Trục đẳng phương, phương tích và một số ứng dụng

2.3 Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm nằmtrên đường thẳng cố định... Mở đầuTrong hình học phẳng, phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương là một vấn đề khá quen

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRẦN TRUNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Phương tích của một điểm với một đường tròn 3

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 3

1.1.2 Các tính chất 5

1.1.3 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes 8

1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.2.2 Các tính chất 9

1.2.3 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn 10 1.2.4 Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes 11

1.3 Tâm đẳng phương 12

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ 12

1.3.2 Các tính chất 13

2 Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương 15 2.1 Chứng minh đồng quy 15

2.2 Chứng minh điểm cố định 22

2.3 Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm nằm

trên đường thẳng cố định 28

2.4 Chứng minh thẳng hàng 34

2.5 Chứng minh đẳng thức 42

2.6 Chứng minh vuông góc, song song 44

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trần Trung.Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫnkhoa học của mình, PGS.TS Trần Trung, người đã đưa ra đề tài và dành nhiềuthời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quátrình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

-Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạo thuộcTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốtnhất để em được theo học lớp học Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thểlớp Cao học Toán 7D khóa 1/2014 - 1/2016 đã động viên giúp đỡ tôi trongquá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, BanGiám hiệu và các đồng nghiệp Trường THCS Quang Trung - Kinh Môn - HảiDương đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.Tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015

Đặng Văn Phú

Học viên Cao học Toán 7D Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Mở đầu

Trong hình học phẳng, phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương

là một vấn đề khá quen thuộc và được ứng dụng nhiều trong việc giải toán.Nói đến chủ đề này, ta có thể hiểu một cách đơn giản đó là những định nghĩa,tính chất và ứng dụng liên quan đến việc xét vị trí tương đối của điểm cốđịnh với đường tròn, tập hợp điểm với đường tròn, đường tròn với đường tròn.Phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương là một chuỗi sự phát triểncác mối quan hệ trên Những kiến thức này khá đơn giản và dễ hiểu nhưngứng dụng của nó thì rất đa dạng, phong phú và nhiều khi đó là phương pháptối ưu cho các bài toán hình học Một khi chúng ta đã nắm vững cũng nhưhiểu rõ về vấn đề này, việc áp dụng vào giải toán trở nên thuận tiện hơn baogiờ hết

Một số ứng dụng của phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương

có thể kể đến như tập hợp các điểm, góc, khoảng cách, điểm cố định, đường

cố định, chứng minh hệ thức, các bài toán về sự thẳng hàng, đồng quy, vuônggóc, dựng hình, cực trị hình học, Chúng ta sẽ có một lợi thế không nhỏ khi

sử dụng vấn đề toán học này để giải những bài toán liên quan đến các vấn đềtrên bởi một mặt giúp người học hạn chế nghiệm và các trường hợp của bàitoán, làm cho bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn trong cách gọi ẩn và các tìnhhuống có thể xảy ra, mặt khác nó giúp lời giải của bài toán trở nên hay, đẹphơn và tạo nên sự tối ưu trong việc giải quyết các yêu cầu của đề bài

Với những lý do trên, cùng với sự quan tâm và muốn đi sâu hơn về vấn đề

này chúng tôi đã chọn đề tài Trục đẳng phương, phương tích và một số ứng

dụng cho luận văn Do nhiều yếu tố chủ quan và khách quan, nội dung củabài viết có thể còn nhiều khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến đóng gópcủa quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1: Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi trình bày mộtcách sơ lược về phương tích của một điểm với một đường tròn, trục đẳngphương của hai đường tròn và tâm đẳng phương mà sẽ được sử dụng trongcác chương tiếp theo

• Chương 2: Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương.Trong chương này chúng tôi trình bày ứng dụng của phương tích, trục đẳngphương và tâm đẳng phương vào chứng minh đồng quy, chứng minh điểm cốđịnh, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, chứng minh các điểmcùng nằm trên một đường thẳng cố định, chứng minh thẳng hàng, chứng minhvuông góc và song song

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015

Đặng Văn Phú

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Phương tích của một điểm với một đường tròn

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định lí 1.1.1 [1] Cho đường tròn (O; R) và điểm P cố định, OP = d Qua

P kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm U và V Khi đó giá trị

P U P V = P O2 − R2 = d2 − R2

không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng.

