Một số dạng toán tiêu biểu về phân số ôn thi VIOLYMPIC lớp 4+5

Hướng dẫn cách giải một số dạng toán về phân sốcho học sinh năng khiếu lớp 4 + 5Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số Đối với dạng bài về cấu tạo phân số, học sinh cần nắm được những k

Trang 1

Hướng dẫn cách giải một số dạng toán về phân số

cho học sinh năng khiếu lớp 4 + 5Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số

Đối với dạng bài về cấu tạo phân số, học sinh cần nắm được những kiến thức cơbản sau:

* Các kiến thức cần ghi nhớ:

1 Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết

thành phân số, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia: a : b = a

b ( với b  0 )

- Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi

2 Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số mẫu số là 1: a =

4 Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số tự nhiên khác

0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho: a n b n = a

5 Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với một số tự nhiên

khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho: a m b m:: = a

b ( m  0 )

6 Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử

số và mẫu số) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi (với

phân số nhỏ hơn 1)

7 Phân số có mẫu số là 10, 100, 1000,… gọi là phân số thập phân

8 Nếu cộng (trừ) thêm vào tử số đồng thời bớt (thêm) ở mẫu số của mộtphân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số

đó không thay đổi

Khi học sinh nắm được kiến thức cơ bản, giáo viên đưa ra hệ thống bàitập để hướng dẫn học sinh vận dụng và làm bài tập

Trang 2

Bài toán 1: Cho phân số 3

7 , cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với

1 số tự nhiên ta được phân số bằng 7

9 Tìm số đó

Hướng dẫn học sinh

- So sánh phân số đã cho với 1?

- Nhận xét gì về hiệu của mẫu số và tử số khi cộng thêm vào tử số và mẫu sốcủa phân số đó với một số tự nhiên?

- Khi đó bài toán trở thành dạng toán nào?

Bài giải Cách 1: Hiệu của mẫu số và tử số của phân số3

Cách 2: Hướng dẫn học sinh lập biểu thức.

Gọi số cộng thêm vào tử số và mẫu số là x ( x > 0 )

Khi cộng thêm x vào tử số và mẫu số ta được phân số mới là:

3

7

x x



 Ta có: 37x x

 = 7

9

Trang 3

(3(7x x) 9) 9 7 (7(7 x) 9x)

    (quy đồng mẫu số) Vậy (3 + x)  9 = 7  (7 + x)

Cách 3: Hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là:

7 - 3 = 4 Hiệu giữa mẫu số và tử số sau khi rút gọn là:

9 - 7 = 2 Phân số rút gọn số lần:

4: 2 = 2 ( lần) Phân số mới là:

Bài toán 2: Cho phân số 11

14 Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu sốcủa phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị

- Bài toán cho biết gì? bài toán hỏi gì?

- Bài toán thuộc dạng toán nào?

- Nêu hướng giải

Bài giải

Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số

đó là 11 phần như thế

Trang 4

Hiệu số phần bằng nhau là :

14 - 11 = 3 (phần)

Tử số của phân số phải tìm là :

1995 : 3  11 = 7315Mẫu số của phân số phải tìm là:

1995 + 7315 = 9310

Vậy phân số phải tìm là : 7315

9310

Bài toán 3: Tìm phân số a

b > 1 Biết rằng khi lấy tử số cộng với 2 và lấy mẫu

số nhân với 2 ta được phân số mới bằng phân số ban đầu

- Xác định phân số lớn hơn 1 thì a > b

- Xác định được phân số mới

- Quy đồng mẫu số hai phân số đó

a b



 = 2

2

a b



 Hay a + 2 = a × 2

Trang 5

Bµi to¸n 4: Tìm số tự nhiên x biết

12 2

x x





 ( 0 < x < 43 )

Hướng dẫn giải

- Nhận xét số thêm vào tử số và bớt ở mẫu số?

- Khi thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số thì tổng của tử và mẫu

có thay đổi không?

