Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ

Với nguyện vọng, giúp học sinh có thêm tư duy hàm trong việc giải toán,tôi tập trung nghiên cứu khai thác các bài toán: Giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình vô tỷ không ch

PHẦN MỞ ĐẦU

Tại Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương khóa XI Trung ương

đã thống nhất ban hành Nghị quyết: Đổi mới căn bản toàn diện Giáo dục vàĐào tạo đây là một vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết Theo đó Giáo dục được đổimới từ tư tưởng chỉ đạo, đến mục tiêu giáo dục, từ nội dung chương trình, đếnphương pháp giảng dạy, đổi mới từ cơ chế chính sách, đến các điều kiện đảmbảo thực hiện

Với tiêu chí giáo dục mới là: Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hìnhthành phẩm chất năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, chútrọng giáo dục truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực tựhọc, năng lực vận dụng lý thuyết vào thực tiễn Với tinh thần đổi mới đó, BộGiáo dục và Đào tạo đã triển khai và thực hiện nhiều cuộc thi, nhằm phát huykhả năng sáng tạo và vận dụng linh hoạt kiến thức đã học trong lý thuyết vàothực hành trong giải toán nói riêng và trong thực tiễn nói chung

Thực hành trong giải toán là một trong những khâu, không thể thiếuđược, khi học môn toán, thực hành càng nhiều thì học sinh càng khắc sâu đượckiến thức lý thuyết và còn một điều quan trọng, là học sinh sẽ linh hoạt hơn,sáng tạo hơn, chủ động tìm thấy phương hướng để giải quyết bài toán mau lẹhơn

Như chúng ta đã biết, môn toán trong trường phổ thông giữ một vị tríquan trọng, đó là môn học cơ bản, môn học chủ đạo Bởi nếu, học tốt môntoán, thì những kiến thức, tri thức, cùng với phương pháp làm việc trong toán,làm công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách học sinh, ngoài việc cung cấpcho người học hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán cònrèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận,chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm

Trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông, các bài toán giải

phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ là bài toán quan trọng

xuyên suốt và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Đây

là bài toán, mà học sinh thường gặp với nhiều mức độ khác nhau, có một sốbài toán chỉ cần áp dụng một vài phương pháp biển đổi thông thường như :Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương phápđánh giá, hay phương pháp nhân chia biểu thức liên hợp, hoặc phương phápxét trên tập xác định hay phương pháp lượng giác hóa …là đã giải được Tuynhiên, không phải đề thi nào cũng may mắn gặp được những bài toán đơn giảnkiểu như vậy Từ năm 2010 đến nay, đề thi của Bộ Gáo dục và Đào tạo đã cónhững biến chuyển rõ rệt về mức độ, đề thi có tính phân hóa cao, đã khó dầnlên theo xu thế: Học sinh phải tư duy hàm, ngoài việc học sinh phải nắm chắccác qui tắc tính đạo hàm, học sinh còn phải sáng tạo, linh hoạt trong việc biếnđổi hai vế của phương trình về cùng một dạng, rồi chỉ ra được một hàm đặctrưng cho hai vế Sau đó, chứng minh hàm đặc trưng đó là hàm số đơn điệutrên tập xác định của nó, rồi tiếp tục phải nhớ và vận dụng tính chất của hàmđơn điệu, mới chỉ ra được nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệphương trình vô tỷ đã cho Như thế, cùng một lúc phải huy động rất nhiều kiếnthức, kỹ năng tư duy và sáng tạo nên học sinh thực sự rất lo sợ khi gặp loạitoán này

Với nguyện vọng, giúp học sinh có thêm tư duy hàm trong việc giải toán,tôi tập trung nghiên cứu khai thác các bài toán: Giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình vô tỷ không chứa tham số, bằng phương pháp sử dụngtính đơn điệu của hàm số

Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ sẽ được giải quyết một cách rất đơn

giản, ngắn gọn và dễ hiểu Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng tính đơn

điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

vô tỷ”.

