta câ h» thùc:

èi vîi måi ϕ (x) ∈ Ck

ành ngh¾a 1.1.3 Gi£ sû p l  mët sè thüc, 1 6 p < ∞, Ω l  mët mi·ntrong Rn Khæng gian Sobolev W1,p

0 (Ω) v  kh¡i ni»m v¸t cõa h m

ành ngh¾a 1.1.4 Vîi b§t k¼ 1 6 p < ∞, khæng gian Sobolev W1,p

0 (Ω)

÷ñc ành ngh¾a nh÷ c¡c bao âng cõa D (Ω) (khæng gian c¡c h m kh£

vi væ h¤n câ gi¡ compact trong Ω t÷ìng ùng vîi chu©n cõa W1,p

0 (Ω) Khæng gian H1

- Nhóng Compact èi vîi q ∈ [1, p∗] trong â 1

H m γ (u) ÷ñc gåi l  v¸t cõa u tr¶n ∂Ω

ành ngh¾a 1.1.7 Gi£ sû bi¶n ∂Ω l  li¶n töc Lipschitz, khæng gian

H12 (∂Ω) ÷ñc gåi l  mi·n gi¡ trà cõa ¡nh x¤ v¸t γ, tùc l :

ii) Tçn t¤i mët h¬ng sè Cγ(Ω) sao cho:

kγ (u)k

H1(∂Ω) 6 Cγ(Ω) kukH1 (Ω), ∀u ∈ H1(Ω)Khi â Cγ(Ω) ÷ñc gåi l  h¬ng sè v¸t

Bê · 1.1.9 Gi£ sû ∂Ω l  li¶n töc Lipschitz, khæng gianH1

2 (∂Ω) câ c¡ct½nh ch§t sau:

i) Tªp {u|∂Ω, u ∈ C∞(Rn)} l  trò mªt trong H1

2 (∂Ω).ii) Nhóng H1

2 (∂Ω) ⊂ L2(∂Ω).iii) Tçn t¤i mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc:

g ∈ H12 (∂Ω) → ug ∈ H1(Ω) Vîi γ (ug) = g v  tçn t¤i mët h¬ng sè C1(Ω) ch¿ phö thuëc mi·n Ω saocho:

kugkH1 (Ω) 6 C1(Ω) kgk

H1(∂Ω), ∀g ∈ H12 (Ω) 1.1.5 Cæng thùc Green, b§t ¯ng thùc Poincare

ành l½ 1.1.10 (Cæng thùc Green) Gi£ sû ∂Ω l  li¶n töc Lipschitz, cho

trong â n = (n1, , nn) l  vectì ph¡p tuy¸n ngo i cõa Ω

T½nh ch§t 1.1.11 Gi£ sû bi¶n ∂Ω l  li¶n töc Lipschitz Khi â:

H01(Ω) =u|u ∈ H1(Ω) , γ (u) = 0 .T½nh ch§t 1.1.12 ( B§t ¯ng thùc Poincare) Tçn t¤i mët h¬ng sè CΩsao cho:

kukL2 (Ω) 6 CΩk∇ukL2 (Ω), ∀u ∈ H01(Ω)

Trong â h¬ng sè CΩ phö thuëc v o ÷íng k½nh cõa Ω ÷ñc gåi l  h¬ng

sè Poincare B§t ¯ng thùc Poincare câ þ ngh¾a r¬ng kuk = k∇ukL2 (Ω)

kF kH−1 (Ω) = sup

H 1 (Ω)\{0}

hF, uiH−1 (Ω),H 1 (Ω)

L2(Ω)n+1

1.2 Ph÷ìng tr¼nh Elliptic

Gi£ sû Ω ∈ Rn l  mi·n giîi nëi vîi bi¶n ∂Ω = Γ X²t ph÷ìng tr¼nh ¤o

h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p 2m cõa ©n h m u (x) , x ∈ Ω

i) Vîi m=1 th¼ (1.1) l  ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai

ii) Vîi m=2 th¼ (1.1) l  ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p bèn

B i to¡n t¼m nghi»m cõa (1.1)÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶n n¸u tr¶n bi¶n Γnghi»m u(x) thäa m¢n mët sè i·u ki»n bi¶n:

Bi(u) = gi, i = 0, 1, , m − 1

Trong â Bi(u) , i = 0, 1, , m − 1 l  c¡c to¡n tû bi¶n

1.2.1 Kh¡i ni»m nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh

X²t ph÷ìng tr¼nh:

Gi£ sû u ∈ C2(Ω) , f ∈ C (Ω) v  ph÷ìng tr¼nh (1.2) thäa m¢n trongmi·n Ω Khi â, u(x) ÷ñc gåi l  nghi»m cê iºn cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2).L§y h m ϕ b§t k¼ thuëc D (Ω) = C∞

