Skkn phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Trong khi đó do thời gian có hạn nên sách giáo khoa mới chỉ dừng lại ở các bài tập cơ bản, mặc dù sách giáo khoa có sự phân loại dạng bài tập và phương pháp giải song số lượng bài tập tự

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Bất phương trình mũ và bất phương trình logrit là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học phổ thông Đây là dạng toán cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi, đặc biệt là đề thi tốt nghiệp và các đề thi vào các trường cao đẳng, đại học Trong khi đó do thời gian có hạn nên sách giáo khoa mới chỉ dừng lại ở các bài tập cơ bản, mặc dù sách giáo khoa có sự phân loại dạng bài tập và phương pháp giải song số lượng bài tập tự rèn luyện còn rất ít và chưa phong phú Vì vậy, để giúp học sinh có kỉ năng và đỡ lúng túng khi gặp những bài toán về bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, tôi đã lựa chọn đưa ra một số bài tập đã được phân loại cùng với các phương pháp giải các loại bài tập này Chính vì lý do đó tôi đã chọn đề tài

“Phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit ”

Thông qua hệ thống bài tập đã được phân lọai cùng với phương pháp giải các bài tập đó, thì nhiệm vụ của đề tài chỉ mong sẽ góp phần giúp học sinh hình thành, cũng

cố và rèn luyện kỉ năng làm việc với bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

2 Phạm vi và mục đích của đề tài.

Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng rất phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp cùng phương pháp giải Thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại cùng phương pháp giải các dạng bài tập đó, thì nhiệm vụ của đề tài chỉ mong góp phần giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng làm việc với bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

3 Đối tượng áp dụng và phương pháp tiến hành

Nội dung đề tài chủ yếu tập trung cho học sinh 12 của trường Để học sinh nắm

kỹ năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, trong các tiết học chính khóa giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm chắc phần cơ sở lý thuyết liên quan, nắm được các phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

PHẦN II NỘI DUNG

A Cơ sở lí thuyết liên quan đến đề tài

I Lũy thừa:

1 Với a b, *; ,m n ta có

• a a m n a m n

 •  m n mn

a a •  n n n

•

n

 



 

m

m n n

a a a



 • a x   0; x R

2 Với a0; ,m n;n1, ta có:

• a n1 n a • a m n n a m • khi 2 1;

khi 2

n

 









3 Với a0;n  ta có:

• a 0 1 • a 1 1

a



n

a a



4 Với a  và ,0 m n   ta có:

• Khi a  thì : 1 a m a n  m n

• Khi 0a1 thì : a m a n  m n

II Lôgarit:

1 Với ,a b0;a1 ta có

a b c  a b

• log 0 , 1

a

a b b

a b







2 Với ,a b0;a1 ta có

• log 1 0a  • loga a  1 • aloga b b • loga a 

3 Với , ,a b c0;a 1ta có:

• log ( ) loga b c  a bloga c • loga b loga b loga c

c   • loga b loga b





• loga b 1 loga b



m

n

m

a a

m

n



4 Với , ,a b c0; ,a b1ta có:

• log loga b b cloga c • loga log1

b

b

a

 • loga loglogb

b

c c

a



5 Với , ,a b c0;a 1 ta có:

• Khi a  thì : log1 a bloga c b c

• Khi 0a1 thì : loga bloga c b c

6 Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân, kí hiệu: log10alogalga Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên, kí hiệu: loge alna

III Đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit:

- Với x ta có: •  e x ' e x •  a x ' a x.lna

- Với  x 0 ta có: • ln x' 1

x

 • log ' 1

.ln

a x



- Với u u x   ta có: •  a u ' u a' .lnu a •  e u ' u e' u

- Với u u x   và u  ta có:0 • lnu' u'

u

 • log ' '

.ln

a

u u



B Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit

I Bất phương trình mũ:

1 Bất phương trình mũ cơ bản

có dạng: a x b hay  a x b a; x b a; x b với a0;a1

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiệm) từ đó ta có các trường hợp sau:

1 Nếu b > 0 và a > 1 thì

a

a b x b; • a b  xloga b

a

a

2 Nếu b > 0 và 0 < a < 1

a

a

a

a

3 Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình x ; x

a b a b đều đúng với x   Vậy tập nghiện là 

4 Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình x ; x

a b a bđều vô nghiệm

Chú ý: Cách giải trên có thể mở rộng với các dạng bất phương trình

a b a b a b a b với a0;a 1

Ví dụ: Giải các bất phương trình

a 2x  3 xlog 32

b 42 1 1 2 1 0 1

2

1

3

x



2

2 2

3 2 0 1 2

x x

2 Cách giải một số bất phương trình mũ đơn giản

a Đưa về cùng cơ số: a f x  a g x ;a0,a1

Để giải bất phương trình này ta thường áp dụng tính chất

- Với a > 1 thì: a f x  a g x   f x  g x 

- Với 0 < a <1 thì: a f x  a g x   f x  g x 

Ví dụ: Giải phương trình

a/ 2x2  3x 4 4x 1



dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, để ta đưa về bất phương trình đại số