1 Mục đích của sáng kiến:

Tôi tập trung nghiên cứu và thực hiện đề tài này nhằm:

Đánh giá đúng mức tầm quan trọng của đạo hàm trong việc xét tính đơnđiệu của hàm số và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình vô tỷ thuộc bộ môn toán trong trường THPT

Giúp học sinh nâng cao kiến thức cơ bản, từ đó bồi dưỡng khả năng pháttriển tư duy hàm, giúp học sinh có thêm khả năng phân tích, định hướng đườnglối giải toán, phát triển tư duy sáng tạo và sự linh hoạt, giúp các em vận dụngtốt hơn, say mê, hứng thú hơn, tự tin hơn khi giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình vô tỷ nói riêng và giải toán nói chung

Chọn lọc, xây dựng hệ thống bài tập nâng cao trong loại bài giải phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ không chứa tham số

Giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu giảng dạy và luyện thi đại học

Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán và nâng điểm sàn thiđại học của trường THPT Tiên Du số 1 nói riêng, của tỉnh Bắc Ninh nóichung

 Tính mới và những ưu điểm của sáng kiến:

Đề tài tập trung nghiên cứu ứng dụng của tính đơn điệu trong việc giảiphương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ không chứa tham số.Đây là một trong những dạng toán, mà các thầy cô giáo dạy môn toán và các

em học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giảng dạy và học tập Bởi vì,hàm số là một khái niệm quan trọng trong toán học hiện đại và trong chươngtrình toán cấp trung học phổ thông, nó giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt nội dungchương trình môn toán, nó xuất hiện trong việc xây dựng và mở rộng hệ thống

số, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình …Hàm số với cácphép biến hình, với các tập hợp điểm, với phương pháp tọa độ, với phươngpháp lượng giác, tính liên môn trong dạy học….Đặc biệt, phải kể đến một số

vô tỷ trong đề thi đại học, không thể giải được bằng các phương pháp thôngthường, hoặc nếu giải được thì cũng quá dài, gặp rất nhiều khó khăn phức tạp.Song, nếu học sinh biết sử dụng linh hoạt một số tính chất của hàm số đơnđiệu, thì lại có được một lời giải ngắn gọn, đơn giản, chính xác và dễ hiểu

2 Đóng góp của sáng kiến:

Đề tài đã làm rõ được cơ sở lý luận dạy học về tính chất của hàm đơn điệu,

đã vận dụng lý luận đó vào việc lựa chọn, thiết kế, hệ thống bài tập nâng caophần giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ không chứatham số

Nội dung của đề tài góp phần bổ sung vào nguồn tài liệu tham khảo choviệc luyện thi đại học của giáo viên giảng dạy môn toán trong trường trung họcphổ thông

Hệ thống ví dụ bài tập tự luyện, sẽ giúp giáo viên dễ dàng lựa chọn chophù hợp với trình độ nhận thức của học sinh thuộc hệ thống lớp chất lượngcao

Thông qua hệ thống bài tập này có thể phát huy được vai trò của giáo viêntrong tổ chức kiểm tra, định hướng hoạt động học tập của học sinh theo chiềuhướng có hiệu quả

Việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số, không chỉ củng cố sự biến thiêncủa hàm số trong chương trình toán cấp THPT, mà còn giúp học sinh có thêmcông cụ giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

vô tỷ… Đồng thời còn giúp học sinh có thêm tư duy hàm, linh hoạt trong giảitoán, tạo sự tự tin, say mê học tập môn toán nói riêng, các môn học khác nóichung, đáp ứng yêu cầu của thời đại

Năm học 2013-2014 tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn toán

ở lớp 12A2 tôi đã áp dụng đề tài này, để giảng dạy cho học sinh của mình, quacác bài kiểm tra, qua hai lần thi thử đại học kết quả bước đầu cũng có khảquan, học sinh của tôi tự tin làm dạng bài này mà không còn sợ như trước nữa

Hy vọng rằng bằng kinh nghiệm nhỏ bé, sẽ đóng góp một phần nhất định trongviệc nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường THPT Tiên Du số 1

đó người thầy đóng vai trò quan trọng, là cầu nối giúp học sinh biến những trithức trong sách vở, thành kiến thức của bản thân, giúp các em vững vàng bướcvào các kỳ thi đầy khó khăn và thử thách

Để hiểu và vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ cần nắm được một số định nghĩa vàtính chất sau:

1.1.1 Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số

1.1.2 Các định lý của hàm đơn điệu:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

* Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu ,

( ) 0

f x   x K và ,

( ) 0

f x  chỉ xảy ratại một số hữu hạn điểm trên K

* Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu f x, ( ) 0   x K và f x , ( ) 0chỉ xảy

ra tại một số hữu hạn điểm trên K

1.1.3 Các tính chất của hàm đơn điệu:

* Nếu f(x) liên tục và đồng biến trên K thì: f(u) = f(v)  u =v với mọi u,vthuộc K

* Nếu f(x) liên tục và nghịch biến trên K thì: f(u) = f(v)  u =v với mọi u,vthuộc K

* Nếu f(x) liên tục và đồng biến trên K thì phương trình f(x) = k ( k là hằngsố) có không quá một nghiệm trên K

*.Nếu f(x) liên tục và nghịch biến trên K thì phương trình f(x) = k ( k là hằngsố) có không quá một nghiệm trên K

* Nếu f(x) và g(x) liên tục và đơn điệu ngược chiều trên K thì phương trình: f(x) = g(x) có không quá một nghiệm trên K

1.2: CƠ SỞ THỰC TIỄN

Từ thực tế giảng dạy môn toán trong trường trung học phổ thông, từviệc rút kinh nghiệm bản thân, từ việc quan sát học sinh giải bài tập, từ việcđọc sách, đọc tài liệu tham khảo, từ việc học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệptôi thấy có rất nhiều angorit giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệphương trình vô tỷ Tuy nhiên không phải phương trình, bất phương trình, hệphương trình vô tỷ nào cũng giải được bằng các phương pháp thông thườngnhư là phương pháp biến đổi tương đương phương pháp đặt ẩn phụ, phươngpháp nhân chia biểu thức liên hợp, phương pháp xét trên tập xác định, phươngpháp đánh giá, hay phương pháp lượng giác hóa…Gần đây trong đề thi Đạihọc, Cao đẳng xuất hiện một số bài toán về giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình vô tỷ Nếu vận dụng các phương pháp trên có giải đượcthì cũng quá dài và phức tạp hoặc thậm chí có thể còn không giải được Vậy

làm thế nào để giúp các em học sinh vững vàng tự tin và giải được các phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ mà không mất nhiều thời gianloay hoay, soay sở Tôi mạnh dạn trình bày một trong các ứng dụng của đạo

hàm là: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ

là đã nắm được lý thuyết, nhưng chưa có ý thức vận dụng lý thuyết đó vào giảitoán, là do ít tư duy, chưa đào sâu suy nghĩ, chưa biết soay sở Trước đây, mức

độ của các câu giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷkhông khó khăn lắm đối với học sinh, chỉ cần các em cố gắng vận dụng cácphương pháp giải thông thường, thì các em đã có thể tìm ra lời giải và có điểm

học sịnh cần phải tư duy sâu hơn, có óc tổng hợp và phân tích ở tầm cao hơn,mới giải được một số bài toán khó trong đề thi Đại học, Cao đẳng, Theo đó thìcâu giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ mức độ khócũng tăng lên rõ rệt Nếu học sinh chỉ đơn thuần vận dụng một số phương phápgiải thông thường ở trên thì khó có thể tìm ra lời giải của câu này

Vậy làm thế nào để học sinh biết cách vận dụng lý thuyết trên vào giảibài tập? Đây là một trong những nhiệm vụ không thể thiếu trong quá trình dạyhọc và để làm được việc này đòi hỏi học sinh cần phải có ý thức, xác địnhdược đúng động cơ thái độ học tập rõ ràng và thật sự chăm chỉ Khi đó thầy côgiúp các em cách tư duy, cách tháo gỡ những khúc mắc, cách xoay sở trongkhi giải bài

Như chúng ta đã thấy, bốn năm trở lại đây, mức độ phức tạp của các câugiải phương trình, bất phương trình, giải hệ phương trình vô tỷ, tăng lên rõ rệt.Nếu học sinh chỉ áp dụng những phương pháp giải thông thường như: biến đổitương đương, đặt ẩn phụ, nhân chia lên hợp hay xét trên tập xác định, phươngpháp đánh giá hoặc phương pháp lượng giác hóa rồi, mà vẫn chưa tìm ra đượclời giải thì các em cần linh hoạt quan sát khéo léo tách, thêm bớt, biến đổiphương trình đã cho về dạng, mà hai vế có vai trò như nhau đối với một hàmsố( gọi hàm số này là hàm đặc trưng cho hai vế) Rồi xét tính đồng biến,nghịch biến, trên tập xác định của nó và sử dụng các định lý, tính chất của hàmđơn điệu để có được một lời giải ngắn gọn và dễ hiểu Trong thực tế, thì hàm

số mà người học cần chỉ ra, ít khi nhìn thấy được ngay từ đầu, người học cần

sự tinh ý phát hiện và linh hoạt trong biến đổi để nhanh chóng tìm ra hàm đặctrưng, đó chính là chìa khóa để mở ra phương pháp này

