Ứng Dụng Về Tính Chất Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau

BẢN MÔ TẢ ỨNG DỤNG VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU * Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, học sinh được học ở năm học lớp 7.. Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau được ứng

BẢN MÔ TẢ ỨNG DỤNG VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, học sinh được học ở năm học lớp 7 Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng nhiều trong việc giải các bài toán thực tế, được vận dụng trong các bài tập môn lý, môn hóa, môn sinh

* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau có tác dụng lớn trong việc rèn luyện tư duy, suy luận cho học sinh, đồng thời giúp cho học sinh rất nhiều trong những năm học tiếp theo

* Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả thiết của từng bài toán giúp cho học sinh biết cách làm các bài toán tương tự, đồng thời củng cố các kiến thức cơ bản

mà học sinh đã được học

* Chuyên đề phù hợp với học sinh lớp 7 có trình độ khá, giỏi

* Chuyên đề đã được đăng trên báo Toán học và tuổi trẻ tháng 8, tháng 9 năm

2016 (Số 470, số 471)

Người viết:

VŨ HỮU CHÍN

Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng Chuyên đề:

ỨNG DỤNG VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, học sinh được học ở năm học lớp 7 Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng nhiều trong việc giải các bài toán thực tế, được vận dụng trong các bài tập môn lý, môn hóa, môn sinh

* Các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau có tác dụng lớn trong việc rèn luyện tư duy, suy luận cho học sinh, đồng thời giúp cho học sinh rất nhiều trong những năm học tiếp theo

* Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả thiết của từng bài toán giúp cho học sinh biết cách làm các bài toán tương tự, đồng thời củng cố các kiến thức cơ bản

mà học sinh đã được học

* Chuyên đề phù hợp với học sinh lớp 7 có trình độ khá, giỏi

* Chuyên đề dựa vào kiến thức lớp 7 là:

+ Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức

+ Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

+ Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Cho n tỉ số bằng nhau (n≥2) : 1 2 3

n

n

a

b =b = b = = b thì

B NỘI DUNG:

DẠNG 1 VẬN DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÌM CÁC GIÁ TRỊ X, Y,

Z, …

Bài toán 1.1 Cho x, y, z thỏa mãn 2 3 1

x = =y z Tìm x, y, z trong các trường

hợp:

a) 2x−3y+4z=5

b) x y z2 2 2 =36

Lời giải : a) Cách 1:

Từ 2 3 1

2 3 1

2 3 1

Thay vào 2x−3y+4z=5, suy ra 2.2k −3.3k+4k = ⇔ = −5 k 5

Suy ra: x= −10,y= −15,z= −5

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có

Suy ra: x= −10,y= −15,z= −5

b) Cách 1:

Từ 2 3 1

2 3 1

2 3 1

Thay vào x y z2 2 2 =36

Suy ra: ( ) ( )2 2 2 6

2k 3k k =36⇔k = ⇔ = ±1 k 1

+ Với k = 1, suy ra: x = 2, y = 3, z = 1.

+ Với k = - 1, suy ra: x = - 2, y = - 3, z = - 1.

Vậy các cặp (x, y) là (2;3;1 , 2; 3; 1) (− − − )

Cách 2: Từ

3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

36

Suy ra

3

+ Với x = 2, thay vào

2 3 1

x = =y z , suy ra y = 3, z = 1.

+ Với x = - 2, thay vào

2 3 1

x = =y z , suy ra y = - 3, z = - 1.

* Nhận xét: Trong phần a) phần b) cách 1 đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng k,

rồi rút x, y, z theo k Sau đó thay vào đề bài Trong cách 2 sử dụng tính chất của

dãy tỉ số bằng nhau thì sẽ nhanh hơn

Bài toán 1.2 Tìm cặp số x, y thoả mãn: 5 3 3 8 5 9 21

x

Lời giải: Cách 1:

+ Xét 5x+9y−21 0= , thì x = 3

5

− , y = 8

3 thỏa mãn đề bài

+ Xét 5x+9y−21 0≠ , thì x 3

5

3

≠ Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

x+ = y− = y− = x+ y−

= 5 9 21

8

x

Suy ra: x=3,y =6.

Vậy các cặp (x, y) là: 3 8;

5 3

 , (3; 6).

