Lời giải hệ phương trình được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Chỉ cần có quyết tâm và hi vọng, mọi vấn đề sẽ được giải quyết. Hãy gạt bỏ đi suy nghĩ không thể, chắc không làm được đâu. Cầm bút, vắt óc lên suy nghĩ, rồi có ngày bạn sẽ làm được. Bộ đề dưới đây sẽ giúp bạn quen dần với điều đó.

Chú ý :

 Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ” của lớp 11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An

 Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36)

 Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net

Bài 1(Nguyễn Thị Trinh)

1

2







Đặt ax y3;b 2x3 b 0

Ta có:

1

a

 





 Với a   1 b 1 Lúc đó 3 1 1

2

y x





 



 



 Với 2   2

(2b 3) a1 a (1) Từ PT(1) của hệ ta có:

2

2

2

1

b

b

2b 3 a 1 0

Lại có VP(1)0

2 2

0

a







Vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm là x y   ;   1; 2

2

2

4

y

x

x y y











ĐK: 3; 3

x y

Đặt 2x3a; 2y3b a b ; 0

Ta có hệ:

3

a b b a







Trường hợp 1 : ( ; )a b (0; 0)Lúc đó ( ; ) 3 3;

2 2

x y   

Trường hợp 2 : a b ; 0 Đặt akb (k 0)

Ta có :

2









 Với k 3a 3bx3y3.Thay vào PT(1) của hệ ta nhận được nghiệm   12 27 12; 3

;

x y   

2

y

k x  Thay vào PT(1) của hệ ta nhận được ngiệm   3 2 6; 2

4

;

2

x y     

Vậy hệ có nghiệm là   12 27 12; 3 3 2 6; 2

3 3

2 2

x y        









 







Lấy    1  2 vế theo vế ta được

0



Thay x y 1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: y  1

Với y   1 x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x y ;  0; 1 

Bài 2 (Đặng Thị Lê)

4

2

6 4





Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ:    2 

2

x y x x







a xy x  xb Ta có: 9 3



Lúc đó:

2

1 1

9

x y

x y

y

 



















Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y ;   1;1 3;9

Bài 3 (Đậu Bá Tiệp)

9.

1

y

x y x x xy









ĐK: y 0

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ :

2 4

2 2 2

1

1

x x

y y x x

y y











Đặt 2 1

;

y

  Ta có:

7 5

a b ab

a b ab





(Hệ đối xứng loại I)

Bài 4 (Nguyễn Văn Đức)

11

2 2

4

2 1

x y

xy







ĐK: x y ; 0

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có:

xy  xy xy  x y  xy xy

2

xy xyVào phương trình thứ hai của hệ ta được:

a b ab





12





Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ:       





 Đặt: 3x 2 a; 2y 3 b Ta có:

3

a b ab





Thế 3abtừ phương trình thứ hai vào phương trinh thứ nhất để giải

Bài 6 (Trần Thị Cẩm Tú)

16

2







ĐK: x y ; 0

Xét thấy với x 0thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Với x 0 Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ: 2

3

3

x

x x

x





Đặt: 2x y a; x 3 y b

x



3

b







Bài 13 (Trần Thị Phương Thảo)

39





Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với:  

2







x  a y b.Ta có:

9

a b

a ab ab





(Hệ đối xứng loại I)

Bài 15 (Nguyễn Đình Thành)

46





x  a x y  b Ta có:

 2

6

ab

a b a b









(Hệ đối xứng loại I)

48

2

4 2

1

x y y xy x y xy y

x y y y

x y









ĐK: x 0;y 0

HPT

4 2

1

x y x y x y y

x y



 





Đặt: 2

x ya.Ta có:

2

2 2

2

a







Rút ytừ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ 2 của hệ

47  x1(5 6 ) y 4(y1)0

Đặt: x 1 a y;  1 b a( 0).Ta có:

4

10 1

1 4 ( 2) 1

b a

b

b b b











  

 Giải ( ) ta có: 2   2  2

10b 1  4b b 2 6b 1  6b 1

0 1 2

12

12

b b b b







  





 





 



 Với b 0 a 0 Khi đó : 1 0 1

1

y x

 







 



2

b  a Khi đó

1

x y

y x







b  a   (loại)

b  a  Lúc đó

1

1





Vậy hệ có nghiệm     39 5 89 1; 89

18

1

1

x y      







y x x y x y

x x y x y







Đặt: x 1 a x; yb Ta có:  





2

2 4

2

b

b

b







  



 Với b 2Thay vào ta có:2 y22 y 2y 3 Vô nghiệm

 Với b  1 x y1 Thay vào giải ta được nghiệm :x y ;   3 1;  3 ,  3 1; 3 

 Với b  2 x y2.Thay vào giải ta được nghiệm:  ;  3 5; 1 5 , 3 5; 1 5

x y             

Vậy hệ có nghiệm là :  ;   3 1; 3 ,  3 1; 3 3 5; 1 5 , 3 5; 1 5

x y                

Bài 16 (Nguyễn Thị Nhung)







ĐK:x  1;y 0

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ      







 





