Sáng Kiến Hướng Dẫn Học Sinh Một Số Cách Tính Diện Tích Đa Giác Trong Hình Học 8

Với nội dung cụ thể như sau: - Áp dụng một số công thức diện tích của đa giác để tính - Áp dụng các tính chất trong việc tính diện tích đa giác - Sử dụng các kết quả suy ra được từ các b

Phần 1 MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số cách tính diện tích đa giác trong Hình học 8

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong dạy học mônHình học 8

3 Tên tác giả:

Họ và tên: Lương Thị Lụa Giới tính: Nữ

Ngày tháng/năm sinh: 01/ 9/ 1982

Trình độ chuyên môn: Đại học Toán

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Tráng Liệt

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Tráng Liệt

Xã Tráng Liệt – Bình Giang – Hải Dương

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Tráng Liệt

Xã Tráng Liệt – Bình Giang – Hải Dương

6 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2012 - 2013

HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN

VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Là người được trực tiếp dạy học Toán 8, tôi có điều kiện nghiên cứu vàthấy rằng: Bài toán về tính diện tích các đa giác là một mảng kiến thức rất rộng

và là một phần rất quan trọng trong chương trình Toán THCS Các bài toán này

có tính ứng dụng thực tế cao Qua thời gian dạy học đại trà nhận thấy một điềunhư sau: Mặc dù đã được làm quen ở Tiểu học và lên lớp 8 các em được nghiêncứu kĩ và cặn kẽ hơn, nhưng khi gặp các em vẫn còn nhiều bỡ ngỡ Khi giải cácbài toán nhiều khi học sinh chưa có kĩ năng hoặc không xác định được phươngpháp giải nên tôi nghiên cứu và áp dụng sáng kiến “Hướng dẫn học sinh một sốcách tính diện tích đa giác ” Với nội dung cụ thể như sau:

- Áp dụng một số công thức diện tích của đa giác để tính

- Áp dụng các tính chất trong việc tính diện tích đa giác

- Sử dụng các kết quả suy ra được từ các bài toán khác để tính diện tích đagiác

- Sử dụng mối quan hệ giữa các công thức diện tích để tính diện tích đa giác

- Trong mỗi cách tính tôi đã đưa ra ví dụ và giải pháp hợp lý để tính diện tích

đa giác

Phần 2

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Thực trạng trước khi có sáng kiến

Để hiểu rõ những khó khăn của học sinh khi làm các dạng bài tập loạinày, tôi tiến hành điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu như sau

Tôi đã điều tra bằng cách cho các em học sinh lớp 8B làm một bài kiểm tra 20 phút như sau:

AB   cm (Trong tam giác vuông cạnh đối

diện với góc 300 bằng nửa cạnh huyền )

= 4 2 3

= 8 3 (cm2)

- Sau khi tôi chấm bài tôi nhận thấy với câu 1 thì các em làm tốt, không mấy khókhăn Nhưng với câu 2 thì nhiều em không biết cách tính diện tích như thế nào

và dựa vào đâu để tính nên không giải được bài toán này

- Kết quả bài kiểm tra như sau:

- Xuất phát từ thực trạng trên nên tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu, tìm tòi,tích luỹ kiến thức và đã nghiên cứu được một số bài toán liên quan đến diện tích Vẫn biết rằng bài toán về tính diện tích các hình thì có rất nhiều dạng, song tôi

chỉ xin dừng lại ở chỗ nghiên cứu: "Hướng dẫn học sinh một số cách tính diện tích đa giác trong Hình học 8"

2 Phương pháp nghiên cứu:

2.1 Với giáo viên:

- Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp liệt kê, tổng hợp,khái quát … Tìm hiểu các cách tính diện tích đa giác trong SGK, SBT, và cácsách tham khảo … để có một số cách tính diện tích cụ thể

- Ngoài ra vừa nghiên cứu, vừa dạy thực nghiệm trong các tiết học rồi so sánh,đối chiếu kết quả để rút ra kiến thức cho bản thân

2.2 Với học sinh:

- Tôi đã điều tra học sinh qua việc dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh

- Gặp gỡ trao đổi trực tiếp với học sinh để thấy khó khăn của các em với nhữngbài toán liên quan đến diện tích đa giác

- Quan sát theo dõi học sinh qua những tiết dạy lý thuyết, luyện tập, ôn tập vàbài tập làm thêm

Trong quá trình giảng dạy môn toán 8 cụ thể là phân môn hình học chương IItôi thấy học sinh có nhiều khó khăn đặc biệt là phương pháp tính diện tích các