Cách 2: Đặt 5 3 3 8 5 9 21

k x

Suy ra: 5x = 9k −3, 3y = 5k + 8, 5x + 9y −21 = 8kx.

⇒8k(x−3) = 0 ⇒k = 0 hoặc x = 3.

Với k = 0, suy ra (x, y) = 3 8;

5 3

Với x = 3, suy ra (x, y) = (3; 6).

Vậy các cặp (x, y) là: 3 8;

5 3

 , (3; 6).

* Nhận xét : Trong cách giải 1, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

xảy ra sai sót là xét thiếu trường hợp Cách giải 2 đã khắc phục được việc xét thiếu trường hợp Tương tự có bài toán 1.3

Bài toán 1.3 Tìm x và y biết : 5 1 7 6 5 7 7

x

Lời giải : Từ đề bài: 5 1 7 6 5 7 7

x

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

x

Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1:

1

7

x x

y

y

 =



− =

− =



Trường hợp 2: 5 x+7y− ≠ ⇒7 0 4x= ⇒ =8 x 2; y =3.

Vậy cặp (x, y) là : 1 6; , 2;3( )

5 7

*Nhận xét: Có thể giải theo cách 2 Ưu điểm trong cách giải thứ 2, sẽ tránh

được trường hợp học sinh xét thiếu trường hợp

Bài toán 1.4 Tìm x, y z biết:

x y z

Lời giải:

+ Xét x = 0, từ đề bài suy ra x = y = 0 Bộ (x, y, z) là (0; 0; 0) thỏa mãn.

+ Xét x≠ ⇒0 y z x y z, , + + ≠0.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

x y z

( 1) ( 1) ( 2) 2( ) 12

Do đó x y z+ + =0,5, thay kết quả này vào đề bài ta được :

Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.

Vậy bộ (x, y, z) là : (0; 0; 0), 1 1; ; 1

2 2 2

Nhận xét : Trong lời giải trên xét trường hợp x = 0, từ đó tìm được bộ giá trị

(x, y, z) Sau đó xét trường hợp x ≠0 Trong quá trình giải bài toán 1.4, hay xét thiếu trường hợp

Bài toán 1.5 Cho 1 1 1 3

x + + =y z và 2x= − =3y 4z Tìm x, y, z.

Lời giải Cách 1 Từ

2 3 4 2 3 4 3

1 1 1 1 1 1 3

+ +

Suy ra: 2x = 1 1

2

x

3

4

Vậy bộ (x, y, z) là 1; 1 1;

2 3 4

−

Cách 2 Đặt 2x 3y 4z 1 1 2 ,k 1 3 ,k 1 4k

Thay vào 1 1 1 3

x + + =y z , suy ra 2k−3k+4k = ⇔ =3 k 1

Suy ra: 1 2.1, 1 3.1, 1 4.1 1, 1, 1

−

Nhận xét: Trong cách giải 1 cần xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau phù hợp để kết hợp

với điều kiện đề bài Từ đó vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán Cách giải 2 bằng cách đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng 1

k , từ đó biểu diễn x, y, z theo

k để giải bài toán

Bài toán 1.6 Tìm các số , ,x y z thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

x y

y = z , x y z+ + =2 và x=4z

Lời giải: Từ

2

4

 

+ Trường hợp: y 2

z = ⇒ y =2z, thay vào x y z+ + =2

⇒4z + 2z + =z 2 7 2 2 4, 8

+ Trường hợp: y 2

z = − ⇒ y = −2z thay vào x y z+ + =2

Vậy các bộ ( ; ;x y z ) là 8 4 2; ; , 8; 4 2;

7 7 7 3 3 3

−

Nhận xét: Trong bài toán trên áp dụng tính chất là: Nếu a c

b d= thì

2

  =

 ÷

Bài toán 1.7 Tìm các số x, y, z thoả mãn: 8 64 2163 = 3 = 3

x y z và

2 2 2 14

x + y +z =

Lời giải: Từ

3 3 3

8 64 216

     

     

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

14 1

Suy ra x2 =1,y2 =2 ,2 z= ⇒ = ±32 x 1,y±2,z = ±3

Từ

1 2 3

x = =y z , nên x, y, z cùng dấu.

Vậy bộ (x, y, z) là (1; 2; 3), (- 1; - 2; - 3).

