Chu de- Hệ phương trình (ôn thi vào lớp 10)

CHỦ ĐỀ III: HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨNDạng III.1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH A.. * Nghiệm của PTBN hai ẩn là cặp số x; y thoả món cả hai PT.. Giải hệ PTchứa tham số 1.. Hệ phương trình ch

CHỦ ĐỀ III: HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng III.1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn cú dạng ax by c, , ,

a x b y c





 trong đú ax by c 

và a x b y c,  ,  ,là cỏc PTBN hai ẩn.; a, b khụng đồng thời bằng 0; a/ , b/ khụng đồng thời bằng 0

* Nghiệm của HPTBN hai ẩn là cặp số (x; y) thoả món PT

* Nghiệm của PTBN hai ẩn là cặp số (x; y) thoả món cả hai PT

* Cỏc phương phỏp giải HPT BN hai ẩn: Dựng đồ thị, PP cộng, PP thế, PP đặt ẩn phụ

B BÀI TẬP

I Giải hệ PT khụng chứa tham số

Bài 1: Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp thế

 







1

y x

y x





 



3)

6

4

3

x y

x y













 



x y

x y







x y

x y







x y

x y







x y

x y







x y

x y







x y

x y





 10) 0,5 1, 2 2,7







 







   







13)

 







14)

2

3 4 2

18 5

x y

x y









15)

1

x y

x y









16)    

   







17) 3 2 2 7







18) 5 2  3  99







   







   







   







x y

x y







23) 3. 2 2 7







Bài 2: Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:

x y

x y







x y

x y







3) 2 4 0

x

x y

 







8) 3,3 4, 2 1





 9) 0,35 4 2,6

x y

x y







 







   







4) 23x x 34y y52



5) 2x x 24y y3



6) 1015x x 921y y80,5



7) 128x x 713yy5 8



10)

9

2







 11)

x y







12)    

   





 13)

   

   







   







17)

4









18)

 

2

2

x y

y x









Bài 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

1)

1 1

1

2 3

5

x y

x y







  



2)

15 7

9

4 9

35

x y

x y







  



3)

1 1

5

2 5

7

x y

x y







  



4)

x y

x y









5)

8

8

x y x y

x y x y









6)

10

18











7)

1









8)

1

1

x y x y

x y x y









9)

8









B I T P V NH ÀI TẬP VỀ NHÀ ẬP VỀ NHÀ Ề NHÀ ÀI TẬP VỀ NHÀ Gi i cỏc h ph ải cỏc hệ phương trỡnh sau ệ phương trỡnh sau ương trỡnh sau ng trỡnh sau:

x y

x y







x y

x y







x y

x y







3 0

x y

x y







5) 0, 2 3 2

x y







x y

 







x y

y x











 11)





 12) 3( ) 5( ) 12

x y x y

x y x y





13)





 14)







18)

x y

x y









1

x y

x y







x y







21)

5

5

x y

x y















8) 2 5

y

x

x y









9)

5

x y

x y









15)

2

3

x y x y

x y x y









16)

x y x y

x y x y









17)

4,5

4









23)

4 3

1

x y xy

x y









 24) (x x y x5y)( 3 2 ) 0y 



x y







II Giải hệ PTchứa tham số

1 Hệ phương trình chứa tham số ở hệ số c, c’.

Bài 1: Cho hệ phương trình:  2x -y = m-2x+2y = 3m+4

 a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Giải hệ phương trình theo tham số m

* Phương pháp giải: Giải tương tự hệ PT không chứa tham số

Bài 2: Cho hệ phương trình 2 3 2 6

2

x y m





 (với m là tham số và m  0)) a) Giải hệ phương trình với m = 4.

b) Giải hệ phương trình theo tham số m

2 Hệ phương trình chứa tham số ở hệ số a, a’ hoặc b, b’

* Phương pháp giải:

B1: Đưa hệ PT về dạng có 1 PT 1 ẩn (Ax+B=C hoặc Ay+B=C)

B2: Xét 2 Trường hợp: A = 0, A0 để giải Hệ PT

Bài 3 Giải hệ phương trình: m x-y = n

x+y = 1







Bài 4 Giải hệ phương trình: x y 2

mx y m

 





 



3 Hệ phương trình chứa tham số ở hệ số a, a’ và b, b’

* Phương pháp giải:

B1: Sử dụng PP thế đưa hệ PT về dạng có 1 PT 1 ẩn (Ax+B=C hoặc Ay+B=C) B2: Xét 2 Trường hợp: A = 0, A0 để giải Hệ PT

Bài 5 Cho hệ phương trình x my mx 4y3 1



a) Giải hệ phương trình với m = 3

b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất.