- Bài toán thuộc dạng toán nào? - Nêu hướng giải?

Bài giải

Khi thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số thì tổng của tử số và mẫu

số không thay đổi.Tổng của tử số và mẫu số là:

 

  ( Quy đồng mẫu số) Vậy: ( 12 + x ) × 3 = 2 ×( 43 - x )

Trang 6

Bài toán 5: Rút gọn phân số

a, 121212

424242 b, 19999999999

99999999995

Hướng dẫn học sinh giải phần a

- Phát hiện quy luật của cách viết số

- Lấy tử số và mẫu số cùng chia cho số được lặp lại ở mỗi tử số hoặc mẫu số

- Xác định xem tử số và mẫu số cùng chia được cho số nào lớn hơn 1?-Tách tử số, mẫu số thành một tích, sao cho tích đó có cùng một thừa số

Hướng dẫn học sinh giải phần b

- Nếu tử số cộng thêm 1, mẫu số cộng thêm 5 thì được phân số như thế nào?

- Để giá trị của phân số không thay đổi ta sử dụng phân số mới có tử sốbớt đi 1, mẫu số bớt đi 5

Vậy Nam viết đúng

Bài toán7: Tìm tất cả các chữ số a và b để phân số 1 83

45

a b

là số tự nhiên:

Trang 7

- Quy đồng tử số: Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ nhất với

tử số của phân số thứ hai Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử sốcủa phân số thứ nhất

2 Khi so sánh 2 phân số :

Trang 8

- Nếu 2 phân số có cùng mẫu số: Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử sốlớn hơn thì lớn hơn.

- Nếu 2 phân số có cùng tử số: Ta so sánh 2 mẫu số, phân số nào có mẫu

* Thông qua phần lý thuyết trên, học sinh luyện tập theo hệ thống bài tập sau:

Bài toán 1: So sánh 2 phân số 5

7 và 7

9

- Nhận xét mẫu số( tử số ) của hai phân số trên?

- Muốn so sánh được hai phân số đó ta làm thế nào?

- Có những cách nào để so sánh phân số?

Bài giải Cách 1: Quy đồng mẫu số 2 phân số

Trang 9

mà 2

7 > 2

9 nên 5

7 < 79

Bài toán 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: 1

2 ; 3

7 ;3

4

- Nhận xét mẫu số( tử số ) của ba phân số trên?

- Muốn so sánh được ba phân số đó ta làm thế nào?

- Có những cách nào để so sánh phân số?

Bài giải Cách 1: Quy đồng mẫu số:

Ta thấy: 24

56 < 28

56 < 42

56 nên : 3

Hướng dẫn häc sinh

- Nhận xét hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đó

Trang 10

- Khi hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số đó không đổi ta dùngcách so sánh nào?

- Nêu cách tìm phân số bằng nhau

- Chọn phân số trung gian gián tiếp để so sánh

27 > 715

Cách 2: 7

15 = 10 3 2 3

15 15  3 15 13

27 = 18 5 2 5

27 27  3 27

Ta thấy: 3 5 1

15255

Trang 11

Mà: 5 5 1

27 255, Nên: 13

27 > 715

Bài toán 5: So sánh A và B biết

- Nhận xét hai biểu thức A và B (chú ý tử số và mẫu số của mỗi phân số)

- Tách mỗi biểu thức thành tổng của 3 phân số, sao cho hai biểu thức đó cóphân số giống nhau

- So sánh phân số còn lại với nhau

Bài giải

Ta có: A = 2008

987654321 + 2009

246813579 = 2008

246813579 > 1

987654321 Vậy: A > B

Bài toán 6: So sánh A và B biết

Trang 12

2008 + 2008

2009 > 1Hay A > 1, mà B < 1 Vậy: A > B

Khi học sinh đã nắm được các cách so sánh hai phân số với nhau, giáoviên cho học sinh làm bài tập dạng sắp xếp các phân số theo thứ tự từ bé đến lớnhoặc từ lớn đến bé

Bài toán 7: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.