0 (Ω) nh¥n vîi hai v¸ cõa (1.2) rçil§y t½ch ph¥n ta ÷ñc:

p döng cæng thùc Green v o (1.3) v  k¸t hñp vîi i·n ki»n ϕ|∂Ω = 0 ta

trong â A : H → H l  to¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Hilbertthüc húu h¤n chi·u H Gi£ sû A l  to¡n tû èi xùng, x¡c ành d÷ìng,

f ∈ H l  vectì tòy þ

Trong méi ph÷ìng ph¡p l°p, xu§t ph¡t tø y0 b§t k¼ thuëc H , ng÷íi

ta ÷a ra c¡ch x¡c ành nghi»m x§p x¿ y1,y2, , yk, cõa ph÷ìng tr¼nh(1.5) C¡c x§p x¿ nh÷ vªy ÷ñc bi¸t nh÷ l  c¡c c°p gi¡ trà l°p vîi ch¿ sèl°p k = 1, 2, , b£n ch§t cõa nhúng ph÷ìng ph¡p n y l  gi¡ trà yk+1 câthº ÷ñc t½nh thæng qua c¡c gi¡ trà l°p tr÷îc: yk, yk−1,

Ph÷ìng ph¡p l°p ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p l°p mët b÷îc ho°c haib÷îc n¸u x§p x¿ yk+1 câ thº ÷ñc t½nh thæng qua mët ho°c hai gi¡ tràtr÷îc â D¤ng ch½nh t­c cõa l÷ñc ç l°p hai lîp l :

Bkyk+1 − yk

θk+1 + Ayk = f, k = 0, 1, 2, (1.6)L÷ñc ç l°p (1.6) cho ta x§p x¿ ch½nh x¡c nghi»m y cõa ph÷ìng tr¼nh(1.5) vîi b§t k¼ to¡n tû Bk v  c¡ch chån tham sè θk+1

N¸u Bk = E th¼ l÷ñc ç l°p (1.5) ÷ñc gåi l  l÷ñc ç l°p hi»n

yk+1 − yk

θk+1 + Ayk = f, k = 0, 1, 2, (1.7)Trong tr÷íng hñp θk = θ l  h¬ng sè th¼ l÷ñc ç l°p (1.7) cán gåi l  l÷ñc

ành l½ 1.3.1 N¸u A l  to¡n tû èi xùng , x¡c ành d÷ìng th¼:

1v  M > 1, °t h = (b−a)/N gåi l  b÷îc l÷îi theo x , k = (d−c)/M gåi

l  b÷îc l÷îi theo y °t xi = a + ih, yj = c + jk, i = 0, , N, j = 0, , M.Méi iºm (xi, yj) gåi l  mët nót l÷îi kþ hi»u l  nót (i, j) Tªp t§t c£ c¡cnót trong kþ hi»u l  Ωhk Nót ð tr¶n bi¶n Γ gåi l  nót bi¶n, tªp t§t c£c¡c nót bi¶n kþ hi»u l  Γhk, tªp ¯Ωhk = Ωhk∪ Γhk gåi l  mët l÷îi sai ph¥ntr¶n ¯Ω

H m l÷îi: Méi h m sè x¡c ành t¤i c¡c nót cõa l÷îi gåi l  mët h ml÷îi, gi¡ trà cõa h m l÷îi u(x, y) t¤i nót l÷îi (i, j) vi¸t t­t l  uij Méi

h m u(x, y) x¡c ành t¤i måi u(x, y) ∈ ¯Ω t¤o ra h m l÷îi u x¡c ành bði

uij

1.4.2 B i to¡n sai ph¥n

K½ hi»u ¯Ω = Ω ∪ Γ, X²t b i to¡n Lu = f , gi£ sû b i to¡n câ nghi»m

6 C1 = const, max

(x,y)∈ ¯ Ω

... chẵnh l hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh xĂc nh cĂc hằ số khaitrin cƯn tẳm Mởt nhỳng kát quÊ ữủc ữa bÊng số li»usau ¥y:

B£ng 2.1: C¡c gi¡ trà cõa c¡c h» số kẳ d Ưu tiản i,... data-page="33">

2.3.1 Kát luên

Trong chữỡng 2, luên vôn  ữa mỉ h¼nh cõa b i to¡n Stick- Sliptêng qu¡t v  mët sè phữỡng phĂp xĂc nh nghiằm tiằm cên cừa bitoĂn thổng qua phữỡng phĂp... class="page_container" data-page="34">

Ch֓ng 3

Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n stick< /h2>

 slip têng qu¡t