Đây là hệ đẳng cấp ta giải bằng cách đặt akb

51

1

x x y y







x  a yb a

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:   2   

a b  a  b  a a b 

Do a  1 2a  1 1 nên a 2b 1 hay 2  

1

y







Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có: 2 2  2     

x x y y   y y y y y y

0





Với y  1 x 0

Vậy hệ có nghiệm:x y ;  0;1

 

x xy y x

x xy x y x x







Lấy 3 1    2 Ta có:    2 

3x 5 9x  9x 10  0

54

2







x  a y b a b

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 2a1a2b10

Do2a  1 0nên a 2b 1 Hay 2  

x  b b

Thay 2  

x  b b vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 2  2 

2 b 4b 5 6 65 b 4b5

Tiếp tục đặt: 2

b  b t để giải

Bài 17 (Lê Thị Xuân)

57







ĐK: xy 0

Đặt xyb;3x 5ya b  0

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 2 2

8

5

a b







  



 Với 28

5

a  b Ta có:3 28 5 0

5

x xy y Vô nghiệm

 Với a 8b.Ta có 3 8 5 0 5 25

9 3

x y

x xy y

 





Trường hợp 1:xyThay vào giải ta được nghiệm x y ;   1;1  1; 1

Trường hợp 2: 25

9

x y.Thay vào giải ta nhận được nghiệm  ;  5 285 ; 3 285

x y       

Bài 18 (Nguyễn Thị Trà Giang)

62





ĐK: x y ; 0

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ :

2

2

2

2

2 3

y

x y

x

x y

x x











Đặt:

2

2

;y

x



3 3

b







Khi đó: 2

1 0

1 2

2 3

2

x

x y

y y

x x

y

 













Vậy hệ có nghiệm: x y ;   1;1 2; 2

Bài 22 (Nguyễn Thị Thuận)

75

x y x y







Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ:  

2







x  a y b Ta có: 2 2 5

7

a b ab

a b ab







(Hệ đối xứng loại I)

76

y x y







Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ:  

2 2

y x







x  a y  b Ta có:   





5 7

a b ab

a b ab



 



(Hệ đối xứng loại I)

Bài 23 (Nguyễn Thị Trang)

79

14

4

x

x y

y

y

y x









 



x  ya x yb.Ta có:

1 4 4

2

a b ab

b

 















 





 Với 1

4

a b









 Thay vào giải ta nhận được nghiệm:x y ;  1;0 , 1; 0

 Với 2

2

a b

 





 

 Thay vào giải ta nhận được nghiệm: x y ;  1;0 Vậy hệ có nghiệm : x y ;  1;0 , 1; 0

80

2







HPT

2





2x ya x; 2yb Ta có:

 2 







Khi đó:

2 2

4

5

x

x y

y



 







Vậy hệ phương trình có nghiệm: ;  4 2; , 4 2;

x y      

Bài 26 (Lê Thị Nguyệt)

90

2 2 2

x y

x y x y







Đặt:xya x; yb Ta có:

2

2

2 2

4 4

a

b a







Bài 27 (Trần Thị Bích Ngọc)

93

2

1

x y

x xy x y

x y









Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:

2

2

x y

Dấu của đăng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

1 0 0

x y

y y









 



Thử lại thấy rằng chỉ có nghiệm x y ;  1;0thõa mãn phương trình hai

Vậy hệ có nghiệm là : x y ;  1;0

94

4

2 3

1

xy y y x









ĐKx y ; 0

Hướng dẫn: Từ phương thứ nhất ta có:yxy 1 Từ phương trình thứ hai ta lại có: yxy 1

95

2

y x xy y

y x y x y x







Đặt: 2

xy a xy b Ta có hệ :   2

36





Bài 28 (Trần Thị Ái Vân)

99







xy a y b.Ta có hệ:  

  2   2

0 1

1 1

a b

b a

a













Khi đó: 2 1 0 1

0 0

y y







Vậy hệ có nghiệm: x y ;  1;0

100







  

 

HPT



 



x  a y  xb a Ta có:   

2 2

1

a b x







Do a  1 0Nên b  1.Thay vào giải ta nhận được nghiệm:x y ;    1;1 , 1; 1 

Vậy hệ có nghiệm: x y ;    1;1 , 1; 1 

Bài 29 (Biện Thị Nguyệt)

101 2 2 2    2 

0

2

y







Đăt 2

;

x ya yb Ta có:    

2

a ab b

a b







 Với a 1.Thay vào giải ta được nghiệm:x y ;   3; 2 ,   3; 2 

 Với 2

2b a 0 Hệ vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm: x y ;   3; 2 ,   3; 2 

102  2    2

3

4 3

y xy x







Hướng dẫn: Đặt 2

x  a xyb

104

2

2

1

x

x x xy y

x x y xy







Hướng dẫn: Đặt xya

105

2

x

x y y









Hướng dẫn :Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp

Bài 33 (Phạm Thị Trà)

119







;

xa x y Ta có hệ:  





(Hệ đối xứng loại I)

Bài 34 (Nguyễn Thanh Nhàn)

124

2







2

5

a b







127

2

8 1

x y xy x x x y

x y x

x







2

1

xy x x HPT

x xy x

x



 





Đặt xy 1 a ;x 1 b

x

    Ta có:  

9 1

5

a b

x

b xa



 





  



Bài 36 (Tôn Lương Khuê)

2

x xy y y

y





Đặt:xya ;xyb Ta có:

1 1

a b

ab a b





(Hệ đối xứng loại I)

 : Trong quá trình biên soạn có thể sai sót do lỗi đánh máy Rất mong được sự thông cảm, góp ý và động viên kịp thời của tất cả các bạn !

Mọi góp ý vui lòng truy cập địa chỉ : www.k2pi.net hoặc gửi vào email : cobegiosuong@gmail.com

Xin chân thành cảm ơn !