Chứng minh. (Hình 1.1) Gọi M là

điểm đối xứng của V qua O Ta có

M U vuông góc với P V hay U là hình

chiếu của M trên P V Suy ra

Định nghĩa 1.1.1 [1] Giá trị không đổi P U.P V = P O2 − R2 = d2 − R2

được gọi là phương tích của điểm P đối với đường tròn (O) và ký hiệu là

PP/(O)

Định lí 1.1.2 [1] Nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và

P A.P B = P C.P D

thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh. (Hình 1.2) Giả sử đường

tròn ngoại tiếp ∆ABC cắt CD tại D0

Ví dụ 1.1.1 Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định Một đường thẳng

quay quanh A cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng

Giải. (Hình 1.3) Gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác BMN và C là giao

điểm của AB với (I) Khi đó

PA/(I) = AC.AB = AM AN = PA/(O)

không đổi vì A, O cố định

Suy ra AC = PA/(O)

AB Vì A, B cố định

và C thuộc AB nên từ hệ thức trên suy

ra điểm C cố định Do đó I thuộc đường

1.1.2 Các tính chất

Tính chất 1.1.1 Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến

của (O) thì PM/(O) = M T2.

Tính chất 1.1.2 Nếu hai điểm A, B cố định và AB.AM là hằng số thì M cố

định.

Tính chất 1.1.3 + Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi

PM/(O) > 0.

+ Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khiPM/(O) = 0.

+ Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) < 0.

Tính chất 1.1.4 (Hình 1.4) Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt

nhau tại M (M không trùng A, B, T ) Khi đó nếu M A.M B = M T2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với M T tại T

= 3R2 + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) (1)

Ta có 2OA.OB = OA2 + OB2 − (OA − OB)2

= OA2 + OB2 − AB2 = 2R2 − AB2.Tương tự ta có 2OA.OB = 2R2 − AB2, 2OB.OC = 2R2 − BC2,

2OC.OA = 2R2 − CA2.Suy ra

2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) = 6R2 − (AB2 + BC2 + CA2) (2)Thay (2) vào (1) ta được 9OG2 = 9R2 − (AB2 + BC2 + CA2)

(Phương tích này được gọi là phương tích trọng tâm)

Ví dụ 1.1.3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O, R) và H là trực tâm của

∆ABC Chứng minh rằngPH/(O) = −8R2cos A cos B cos C

Giải. (Hình 1.6) Ta chứng minh trường hợp

∆ABC là tam giác nhọn Các trường hợp tam

giác vuông hoặc tù chứng minh tương tự

Gọi I, A0 lần lượt là giao điểm của AH với BC

và (O) Áp dụng định lý sin trong ∆HAB ta có

AHsin \ABH

=ABsin \AHB

sin(900 − bA) =

ABsin(1800 − bC) Hình 1.6

cos A=

ABsin C ⇒ HA = AB

sin C cos A = 2R cos C.

Chứng minh tương tự ta có HB = 2R cos B, HC = 2R cos C Vì \BHA0 =b

C = \BA0Anên ∆BHA0 cân tại B Suy ra I là trung điểm của A0H Khi đó

HA0 = 2IH = 2HB cos \BHA0 = 4R cos B cos C

Vì ∆ABC nhọn trực tâm nằm trong tam giác nên ta có

PH/(O) = HA.HA0 = −HA.HA0 = −8R2cos A cos B cos C

(Phương tích này được gọi là phương tích trực tâm)

Ví dụ 1.1.4 Cho đường tròn (O, R) và 3 điểm A, B, C thẳng hàng Chứng

minh rằng

PA/(O).BC +PB/(O).CA +PC/(O).AB + BC.CA.AB = 0

Giải.(Hình 1.7) Ta có

PA/(O).BC +PB/(O).CA +PC/(O).AB + BC.CA.AB

=(OA2 − R2).BC + (OB2 − R2).CA + (OC2 − R2).AB + BC.CA.AB

=OA2.BC + OB2.CA + OC2.AB + BC.CA.AB − R2(BC + CA + AB)