Trong khuôn khổ và thời gian có hạn nên tôi xin phép chỉ đưa ra 3 giảipháp của tính đơn điệu trong giải phương trình, bất phương trình, giải hệphương trình vô tỷ, còn một số ứng dụng khác của tính đơn điệu như là: sửdụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, để tìm tham số

cho phương trình có nghiệm, nghiệm đúng trên một miền cho trước … xinđược trình bày vào dịp khác.

3.1: GIẢI PHÁP 1: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

3.1.1: Ví dụ 1: Giải phương trình: x5 x3  1 3  x  4 0

* Nhận xét: - Đây là phương trình vô tỷ có bậc cao, nếu giải theo phương

pháp biến đổi tương đương, bình phương hai vế ra phương trình bậc 10 khógiải

- Bài này cũng có thể giải bằng phương pháp tách đa thức kết hợp vớinhân chia biểu thức liên hợp song cũng khá dài Chúng ta cùng tham khảo:

Lời giải: * ĐK: x 1

3

 Đặt f x x5 x3  1 3  x 4

Do f ( 1) 0 nên phương trình f x( )=0 có nghiệm duy nhất x 1

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = -1

3.1.2: Ví dụ 2: Giải phương trình: x2  15 3  x 2  x2  8

* Nhận xét: - Nếu sử dụng phương pháp thông thường là chuyển vế rồi bình

phương hai vế hai lần thì thu được một phương trình bậc 4 đủ khó giải, dài và

dễ nhầm

-Cách giải dưới đây đã khéo léo kết hợp cả phương pháp xét trên tập xácđịnh và sử dụng tính đơn điệu để giải ta có một lời giải ngắn gọn, chính xác

* Nhận xét: - Thoạt nhìn ta thấy vế trái có bậc 3, vế phải có bậc là 3

2, nên khó

có thể sử dụng tính đơn điệu Nhưng nếu ở vế phải ta coi y 3x 1 là ẩn thì

vế phải cũng là đa thức bậc 3 theo y Cụ thể, cần phân tích 3x+2=m(3x+1)+nkhi đó vế phải có dạng my3 ny Ta có ngay m=n=1 công việc còn lại là đưa vếtrái về dạng (x u ) 3  x ulà ta có thể sử dụng tính đơn điệu Đồng nhất hệ số tađược u = -1 Với những bài phương trình tích cần linh hoạt trong việc đổi biến

và xây dựng hàm đặc trưng để có thể đưa phương trình về dạng chính tắc Một

số bài nhìn rất “khủng”, đòi hỏi ta phải bình tĩnh phân tích Hãy nhớ ta luôn cốgắng phân tích biểu thức bậc lớn theo biểu thức bậc nhỏ Chúng ta cùng thamkhảo

đối chiếu điều kiện ta thấy x = 0 và x = 1 đều thỏa mãn

Vậy phương trinh đã cho có các nghiệm là x = 0 và x = 1

3.1.5: Ví dụ 5: Giải phương trình:

2x  x  2x  3x  1 3x  1 x  2

(HSG các trường chuyên khu vực Duyên Hải và Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2010)

* Nhận xét: - Đây là một trong những phương trình thực sự không đơn giản

đương nhiên, không thể sử dụng phương pháp biến đổi tương đương hai vế,hoặc là dù học sinh có phát hiện ra biểu thức trong căn và ngoài căn có liên hệ

với nhau và chọn phương pháp đặt hai ẩn phụ song cũng khá phức tạp và rấtdài

- Nếu có nhẩm được một nghiệm rồi chọn phương pháp nhân chia biểu thứcliên hợp, cũng sẽ giải ra được, song cũng mất nhiều thời gian