Nhận xét : Trong quá trình giải bài toán trên cần chú ý x, y, z là cùng dấu, hay bị

sai là lấy kết quả thừa bộ giá trị (x, y, z)

Bài toán 1.8 Tìm các số x, y, z thoả mãn:

2 2 2

2 2 2

+ Xét x = 0, từ đề bài suy ra y = z = 0 Suy ra 2y + 4x = 0 (vô lí).

+ Do đó , ,x y z≠0, từ đề bài suy ra 2y 4x 4z 6y 6x 2z 222 422 622

2 2 2

2 2 2

2 4 4 6 6 2 2 4 6

+ +

⇔ + = + = + =

+ + (1)

Suy ra 2 4 6 1 2 3

x = = ⇔ = =y z x y z

2 2 2

Đặt

2 2

Thay vào (2) suy ra: k k= 2 ⇔k k( − = ⇔ − =1) 0 k 1 0 (vì k ≠0)

Suy ra k = 1, thay vào 1 2 3 k 1 x 1,y 2,z 3

Vậy bộ (x, y, z) là (1; 2; 3).

Nhận xét : Trong lời giải bài toán trên cần xét trường hợp x = 0 và x ≠0, từ đó xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau đơn giản hơn Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán

DẠNG 2 VẬN DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài toán 2.1 Cho tỉ lệ thức: x y x y

+ − (x≠ ±z x; ≠0; z≠0)

Tính

2014 2015 2016

2015 2016 2017

M

=

Lời giải: Từ tỉ lệ thức k x y x y

( ) ( ) ( ) ( ) 22 1

2014 2015 2016 6045 2015

2015 2016 2017 6048 2016

M

Nhận xét: Trong bài toán trên có thể thay đề bài bằng việc tính giá trị biểu

thức M bằng việc so sánh M với 1.

Bài toán 2.2 Cho x a b b c c a

= = = , ( , ,a b c≠0)

Tính A=( x2 − +x 1)10

Lời giải:

+ Xét a + b + c = 0, suy ra: a + b = - c Suy ra x a b c 1

Suy ra A=(12 + +1 1)10 =310 =59049

+ Xét a + b + c ≠0

Từ đề bài, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

( ) ( ) ( ) 2.( )

2

x

Suy ra A=(22− +2 1)10 =310 =59049

Vậy trong các trường hợp có A=59049

Nhận xét: Trong lời giải trên nếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

phải xét đủ các trường hợp Tương tự bài toán 2.2, ta có bài toán

Bài toán 2.3 Cho các số a ≠0, b ≠0, c ≠0 thoả mãn: a b b c c a

Tính giá trị của P = 1 b 1 c 1 a

Lời giải: Cách 1:

+ Xét trường hợp: a + b + c = 0, suy ra a b+ = −c a c, + = −b b c, + = −a

Thay vào biểu thức:

1 b 1 c 1 a a b b c a c c a b 1

P

+ Xét trường hợp: a + b + c ≠0, từ giả thiết

( ) ( ) ( ) 2( )

2

k

Suy ra: a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b Thay vào biểu thức:

2 2 2

P

= = =

Kết luận: Với a + b + c = 0 thì P= −1; với a + b + c ≠0 thì P = 8.

Cách 2: Từ

+ Xét trường hợp: a + b + c = 0, tính được:

1 b 1 c 1 a a b b c a c c a b 1

P

+ Xét trường hợp: a + b + c ≠0, thì a = b = c, tính được P = 8.

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không xét 2 trường hợp thì bài toán chỉ

được một kết quả Trong cách giải 2 xuất hiện việc xét hai truờng hợp Trong quá trình giải các bài toán về dãy số cần chú ý xét đủ các trường hợp

Bài toán 2.4 Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2x y z t x 2y z t x y 2z t x y z 2t

Tính giá trị biểu thức: P x y y z z t t x

Lời giải: Cách 1 Từ giả thiết, ta có

Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.

* Nếu x + y + z + t ≠0 thì x = y = z = t, khi đó P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

* Nếu x + y + z + t = 0 thì x y+ = − +( z t); y z+ = − +(t x);

z t+ = − +x y t x+ = − +y z Khi đó P= − + − + − + − = −( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 4

Vậy P = 4 hoặc P = - 4.

Cách 2 Đặt 2x y z t x 2y z t x y 2z t x y z 2t k

Suy ra 2x y z t kx x+ + + = ; +2y z t ky x y+ + = ; + +2z t kz x y z+ = ; + + + =2t kt.