Từ đó ta có lời giải sau

Giải:

Đk của bpt x  

Ta có 2x2  3x 4 4x 1 2x2  3x 4 22x 2 x2 3x 4 2x 2

2

x

x





       

 Vậy bpt có tập nghiệm S     ; 21;

b/ 2 33x1 2 35x8

Phân tích: Ta nhận thấy 2 3 2   3  1 2 3  2 31

Như vậy ta sẽ biến đổi phương trình đưa về cùng cơ số 2 3

Giải:

Đk của bpt x  

Ta có bpt 2 33 1 2 3 5 8 3 1 5 8 9

8

Vậy bpt có tập nghiệm ; 9

8

S     

Nhận xét: Dạng tổng quát của lớp các bất phương trình có dạng

       ;    ;    

f x g x f x g x f x g x f x g x

Đưa về cùng cơ số là phương pháp rất hay dùng khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit Nó thường được dùng kết hợp với các phương pháp khác mà

ta sẽ nêu dưới đây

b Đặt ẩn phụ:

Mục đích của việc đặt ẩn phụ là đưa về bất phương trình mới đơn giản hơn

 Đặt t bằng hàm số mũ , với điều kiện t  0

 Thế t vào bpt đã cho, ta được bpt đại số theo t , giải bất phương trình tìm t

 Giải bpt mũ cơ bản tìm x

Ví dụ : Giải bất phương trình

a/ 4x 3.2x 2 0

Phân tích : Ta nhận thấy 4x 22x  2x 2

  , do đó ta sẽ chuyển việc giải bất phương trình đã cho về việc giải bất phương trình có dạng đơn giản hơn nhờ phép đặt

ẩn phụ

Giải

Đk của bpt x  

Ta biến đổi pt 4x 3.2x 2 0

   (2 )2 x 3.2x 2 0 (2 )x 2 3.2x 2 0

(1) Đặt t 2xt 0 Ta được bpt 2 0 1

2

t

t

 



Với t  1 2x  1 2x 20  x 0

Với t  2 2x  2 2x 21  x 1

Vậy tập nghiệm bpt là S    ;0  1;

Nhận xét : Bất phương trình trên thuộc lớp các bất phương trình có dạng tổng

quát là :    

2f x f x 0; , ,

     trong đó , , ,   a R a , 0 Để giải bất phương trình này ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt f x ; 0

t a t  rồi đưa về bất phương trình bậc hai

b/ 2x 21 x 3 0

Phân tích : Ta nhận thấy 2 2 1 2 1

2

x

   Vậy đối với bất phương trình này ta sẽ thực hiện phép biến đổi nhân hai vế với 2x ta được bất phương trình dạng ở

ví dụ a, hoặc đặt ẩn phụ t 2 ;x t 0 rồi biến đổi ta được bất phương trình bậc hai ẩn t

Giải

Đk của bpt x  

Biến đổi pt

1

2

x



2

2 2x x 2 3.2x 0 (2 )x 3.2x 2 0

 Đặt t 2 ;x t0

bpt (1)  t2  3t 2 0   1 t 2

Với 1 t 21 2 x 2 0 x 1

Vậy tập nghiệm bpt là S 0;1.

0; , ,

trong đó , , , ,   a b R a b ; , 0 và .a b  Để giải bất phương trình dạng này, ta1 thường biến đổi nó về một bất phương trình bậc hai với f x 

a (hoặc f x 

b ) bằng cách nhân cả hai vế với a f x (hoặc b f x ) Với a f x   (hoặc 0 b f x   ) nên ta được bpt0 mới tương đương cùng chiều

c/ 2 2 1 x13 2 1 x1  7 0

thuộc lớp bất phương trình dạng    

0; , ,

     trong đó , , , ,a b R a b; , 0

hai đối với  2 1 x1 bằng cách nhân hai vế với  2 1 x1 Ta có lời giải sau :

Giải

Đk của bpt x  

Ta có 2 2 1 x13 2 1 x1 7 0  2 2 1 2x1  3 7 2 1 x1 0 Đặt t  2 1 x1;t 0 Ta có bpt 2

1 0

3

t

t



 









1

2 1 1

2 1

1

2 2

1 log 3

x

x

x t

x t











Vậy bpt có tập nghiệm S     ;1 log 2 1 2  1 log 2 1 3;

d/ 3.4x 2.6x 9x

2.3 = 6 Do đó khi chia hai vế của bất phương trình cho 9x thì ta được một bất phương trình bậc hai đối với 2

