SKKN Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy

Với quan điểm dạy toán là dạy cách tư duy, là một hiệu phó phụ trách chuyênmôn có chuyên môn là môn toán tôi mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mớiphương pháp dạy học nói chung và dạ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Phần 1 MỞ ĐẦU

1 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm.

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

1

Hiện nay nước ta đang tiến hành đổi mới căn bản và toàn diện trong giáo dục,nội dung, chương trình giảng dạy đã được đổi mới, chất lượng bước đầu đã đượccải thiện theo phương châm : “ cơ bản, hiện đại mà hài hoà phù hợp với thực tiễn

Việt Nam” [ Nghị định 02/2003 của chính phủ ] Điều đó đặt ra cho giáo dục nhiều

vấn đề cần phải giải quyết, vấn đề về truyền thống – hiện đại; vấn đề toàn cầu –quốc gia và cá thể Để đáp ứng sự phát triển hiện nay Giáo dục Đào tạo nước taphải đổi mới căn bản và toàn diện không chỉ về phương pháp dạy học mà còn đổimới cả về nội dung và phương tiện dạy học trên nền tri thức khoa học - công nghệmới tiên tiến và hiện đại hoá với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, giáo dục phảitiếp thu bằng nhiều cách khác nhau và bằng chính thái độ chủ động, tích cực sángtạo của người học

Trong cuộc cách mạng về giáo dục, quan trọng hơn cả là sự đổi mới về phươngpháp Giáo dục được cải tiến theo xu hướng phát triển của phương pháp dạy họchiện đại: Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinhlàm trung tâm hợp lý hơn là đặt người học vào trung tâm của quá trình dạy học, coihọc sinh là trung tâm của nhà trường Giáo dục phải chuyển từ “ cung cấp kiến thức

“ sang mục đích “ luyện cách tự mình tìm ra kiến thức” bằng con đường tự học, tựnghiên cứu, tự trau dồi nghề nghiệp (ba tự) trong sự cạnh tranh và ‘bùng nổ thôngtin’ của thời đại, sự tư duy năng động sáng tạo nổi lên hàng đầu Vì vậy, giáo dụcphải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, ”bắt trước”, ghinhớ” Giáo viên từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫnhọc trò tự tìm lấy kiến thức, còn học trò từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trởthành người chủ động tìm học, tự học tự nghiên cứu Theo nhà giáo người Đức-Distetverg đã nói “ Người thầy tồi truyền đạt chân lý, người thầy giỏi dạy cách tìm

ra chân lý” Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “ độc giảng”, “kinh viện” ,

( thầy nói là chủ yếu, trò nghe và ghi chép) Dạy kiến thức phải phát huy lòng say

mê ham thích học tập của người học Xét cho cùng giáo dục là quá trình cung cấpkiến thức, hướng dẫn tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự phát triển năng lực tưduy và hành động

Đổi mới phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực trong dạyhọc, tích cực hoá hoạt động của người học Quá trình giáo dục là một quá trìnhnhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ chưa biết,chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn, phải biết kết hợpgiữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp với nhau; học và hành ở mọi lúcmọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế Người giáo viên phải thực hiện chủ trươngđưa hơi thở của cuộc sống vào bài giảng, phải cập nhật “ thông tin” thường xuyên,liên tục đổi mới nội dung, phương pháp phù hợp với sự phát triển, những biến đổi

to lớn của thời đại

Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy học thíchhợp với nội dung bài học không thể dạy học theo kiểu “ dạy chay”, và biến thầygiáo thành “ thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứng dụng cácphương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượng dạy và học Hơn nữa, toán học ở trường trung học cơ sở là môn khoa học có vị trí quantrọng trong hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ - đội ngũnhững người lao động trong tương lai những kiến thức toán học phổ thông cơ bản,hiện đại gần gũi với đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu những kiến thức về khoahọc công nghệ hiện đại tiên tiến trên thế giới

2 Đóng góp của SKKN

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

3

Với quan điểm dạy toán là dạy cách tư duy, là một hiệu phó phụ trách chuyênmôn có chuyên môn là môn toán tôi mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mớiphương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhất là dạy môn hìnhhọc lớp 8, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học, đào tạo những conngười yêu lao động có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về những thành tựu khoa họcmới nhất, tiên tiến nhất trên thế giới hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay.