đa giác Nên giới hạn của đề tài là để dạy cho học sinh lớp 8 ở một số dạng vàcòn áp dụng dạy ngoại khoá hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi

3 Những việc thực tế đã làm

3.1 Các tính chất về diện tích đa giác

* ứng với mỗi tam giác có một số dương mà ta gọi là diện tích của tam giác

* Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

* Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chungthì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó

* Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1cm, 1dm, 1m, , làm đơn vị làm đơn

vị diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là 1cm2, 1dm2, 1m2,

+ Chú ý: Các tính trên ta thừa nhận

3.2 Công thức tính diện tích các đa giác đặc biệt

* Diện tích tam giác

+ Diện tích tam giác vuông

S = a.b

21

+ Diện tích tam giác thường

S = a.h

21

* Diện tích hình bình hành

S = a h.

b a

h a

b

a

* Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc, diện tích hình thoi

S = 1 2

2

1d

d1

3.3 Một số tính chất có liên quan:

* Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số

hai diện tích Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều caotương ứng bằng tỉ số hai diện tích

* Đường trung tuyến trong tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tíchbằng nhau và bằng nửa diện tích của tam giác đã cho

* Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng độ dài đáy và cùng độ dàichiều cao tương ứng thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành

* Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích của chúng bằng bình phương

tỉ số đồng dạng

+ Chú ý: Để tính diện tích đa giác nói chung ta tìm cách chia đa giác thành các

thành phần là các tam giác hoặc các đa giác đặc biệt trên đây

3.4 Các cách tính diện tích đa giác:

3.4.1 Tính trực tiếp từ các công thức tính diện tích

Ví dụ 1: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD biết cạnh BC = 5cm và tỷ số

của 3

5

AB

Nhận xét: Bài toán cho biết độ dài cạnh BC và tỷ số AB

BC vậy để tính được diện

tích ta tìm cạnh độ dài AB và áp dụng công thức để tính trực tiếp.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5cm và CD = 15cm, độ dài hai đường chéo là AC = 16cm và BD = 12cm Tính diện tích của hình thang ABCD.

5cm

D

C B

A

E D H C

B

A Nhận xét: Để tính được diện tích hình thang

ta phải biết độ dài hai đáy và đường cao.Bài toán đã cho độ dài hai đáy của hìnhthang nên ta chỉ cần tính đường cao AH, từ

đó áp dụng được trực tiếp công thức tính.

Ví dụ 3: Cho ABCđều có các cạnh có độ dài là 3cm Trên các tia AB

và BC lấy lần lượt các điểm D và E sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE Các đường thẳng DC và AE cắt nhau ở N

A

Nhận xét: Để tính diện tích tứ giácBDEN ta tính trực tiếp diện tích haitam giác NBD và DNE

Tương tự BDCcân tại B cũng có  0

Xét hai tam giác CAE và NCE

Chúng đều là tam giác cân có hai cặp góc ở đáy bằng nhau

3.4.2 Sử dụng mối quan hệ diện tích để tính diện tích các đa giác

a) Sử dụng mối quan hệ: Hình cần tính diện tích có quan hệ với hình tính trực tiếp được diện tích.

Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ Dˆ 0)

Nhận xét: Bài toán này nếu tính trực tiếp

SBNC thì sẽ không tính được Vì vậy ta đã sử

dụng mối quan hệ SBNC = SABCD

21

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có diện

BN

AB

AM

Tính diện tích tam giác MND

N

M

D

C B

13

BNS

S

ABC NAB

(2)( vì hai tam giác này chung đường cao hạ từ A)

Từ (1) và (2) ta có

9

23

13

2



 S

S.S

S

ABC

NAB NAB

Ví dụ 6: Hai đường trung tuyến AM và BN của ABC cắt nhau ở G Tính S ABC

Ta thấy GAB và CAB có chung cạnh AB

Nên

CH

GLS

 SABC = 3.SGAB = 3.336 = 1008 cm2

c) Sử dụng kết quả của bài toán: Đường trung tuyến trong tam giác

chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích của tam giác đã cho (Bài toán đã được chứng minh trong bài tập 18 của chương trình SGK Toán 8)

Ví dụ 7: Tam giác ABC có diện tích 360cm2, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC Tính SAMNB

2

2 3.