Bài 6 Giải hệ phương trình: mx y x my m 2m1



Dạng III.2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax +b đi qua điểm A và điểm B trong

mỗi trường hợp sau:

a) A ( -3; 3) và B ( -1; 2)

b) A ( -5; -3) và B ( 3; 1)

c) A  5;3 và B 3; 1

2



d) A 2;3 và B  2;1

Bài 2: Tìm các số a, b sao cho 5a - 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm

A ( -7; 4)

Bài 3: Tìm các giá trị của a; b để hai đường thẳng ( d1) : 3a 1x 2by 56 và (d2):

 

1

2ax b y cắt nhau tại 1 điểm M ( 2; -5)

Bài 4: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = ( 2m - 5) x - 5m đi qua giao điểm

của hai đường thẳng: (d1): 2x + 3y = 7 và (d2): 3x + 2y = 13

Bài 5: Tìm giá trị của m để các đường thẳng:y 3x 4;y 2x 1và

 2 3

y m x m  đồng quy

Bài 6: Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm: 6

4

x

y  ;

3

x

y  ; và y = kx + k + 1

Bài 7: Tìm m, n sao cho đa thức P(x) = mx3 + ( m + 1) x2 - ( 4n + 3) x+ 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và ( x+ 2)

Bài 8: Tìm m, n sao cho đa thức P(x) =( 5m + 2n -3) x - ( 2n - m + 2) bằng đa thức

không

Bài 9: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 2x + m (*)

1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua:

a) A (- 1; 3) b) B  2; 5 2   c) C ( 2; - 1)

2) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x - 2 trong góc phần tư thứ IV

(Đề thi tuyển sinh THPT - Năm học : 2004 - 2005)

Giải:

1) a) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)

 3 = 2.(-1) + m

 3 = - 2 + m

 m = 5 Vậy với m = 5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)

b) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B  2; 5 2  

  5 2 = 2 2 + m

 m =  7 2

Vậy với m =  7 2 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B  2; 5 2   c) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)

 -1 = 2.2+ m

 -1 = 4 + m

 m = - 5 Vậy với m = -5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)

2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x - 2 là nghiệm của hệ phương trình y = 2x + m y = 3x - 2



 3x - 2 = 2x + m y = 3x - 2

 3x - 2x = m + 2 y = 3x - 2

 

x = m + 2

y = 3 m + 2 - 2







 x = m + 2 y = 3m + 6 - 2

 Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x - 2

Để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x - 2 trong góc phần tư thứ IV

thỡ 0

0

x y









  m + 2 > 0

3m + 4 < 0





m > - 2

4

m < -

3









 -2<m <-4

3

Vậy với - 2< m <-4

3 thì đồ thị hàm số y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 3x - 2 trong góc phần tư thứ IV

Bài 10:

a) Tìm m để giao điểm của hai đường thẳng mx - y =2 và 3x + my = 5 nằm trong góc phần tư thứ tư

b) Tìm m nguyên để giao điểm của hai đường thẳng mx - 2y =3 và 3x + my =

4 nằm trong góc phần tư thứ hai

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng ax - by = 4 đi qua điểm A (4; 3) và B ( -6; -7) Bài 2: Tìm giỏ trị của k để ba đường thẳng sau đồng quy:

a) (d1): y = 2 x+ 5; (d2): y = - x - 1

2; (d3): y = k x+2 b) (d1): y = 3 x - 5; (d2): 2x+5y= 23; (d3): y = (k- 1) x+ k+7

Bài 3: Lập phương trình các đường thẳng:

a) Đi qua A ( 2 ; 3) và B( -4 ; 5)

b) Đi qua A ( -1 ; 2) và B( - 5 ; 3)