Từ lý do trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu đề tài “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8 : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

Phần 2: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ KHOA HỌC

1.Cơ sở lý luận

- Quy luật của quá trình nhận thức của con người là từ trực quan sinh động đến

tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn Song quá trình nhận thức

đó đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tíchcực, chủ động sáng tạo của chủ thể

- Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm ngườilớn , muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức Ở lứa tuổi họcsinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt độnghọc tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau Các em có nguyệnvọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ Người lớn ” tuy nhiên nhượcđiểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm

được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới, vì vậy cần có sự hướngdẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô.

Lý luận về phương pháp dạy học cho thấy trong môn toán sự thống nhất giữa điềukhiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quántriệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán bằng hoạt động Dạy học theophương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn,tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học

Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duyquan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của học sinhthành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm Phải cung cấp cho học sinh cóthể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìmđược hướng giải quyết một bài toán, hướng chứng minh một định lý

- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toáncho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua nhiều nămhọc, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoạikhoá

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

5

- Trong những năm qua các trường trung học cơ sở đã có những chuyển đổi tíchcực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từkhối 6 đến khối 9 Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiếnthức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa, chưabiết phát triển từ bài toán cụ thể cơ bản đến bài toán tổng quát, bài toán nâng cao.

Ví dụ : Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang

cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang”

+ Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau:Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì đểchứng minh Do đó các em không giải được Sau đó tôi gợi ý rằng “ Bài toán đềcập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý

gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét ( vì hìnhthang có 2 cạnh đáy song song ) Nhưng các em cũng không thể giải được, bởi vì

để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ quả củađịnh lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy + Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học

60% - 70% học sinh chứng minh được Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụngchùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn, phức tạp hơn Đặcbiệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳngvuông góc, các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đườngthẳng đồng quy Sau đây là phần trình bày nội dung và các bước tiến hành chuyên

đề của tôi:

CHƯƠNG 3: NHỮNG GIẢI PHÁP

I-Giải pháp thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát

hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết:

1 Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là :

a/ Định lý Talét:

 Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và

cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

 Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra

trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

BB

CC

AC BB

AB

AC

AC AB

AB

BC a ABC

' '

'

' '

'

' '

//

a

C' A

B

C B'

b/ Hệ quả của định lý Talét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác

và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

a

a a

C'

C

C C'

Từ định lý Talét , đã chứng minh được hệ quả , vậy thì một vấn đề đặt ra là:

Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt đườngthẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm

AD ,Dđường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’

Ta có thể suy ra

CD

D C BC

AC AB

AB BC

vì cùng bằng

AC AC'

Ngược lại : Nếu có ' ' ' ' k(k  1 )

CD

D C BC

C B

thì ba đường thẳng BB’ , CC’ , DD’

đồng quy tại một điểm A hay không?

Nếu C là trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’C’ hay không ?

Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập vềđường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng

Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh

có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thứccần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên

Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh

BC B

A

AB



m' m

c b

a

C B A O

Chứng minh

- Xét tam giác 0AB ta có

'0

0'

B B

0'

B C

BC B

Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời ; “ cho bốn tia 0a, 0b, 0c,

0d cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ tự tại A, A’ 

CD C

B

BC B

BC B

A

AB



d m' m

c b

( chứng minh tương tự bài 1)

từ đó suy ra (đpcm)

Đến đây đặt câu hỏi ? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất ?

Hs trả lời : “ Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng

song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ”

Gv giới thiệu với học sinh tính chất trên chính là tính chất của ba đường thẳngđồng quy Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh ( phátbiểu thành bài toán đảo của bài toán trên ) chính là nội dung của bài toán 3 sauđây :

Bài số 3 : Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần

lượt tại A, A’  a ; B, B’  b ; C, C’ c sao cho ( 1 )

' ' ' ' B C k k 

BC C

A AC

Chứng minh rằng các đường thẳng a,b,c đồng quy tại một điểm

Chứng minh

Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại 0

ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua 0

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

11

'''' C D

CD C

B

BC



'''''

CD C

B

BC B

c b

Gọi giao điểm của đường thẳng 0C với m’

là C” Khi đó , theo định lý thuận ,ta có :

''

BC C

Đến đây Gv cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên

Hs “ Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai

đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy”.

Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dungkiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lýTalét Đến đây Gv cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minhđược vào giải quyết bài tập

Bài số 4 : Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng

nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy

từ đó suy ra :

NC

MB DN

AM



Theo kết quả bài 3 ta được AD,BC,MN đồng quy

đến đây Gv cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây

Bài số 5 : Chứng minh rằng :Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao điểm

hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng.

Chứng minh

Gọi giao điểm của AD và BC là 0; giao điểm

của AC và BD là I Gọi M là trung điểm của

AB, N là trung điểm của CD

Bài số 6 :

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình

thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó

và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm

của các đáy của hình thang.

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước ( không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB.

Chứng minh

a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,BC

Cắt nhau tại E và hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại F Gọi giao điểm của EF với

AB ,CD theo thứ tự là M,N Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường

thẳng đồng quy ED, EN, EC ta có

NC

MB DN

AM

 , do đó

ND

NC MB

F Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm

của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB

Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB

thì không thể có đường thẳng song song

với AB và đi qua M Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn mộtđiểm 0 tuỳ ý

trên đường thẳng AM (không trùng với A,M) gọi K là giao điểm của 0I và MB ,gọi

N là giao điểm của AK và 0B Khi đó MN // AB Thật vậy giả sử đường thẳng song song với AB sẽ qua M cắt 0B tại N’và hai đường thẳng

MB, AN’ cắt nhau tại K’ khi đó , theo chứng

minh ở phần a đường thẳng 0K’phải đi qua

trung điểm I của AB Do đó K’ trùng với K và vì vậy

N’ trùng với N nên MN//AB

Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài toán trên:

“ Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo ra trên đườngthẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ haihai đoạn thẳng bằng nhau”

Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồngquy Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn,phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy màcác em đã được chứng minh ở trên

III.Giải pháp thứ ba : Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng

Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của

ba đường thẳng đồng quy, phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra những ý chínhcủa việc chứng minh:

PHT: Nguyễn Đức Trang- Trường THCS Cảnh Hưng – Tiên Du- Bắc Ninh

15

Bài số 7 : Cho tam giác nhọn ABC ,các đường cao AD,BE,CF Gọi I,K,M,N theo

thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA Chứng minh rằng bốn điểm I,K,M,N thẳng hàng

DH FA

Bài số 8 : Cho hình thang ABCD(AB//CD; AB,CD) Đường thẳng qua A song song

với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I.

BI

 (1)

Vì DG // AB ==> BE AE  AB (2)

các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC suy ra DG = HC

thay vào (1) ==>

DG

AB IC

BI

 (3) Từ (2) và (3) ==>

ED

BE IC

AB ED

BE IC

AB

 do đó

FC

AF IC

BI

 suy ra FI // AB hay FI // CD(5)

từ (4) và (5) ==> EI, BH, AC đồng quy

Bài số 9 : Cho M,N,P lần lượt nằm trên ba cạnh AB,BC,CA( hoặc trên các đường

thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

M,N,P thẳng hàng là  1

PA

PC NC

NB MB

MA

( định lý Mêlênaúyt)

Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được

NB

NC NC

NB MB

MA

 nhân 2 vế với

NC NB

PA

PC NC

NB MB

B N

 '

'

Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’  N, tức làM,P,N thẳng hàng

Bài số 10 : Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương

ứng M,N Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của

BN với MD Chứng minh rằng ba điểm C,P,Q thẳng hàng.

Chứng minh

1

PA

PC NC

NB MB

MA

1

N

B N MB MA

Vì ba điểm N,Q,B thẳng hàng nên theo bài 3 ta

MA

BM QM

QD

ND

NA

Gọi K là giao điểm của

CD với đường thẳng MP Khi đó BCKM ,

NDKP là các hình bình hành nên

PK

PM ND

CK PK

PM CD

CK QM

QD PK

PM BA

BM QM

QD ND

NA

Vì C,P,Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán

9 và đẳng thức trên suy ra C,P,Q thẳng hàng

Bài số 11: Cho ba điểm P,Q,R theo thứ tự ở trên các cạnh BC,CA,AB ( hay các

đường thẳng chứa các cạnh ) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng

AP,BQ,CR đồng quy là 1

RB

RA QA

QC PC

PB

(định lý Céva) Chứng minh

Giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy tại I

theo bài số 9 vào tam giác ABP và đường thẳng RIC

ta có 1

RB

RA IA