=OA2.BC + OB2.CA + OC2.AB + BC.CA.AB

Ta sẽ chứng minh hệ thức

OA2.BC + OB2.CA + OC2.AB + BC.CA.AB = 0

Trường hợp 1:Điểm O nằm trên đường thẳng chứa ba điểm A, B, C

OA2.BC + OB2.CA + OC2.AB + BC.CA.AB

= OA2.(OC − OB) + OB2.(OA − OC) + OC2.(OB − OA)

+ (OC − OB).(OA − OC).(OB − OA) = 0

Trường hợp 2:(Hình 1.8)

Điểm O không nằm trên đường thẳng chứa ba điểm A, B, C

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng chứa ba điểm A, B, C Ta có

OA2.BC + OB2.CA + OC2.AB + BC.CA.AB

= (OH2 + HA2).BC + (OH2 + HB2).CA + (OH2 + HC2).AB+

+ BC.CA.AB

= OH2(BC + CA + AB) + AH2.BC + BH2.CA + CH2.AB+

+ BC.CA.AB

= 0

VậyPA/(O).BC +PB/(O).CA +PC/(O).AB + BC.CA.AB = 0

1.1.3 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes

Cho điểm M(x0; y0) và đường tròn (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.Đặt F (x; y) = x2+ y2+ 2ax + 2by + c Khi đó, phương tích từ điểm M đếnđường tròn (C) là

PM/(C) = F (x0; y0) = x20 + y02 + 2ax0 + 2by0 + c

1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn

1.2.1 Định nghĩa

Định lí 1.2.1 [1] Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2)

Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng.

Chứng minh. (Hình 1.9) Giả sử

điểm M có phương tích đến hai

đường tròn bằng nhau Gọi H là

hình chiếu của M trên O1O2, I là

trung điểm của O1O2

2O2O1 .Suy ra H cố định, M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2

Định nghĩa 1.2.1 [1] Đường thẳng MH như trên được gọi là trục đẳng

phươngcủa hai đường tròn (O1) và (O2)

1.2.2 Các tính chất

Tính chất 1.2.1 Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường

nối tâm.

Tính chất 1.2.2 Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là

trục đẳng phương của chúng.

Tính chất 1.2.3 Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1; R1) và (O2; R2)

thì đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Tính chất 1.2.4 Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường

tròn thì đường thẳng M N chính là trục đẳng phương của hai đường tròn đó.

Tính chất 1.2.5 Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì

3 điểm đó thẳng hàng.

Tính chất 1.2.6 Nếu (O1; R1) và (O2; R2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

1.2.3 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn

Ta xác định trục đẳng phương của hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2)dựa trên Định lý 1.2.1 như sau:

Trường hợp 1:(Hình 1.10) Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,

B Khi đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

Trường hợp 2: (Hình 1.11) Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại P Khi đó tiếptuyến chung tại P chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

Trường hợp 3:(Hình 1.12) Hai đường tròn (O1)và (O2)không có điểm chungBước 1: Dựng đường tròn (O3) sao cho (O1) cắt (O3) tại A và B; (O2) cắt(O3) tại C và D

1.2.4 Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn không đồng tâm:

(C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0,(C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0

Khi đó, trục đẳng phương của (C1) và (C2) là đường thẳng có phương trình:

(∆) : 2(a1 − a2)x + 2(b1 − b2)y + c1 − c2 = 0

1.3 Tâm đẳng phương

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ

Định lí 1.3.1 [1] Cho 3 đường tròn (O1), (O2) và (O3) Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song với nhau hoặc cùng đi qua một điểm.

Hình 1.13:

Chứng minh.(Hình 1.13) Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci)

và (Cj) Ta xét hai trường hợp sau:

Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát, tagiả sử d12 k d23 Ta có d12 ⊥ O1O2, d23 ⊥ O2O3, do đó O1, O2, O3 thẳnghàng Ta lại có d13 ⊥ O1O3, vậy d13 k d23 k d12

Giả sử d12 và d23 có điểm M chung Khi đó ta có

Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó sẽ thuộctrục đẳng phương còn lại.

