sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề: Nhìn chung các bài toán liên quan mảng kiến thức Hình Học không gian là khá rộng lớn, trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin trình bày các vấn đề

II.Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy 9 – 18

1.Vấn đề 1: Trong khối đa diện có một đường thẳng vuông góc với

4.Vấn đề 4: Trong khối đa diện có tất cả các cạnh bên cùng tạo với

mặt phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có tất cả các cạnh bên bằng nhau 14

5.Vấn đề 5: Trong khối đa diện có tất cả các mặt bên cùng tạo với

mặt phẳng đáy một góc bằng nhau 16

III.Kết quả thực dạy 19

C – LỜI KẾT 21

ra các phương án tối ưu để giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra

2 Lý do chủ quan:

Là một Huyện vùng sâu, vùng xa của Tỉnh Bình Phước, điều kiện dạy và học còn gặp rất nhiều khó khăn Ngoài giờ đến lớp đại đa số học sinh phải về nhà làm phụ cho gia đình, mặt khác điều kiện về cơ sở vật chất của Nhà trường còn nhiều thiếu thốn, nên việc dạy và học bộ môn Toán của Nhà trường còn rất hạn chế Mặt khác trình độ của đại đa số học sinh chỉ ở mức trung bình và yếu nên việc tiếp thu kiến thức bộ môn cũng rất khó khăn Hơn nữa mảng kiến thức về Hình Học không gian lại yêu cầu về tính liên thông kiến thức giữa các lớp học khá nhiều và các bài toán liên quan đến Hình Học không gian trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT lại cần mức độ tư duy khá cao, nên việc giải quyết được bài toán này đối với học sinh có học lực trung bình và trung bình khá là rất khó khăn Đứng trước những vấn đề đó, tôi luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu để tìm

ra các phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình, giúp học sinh tiếp cận kiến thức bộ môn được tốt và đạt hiệu quả cao nhất nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy của Nhà trường và chất lượng bộ môn

trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Với những kinh nghiệm thu thập được tôi xin giới thiệu để quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo và thảo luận

II – Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thực hiện một số biện pháp sau:

1 Thu thập thông tin từ thực tế giảng dạy

2 Thống kê các bài kiểm tra, bài thi để đánh giá mức độ hiệu quả của đề tài

3 Trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp để rút kinh nghiệm

4 Dự giờ đồng nghiệp, mời đồng nghiệp dự giờ để cùng trao đổi và thảo luận

B NỘI DUNG

I Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề:

Nhìn chung các bài toán liên quan mảng kiến thức Hình Học không gian là khá rộng lớn, trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin trình bày các vấn đề liên quan đến kỹ năng xác định đường cao và một số tính chất cơ bản nhằm tính được độ dài đường cao và diện tích mặt đáy trong khối đa diện để giải quyết bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong chương trình môn Hình Học 12, giúp học sinh làm tốt bài toán “Hình học không gian” trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Sau đây là các tiên đề, tính chất, định lý và các hệ quả cần thiết liên quan đến bài toán, mà tôi sẽ trình bày dưới dạng các tính chất:

1 Một số kiến thức cơ bản về Hình Học phẳng:

a Tính chất 1: (Các công thức tính diện tích tam giác)

 Diện tích tam giác bất kỳ: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b,

BC = a; đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C lần lượt là ha, hb, hc; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp Ta có

 Diện tích tam giác vuông: Nếu tam giác vuông có độ dài hai cạnh

góc vuông là a và b thì có diện tích là:

 Diện tích tam giác đều:

Nếu tam giác đều có cạnh bằng a thì có diện tích là:

 Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

Nếu tứ giác có hai đường chéo d1, d2 vuông góc nhau thì có diện tích là:

c Tính chất 3: (Công thức chung để tính diện tích đa giác lồi)

Việc tính diện tích đa giác bất kỳ ta thường chia chúng thành các tam giác có cạnh là cạnh của đa giác đó để tính