17 15 21 25 19 23, , , , ,

26 22 34 42 30 38 Hướng dẫn học sinh

- So sánh các phân số đã cho với 1

- Tách mỗi phân số đã cho thành tổng của hai phân số sao cho có một

Trang 13

Bài toán 8 : Tìm 5 phân số khác nhau lớn hơn 103 bé hơn 109

- Nhận xét tử số và mẫu số của hai phân số đó

- Nếu để nguyên hai phân số đó ta có tìm được 5 phân số ở giữa hai phân

- Nếu để nguyên hai phân số đó ta có tìm được năm phân số ở giữa haiphân số đó không?

- Cần tìm hai phân số bằng phân số 97 và 107 với điều kiện tử số bằngnhau và mẫu số của hai phân số đó có hiệu không nhỏ hơn 6

Trang 14

- Tìm hai phân số bằng phân số 97 và 107 bằng cách nhân cả tử số vàmẫu số của hai phân số này với cùng một số tự nhiên lớn hơn 6

Vậy 5 phân số nằm giữa hai phân số 97 và 107 là:

59

42 , 58

42 , 57

42 , 56

42 , 55 42

*Chú ý: Ta có thể nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số đó với số tựnhiên khác lớn hơn 6.Tuy nhiên khi đó sẽ có nhiều hơn 5 phân số nằm giữa haiphân số, ta chọn 5 phân số tùy ý trong các phân số ở giữa

Bài toán 10 : Hãy viết 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số 76 và 87

- Khi hai phân số có tử số hoặc mẫu số không bằng nhau ta có thể tìmngay phân số bằng phân số 76 và 87 được không?

- Khi đó ta cần quy đồng tử số hoặc mẫu số của hai phân số đã cho

Bài giải Cách 1: Quy đồng mẫu số của hai phân số đã cho để được hai phân số có cùng

Nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số mới quy đồng với 5

Trang 15

Vậy 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số 76 và 87 chính là bốn

phân số nằm giữa hai phân số 280240 và 280245

Cách 2: Quy đồng tử số của hai phân số đã cho để được hai phân số có cùng tử số.

Vậy 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số 76 và 87 chính là bốn

phân số nằm giữa hai phân số 210245 và 240210

Các phân số đó là: 244210, 243210, 242210 , 210

241

Cách 3: Vì hai phân số đã cho có tử số là hai số tự nhiên liên tiếp (6 và 7), mẫu

số là hai số tự nhiên liên tiếp (7 và 8), nên ta có thể tìm phần bù đến 1 củachúng sẽ có cùng tử số vì thế ta có thể tìm 4 phân số nằm giữa hai phân số bùcủa hai phân số rồi suy ra 4 phân số nằm giữa hai phân số cần tìm

Trang 16

Dạng 3: Các phép tính với phân số

Để thực hiện được các phép tính với phân số, học sinh cần nắm được các kiếnthức sau:

1 Phép cộng: Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số

với nhau và giữ nguyên mẫu số a

3 Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số

nhân với mẫu số a

4 phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ

nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược a

Khi học sinh đã nắm được các quy tắc của bốn phép tính: cộng, trừ,nhân, chia phân số và các tính chất của phân số, giáo viên cho học sinh luyện tậpcác bài toán sau:

* Đối với các bài toán tính nhanh, hoặc tính giá trị của biểu thức

Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách nhanh nhất

Trang 17

a 4

5 × 9

7 - 4

5 × 314

- Quan sát nhận xét các phép tính trong biểu thức

5 × (9

7 - 3

14 ) = 4

5× 15

14 = 4 3

14

 = 12

Trang 18

Bài toán 2: Tính nhanh giá trị biểu thức sau

- Tìm quy luật đặc biệt của tử số và mẫu số của mỗi phân số

- Tách mỗi tử số và mẫu số đó thành một tích hai thừa số

Trang 19

- Tử số của phân số nào dễ trừ nhẩm và kết quả bằng bao nhiêu.