Lời giải dưới đây rất ngắn gọn và dễ hiểu.Chúng ta cùng tham khảo:

nên hàm f t( )đồng biến trên , mà hàm f t( )liên tục trên 

Đưa phương trình trên về dạng: f(2x3  3 )x f x( 2  1)  2x3  3x x 2  1

3 2

1 2

1 5 2

1 5 2

x x x

* Nhận xét: - Đây là phương trình vô tỷ khá phức tạp, quan sát phương trình

ta thấy không thể giải theo phương pháp bình phương hai vế, phương phápđánh giá và phương pháp lượng giác hóa, cũng không thể giải bằng phươngpháp đặt ẩn phụ vì bài có những hai căn thức, lại còn nằm ở mẫu, mà hai cănthức này cũng chưa thấy ngay sự liên hệ

- Phương pháp nhân chia liên hợp, cũng khó thực hiện được, cho dù cónhẩm ra được nghiệm, cũng gặp khó khăn khi tách để xuất hiện nhân tửchung, phương pháp xét trên tập xác định cũng không thực hiện được ở bàitoán này.

- Do vậy, nếu không sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì khó có thể giảiđược bài toán này Khó nhất trong việc vận dụng này, là làm sao để xuấthiện được một hàm đặc trưng cho cả hai vế của phương trình, khi đã làmđược việc đó rồi thì phần còn lại không quá khó khăn đối với học sinh.Chúng ta cùng tham khảo lời giải ngắn gọn sau:

5/ x2  x 12 x  1 36 nghiệm là x = 3

3.2: GIẢI PHÁP 2: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG VIỆC GIẢI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Xin được trình bày giải pháp thứ hai là sử dụng tính đơn điệu của hàm

số trong việc giải bất phương trình vô tỷ:

3.2.1: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x  6 7  x 1

* Nhận xét: - Đây là bất phương trình vô tỷ có dạng chứa hai căn bậc hai,

dùng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương hai vế hai lần ta có lờigiải bài toán Tuy nhiên hơi dài và nếu bình phương lần thứ hai học sinh quênđiều kiện thì sẽ bị mất điểm

- Nếu biết vận dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán trở nên đơn giản vàthực sự ngắn gọn Chúng ta cùng tham khảo:

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = 3;7

3.2.2: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x  1 3 5x 7  4 7x 5  5 13x 7 8 

* Nhận xét: - Đây là bất phương trình vô tỷ có dạng chứa nhiều loại căn khác

nhau, dĩ nhiên không thể giải bằng các phương pháp thông thường, cũngkhông thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ…

* Nhận xét: - Đây là bất phương trình vô tỷ chứa nhiều căn bậc hai, nếu

chuyến vế rồi bình phương hai lần sẽ dẫn tới bất phương trình bậc 4 khó giải

- Nếu chọn sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ cũng khó thực hiện

vì có những bốn căn thức

- Quan sát mối quan hệ giữa các biểu thức trong căn, chuyển vế

để trước căn là dấu (+) rồi biểu diễn hai vế thành dạng có vai trò như nhauđối với một hàm đặc trưng, sau đó chứng minh hàm đặc trưng đó là hàm đơn

điệu tăng trên tập xác định Chúng ta cùng tham khảo lời giải ngắn gọn sau:

t

t t

 , nên hàm f t( )là hàm số đồng biến trên

Do đó bất phương trình đã cho có dạng: f x(  1)  f(3  x)  x 1 3   x x 2

Kết hợp điều kiện đầu bài ta được: 2 x 3

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S=2;3

3.2.4: Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

3 12 2013 47 0

* Nhận xét: - Nếu đưa phương trình này về dạng cơ bản rồi áp dụng phương

pháp biến đổi tương đương hay phương pháp đặt ẩn phụ thì đều dẫn tới bấtphương trình bậc 6 khó giải tiếp

- Nhẩm nhanh vế trái ta thấy vế trái là hàm số đồng biến trên tập xác định, nếuchọn được một giá trị x trên tập xác định, mà thỏa mãn bất phương trình thì ta

có một giải pháp khả thi Chúng ta cùng tham khảo:

Do f ( 1) 0  nên bất phương trình trên có dạng: f x( ) f( 1)   x 1 kết hợp

điều kiện đầu bài ta được: 1 12