 Định lý Talet (đảo): Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một

tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng

tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

 Tính chất hai tam giác đồng dạng:

Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ thì:

(SGK Toán 8 – Tập 2)

e Tính chất 5: (Các hệ thức lượng trong tam giác)

 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có độ dài ba cạnh lần lượt là BC =

lượt là hình chiếu vuông góc của b và c lên trên cạnh huyền BC Lúc đó ta có:

(SGK Hình Học 10 – CB)

2 Một số kiến thức cơ bản về Hình Học không gian:

a Tính chất 1: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học

 Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) Giả sử (P) cắt (Q) theo giao tuyến là d Trên d lấy một điểm I tùy ý; trong (P) qua I dựng đường thẳng d1 vuông góc với d; trong (Q) qua I dựng đường thẳng d2 vuông góc với d Lúc đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2

(SGK Hình Học 11 – CB)

d Tính chất 4: Một số định lý và tính chất cơ bản làm cơ sở để xác

định đường cao trong khối đa diện

 Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

(SGK Hình Học 11 – CB)

 Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

(Tính chất này chứng minh dựa vào tính chất tam giác bằng nhau)

 Nếu các mặt bên trong một hình chóp cùng hợp với mặt đáy của hình chóp đó một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh đến mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp của đa giác nằm trong mặt phẳng đáy đó

(Tính chất này chứng minh dựa vào tính chất tam giác bằng nhau)

e Tính chất 5: Tỉ số thể tích của hai khối đa diện

 Để giải các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của hai khối đa diện, ta phải phân chia chúng thành các khối chóp tam giác để áp dụng tính chất cơ bản sau: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ tùy ý không trùng với S

II Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy:

Để tính được thể tích khối đa diện (chủ yếu là hai khối cơ bản đó là khối lăng trụ và khối chóp) ta có thể hướng dẫn cho học sinh thực hành theo quy trình ba bước như sau:

Bước 1: Xác định mặt đáy và đường cao tương ứng của khối đa diện

Bước 2: Lập công thức để tính thể tích của khối đa diện tương ứng

(Nếu khối đa diện là khối lăng trụ hoặc khối chóp thì đã có công

thức tính, còn các khối đa diện còn lại thì phải phân chia thành các khối lăng trụ và khối chóp rồi lắp ghép để tính)

Bước 3: Tính diện tích mặt đáy và độ dài đường cao tương ứng

Được kết quả thay vào công thức ở bước 2 tính ra được thể tích khối

đa diện

Nếu căn cứ vào quy trình ba bước như trên chúng ta có thể thấy ở bước 1

và bước 2 mang tính chất định tính, còn bước 3 thì lại hoàn toàn mang tính chất định lượng Chính vì thế nếu chúng ta có thể hệ thống cho học sinh các kiến thức cơ bản về bộ môn Hình Học phẳng thì tôi tin học sinh có học lực trung bình khá có thể thực hiện được bước thứ 3 Tuy nhiên qua kinh nghiệm giảng dạy khối 12 tôi nhận thấy rằng khó khăn học sinh khi làm bài toán này chủ yếu

là phần định tính, mà đặc biệt là ở bước 1, khó khăn ở đây chính là cách nhận dạng và xác định được đường cao tương ứng với khối đa diện; nếu không làm được việc này thì học sinh không thể đưa ra công thức để tính thể tích của khối

đa diện tướng ứng Nhưng ngược lại nếu học sinh có thể xác định được đường cao của khối đa diện thì lúc đó các em có thể dễ dàng thực hiện được bước thứ

2 Sau đây tôi xin trình bày một số kinh nghiệm để giúp học sinh chủ động và linh hoạt trong việc xác định được đường cao của khối đa diện, làm nền tảng để học sinh có thể giải quyết được bài toán “Tính thể tích của khối đa diện” trong

kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng

1 Vấn đề 1: Trong khối đa diện có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện đã có một đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt đáy thì đường cao của khối đa diện hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng đó

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC bằng 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng

Thông thường bài toán mà cho dưới dạng như vấn đề 1 nêu trên thì việc xác định đường cao là khá đơn giản, công việc còn lại của học sinh đơn thuần chỉ là thực hiện bước 3 theo quy trình 3 bước nêu ở trên

2 Vấn đề 2: Trong khối đa diện có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện có hai mặt bên cùng vuông

góc với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt đáy thì đường cao của khối

đa diện chính là giao tuyến (nếu có) của hai mặt bên đó

Ví dụ : Cho hình chóp tam giác S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng

vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là một tam giác đều có cạnh bằng a,

không gian lớp 11 thì mới nhận ra được SA chính là đường cao của khối chóp S.ABC

3 Vấn đề 3: Trong khối đa diện có một mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện có một mặt bên vuông góc

với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt phẳng đáy thì đường cao của khối đa diện nằm trong mặt bên và vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt bên đó

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình hình chữ nhật, AB

= 2a, AD = a Tam giác SAD là một tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng

là hình chữ nhật ABCD và đường cao là SH

Ta có:

.

1

3

vuông góc với mặt đáy (H không thuộc cạnh AD) thì học sinh không thể tính

được độ dài đường cao SH

4 Vấn đề 4: Trong khối đa diện có tất cả các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có tất cả các cạnh bên bằng nhau

 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện (khối chóp) có tất cả các

cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có tất cả các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh của khối đa diện trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác nằm trong mặt phẳng đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB

khối chóp S.ABC

Giải

S

H

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Vậy khối chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác ABC và đường cao là SH

Ta có:

.

1

3

1

a

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh

a, A’A = A’B = A’C = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Giải

A’ B’

2a C’

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC và đường cao

chính là A’H

Ta có: V ABC A B C ' ' 'SABC 'A H

Mà:

2 0

11 '

5 Vấn đề 5: Trong khối đa diện có tất cả các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng nhau

 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện (khối chóp) có tất cả các

mặt bên cùng tạo với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt phẳng đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh của khối đa diện trùng với tâm đường tròn nội tiếp của đa giác nằm trong mặt phẳng

đáy

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, BC = 7a Các mặt

Gọi H là chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng (ABC)

Trong mp(ABC) hạ HI, HJ, HK lần lượt vuông góc với AB, BC và AC

Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp luận để giúp học sinh có thể chủ động và linh hoạt trong việc xác định được đường cao trong khối đa diện, làm tiền đề quan trọng trong việc giải quyết bài toán “Tính thể tích khối đa diện” Ngoài việc định hướng cho học sinh các dạng toán và phương pháp xác

định đường cao của khối đa diện như trên (Phương pháp tính trực tiếp bằng

công thức) thì trong quá trình dạy học về bài toán “ Tính thể tích khối đa diện”

chúng ta cũng chỉ cho học sinh các phương pháp bổ trợ cho việc tính thể tích của khối đa diện thông qua việc phân chia, lắp ghép và dùng tỉ số thể tích để

giải toán (Phương pháp gián tiếp) Ngoài ra chúng ta cũng phân tích để học sinh

nhận biết được các khối chóp đều là trường hợp đặc biệt của vấn đề 4, nên cách xác định đường cao của khối chóp đều hoàn toàn giống với vấn đề 4 nêu ở trên, hơn nữa các khối chóp đều thì việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đáy là khá đơn giản Đối với khối lăng trụ thì lăng trụ đứng và lăng trụ đều có đường cao là cạnh bên của lăng trụ đó, cho nên học sinh chỉ gặp khó khăn khi

xác định đường cao của khối lăng trụ thường (lăng trụ có cạnh bên không vuông

góc với mặt phẳng đáy), trong trường hợp này chúng ta có thể định hướng cho

học sinh cách xác định đường cao của khối lăng trụ thông qua đường cao của khối chóp có mặt đáy nằm trong mặt đáy của khối lăng trụ và đỉnh của khối chóp chính là đỉnh của khối lăng trụ đó Nếu giáo viên có thể trang bị cho học sinh hệ thống các kiến thức cơ bản về bộ môn này tôi tin rằng không chỉ học sinh có học lực khá giỏi, mà học sinh có học lực yếu hơn cũng có thể giải được bài toán này trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, ngoài ra đây là các kiến thức và