- Thực hiện tính tử số của thừa số thứ hai

- Tính giá trị của biểu thức

Bài toán 4: Tìm kết quả của biểu thức sau

Trang 20

=528

Ta đặt mẫu số là: 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + … + 68

Quy luật của dãy số: Từ số thứ ba trở đi số sau bằng tổng của hai số liền trước

Ta có dãy số đầy đủ là: 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + 16 + 26 + 42 + 68 = 176

Giá trị của biểu thức trên là: = 3

Bài toán 5: Theo phân số c

- Hướng dẫn học sinh lập biểu thức theo dữ kiện của đầu bài

- Hướng dẫn tìm thành phần chưa biết của biểu thức

Bài giải Cách 1: Ta có: 12 36

49

c d

d là 84

98

Cách 2:

- Hướng dẫn học sinh lập biểu thức theo dữ kiện của đầu bài

- Dựa vào dữ kiện của đề bài tìm ra tỷ số

- Dựa vào tỷ số, vẽ sơ đồ

Bài giải

Ta có: c

7 = 4249

Trang 21

Và c 12

d

 = 3649Vậy nếu mẫu số d gồm 49 phần bằng nhau, thì tử số c gồm 42 phần nhưthế, và (c - 12) gồm 36 phần như thế

-Thừa số thứ nhất của mẫu số thứ hai là thừa số thứ hai của mẫu số liền trước

- Hướng dẫn nhân thừa số thứ nhất với 2

- Viết từng phân số thành hiệu của hai phân số mà số trừ của cặp liền trước bằng

số bị trừ của cặp liền sau

Trang 22

- Hướng dẫn học sinh dựa vào cách tìm phân số bằng nhau.

- Dựa vào quy đồng tử số hoặc mẫu số để làm bài

54 =

54

x

Nên x = 36

x = 5

2 = 5 22 2

 = 10

4 Vậy: 10

x = 10

4 Nên: x = 4

Trang 23

Bài toán 8: Tìm phân số có mẫu số là 9 , biết rằng khi cộng tử số với 10, nhân

mẫu số với 3 thì giá trị của phân số không đổi

- Xác định được phân số cần tìm

- Lập được phân số mới

- Lập biểu thức theo dữ kiện đề bài

Bài giải Gọi phân số đó là

- Dựa cách tìm phân số bằng nhau để tìm các phân số còn lại

- Nêu cách tìm phân số bằng nhau

Trang 24

Dạng 4: Toán có lời văn về phân số

Trên cơ sở học sinh đã nắm được các dạng toán của phân số như: Các bàitoán về cấu tạo phân số, so sánh phân số và đặc biệt là các bài toán về thực hànhbốn phép tính trên phân số, giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài toán có lờivăn về phân số

Bài toán 1: Thanh và Bình có 56 000 đồng trong đó 1

2 số tiền của Thanh bằng2

3 số tiền của Bình Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

- Xác định dạng toán

- Quy đồng tử số ( hoặc quy đồng mẫu số ) để giải

- Vẽ sơ đồ tìm hai số khi biết tổng và tỷ số để giải

Bài giải Cách 1: Quy đồng tử số

Số tiền của Thanh

Trang 25

Vậy 3

6 số tiền của Thanh bằng 4

6 số tiền của Bình Hay 3 lần số tiền của Thanh bằng 4 lần số tiền của Bình

Coi số tiền của Thanh là 4 phần thì số tiền của Bình là 3 phần bằng nhau nhưthế Ta có sơ đồ:

Số tiền của Thanh

số tiền lãi, người thứ hai được 3

8 số tiền lãi Hỏi người thứ ba được bao nhiêutiền?

- Bài toán cho biết gì? Bài toán yêu cầu gì?