Bài 4: Tìm a, b sao cho đa thức P(x) = ax4 + ( a + b) x3 -2( a+ 1) x2 - 5b đồng thời chia hết cho (x + 1) và ( x- 2)

Bài 5: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua:

a) A (- 1; 3) b) B 2 2;5 2 c) C ( 2; - 3)

2) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 2x - 1 trong góc phần tư thứ IV

Dạng III.3: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

I TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM, VÔ NGHIỆM, VÔ SỐ NGHIỆM

Bài 1: Với giá trị nào của a, b thì:

1) Hệ phương trình 2bx ay x by a 5

 nhận cặp số (1; 3) làm nghiệm 2) Hệ phương trình 3x x y b2y a 1

 nhận cặp số (2; 1) làm nghiệm 3) Hệ phương trình3ax by x by 75

 có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; 3)

Bài 2: Cho hệ phương trình: nx+my = 1 m x -y = n

 a) Giải hệ phương trình khi m = 1; n = -1

b) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm là ( 1; 3)

(Thi TS lớp 10 HD năm 07 -08)

Bài 3: Cho hệ phương trình: ax+y = -1 x +ay = 1

 a) Giải hệ phương trình khi a=2

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn:

Cách 1: Tìm x; y theo a rồi tìm điều kiện để tồn tại x ; y

Cách 2: Sử dụng kết luận SGK :

Kết luận: Hệ phương trình: ax by c a x b y c' ' '

+) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

a b

a b

+) Hệ phương trình có vô số nghiệm 

a b c

a b c

+) Hệ phương trình vô nghiệm 

a b c

a b c

Bài 4: Cho hệ phương trình: mx y x my m 1 1

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm

c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm

Giải:

a) Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất  1

1

m m

Vậy với m 1 thì hpt có 1 nghiệm duy nhất

b) Hệ phương trình vô nghiệm  1 1

m

m m

1 1

1

m m

m m











 m 1

c) HPT có vô số nghiệm 

1 1

1

m m













2 1 1

m



 



m m













1 1 2

m m













* Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho HPT

 

x my





 a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là ( 3 ; -2)

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm

Bài 2: Cho HPT3mx y x my 25

 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm là ( 1 ; 3 1  )

Bài 3: Cho HPTmx x my 4y3 1

a) Giải HPT với m = 3

b) Với giá trị nào của m, hệ phương trình có nghiệm có nghiệm duy nhất ?

Bài 4: Cho HPT2ax x ay2y52a 1

a) Giải HPT với a = 3

b) Với giá trị nào của m, hệ phương trình vô nghiệm ? Vô số nghiệm?

Dạng III.3: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (tiếp)

II TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ

Phương pháp:

- Tìm nghiệm theo tham số (cần chú ý điều kiện có nghiệm của hệ).

- Cho nghiệm thoả mãn điều kiện rồi tìm tham số

1 Dạng 1: Nghiệm thỏa mãn một hệ thức (chứa căn thức, chứa ẩn ở mẫu, chứa dấu GTTĐ…)

Bài 1: Cho hệ phương trình: 2x -y = m-2

x+2y = 3m+4





 a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x2 + y2 = 10

( Thi TS lớp 10) HD năm 0)8 -0)9)

Giải:

b) Giải tìm được nghiệm của HPT là ( x; y) =( m; m + 2)

Thay x= m và y = m + 2 vào x2 + y2 = 10 ta tìm được m = 1 hoặc m = -3

2 Dạng 2: Nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức, bất phương trình

Bài 2: Cho hệ phương trình: ax - y = 1 x +ay = 2

 Tìm a để PHT có nghiệm x > 0; y > 0

Giải:a) Giải tìm được nghiệm của HPT là ( 2 2 2; 2 1

PHT có nghiệm x> 0; y > 0

2 2

2

2 0

1

1

1

a

a a

a





 



3 Dạng 3: Biểu thức chứa x, y đạt GTLN, GTNN

Bài 3: Cho hệ phương trình: mx + y = 3m-1x my = m +1

 a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn ( x y) nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

b) - Giải hệ tìm x và y theo m

- Với m -1, x y =  

   

