BỒI DƯỠNG học SINH GIỎI TOÁN 6 (phuong) (15 16)

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 6CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ THEO QUY LUẬT I.. Dãy cộng: Là dãy số mà số hạng từ thứ hai trở đi đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nĩ cùng một số đơn vị... Tính số hs

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 6

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ THEO QUY LUẬT

I Dãy cộng: Là dãy số mà số hạng từ thứ hai trở đi đều lớn hơn số hạng đứng liền

trước nĩ cùng một số đơn vị

VD: Dãy 4; 7; 10; 13; …

Số hạng thứ 6 của dãy là: 4 + (6 – 1).3 = 19

Tính tổng: dãy cộng cĩ n số hạng, số hạng đầu là a1, số hạng cuối là an thì tổng của

n số hạng đĩ là: S = (a1 a )nn

2

+ , số số hạng: =a n −a1 +1

n

d

Bài tập: 1) Tìm số hạng thứ 100 của các dãy:

a) 3, 8, 15, 24, 35, …

b) 3, 24, 63, 120, 195,… (1.3, 4.6, 7.9, …)

c) 1, 3, 6, 10, 15, … (1.2 2.3 3.4, ,

d) 2, 5, 10, 17, 26, … (1 + 12, 1 + 22, …)

Hướng dẫn: a) Cĩ thể viết dãy dưới dạng: 1.3, 2.4, 3.5, …

Chia làm 2 dãy số: 1, 2, 3, 4, … và 3, 4, 5, 6, …

Số hạng thứ 100 của dãy là: 100.102 = 10200

2) Tìm chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy số lẻ 1; 3; 5; 7;

3) a) Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Tính A

HD: 3A = 1.2.(3-0) + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + + 9.10.(11 – 8)

= 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + + 8.9.10 – 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11

=> A = 220

b) Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

4) Tính tổng sau:A = 6 + 12 + 18 +… + 1992

Giải: Tổng 6 + 12 + 18 +… + 1992 có : (1992 - 6): 6 + 1 = 332 số hạng

Vậy tổng: 6 + 12 + 18 +… + 1992 = (6 + 1992) 332 331668

B = 3 + 7 + 11 + 15 + … + 407

C = 2 + 9 + 16 + 23 +… + 709

II Dãy lũy thừa:

1) Tính tổng:

a) S = 1 + 2 + 22 + 23 + + 262 + 263

b) A = 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 49 + 5 50

2) Cho A= + + + + +1 3 32 33 320; B=3 : 221 Tính B A−

3) Cho A= + +1 4 42 +43 + + 4 , 99 B=4100 Chứng minh rằng:

3

< B

4) Chứng minh:

a) A = 5 + 52 + 53 +…+ 599 + 5100 chia hết cho 6

b) B = 2 + 22 + 23 + …+ 299 + 2100 chia hết cho 31

c) C = 165+ 215 chia hết cho 33

d) D = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 31999 + 32000 chia hết cho 13

e) E 2 2= + 2 +23 + + 298 +299 +2100 chia hết cho15

f) H = 7 + 7 2 + 7 3 + + 7 2003 + 7 2004 chia hết cho 57

III Dãy khác:

Bµi 1: TÝnh:

A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100

HD:

3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100

3A = 99.100.101

Bµi 2: TÝnh:

A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101

HD:

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99)

Bµi 3: TÝnh:

A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102

HD:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)

A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99)

Bµi 4: TÝnh:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100

HD:

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

Bµi 5: TÝnh:

A = 12+22+32+ +992+1002

HD:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1)

A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100)

Bµi 6: TÝnh:

A = 22+42+62+ +982+1002

HD:

A = 22(12+22+32+ +492+502)

Bµi 7: TÝnh:

A = 12+32+52+ +972+992

HD:

A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002)

A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502)

Bµi 8: TÝnh:

A = 12-22+32-42+ +992-1002

HD:

A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002)

Bµi 9: TÝnh:

A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992

HD:

A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)

A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99)

ƯƠC CHUNG LỚN NHẤT

I Lý thuyết:

ƯCLN(a, b) kí hiệu (a,b)

(a, b) = d khi và chỉ khi tồn tại a’, b’ là số tự nhiên sao cho a = d.a’, b = d.b’ và (a’, b’) = 1

II Bài tập.

1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6

HD: p > 3 và p + 2 cũng là số nguyên tố=> p có dạng: p = 3k + 2

=> p + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3 và p +1 chẵn chia hết cho 2 => đfcm

2) Cho p và p + 14 là số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là hợp số

HD: p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 Xét từng trường hợp => p = 3k +1=> p + 8 là hợp số

3) Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24 4) Tìm số tự nhiên a sao cho 264 chia cho a dư 24 và 363 chia a dư 43

HD: Từ đầu bài => a là ước chung của 240 và 320 trong đó a > 43

5) Tìm số tự nhiên a, biết 398 chia cho a dư 38, còn 450 chia chó a dư 18

6) Tìm số tự nhiên a biết 350 chia cho a dư 14 và 320 chia a dư 26

7) Có 100 quyển vở và 90 bút chì được thưởng đều cho một số học sinh, còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều Tính số hs được khen thưởng

8) Ba khối 6; 7; 8 theo thứ tự có 300 hs; 276 hs; 252 hs được xếp thành hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau Hỏi có thể xếp được mấy hàng dọc để mỗi khối không có ai lẻ hàng? Khi đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?

9) Tìm số tự nhiên a biết 128 chia cho a dư 7 còn 230 chia cho a dư 10

10) Chứng tỏ rằng 2 số n + 1 và n + 3 nguyên tố cùng nhau

11) Chứng tỏ rằng 2n +1 và 3n + 1 nguyên tố cùng nhau

12) Tìm n để 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau

13) Cho A = 1 + 3 + 32+ 33 + …+332

a) Chứng tỏ A không là số nguyên tố

b) Tìm chữ số tận cùng của A

HD: a) Chứng minh A chia hết cho 13

b) A = 3 + 40(…) => A có tận cùng bằng 3

14) A = 1 + 4 + 42 + …+ 432

a) Chứng tỏ A là hợp số

b) Tìm chữ số tận cùng của A

BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I LÝ THUYẾT

BCNN(a,b).UCLN(a, b) = a.b

II Bài tập

1) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho

a) a chia 7 dư 5 và chia 9 dư 7

b) a chia 15 dư 8, chia 18 dư 11

c) a chia 18 dư 13, chia 36 dư 31, chia 42 dư 37

d) a chia 30 dư 13, chia 45 dư 28 và chia 60 dư 47

2) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3; 5; 7 được số dư lần lượt là 2; 3; 4

HD: Từ giả thiết => 2a chia 3; 5; 7 dư 1 => 2a – 1 = BCNN(3;5;7)

3)