Tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất... Chuyên đề 2: Hệ thức lượng trong tam giác I.. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thỏa mãn: AM = AB.. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cot
Trang 1Chuyên đề 1: Tam thức bậc hai
I Lý thuyết:
- Là biểu thức có dạng : y= f x( )=ax2+ +bx c a( ≠0)
- Khi đó ta có các tính chất sau:
1 Nếu ∆ <0 thì af x( )>0 với x∀ ∈ℝ
2 Nếu ∆ ≤0 thì af x( )>0 với
2
a
x −
∀ ∈ℝ
3 Nếu ∆ >0 thì ( ) 0 2
1
x x
af x
x x
>
> ⇔ < và ( ) 0
af x < ⇔ < <x x x
4 Nếu ( ) ( ) 0f α f β < thì tam thức có nghiệm thỏa mãn: α< <x β
5 Nếu af( )α <0 thì phương trình luông có hai nghiệm thỏa mãn: x1<α<x2
II Bài tập:
1 Cho hệ phương trình:
2 2 2
+ + = + + = + + =
trong đó: a≠0 và
2
(b 1) 4ac
∆ = − − CMR: nếu ∆ <0 thì hệ vô nghiệm
2 Chứng minh rằng nếu: a c+ < b thì phương trình: ax2+ + =bx c 0 luôn có nghiệm
3 Biết 2a+ + =3b 6c 0 CMR: ax2+ + =bx c 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1)
4 CMR: ax2+ + =bx c 0 có nghiệm thì một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn: i) (a a+ +2b 4 )c <0
ii) 5a+ + =3b 2c 0
iii) a+ + =2b 5c 0
5 Chứng minh rằng: trong 3 phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm:
i) 2x +2ax bc+ =0 ii) 2x +2bx ac+ =0 iii) 2x +2cx ab+ =0
a a ≥ b +b thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
1 1
x +a x b+ = và x2+a x b2 + =2 0
7 Giả sử phương trình ax2+ + =bx c 0 có hai nghiệm thuộc [0;1] Tìm a, b, c để biểu thức sau : ( )(2 )
P
a a b c
= − + đạt gái trị nhỏ nhất, lớn nhất
Trang 28.Cho Parapol: y= −x2 và đường thẳng d đi qua điểm I(0;-1)
Có hệ số góc k Gọi giao điểm của (P) và d là A, B Giả sử A, B có hoành độ là
;
1 2
x x
x −x ≥ b) Tính diện tích tam giác OAB, tìm k để diện tích đó là lớn nhất
9 Tìm điều kiện của các hệ số a, b, c để phương trình sau vô nghiệm :
2
(
a ax + +bx c +b ax + + + =bx c c x
10 Xét tam thức ax2+ + =bx c 0 với a, b, c nguyên có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) Tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất
(
f x =a ax + +bx c + ax + + +bx c c vô nghiệm, thì tam thức: ax2+ − =bx c 0 có hai nghiệm trái dấu
12 Gọi ;
1 2
x x là 2 nghiệm của tam thức: f x( )=x2+ +ax b, với a,b thuộc [-1;1]
x + x + ≤ +
13 Cho tam thức: f x( )=ax2+ +bx c a( ≠0)
a) CMR: ac<0 thì phương trình f f x( ( )) = 0 có nghiệm
b) Cho a = 1, giả sử phương trình f x( ) =x có 2 nghiệm phân biệt CMR phương trình f f x( ( )) =x có 4 nghiệm phân biệt nếu (b+1)2>4(b c+ +1)
Trang 3Chuyên đề 2: Hệ thức lượng trong tam giác
I Lý thuyết:
1 Định lý hàm số sin:
- Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, khi đó ta có:
2
R
2 Định lý hàm số Cosin:
- Cho tam giác ABC, khi đó ta có:
2 2 2
a =b + −c bc A; 2 2 2
b =a + −c ac B; 2 2 2
c =a + −b ab C
3 Công thức đường trung tuyến:
- Cho tam giác ABC, khi đó ta có:
2 2 2
2 2 2
4
a
;
2 2 2
2 2 2
4
b
;
2 2 2
2 2 2
4
c
4 Các công thức về diện tích:
- Cho tam giác ABC, khi đó ta có:
S = 1 sin 1 sin 1 sin
= pr =
4
abc R
= p p a p b p c( − )( − )( − )
II Bài tập:
1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thỏa mãn: AM = AB
CMR : sinA=2.Sin(B-C)
2 Tìm min của
P
3 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu có x∈ ℝ để : 2 2
a=x + +x b= x+ c=x −
4 CHo tam giác ABC và K, L, M lần lượt nằm trên AB, BC, CA sao cho
1 3
AB =BC = CA = , biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK,
CML là bắng nhau CMR tam giác ABC đều
5 Xác định dạng tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác thỏa mãn hệ thức: sin 2
sin cos
C
2012.a + 2010.b − 1005.c ≥ 4 2010
1005(a + −b c ) (1005 + b + 1007a ) ≥ 4 2010.S
2
ab
+
Trang 4Theo BĐT Cauchy thì VT ≥ 1005.1007
Theo BĐT BCS thì VP≤ 1005.1007 Từ đó ta có điều phải chứng minh
7 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cotA + cotC=α.cotB
1 Xác định góc giữa hai trung tuyến AA1 và BB1 của tam giác khi 1
2
α =
2 Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi α = 2
8 Cho tam giác ABC biết sinA:sinB: sinC=sinA: sinB: sinC= ( 3 1) : 6 : 2 +
1 Tính các góc của tam giác
2 Tính tỉ số: ; : 1
5
CMR
9 Tam giác ABC là tam giác gì nếu các góc thỏa mãn:
10 Cho tam giác ABC và XYZ có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c; YZ=x, ZX=y, XY=z, liên hệ bởi hệ thức: 2 2
a +x =xy+xz; 2 2
b +y =yx+yz; 2 2
c +z = +zx zy
1 CMR: tam giác ABC nhọn, và tồn tại tam giác A’B’C’ có độ dài các cạnh là: a2
; b2; c2
2 So sánh góc bé nhất cuẩtm giác ABC và góc bé nhất của tam giác A’B’C’
11 Cho tam giác ABC, có M nằm trong tam giác Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB CMR: cotAA B' + cotBB C' + cotCC A' là không đổi
12 Cho tam giác ABC nhọn, thỏa mãn: 0
60
A≤ ≤ ≤B C và: a 2 3
r = CMR tam giác ABC đều
13 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 12 12 12
a
h =b +c
14 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: 1 sin 1 sin 1 sin 4 3 2
15 Cho tam giác ABC có R=2 và: cosA 2 cosB 3cosC
a = b = c Tính cạnh bé nhất và góc
bé nhất của tam giác
2 sin
2
m
B
+ +
17.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đặt BAM = α Chứng minh rằng:
cot 2 2 3cos
sin
α
−
≥
18 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Đặt BGC= α CMR: cot 2 cot
3
A≥ + α
Trang 519 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 4 4 4 2 ( 2 2 )
sin C+ 2 sin A+ 2sin B= 2sin C sin A+ sin B CMR: Tam giác ABC vuông cân
20 CMR:
2
c p a +a p b +b p c =
21 Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM, đường cao CN, phân giác BP đồng quy CMR:
2
2 2 2 2ab
a b
= + −
+
22 Cho tam giác ABC
a Tìm vị trí của M để biểu thức: P=MB MC +MB MC MC MA + đạt GTNN
b CMR: 3(cos 2 cos 2 ) cos 2 5
2
23 Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng với mọi điểm O nằm trong tứ giác ta có:
S OA2 OB2 OC2 OD2
24 Cho tam giác ABC có A, B là 2 góc nhọn thỏa mãn: ∃ ∈ α (0; 2) sao cho
sin A+sin B=sinαC Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?