Định nghĩa 1.3.1 [1] Giao điểm của các trục đẳng phương của các cặp đường

tròn (O1), (O2), (O3)gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

1.3.2 Các tính chất

Tính chất 1.3.1 Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm

của 3 đường tròn thẳng hàng.

Tính chất 1.3.2 Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung

cùng đi qua một điểm.

Tính chất 1.3.3 Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và các tâm thẳng

hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.

Ví dụ 1.3.1 Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và

M1, M2, M3 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB Gọi

(M1, M1H) ∩ BC = {A1, A2},(M2, M2H) ∩ AC = {B1, B2},(M3, M3H) ∩ AB = {C1, C2}

Chứng minh rằng 6 điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng thuộc một đường tròn

Giải.(Hình 1.14) Vì M1M2 k AB và AB ⊥ HC nên M1M2 ⊥ HC Suy ra

HC là trục đẳng phương của (M1)và (M2) Suy ra

CA1.CA2 = CB1.CB2hay A1, A2, B1, B2 cùng thuộc đường tròn (W1)

quy, nhưng chúng lại cắt nhau tại

A, B, C nên vô lý Vậy 6 điểm

A1, A2, B1, B2, C1, C2cùng thuộc

một đường tròn

Hình 1.14

Chương 2

Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương

Với lượng kiến thức tưởng chừng như đơn giản và khá quen thuộc như

đã trình bày trong chương I Các kết quả của nó vô cùng đơn giản, tự nhiênnhưng lại ảnh hưởng sâu sắc đến các nội dung quan trọng như chứng minhđồng quy, chứng minh điểm cố định, chứng minh các điểm cùng thuộc mộtđường tròn, quan hệ vuông góc, song song, đồng quy, thẳng hàng Tìmđược mối liên hệ giữa phương tích và trục đẳng phương với các nội dung trên

sẽ giúp người làm toán hướng đến những lời giải hay, đẹp, gọn gàng và ấntượng

Trong khuôn khổ luận văn xin đưa ra một số ứng dụng điển hình củaphương tích, trục đẳng phương để giải các bài toán chứng minh trong các đềthi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế

2.1 Chứng minh đồng quy

Trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế chúng ta bắt gặp rấtnhiều bài toán liên quan đến chứng minh đồng quy Học sinh thường hay lúngtúng và định hướng sai cách giải hoặc đưa ra lời giải dài dòng thiếu logic.Việc áp dụng tính chất của phương tích và trục đẳng phương để chứng minhcho ta lời giải hay điển hình đối với một số bài toán sau:

Bài toán 2.1.1 (Việt Nam TST-2009) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp

đường tròn (O) Gọi A1, B1, C1lần lượt là chân đường vuông góc của A, B, C xuống cạnh đối diện, gọi A2, B2, C2 là các điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm BC, CA, AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2, BC2A2,

CA2B2 cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại A3, B3, C3 Chứng minh rằng 3 đường thẳng A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy.

Giải.(Hình 2.1) Gọi (I, R) là đường

tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2, M

là trung điểm BC, AM giao A1A3

tại G Vì AC1.AB = AB1.AC và

Theo tính chất về đường kính vuông Hình 2.1

góc với dây cung của đường tròn, ta có đường kính đó cũng đi qua trung điểmcủa cung Vậy OI đi qua trung điểm của AA3

Đoạn A1Avà IM cùng vuông góc với cung AA3, do đó theo tính chất vềcác đoạn chắn song song, ta có: A1M =

Giải.(Hình 2.2) Gọi K là giao của (MN) và (P Q), L là giao của (MP ) và

PO1/(C1) = O1M2 = O1P2 = PO1/(C2) (3)Tương tự

PO2/(C1) = PO2/(C2) (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra 3 điểm L, O1, O2 thẳng hàng hay 3 đường thẳng

M P, N Q, O1O2 đồng quy

Bài toán 2.1.3 (HSG Quốc gia 2004) Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự

đó nằm trên một đường thẳng Gọi E, F là các giao điểm của đường tròn

(O1) đường kính AC và đường tròn (O2) đường kính BD Lấy P là một điểm thuộc đường thẳng EF, CP cắt (O1) tại M và BP cắt (O2) tại N Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, DN, EF đồng quy.

