+ Tạo ra phương trình hệ quả dùng dau “=>” và bước cuối cùng phải thử lại nghiệm chỉ dùng khi bài toán có “nghiệm đẹp” - để việc thử lại nghiệm không gặp “khó khăn”... Sử dụng tính đơn
Trang 110 KI THUAT HAY DUNG KHI GIAI PHUONG TRINH VO Ti
QUA 3 Vi DU MINH HOA Vidut: Giảphơgthh 2A selsĐẺ- GER) 1)
Cách I; (1 Biến đổi tương đương)
Biến đổi phương trình tương đương : 2xV+” + x+l =-2x”+x+l
x(-2x° +x41) 20 x(2x° -x-1)<0
4x (xY +x+l)=(-2x +x+l)ˆ 8x +72 -2x-1=0
xe aya U(0;1) 3
x=-l
l6 I+33
16
eae)
(x+l)(§x—x-l)=0
Vậy phương trình có nghiệm x=—l hoặc x=
Cách 2: (2 Dùng hằng đẳng thức)
Phương trình tương đương: x~2xVx°+x+l+(È+x+I)=4#
xovertxtls-2x |v txtl=3x (2)
x20
16
Vậy phương trình có nghiệm x=-1 hoặc x= 14433
16
Cách 3: (3 Đưa phương trình về dạng đồng cấp auˆ +buy+cv° =0 để tạo tích bằng việc chia và đặt ẩn phụ) Biển đôi phương trình tương đương: 2xVx”+x+l ==2x)+x+l ©s2xVx?+x+I=~33” +(x +x+])
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên xVx” + x+l # 0, chia ca hai về của phương trình
cho xWx” +x+1, khi đó phương trình tương đương: 2= — + : = : 62= co A lla:
t=-l
„ phương trình có dạng: 9=-3+1 3/?+2-I=©
§
3
xy
= Ahˆ+tz+H sẻ Vx txt l=-x
ai +xÐl 3
diếp tục như Cách 2 ta được nghiệm : x=—1 hoặc x= 14-33
16
A+x+l=3x#
Trang 2Cách 4: (3 Đưa phương trình về dạng đồng cấp øu” +buy+cv” =0 để tạo tích băng việc đặt ân phụ)
(Thực chat day chỉ là cách trình bày khác của Cách 3 ~ song cách trình bày này các em sé thấy rõ hơn tính đồng cấp xuất
hiện ở phương trình trên)
Biến đổi phương trình tương đương: 2x4|+” + x+I =-2x”+x+l
Ẳ©2wx +x+l=-3+(+x+l)
Đặt y=vx°+x+l_., khi đó phương trình có dạng: 2xy=~3y” + yŸ
©3+2-y` =0©®(x+y)(x-y)=0 ©
tiếp tục như Cách 2 ta được nghiệm: x=—l hoặc x=
¥+x41=3x
Cách 5: (4 Đặt ân phụ hoàn toàn)
Biến đôi phương trình tương đương : I+x—2x”~2x{x+”+x+I=0
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai về cho +” ta được:
a
+) Với x>0: (*) ett alate ts Dat ` An) >- net -1 (t20)
shite t-1-2-2r=06 f-2t-3=01=3 hodc t=-1 1 ai
ea „ kết hợp với x >( ta được nghiệm: x= = 14-33
=0 (*)
Suy ra dd cg eyae -x-l=0ex=
4 x
+) Với x<: (*) “ zz Dat ¬ ch 2 =tr=t (>0)
Khi đó phương trình có dạng: /°~I~2+2=0 © /+2¡-3=0 © =1 hoặc =-3 (loại)
Suy ra Dy Ley epee thỏa mãn x<0
yx
1433
16
Vậy nghiệm của phương trình là: x=—lhoặc x=
Biến đôi phương trình trơng đương : ›|Jv +x+l +1) =z#1
* Nếu jx`+x+l+x=0®© J3 +x+l=—x© lise , oft @xs-
ÿ‡+átI=#
Khi đó thay x=—1 ta nhận thây nó là nghiệm của phương trình
*) Nêu Jx)+x+l+x#0©@ x#-L Khi đó phương trình tương đương:
Trang 32a(Vie +x41+a}(ve +x+l -x}=( (x+)) J[È+z£1¬3]
© 2x(x4+1) )= (x4 x +x4l -x]}22z=W+xtl=x (vi x#-1)
14-433
©d3°+x+l=3x© © x= T8 (các em xem lại cách giải phương trình này ở Cách 2)
1433
16
Vậy nghiệm của phương trình là: x=—l hoặc x=
Chú Ý: Ở cách 6 , khi ta nhân với một biêu thức chứa biến vào cả hai về của phương trình thì có hai cách trình bay:
+) Trước khi nhân, ta xét tính bằng 0 và khác 0 của biều thức cần nhân đề tránh tình huồng thừa nghiệm
+) Tạo ra phương trình hệ quả (dùng dau “=>” ) và bước cuối cùng phải thử lại nghiệm
(chỉ dùng khi bài toán có “nghiệm đẹp” - để việc thử lại nghiệm không gặp “khó khăn”)
Điều kiện: 0<x<4lš
Biến đổi phương trình tương đương: (I5—+” )~3xAll5— ¿-4Wv+2|Vl5~+ +x]=0
Cách 1: (6 Đặt hai ẩn phụ để đưa phương trình về dạng tích và đánh giá)
Đặt t =ýl5-x'
y=wx
(u,y >0), khi đó phương trình có dạng: w—3uv—4v +2(utv’) =0(*)
Cách 1.1: Phân tích thành tích bằng kĩ thuật nhóm, tách ghép
(*) uw? +2v? -3uvt 2(u-2v)=0
© u(u-2v)-v(u-2v)+ 2(u-2v) =0
© (u-2v)(u-v) + 2(u-2v) =0
© (u-2v)(u-v+2)=0 @u=2v hoae u=v-2
Cách 1.2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên - để tạo tích
(*)©`~(3w—2)u+2v°—=4y =0
A, = (3v-2) -4(2v?-4y) =v" +4044 =(v+2)°
Khi đó u ey c 2w hoặc w PE ea
+) Với w=2v, khi dé: ¥IS—x? =r 15-1 =4x (do 06 DK)
0 +4x-15=0.6 x=-2+-419 hode x=-2-¥19 (loai)
+) Voiu=v-2,khi ds: VIs- =vx-2 2%)
Với điều kiện: 0< x< vis => vx- 2< 4s -2< vvi6 ~2 =0 nên phương trình (2*) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm: z=~2++Ï19
Trang 4Cách 2; (7 Đặt ` n phụ để đưa phương trình về hệ)
wu=xI5—
a
} —3uv—4vt Auty’) =0 “ae
°
(u,ø>0) suy ra uˆ +v` =15 Khi đó phương trình đưa về hệ:
u+y° =l§ wy =15
el 2v)\(u-v)+ 2(u—2v) = 0 (u-2v)(u-v+2)=0 wy =15
°
wtv'=15 wy =15 u=v-2
ii ah (2) wtv' =15
*) Từ(1), suy ra: 4 +! =15 © v'+4y°-15=0 =-24V19 hoặc =-2—Al9 (loai) > x=-24+-V19
*) Từ @), kế hợp với điều kiện w> ta có: w=w-2>0
>2 hay *z:> 2© x>4 không thỏa mãn điều kiện x<45< 4 Nên hệ (2) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm: x=~2+ “ho
Cách 3: (8 Phân tích thành tích)
¥-2/ I5—x +x)=15-3 l5x—x'-4jx
©l15~x~2(x4l5—x?~xxAl5—x?+2x+2Ñ15~—x? ~4jx =0
° I5—x [l5~x ~2#)-ÍVl5~x ~2j)+2|Vl5~x ~2jx=0 S|ýs-r -aW||l5-x ~ýx+2|=0 @ ee “ade tiếp tục làm như Cách 1
vI5-x =x—2
ta được nghiệm của phương trình là: =-2+ vi9
Cách 4: (9 Dat ẩn phụ không hoàn toàn và phương pháp hằng số biến thiên)
(Một cách trình bày khác của Cách 1.2 )
Dat r=V15—x° Khi đó phương trình có dạng: ??~34|x+~44[x+2(r+x)=0
A,=(Nx~2)°—42x-4jx)=x+4\jx+4=(Äx+2)?
_Äýx
Wedel? af
_Wr-2-Vr-2 = 2 ray [S-=dr-2
phương trình là: x=-2+x/19
Trang 5(10 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số )
ĐK: x Sẽ (*) Biến đổi phương trình tương duong: (x° +6x° +9)+ (x3 +3) =1-3x+ V1-3x
9 (x43) (0° +3)=(Vi-3x) +VI=3r 0%
+) Xéthim s6 dictrung: f(t)= +r voi 120
Tacé: f(t)=2r+1>0 voi Vt20 ,suyra f(r) dong bien voi Vt>0
Khi đó (2#) e f(x +3)= f (Vi-3x) 9 0 +3=Vi-3x @ x -VI-3x43=0 45)
+) Voi x -5 không là nghiệm của phương trình, nên ta xét hàm số g(x)= x`—Al—3x +3 với x “sẽ
Tacé g(x)=3x° + 3 >0 với Vy<— ,suyra g(x) đông biên với Vx<— ie 1 Be ols 1
Khi đó (3*) © g(x)= g(—l) © x=—L thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm x=-1.