2

Vậy (x+ y)min =   1 m = 0

4 Dạng 4: Hệ có nghiệm nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình:  

 

1 x y = a+1

a a







 a) Giải hệ phương trình khi a = 2

b) Xác định a để HPT có nghiệm duy nhất?

c) Tìm a nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó ? d) Tìm a nguyên để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn ( x+ y) nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

b) Với a 0, HPT có nghiệm duy nhất

2

;

c) x = a2 21 1 12



 

x nguyên  12

a có giá trị nguyên a 2 Ư(1) = 1; 1    a= 1

a = 1 HPT có nghiệm nguyên là ( 2; 2)

a = -1 HPT có nghiệm nguyên là ( 2; 0)

d) Ta có: x+ y =

2

Vậy (x+ y)min = 7

8a=- 4

Bài 5 Cho hệ phương trình:  

 

1





a)Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b)Tìm các giá trị nguyên của m để hpt có nghiệm nguyên

c)Tìm m để hpt có nghiệm dương duy nhất

Bài 6 Cho hpt: 4 10

4

x my





 a) Giải và biện luận hpt

b) Với giá trị nguyên nào của m thì hpt có nghiệm là các số nguyên dương

* Bài tập luyện tập.

Bài 1: Cho hệ phương trình: 3x +ay = 4 ax -2y = 3

 Tìm a để PHT có nghiệm x > 0; y < 0

Bài 2: Cho hệ phương trình: 5x +ay = 84x -3 y = 6

 a) Giải hệ phương trình khi a = -1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất âm

Bài 3: Cho hệ phương trình: -2mx + y = 5mx +3y = 1

 a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x- y=2

Bài 4: Cho hệ phương trình:

2

a x - y = -7 2x +y = 1





 a) Giải hệ phương trình khi a = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x+ y=2

Bài 5: Cho hệ phương trình: mx +3y = 12 x + y = 5m

 a) Giải hệ phương trình khi m = -1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x2 + y2

Bài 6: Cho hệ phương trình: mx - y = 2  0







 a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x+ y <1

Bài 7: Cho hệ phương trình: 2

x + my = 3m







 a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x2 - 2x - y > 0

Bài 8: Cho hệ phương trình: x - y = 2  0

3x + y = 5

m

m m







 a) Giải hệ phương trình khi m =-1

b) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x+ y = 1 - 2 2

3

m

m 

Bài 9: Cho hệ phương trình:  

 

1 x + y = 3m-4

m m









 a) Giải hệ phương trình khi m =-1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x+ y = 3

Bài 10: Cho hệ phương trình:  

 

1 x - y = m+1

m m









 a) Giải hệ phương trình khi m = 1

2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x > y

Bài 11: Cho hệ phương trình:  

 

m-1 x + y = 3m-4

x + m-1 y = m





 a) Giải hệ phương trình khi m = -1

b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm dương

c) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó

Bài 12: Cho hệ phương trình: mx +  1 y = 3

4x+ my = 6

m 





 a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó

Bài 13: Cho hệ phương trình: 2x y = 3m-1

x + y = 3m - 2







 a) Giải hệ phương trình khi m = -3

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y) thoả mãn x2 - 3y2 đạt GTNN?

Bài 14: Cho hệ phương trình:

 

x 2y = 4- m









 a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn ( x2+ y2) nhỏ nhất?

Bài 15: Cho hệ phương trình: mx y = 2mx - my = m+1

 a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên?

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn ( x y) lớn nhất?

Bài 16: Cho hệ phương trình: 1

2

mx y

x my





 a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải hệ phương trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Dạng III.4: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA X, Y KHÔNG PHỤ THUỘC

VÀO THAM SỐ Bài 1.Cho hpt: 2

1

mx y

x my





 a)Giải hpt theo tham số m

b)Gọi (x;y) là nghiệm của hpt.Tìm các giá trị của m để x+y = 1

c)Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 2 HD 04-05)Cho hpt:  

 

1

a x y a





 có nghiệm duy nhất (x;y) a)Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

b)Tìm các giá trị của a thỏa mãn :6x2 -17x = 5

c)Tìm a thuộc Z để 2x 5y Z

x y







= = = = Hết = = = =