Nhưng \BCM + \DAM = 1800 − \AM C = 900, suy ra

\

M N P + \DAM = 1800 (2)

Từ (1) và (2) suy ra \LN M = \DAM Do đó tứ giác MNAC nội tiếp.Suy ra LM.LA = LN.LC hay PL/(O 1 ) = PL/(O 2 ), do đó L thuộc trục đẳngphương EF của hai đường tròn Vậy ba đường thẳng EF, AM, BN đồng quy

Bài toán 2.1.4 (Đề thi toán Quốc tế 1995) Cho bốn điểm khác nhau A, B, C, D

nằm trên một đường thẳng theo thứ tự này Hai đường tròn có đường kính là

AC và BD cắt nhau tại hai điểm X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại điểm

Z Giả sử P là một điểm khác Z nằm trên đường thẳng XY Đường thẳng

CP cắt đường tròn đường kính AC tại hai điểm là C và M Đường thẳng

BP cắt đường tròn đường kính BD tại hai điểm B và N Chứng minh rằng

ba đường thẳng AM, DN, XY đồng quy.

Bài toán 2.1.5 [4] Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, CD Tiếp tuyến

của (O) tại B giao AC tại E, DE giao (O) lần thứ 2 tại F Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng quy.

Giải.(Hình 2.5) Gọi (C1), (C2)lần

lượt là đường tròn ngoại tiếp tam

giác AEF, BCE Ta có AF, BC

là trục đẳng phương của (O)và (C1), (O)

Bài toán 2.1.6 [4] Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C nằm trên

đó Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB Đường tròn đường kính CH cắt AC tại E, CB tại F và đường tròn đường kính AB tại D Chứng minh rằng CD, EF, AB đồng quy.

CEF = \ACH = [CBA

Do đó tứ giác AEF B nội Hình 2.6

tiếp Áp dụng định lý về tâm đẳng phương cho đường tròn ngoại tiếp tứ giácAEF B, đường tròn đường kính AB và đường kính EF ta có CD, EF, AB

đồng quy.

Bài toán 2.1.7 (Định lý Brianchon) [1] Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp

(O) Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy.

Hình 2.7:

Giải.(Hình 2.7) Gọi G, H, I, J, K, L lần lượt là tiếp điểm của AB, BC, CD,

DE, EF, F Avới đường tròn (O)

Trên tia KF, HB, GB, JD, ID, LF lần lượt lấy các điểm P, S, Q, R, N, Msao cho KP = SH = GQ = JR = IN = LM

Dựng (O1)tiếp xúc với EF, CB tại P, S; (O2)tiếp xúc AF, CD tại M, N;(O3) tiếp xúc AB, ED tại Q, R Ta có

F P = P K − F K = LM − LF = F M,

CS = SH + HC = IN + IC = CN

Suy ra F C là trục đẳng phương của (O1) và (O2) Chứng minh tương tự, suy

ra AD là trục đẳng phương của (O2) và (O3), BE là trục đẳng phương của(O3) và (O1)

Áp dụng định lý về tâm đẳng phương ta có AD, BE, CF đồng quy

2.2 Chứng minh điểm cố định

Bài toán chứng minh điểm cố định trong hình học phẳng là một chủ đềhay và khó Học sinh thường mò mẫm khó dự đoán được điểm cố định dẫnđến lời giải sai Phương tích và trục đẳng phương là một trong những công cụhữu hiệu để giải quyết vấn đề trên giúp học sinh xác định chính xác một điểm

là cố định để từ đó đưa ra lời giải chính xác, ngắn gọn

Bài toán 2.2.1 [4] Cho 3 điểm cố định A, B, C thẳng hàng Gọi (O) là

đường tròn thay đổi nhưng luôn đi qua B, C Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến

AM, AN đến (O) Đường thẳng M N cắt AO và AC lần lượt tại H và K Gọi I là trung điểm BC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OHI luôn đi qua hai điểm cố định.