Bài giải Cách 1: Hướng dẫn giải theo cách tìm phân số của một số

Người thứ nhất được số tiền là:

72 000 × 1

6 = 12 000 (đồng )Người thứ hai được số tiền là:

72 000 × 3

8 = 27 000 (đồng )Người thứ ba được số tiền là:

72 000 - 12 000 - 27 000 = 33 000 (đồng )

Trang 26

Đáp số: 33 000 đồng.

Cách 2 : Hướng dẫn giải theo phân số

Phân số chỉ số tiền của hai người đầu là:

1

6 + 3

8 = 13

24 ( số tiền )Phân số chỉ số tiền của người thứ ba là :

13 1

24

 = 11

24 ( số tiền )Người thứ ba được số tiền là:

72 000 × 11

24 = 33 000 (đồng ) Đáp số: 33 000 đồng

Bài toán 3: Đoàn vận động viên của tỉnh A có số nữ bằng 1

3số nam , sau đó doyêu cầu của ban tổ chức đã thay 6 vận động viên nam bằng 6 vận động viên nữ,

vì thế số vận động viên nữ bằng 2

3 số vận động viên nam Hỏi có bao nhiêuvận động viên nam? bao nhiêu vận động viên nữ ?

- Bài toán cho biết gì? Bài toán yêu cầu gì?

- Hướng dẫn giải theo cách chọn số học sinh cả đoàn làm đơn vị

Bài giải Cách 1: Hướng dẫn giải theo cách chọn số học sinh cả đoàn làm đơn vị

Lúc đầu số nữ bằng số nam , vậy số nữ bằng:

Trang 27

20 số người của đoàn chính là 6 người

Số vận động viên của đoàn là:

6 : 3

20 = 40 (người )

Đáp số: 40 người

Cách 2: Hướng dẫn giải bằng cách lập biểu thức

Gọi số nữ lúc đầu là: x ( x > 0 ) , thì số nam lúc đầu là: x × 3

Số nữ lúc sau là: x + 6 , thì số nam lúc sau là: x × 3 - 6

- Bài toán cho biết gì? Hỏi gì?

Trang 28

5 số trâu + 3

4 số bò = 27 con ( 2Lấy ( 2) trừ đi ( 1.1 ) ta có

20 số bò = 7 conVậy trong đàn có số bò là:

5 số trâu + 3

4 số bò = 27 con ( 2 )Lấy ( 1.1) trừ đi ( 2) ta có:

-

Trang 29

2

5 số trâu + 3

4 số bò = 27 con ( 2 ) 7

20 số trâu = 42

4 conVậy trong đàn có số trâu là:

5 tuổi cha , tuổi con trai bằng 3

4 tuổi con gái Tìm tuổi của mỗi người?

- Bài toán cho biết gì? Hỏi gì?

- Hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp tìm phân số của phân số

Trang 30

Con trai : 15 tuổi

Bố : 50 tuổi

Bài toán 6: Cho phân số m

n có giá trị bằng phân số 6

7 Nếu giảm tử số đi 12

đơn vị thì được phân số mới có giá trị bằng phân số 36

Mặt khác ta lại có m_12

n = 36

49Vậy nếu n gồm 49 phần bằng nhau thì (m - 12) gồm 36 phần như thế

Suy ra 12 gồm:

42 - 36 = 6 ( phần )Giá trị 1 phần là:

12 : 6 = 2

Tử số m là:

2 × 42 = 84Mẫu số n là:

2 × 49 = 98Vậy phân số m

n là 84

98 Như vậy muốn làm tốt các bài toán về phân số, học sinh cần xác địnhđược từng dạng bài, nắm chắc tính chất của phân số, các phép tính về phân số

để vận dụng làm bài tập

* Tóm lại: Trên đây là các dạng bài tiêu biểu về phân số, mỗi bài toán đều

có các cách giải khác nhau, mỗi cách giải đều có ưu điểm riêng Khi dạy bồidưỡng học sinh giỏi giáo viên phải linh hoạt sử dụng phương pháp phù hợp, nhằm

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	1,2 MB