Cộng các đẳng thức có

5 x y z t+ + + =k x y z t+ + + ⇔ x y z t k+ + + − =5 0

* Nếu x y z t+ + + ≠0 thì k = 5, suy ra x y z t+ + + =4x =4y =4z=4t,

⇔ x y z t+ + + , khi đó P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

* Nếu x y z t+ + + = 0 thì thì x y+ = − +( z t); y z+ = − +(t x);

z t+ = − +x y t x+ = − +y z Khi đó P= − + − + − + − = −( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 4

Vậy M = 4; M = - 4

Nhận xét: Từ dãy tỉ số bằng nhau ta đưa về dãy tỉ số bằng nhau đơn giản

hơn, để vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Cần chú ý xét các trường hợp

Bài toán 2.5 Cho x, ,y z>0 và dãy tỉ số bằng nhau:

2y + 2z + x 2x + y

( ) ( ) ( )

P

=

Lời giải: Từ giả thiết

( ) ( ) ( )

P

Nhận xét: Trong quá trình giải bài toán trên cần vận dụng tính chất dãy tỉ số

bằng nhau một cách phù hợp khi kết hợp 2 hoặc 3 tỉ số bằng nhau

DẠNG 3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài toán 3.1 Chứng minh rằng: a2 =bc khi và chỉ khi a b c a

(với a b a c≠ , ≠ )

Lời giải:

⇒ Có a2 =bc,a b a c≠ , ≠ ⇒a b c, , ≠0 a b a b a b a b c a

⇐ Có a b c a (a b c a)( ) (a b c a)( ) a2 bc

Nhận xét: Bài toán trên chứng minh điều kiện cần và đủ, vận dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh bài toán

Bài toán 3.2 Cho ba số a, b, c thỏa mãn :

2014 2015 2016

Chứng minh: ( ) ( ) ( )2

4 a b b c− − = −c a

Lời giải:

Cách 1 Từ đề bài áp dụng tính chất của dãy số bằng nhau, ta có:

a = b = c = a b− = b c− = c a−

Suy ra: a c− =2(a b− =) (2 b c− )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )

Cách 2 Đặt

2014 2015 2016

k

Suy ra a = 2014k, b = 2015k, c = 2016k.

Thay vào vế trái:

VT = 4(a b b c− ) ( − =) 4 2014( k−2015 2015k) ( k −2016k) =4k2

Thay vào vế phải: VP = ( ) (2 ) (2 )2 2

Do đó VT = VP, ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để xuất hiện các thừa

số của tích, từ đó chứng minh bài toán Hai cách giải đưa ra 2 phương pháp khác nhau chứng minh đẳng thức

Từ bài toán 3.3 ta có thể đề xuất bài toán tương tự: Cho ba số a, b, c thỏa

mãn:

k k k Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )2

4 a b b c− − = −c a

Bài toán 3.4 Cho dãy tỉ số 1 2 3 2015

2 3 4 2016

a = a =a = = a

Chứng minh :

2015

1 1 2 3 2015

2016 2 3 4 2016

Lời giải: Đặt 1 2 3 2015 1 2 3 2015

2 3 4 2016 2 3 4 2016

k

+ + + +

Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.

Lại có 2015 1 2 3 2015 2015 1

2 3 4 2016 2016

= ⇒ = (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2015

1 1 2 3 2015

2016 2 3 4 2016

Nhận xét: Lời giải bài toán trên sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, từ giả

thiết bài toán trên có thể chứng minh được

2015

2016 2 3 4 2016

1 2 3 2015

1 2 3 2015

Bài toán 3.5 Biết

và x ≠0;z ≠0; x≠−z

Chứng minh rằng: 2z y z

+

=

Lời giải: Vì 1009 + 1006 = 2015, nên

x +xy+ = +z + +x xz z+ ( ) 2 2

−

,

Vậy 2z y z

+

=

+

Nhận xét: Từ đề bài có 1009 + 1006 = 2015, ta lập được đẳng thức Từ đẳng

thức đã cho suy ra tỉ lệ thức

Từ bài toán 3.5 ta có thể đề xuất bài toán mới:

Cho biết

0; 0;

x ≠ z ≠ x≠−z

Chứng minh rằng: 2z y z

+

=

Bài toán 3.6 Cho

Chứng minh rằng:

Lời giải:

+ Xét a = b = c = 0, không thỏa mãn a+2b c+ ≠0

+ Xét , ,a b c≠0

Đặt k =

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

k = 2 2 2( 2 ) 4 4

k = ( 2 ) 2 2( 2 ) (4 4 ) 29

Lập luận tương tự:

k = 2( 2 ) (22 ) (4 4 ) 2 9

k = 4( 2 ) (4 24 4 ) (4 4 ) 4 94

Suy ra: 2

9

a

9

x y z b

9

c

= (vì , ,a b c≠0)

Vậy

Nhận xét: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính 2

9

a theo k

Tương tự tính được 2

9

+ −

x y z

4 4 9

c theo k Từ đó suy ra điều chứng minh.

Bài toán 3.7 Cho x y z

a = =b c và a b c a+ + = 2 + + =b2 c2 1

Tìm hệ thức giữa x, y, z không phụ thuộc vào a, b, c.

Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

x y z

+ +

+ + (do a b c+ + =1).

Suy ra 2 ( )2

2

x

x y z

Mặt khác

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 1

Do đó ( )2 2 2 2

x y z+ + =x + y +z

Nhận xét: Tìm hệ thức giữa x, y, z không phụ thuộc vào a, b, c tức là lập

một đẳng thức chỉ có x, y, z Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau và đề bài để giải

bài toán

Bài toán 3.8 Cho

x ax by cz y ax by cz z ax by cz

Chứng minh: a) ay bx bz cy cx az

; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Lời giải:

k

x ax by cz y ax by cz z ax by cz

( + ) ( + ) ( + )

yz bz cy xz cx az xy ay bx

k

ax by cz ax by cz ax by cz

Suy ra

yz bz cy xz cx az yz bz cy xz cx az

k

Lập luận tương tự có: ( 2 2) ( ) ( 2 2) ( )

= a y z x by cz =b z x y cz ax

k

Suy ra: ( 2 + 2) + ( + ) ( 2+ 2) + ( + ) ( 2 + 2) + ( + )

c x y z ax by a y z x by cz b z x y cz ax

Trừ mỗi tỉ số trên với ( x2+y2 +z2) , suy ra

z ax by cz x by cz ax y cz ax by

Nhân các đẳng thức của (2) với các đẳng thức của (1) tương ứng, ta có

1

ay bx bz cy cx az

b) Từ phần a) suy ra: c2 =(ay bx cM b+ ) , 2 =(cx az bM a+ ) , 2 =(bz cy aM+ )

( 2 2 2) ( 2 2 2) ( 2 2 2)

1

2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Bài toán trên là bài toán khó, phải nhân các tỉ số bằng nhau với cùng

0

xyz≠ , vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đưa dãy số đã cho về dãy số đơn giản, sau đó nhân phù hợp với dãy tỉ số ban đầu để được kết quả cần chứng minh

Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng.

Bài toán 3.9 Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z và

2 0; 2 0; 2 0

x −yz ≠ y − ≠zx z −xy≠ thỏa mãn

− = − = − Chứng

minh rằng:

Lời giải: Từ đề bài

k

2

−

k

Lập luận tương tự:

2

−

k

2

−

k

Từ (1) (2) (3) ta có ĐPCM

Nhận xét: Từ đề bài để xuất hiện a2−bc, ta phải xét k Từ đó xuất hiện 2

dãy tỉ số bằng nhau, suy ra điều cần chứng minh

DẠNG IV VẬN DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU GIẢI CÁC BÀI TOÁN

THỰC TẾ

Bài toán 4.1 Cho ba cạnh của một tam giác có số đo là a, b, c còn 3 đường

cao tương ứng có số đo là x, y, z Biết rằng x: y: z = 6: 8: 9 và b - c = 2cm Tính

chu vi của tam giác đó ?

Lời giải: Theo đề bài

6 8 9

x = =y z

Đặt

6 8 9

x = =y z = k ⇒x = 6k ; y = 8k ; z = 9k.

= ax =by =cz =a k =b k =c k

6a 8b 9c

72 72 72 12 9 8 12 9 8 9 8

+ + − = 2.

⇒ a + b + c = 58 (cm).

Vậy chu vi của tam giác là 58cm