kỹ năng rất cần thiết giúp các em chủ động, linh hoạt trong việc phân tích, lập luận để có thể giải được các bài toán Hình Học không gian trong các kỳ thi

tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng Tuy nhiên để giải tốt các bài toán Hình Học không gian trong các kỳ thi tuyển sinh ĐH – CĐ ngoài những kỹ năng trên học sinh cần trang bị thêm những phương pháp khác như phương pháp “Giải toán không gian bằng phương pháp tọa độ”, các kiến thức về góc và khoảng cách….một cách hoàn chỉnh mà trong giới hạn của bài viết này tôi chưa đề cập

III Kết quả thực dạy:

Qua 8 năm công tác tại trường THPT Thanh Hoà, trong đó có 6 năm trực tiếp giảng dạy khối 12 Trong 3 năm đầu giảng dạy khối 12 (từ năm học 2006 –

2007 đến 2008 - 2009) tôi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này Đến năm học 2009 – 2010 tôi đã cùng các đồng nghiệp trong tổ trực tiếp giảng dạy khối

12 cùng áp dụng và thảo luận sáng kiến kinh nghiệm này Tình hình thực tế trình độ học sinh của trường đa số ở mức khá, trung bình và yếu nhưng sau khi

áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này kết quả thi tốt nghiệp THPT bộ môn Toán của Nhà trường đạt kết quả tương đối khả quan so với mặt bằng chung của các trường trong Tỉnh Đặc biệt số điểm trên 8 tăng lên đáng kể vì đây là bài toán có mức độ vận dụng ở cấp độ khá cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Sau đây tôi xin trích dẫn kết quả bài kiểm tra 45 phút, chương I – Hình Học 12 và điểm thi tốt nghiệp môn Toán đạt trên điểm 8 của cá nhân và toàn trường THPT Thanh Hòa, cụ thể như sau:

1 Bài kiểm tra 45 phút chương I – Hình Học 12 – Tuần 12 – Tiết 12

Năm học Số lớp dạy Tổng số HS Số HS đạt 8 trở lên %

2 Điểm thi tốt nghiệp THPT từ năm học 2006-2007 đến 2010-2011:

Kết quả toàn trường

C LỜI KẾT

Dạy và học là một quá trình tương tác giữa thầy và trò,mà ở đó giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn để giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách tích cực chủ động, sáng tạo Không phải học sinh nào cũng có trình độ tiếp thu kiến thức như nhau vì vậy giáo viên phải luôn là người tìm tòi, sáng tạo các phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh của mình Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT bài toán “Hình học không gian” không phải quyết định chất lượng kết quả cho toàn bài thi, hơn nữa đây là dạng câu hỏi đòi hỏi mức độ vận dụng khá cao, vì vậy nếu học sinh làm tốt bài toán này sẽ có cơ hội

để đạt được điểm số cao trong môn Toán, giúp các em tự tin hơn trong kỳ thi tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng Mặt khác bài tập ở sách giáo khoa chương I, Hình Học lớp 12 tương đối khó với đại đa số học sinh, muốn làm được các bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức từ Hình Học phẳng đến Hình Học không gian khá hoàn chỉnh, vì vậy hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và các phương pháp luận là việc làm rất cần thiết của giáo viên, giúp các em chủ động

và tự tin hơn trong việc tìm lời giải cho bài toán và đó cũng chính là tôn chỉ của bài viết này

Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Toán, BGH, BCH Công Đoàn và các giáo viên trong trường THPT Thanh Hoà đã giúp đỡ tôi hoàn thành bài viết này Trong quá trình viết chắc còn nhiều thiếu sót, tôi mong quý