3

x

 

 

 

Giải

Đk của bất phương trình x  

Chia hai vế bpt cho 9x Ta có: 3.4 2.6 9 3 4 2 6 1

2 2

2

2

x

                      

Đặt 2

3

x

t   

  , đk t  BPT (1)0

3 với t  suy ra 00  t 1 Với

0

3 ) Vậy bpt có tập nghiệm S 0;

Nhận xét: Dạng tổng quát của lớp bài toán trên có dạng

0; , ,

f x

      trong đó , , , ,   a b R a b ; , 0 và ,a b  1

Để giải các bất phương trình dạng này, người ta thường biến đổi nó về bpt bậc hai đối

với

 

f x

a

b

 

 

  (hoặc

 

f x b a

 

 

  ) bằng cách chia hai vế cho 2 f x 

b hoặc ( 2 f x 

c Lôgarit hóa 2 vế:

- Với a  thì 1    

  loga   

f x g x

- Với 0a1 thì    

  loga   

f x g x

Dùng trong trường hợp 2 vế bất phương trình là tích của nhiều lũy thừa và là một

số dương Cơ số của lôgarit được chọn là cơ số của lũy thừa có số mũ phức tạp nhất

Ví dụ : Giải bpt : 2

3 2x x 1



Phân tích: Ta nhận thấy trong bất phương trình có tích của hai lũy thừa với cơ số

khác nhau và không biểu diễn được qua cùng một cơ số

Giải

Đk của bpt x  

Lấy logarit cơ số 3 hai vế , ta được :

2

2

2

3 2 1 log (3 2 ) log 1 log (3 2 ) 0

0

log 3

x

x x

x







 



Ví dụ : Giải bpt : 2

49.2x 16.7x

Giải

Đk của bpt x  

Ta có 49.2x2 16.7x 2x2  4 7x 2

Lấy logarit cơ số 2 hai vế , ta được :

 

2

.log 7 2log 7 4 0 2 log 7 2

Vậy tập nghiệm bpt S    2 log 7;22 

Nhận xét: Bất phương trình trên thuộc lớp các bất phương trình dạng

f x g x ; , ,

    trong đó , , ,  a b0 và ,a b  Để giải bất phương trình1

dạng này , người ta thường sử dụng phép biến đổi lấy logarit cơ số a hoặc b.

Lôgarit hóa là phương pháp khá thông dụng trong việc giải bất phương trình mũ Khi lôgarit hóa, ta cần khéo chọn cơ số để lời giải được gọn hơn

II Bất phương trình lôgarit:

1 Bất phương trình logarit cơ bản

có dạng: loga x b hay log a x b ;loga x b ;loga x b  với a0;a1

1 Nếu a > 1 thì

a x b  x a

a x b  x a

2 Nếu 0 < a < 1 thì

a x b  x a

a x b  x a

Chú ý:

- Khi giải bất phương logarit cũng như phương trình ta cần chú ý đến điều kiện của bất phương trình

- Phương pháp giải trên có thể mở rộng cho các dạng bất phương trình

loga f x b hay loga f x b;loga f x b;loga f x b với a0;a1

Ví dụ: Giải các bpt

a log2 x 3 x 8 S 8;

1

2

2

0

4 2

2

x

x

x x















 



2 Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản

a Đưa về cùng cơ số: với a0;a1: loga f x  loga g x 

Để giải bpt này ta áp dụng tính chất

- Với a  thì 1 loga f x  loga g x   f x  g x 

- Với 0a1 thì loga f x  loga g x   f x  g x 

Ví dụ Giải các bất phương trình sau

4

11

6

4



  Vì thế, có thể quy đồng cơ số các hàm logarit có mặt trong các bất phương trình Hơn nữa sau khi quy đồng cơ số, dựa vào tính chất hàm logarit có thể thu gọn các biểu thức trong bất phương trình Với nhận xét

đó, ta có lời giải sau:

Giải.