9 1

3 1

M

C B

A Nhận xét: Bài toán cho biết trung

điểm vì vậy ta liên hệ ngay đến bàitoán 18 của chương trình SGK toán 8dựa vào đường trung tuyến trong tamgiác

12

12

Ví dụ 8: Cho ABC cân ở A, Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho

CM = CA Tia phân giác của góc A cắt BM tại N Cho biết S NBC =10cm 2 , tính

S ABM

Bài làm:

Gọi SABM = S, gọi D là giao điểm của AN với BC

Ta có BC là trung tuyến của BAM



22

d) Sử dụng tính chất: Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng độ dài đáy và cùng độ dài chiều cao tương ứng thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Cho S ABCD = 1020 cm 2 , tính S MNP

Q

E F

I

P

N M

12

12

14

Ví dụ 10: Cho ABC, ba đường trung tuyến AK, BN và CM cắt nhau

tại O Gọi A ,'B,'C'là ba điểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho AA' A'K

O

N M

B

A

Nhận xét: Ta nhận thấy A'B'C' ABC nên nếu tính được tỉ số đồng dạng thì ta sẽ tính được SA'B'C'

1





A'K'AA

'AA

1 AO

AK.AK

'AA

'OA

'OCOB

'OB

Từ đó suy ra các cặp tam giác đồng dạng sau đây

'C'AAB

'B'A

Vậy A’B’C’ ABC theo tỉ số đồng dạng

8

5

k

Do đó

64

258

2564

25







Ví dụ 11: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 Gọi E, F theo thứ tự

là trung điểm của các cạnh AB, BC CE cắt DF tại M

1CF.CD CD

2

1 4

2

2 2

2 2

2

4

54

12

CDCF

Trên đây tôi đã trình bầy một số cách tính diện tích đa giác mà học sinh lớp 8

thường hay gặp trong chương diện tích đa giác và tam giác đồng dạng Mỗi dạngtoán có một cách làm riêng và áp dụng cho từng bài cụ thể Tuy nhiên trong quátrình áp dụng muốn các em nắm chắc cách làm từng dạng thì người giáo viêncần:

- Dạy cho các em nắm vững kiến thức cơ bản, các bài toán áp dụng cách tínhdiện tích cơ bản

- Trong công tác bồi dưỡng học sinh nhất là học sinh giỏi cần có sự nghiên cứuđào sâu suy nghĩ lựa chọn sắp xếp lượng kiến thức hợp lí trên cơ sở những kiếnthức cơ bản, cần có sự mở rộng nhằm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.

- Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế dễ hiểu, gợi mở giúp kíchthích óc sáng tạo của học sinh

- Rèn cho học sinh kỹ năng thông qua nhiều dạng tính diện tích đa giác bằngcách áp dụng các công thức sẵn có

4 Kết quả:

Sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi lai kiểm tra đánh giá kết quả để

so sánh khi chưa áp dụng sáng kiến bằng một số kiến thức kiểm tra viết, kiểmtra miệng, phiếu thăm dò khi làm bài tập loại này

Sau đây là kết quả đánh giá học sinh lớp 8B qua bài kiểm tra 20 phút

* ĐỀ KIỂM TRA:

Câu 1: Tam giác ABC có AB = 3 cm; AC = 4 cm; BC = 5 cm Tam giác A’B’C’

đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54 cm2 Tính các cạnh của tamgiác A’B’C’

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36m2, trong đó diện tích ABC bằng 11m2 Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD và DC lần lượt ở M và

N Tính diện tích tam giác MND

* ĐÁP ÁN:

Câu 1:

Ta có: 52 = 32 + 42 suy ra ABC là tam giác vuông

Gọi k; S ABC; S A’B’C’ lần lượt là tỷ số đồng dạng, diện tích của ABC và diện tích

của A B C' ' ' Ta có :

2 ' ' ' 54

1 3.4 2

A B C ABC

M

B A

ABC ABCD

Vậy diện tích của tam giác MND là 51,84 (m2)

Sau khi chấm bài tôi thấy cho dù cả hai bài toán đều không phải là những bàitoán dễ nhưng đại đa số các em học sinh lớp 8B đều làm được cần áp dụng tínhchất “Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích của chúng bằng bìnhphương tỉ số đồng dạng” và “ Hai tam giác có chung đáy và chiều cao tương ứngthì diện tích bằng nhau” So với bài kiểm tra trước thì bài này các em làm tốthơn nhiều

Kết quả cụ thể như sau:

+ Sau khi áp dụng sáng kiến về một số cách tính diện tích đa giác đối vớihọc sinh nói chung và đối với đội tuyển học sinh giỏi nói riêng tôi đã thu đượcmột số kết quả sau