Hình 2.8:

Giải.(Hình 2.8) Ta có điểm I cố định Do HOIK nội tiếp và tam giác AMO

vuông tại M có MH là đường cao nên ta có

PA/(KO) = AK.AI = AH.AO = AM2

Ta lại có AM là tiếp tuyến của (O) nên AM2 = PA/(O) = AB.AC Vậy ta

có AK.AI = AB.AC Vì A, B, C, I cố định nên theo công thức trên K làđiểm cố định trên đoạn AC Do đó, đường tròn ngoại tiếp OHI đi qua haiđiểm cố định là K và I

Bài toán 2.2.2 [1] Cho (O; R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O)

và Q nằm trong (O)) Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q PA, PB lần lượt giao (O) lần thứ hai tại D, C Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.

Giải. (Hình 2.9) Gọi E là giao điểm thứ hai khác P của P Q với đường trònngoại tiếp tam giác P AB, CD giao P Q tại F Ta có

OQ2 − R2 = QA.QB

= QP QE

Vì P, Q cố định nên độ dài vectơ QP cố

định, suy ra độ dài vectơ QE cũng cố

Do P, E cố định nên P E là hằng số Suy ra P F là hằng số Do đó điểm F

cố định Vậy CD luôn đi qua điểm F cố định

Bài toán 2.2.3 [3] Ba điểm A, B, C thẳng hàng và có thứ tự Một đường tròn

(O) di động qua A, B Ta vẽ các tiếp tuyến CT và CT0 với đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của T T0, I là trung điểm của AB và T T0 cắt AB tại D.

Bài toán 2.2.4 [4] Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên một đường

thẳng Hai đường tròn O1, O2 lần lượt thay đổi qua A, C và B, D Gọi d là trục đẳng phương của O1O2 Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

Giải. (Hình 2.11) [4] Gọi W là giao điểm của d và AD Ta sẽ chứng minh

W cố định Vì W thuộc đường thẳng d là trục đẳng phương của (O1), (O2)nênPW/(O 1 ) = PW/(O 2 ) Suy ra

⇔ −−→W A.(−→

AD +−→

BC) = −→

AB.−→AD

Đẳng thức này chứng tỏ điểm W cố định Do vậy đường thẳng d luôn đi quamột điểm cố định

Bài toán 2.2.5 [3] Cho đường tròn (O) và đường thẳng ∆ không cắt (O) M

là một điểm chạy trên ∆ Qua M kẽ các tiếp tuyến M A, M B tới (O) Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Giải (Hình 2.12) Gọi H là hình

chiếu của O trên ∆ Qua H kẻ các

tiếp tuyến HK, HL tới đường tròn

Gọi I là giao của HO và KL (1)

Trục đẳng phương của (O) và (O1) là đường thẳng AB;

Trục đẳng phương của (O) và (O2) là đường thẳng KL;

Trục đẳng phương của (O1) và (O2) là đường thẳng OH

Do đó BA, KL, OH đồng quy (2)

Từ (1), (2) suy ra AB luôn đi qua điểm I cố định

Bài toán 2.2.6 [3] Cho tam giác ABC với D, E lần lượt là hai điểm tùy ý

trên các cạnh AB, AC Chứng minh rằng khi D, E di động thì dây chung của hai đường tròn đường kính CD, BE luôn đi qua một điểm cố định.

Giải.(Hình 2.13) Gọi {X, Y } = (CD) ∩ (BE), {I} = (BE) ∩ AC,

{K} = (CD) ∩ AB, {H} = CK ∩ BI.Theo tính chất góc chắn cung nửa

đường tròn, ta có BI, CK là hai

đường cao của tam giác ABCvà H

là trực tâm của tam giác ABC Do tứ

giác IKBC nội tiếp nên

HK.HC = HI.HB

Suy ra PH/(CD) = PH/(BE) Suy

ra H thuộc trục đẳng phương của

hai đường tròn (BE), (CE), hay H

thuộc XY Vậy dây cung XY của hai Hình 2.13

đường tròn đường kính BE, CD luôn đi qua điểm H cố định là trực tâm tamgiác ABC

Bài toán 2.2.7 [3] Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm của cạnh BC,

gọi d là đường thẳng qua D và vuông góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kỳ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng M B, M C Đường thẳng quan E vuông góc với d cắt đường thẳng AB