Đk của bpt x  0

4

Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S 0;2

9 log x 2log x6 3

Phân tích: Ta nhận thấy 1 32

9



 Vì thế, có thể quy đồng cơ số các hàm logarit

có mặt trong các bất phương trình Hơn nữa sau khi quy đồng cơ số, dựa vào tính chất hàm logarit có thể thu gọn các biểu thức trong bất phương trình Với nhận xét đó, ta có lời giải sau:

Giải.

x

9 log x 2log x6  3 log xlog x6  3 log x x6 3

9

x x





  



So sánh điều kiện suy ra nghiệm bpt x 3

Nhận xét: Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của bất

phương trình trước khi biến đổi Nhiều học sinh hay mắc sai lầm là quên điều kiện dẫn đến lấy nghiệm sai

log 3x 5 log x1

5 . Khi đó ta có lời giải sau

Giải

x

x x

 





 



log 3x 5 log x1  3x 5 x 1 x3

Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt 5;3

3

d 2  1 

2

log x5 log 3 x 0

Ta nhận thấy 1 1

2 2



 Vì thế, có thể biến đổi bất phương trình đưa về cùng cơ số

và dựa vào tính chất hàm logarit có thể thu gọn các biểu thức trong bất phương trình

và đưa về dạng đơn giản Với nhận xét đó, ta có lời giải sau:

Giải

x

x x

 



   



 



Ta có

2

Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S    5; 1

b Đặt ẩn phụ : Ta thường sử dùng phương pháp này đối với những bất phương

trình chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa tích hoặc thương

Ví dụ : Giải bất phương trình

a/ log22x 5log2 x 6 0

sẽ được một bpt bậc hai theo t Từ nhận xét đó ta có lời giải sau:

Giải.

Đk x  Đặt 0 t log2 x

2

x



Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S 0;48;

b/ 1 log 2x 2 log 4x 3

Phân tích: Ta nhận thấy hai nhân tử vế trái có chứa hàm log x bậc nhất, nên khi2 khai triển sẽ xuất hiện dạng bất phương trình bậc hai đối với log x Từ nhận xét đó ta2

có lời giải sau:

Giải.

Đk x  Đặt 0 t log2 x

2 2

t

t





 

2

2



So sánh với điều kiện Vậy bpt có tập nghiệm S 0;24;

c Mũ hóa

Ví dụ: Giải bất phương trình: log 33 x  8  2 x

Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức trong logarit là một hàm mũ với cùng cơ số

của logarit Do đó từ định nghĩa logarit ta có được log 3 8 3  2 2

3 x 3 x 3x 8 3x

phép biến đổi này thường được gọi là mũ hóa Từ đó ta có lời giải sau:

Giải.

Đk 3x  8 0  xlog 83

Theo định nghĩa, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

3

3 x 3 x 3x 8 3x 3 x 8.3x 9 0

Đặt 3x 0

t t  , ta có bpt bậc hai 2

t  t      t

với t  0 0  t 9 3x  9 x2

Kết hợp với đk Vậy tập nghiệm của bpt S log 8;23 

Nhận xét: Phương trình đã cho thuộc lớp phương trình có dang tổng quát

loga f x g x ; , ,  trong đó a0;a1, f x là một đa thức hoặc là một 

hàm số mũ Theo định nghĩa ta có

+ loga f x  g x   f x  a g x  với a  1

+ loga f x  g x   f x  a g x  với 0a1

C Bài tập cơ bản tự luyện

(GV hướng dẫn: Dựa vào các phương pháp giải qua các ví dụ trên, học sinh áp dụng giải trên lớp các bài tập ơ bản trong các tiết bài tập tự chọn, các bài tập nâng cao giáo viên hướng dẫn hs về nhà làm)

1/.Giải các bất phương trình

a) 1 .0,2 3 252

0,04

x



2

x

 

b) 3 2x 2.3x 15 0

c)5x 1 53 x 26 0

d) 3.4x 2.10x 25x 0

2/.Giải các bất phương trình

a) 2 3 x 2 3x 4 Đáp số : -2 < x < 2

Hướng dẫn:  2 3 2   31, đặt t  2 3x thì  2 3x 1

t

b) 10 3 12  10 3 21

Hướng dẫn:  10 3   10 3  1

2

   Đáp số : S   2;0 \  1

Hướng dẫn: 7 4 3 (2   3)2 và (2 3).(2 3) 1

5 x 5 5 x 5 x

e 2 5 6 2

3

3 x  x  x Đáp số: -2 < x < 10

3/ Giải các bất phương trình

a) 125x 0,22x 1.625x

b) 0,14x2  2x 2 0,12x 3

2



c) 3.72x 37.140x 26.202x

7

3 log 2

x 

d) 107x 1 6.101 7  x 5 0

 

e)22x2  6x 3 6x2  3x 1 32x2  6x 3

 

4/.Giải các bất phương trình

a) log 2log 1 log (1 3log )4 3  2  2 x   1 Đáp số : x < 285

2

log (x  1) log ( x 1) Đáp số : 1 5

2

c)log (3x1 x5) 3 ĐK: 1

0

x x

 







d) log 10 1 log3 1log( 1)

2

     ĐK: x > 1 Đáp số : Hướng dẫn: pt log 10x log x 1 log3 log10 

5/ Giải các bất phương trình

a) 7

2

3

x x