- Đa số học sinh nắm được các kiến thức lí thuyết về vấn đề tính diện tích vàgiải được các bài tập vận dụng ở mức độ đơn giản Một số học sinh đã thực hiệnđược các bài toán nâng cao

- Học sinh không ngại đối với các bài toán tính diện tích các đa giác và các bàitoán liên quan

- Một số học sinh còn thấy hứng thú khi giải bài toán liên quan đến diện tích của

đa giác

+ Nhưng tôi nhận thấy trong sáng kiến này tôi chỉ dừng lại ở một số bài toán cụthể chưa khai thác chi tiết đầy đủ hơn song tôi nghĩ với những với những bài tập

đó phần nào đã giúp học sinh thực hiện được rất nhiều bài tập ở dạng toán này

6 Lợi ích thiết thực của sáng kiến:

6.1 Đối với giáo viên:

Giáo viên khi thực hiện theo sáng kiến này sẽ có thêm kiến thức về một sốcách tính diện tích đa giác đồng thời là tài liệu có ý nghĩa, đặc biệt là đối vớigiáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, 9 và các ôn thi lên lớp 10 thi vàocác trường chuyên, đồng thời còn vận dụng vào các dạng toán khác

6.2 Đối với học sinh:

Nghiên cứu một số cách tính diện tích đa giác giúp học sinh trau dồi tư duy,phát huy khả năng tìm tòi sáng tạo toán học của học sinh để vận dụng giải nhiềudạng toán khác nhau đồng thời giúp các em có thêm kiến thức và cách tính diệntích đa giác trong việc ôn thi và tự tin tham gia các kì thi quan trọng trong việchọc của mình; đặc biệt giúp các em giải quyết các bài toán thực tế về tính diệntích đa giác mà các em gặp phải trong cuộc sống

PHẦN 3 KẾT LUẬN

1 Kết luận chung :

Trên đây tôi đã trình bầy được sáng kiến của mình về hướng dẫn họcsinh lớp 8 một số cách giải bài toán về diện tích đa giác Dạng toán này rất cơbản song cũng tương đối khó nó được ứng dụng nhiều trong chương trình bộmôn toán bậc THCS Mỗi bài toán có phương pháp có một cách giải đặc trưng Sáng kiến này thiết thực đối với giáo viên và học sinh THCS , đặc biệt là đối vớigiáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 và các em trong đội tuyển Để giảiđược bài tập dạng này thì học sinh phải sử dụng nhiều phương pháp học tập,nhiều kiến thức liên quan như: các tính chất của diện tích đa giác, các kiến thức

về tam giác đồng dạng, Nó trau dồi tư duy, phát huy khả năng tìm tòi sáng tạotoán học của học sinh để vận dụng giải nhiều dạng toán khác nhau

Qua đây tôi cũng rút ra được những bài học cho bản thân là phải luôn nắmbắt tình hình học tập của học sinh, hiểu rõ những vấn đề khó mà học sinh haymắc trong khi học Từ đó có hướng tìm tòi, nghiên cứu tìm cách giúp học sinhtháo gỡ dần những khó khăn

Tuy nhiên do thời gian có hạn và sáng kiến còn hạn chế nên trong quátrình viết khó tránh khỏi sai sót trong trình bầy cũng như hệ thống các dạng bàitoán đưa ra còn hạn chế chưa đầy đủ, chưa khoa học Những nội dung nghiêncứu của tôi trước hết là bổ ích cho bản thân và cũng là tài liệu tham khảo tốt chohọc sinh Đương nhiên những kết quả của đề tài có sức thuyết phục hơn nếuchúng được minh chứng bằng một thực nghiệm sư phạm Đó cũng chính là ýđịnh của của tôi Rất mong các bạn đồng nghiệp tham khảo và đóng góp ý kiến

để đề tài được hoàn thiện hơn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn!

- Những sáng kiến phù hợp với chương trình đổi mới phương pháp dạy họcSGK mới thì nên công bố rộng rãi hơn để chúng tôi có thể học tập và tích luỹ,trau dồi kiến thức

3.2 Công thức tính diện tích các đa giác đặc biệt 5

3.4 Các cách tính diện tích đa giác (các ví dụ) 6 - 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1, 2 - NXB Giáo Dục

2 Sách bài tập toán lớp 8 - NXB Giáo dục

3 Tuyển tập các bài toán hay và khó lớp 8 - NXB Đà Nẵng

4 Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm hình học 8 - NXB Giáo dục

5 Toán nâng cao hình học 8 - NXB ĐH sư phạm