Toán 11 nâng cao Phương trình lượng giác

Phương trình cơ bản a Phương trình 1 Nếu thì phương trình 1 vô nghiệm Nếu , gọi là một nghiệm của 1, tức khi đó ta có Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1.. Khi đó phương trình 5 được đư

Phương trình lượng giác

I Các phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình cơ bản

a) Phương trình (1)

Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu , gọi là một nghiệm của (1), tức khi đó ta có

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

1.

2.

Nếu thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu , gọi là một nghiệm của (2), tức khi đó ta có

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

1.

2.

Điều kiện

Gọi là một nghiệm của (3), khi đó ta có

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1.

2.

Điều kiện

Gọi là một nghiệm của (4), khi đó ta có

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

1.

2.

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho ta có phương trình (5) tương đương với phương trình

Chọn α sao cho , khi đó ta có phương trình:

Với Tới đây ta giải như phương trình (1)

Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm

của (5)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc

Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên

Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp

Trường hợp 2: Chia hai vế của phương trình cho , khi đó phương trình trở thành:

Phương trình trên là phương trình bậc hai theo , ta có thể giải được.

4 Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Bài 2 Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

b)

c)

d)

e)

Bài 3 Tìm để các phương trình sau có nghiệm

a)

c)

Bài 4 Cho phương trình

a) Tìm để phương trình có nghiệm

b) Tìm để phương trình có nghiệm thuộc

Bài 5 Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

b)

c)

d)

Bài 6 Định để các phương trình sau có nghiệm

a)

b)

II.Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản

Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản

đã biết cách giải (1) – (6) Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,… Sau đây

là một vài ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình lượng giác sau

(1)

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 2 Giải phương trình lượng giác sau:

(2) (Khối B – 2009)

Lời giải Ta có phương trình đã cho tương đương với

Bài tập Giải các phương trình lượng giác sau:

a) (ĐHSP HCM B, D 2001)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

i)

j)

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất

Dạng 1 Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác

Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác,

sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung),

Lời giải Đặt , khi đó ta có , phương trình trở thành

Với

Lời giải

Ta có

Lời giải: Điều kiện

Với

Bài tập Giải các phương trình lượng giác sau

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Dạng 2 Phương trình đưa về hàm tang

Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn và tính tất cả các biểu thức còn lại theo Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác

Lời giải

Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình

Đặt , ta có phương trình

Với

Với

Với

Ví dụ 7 Giải phương trình

Lời giải Điều kiện

Đặt

Phương trình trở thành

Với

Với

Bài tập.

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

f)

Bài 2 Giải các phương trình sau:

c)

d)

f)

Dạng 3 Phương trình

Cách giải

Đặt

, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo Giải phương trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải

Lời giải

Với ta có

2000)

Lời giải.

Phương trình trở thành

Với

Với

Bài tập Giải các phương trình lượng giác sau

c)

3 Phương pháp phân tích thành tích

Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình lượng giác Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến

,…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ sau đây

Ví dụ 10 Giải phương trình lượng giác:

Lời giải.

(11) (ĐH khối A, 2007)

Lời giải

Từ đó ta có các nghiệm thuộc của phương trình trên là:

Ví dụ 12 Giải phương trình: (12) (A, 2003)

Lời giải.

Điều kiện

Ta có

TH1:

Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

e)

Bài 2 Giải các phương trình sau:

b)

c)

d)

4 Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau)

1. (A, 2005)

2. (B, 2005)

3. (D, 2005)

4. (Dự bị 2005)

5. (Dự bị 2005)

6. (A, 2006)

7. (B, 2006)

8. (D, 2006)

9. (Dự bị A, 2006)

10. (Dự bị A, 2006)

11. (Dự bị B, 2006)

12. (Dự bị B, 2006)

13. (Dự bị D, 2006)

14. (Dự bị D, 2006)

15. (B, 2007)

16. (D, 2007)

17. (Dự bị A, 2007)

18. (Dự bị A, 2007)

20. (Dự bị B, 2007)

21. (Dự bị D, 2007)

22. (Dự bị D, 2007)

23. (A, 2008)

24. (D, 2008)

25. (Dự bị A, 2008)

26. (Dự bị A, 2008)

27. (Dự bị B, 2008)

28. (Dự bị B, 2008)

29. (Dự bị D, 2008)

30. (A, 2009)

31. (D, 2009)

Chúc các em làm bài tốt.